3.支持向量机(回归)
机器学习技术中的支持向量回归算法详解
机器学习技术中的支持向量回归算法详解支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）是一种常用的机器学习技术，用于解决回归问题。
它基于支持向量机（Support Vector Machine，SVM）算法，通过找到一个最优的超平面来建立一个线性或非线性的回归模型。
在本文中，我们将详细介绍支持向量回归算法的原理、特点和应用。
支持向量回归算法的原理支持向量回归算法的原理与支持向量机算法相似，但目标不同。
支持向量机算法是一种用于分类问题的算法，而支持向量回归算法则是用于预测连续变量的回归问题。
我们先来回顾一下支持向量机算法的原理。
支持向量机算法通过找到一个最优的超平面来实现分类。
在二维情况下，这个超平面就是一条直线，将两个不同的类别分开。
在更高维的情况下，这个超平面变成一个超平面。
支持向量机的目标是通过找到离超平面最近的一些点，也就是支持向量，将不同类别的点分隔开。
这些支持向量在分类决策中起到了重要的作用。
支持向量机算法通过最大化支持向量与超平面的距离（也称为间隔）来实现分类。
支持向量回归算法与支持向量机算法的目标有所不同。
支持向量回归算法的目标是找到一个最优的超平面，使得样本点与该超平面的距离尽可能小，并且在一定误差范围内。
换句话说，支持向量回归算法通过最小化支持向量与超平面的距离和样本点与超平面的距离之和来实现回归。
支持向量回归算法的特点支持向量回归算法有以下几个特点：1. 回归问题的非线性建模能力：支持向量回归算法可以通过使用核函数将数据从原始空间映射到一个高维特征空间，从而实现非线性回归模型的建立。
2. 控制模型复杂度的超参数：支持向量回归算法有两个重要的超参数，分别是核函数和正则化参数。
通过选择合适的核函数和正则化参数，可以有效控制模型的复杂度，防止过拟合。
3. 鲁棒性：支持向量回归算法可以有效处理数据中的噪声和异常值，因为它是通过最小化支持向量与超平面的距离和样本点与超平面的距离之和来实现回归的。
支持向量机(SVM)、支持向量机回归(SVR)：原理简述及其MATLAB实例
支持向量机（SVM）、支持向量机回归（SVR）：原理简述及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法2）关于KKT条件2、范数1）向量的范数2）矩阵的范数3）L0、L1与L2范数、核范数二、SVM概述1、简介2、SVM算法原理1）线性支持向量机2）非线性支持向量机二、SVR：SVM的改进、解决回归拟合问题三、多分类的SVM1. one-against-all2. one-against-one四、QP（二次规划）求解五、SVM的MATLAB实现：Libsvm1、Libsvm工具箱使用说明2、重要函数：3、示例支持向量机（SVM）：原理及其MATLAB实例一、基础知识1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件1）关于拉格朗日乘子法首先来了解拉格朗日乘子法，为什么需要拉格朗日乘子法呢？记住，有需要拉格朗日乘子法的地方，必然是一个组合优化问题。
那么带约束的优化问题很好说，就比如说下面这个：这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。
那么你可以想想，假设没有约束条件这个问题是怎么求解的呢？是不是直接 f 对各个 x 求导等于 0，解 x 就可以了，可以看到没有约束的话，求导为0，那么各个x均为0吧，这样f=0了，最小。
但是x都为0不满足约束条件呀，那么问题就来了。
有了约束不能直接求导，那么如果把约束去掉不就可以了吗？怎么去掉呢？这才需要拉格朗日方法。
既然是等式约束，那么我们把这个约束乘一个系数加到目标函数中去，这样就相当于既考虑了原目标函数，也考虑了约束条件。
现在这个优化目标函数就没有约束条件了吧，既然如此，求法就简单了，分别对x求导等于0，如下：把它在带到约束条件中去，可以看到，2个变量两个等式，可以求解，最终可以得到,这样再带回去求x就可以了。
那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法完美的解决了。
更高一层的，带有不等式的约束问题怎么办？那么就需要用更一般化的拉格朗日乘子法，即KKT条件，来解决这种问题了。
支持向量机回归的基本原理
支持向量机回归的基本原理支持向量机回归，听起来是不是有点高大上？其实它就像一位聪明的厨师，善于调配各种食材，做出让人惊艳的美味佳肴。
咱们都知道，数据就像是一锅杂烩，里头有好有坏，有些数据点就像那股子青椒，真心不爱，但它们其实也有它们存在的价值。
支持向量机回归，就是通过找到合适的“调料”，让这些数据点更好地服务于我们的目标。
它的核心思想就是找到一个最佳的“平面”，让大多数数据点都能被划分到它的一边。
简单来说，就是试图在数据的海洋中找到一条明路，哇，听着就让人兴奋！想象一下，你的工作就是要预测房价。
你有很多因素要考虑，比如位置、面积、装修等等。
每个房子的价格都是一个数据点，有的高，有的低，参差不齐。
支持向量机回归就像是在这些房子中间放了一块透明的玻璃，努力让它把所有的房子分成两类：高价的和低价的。
为了找到那块玻璃，它会尽量让不同价格的房子在各自的区域里聚集。
那些“支持向量”，就是离这块玻璃最近的房子。
嘿，这就像是站在舞池边缘，想找个好位置的舞者，得在这里把握好平衡，既不想被挤出舞池，也不想太远离舞伴。
现在说到“惩罚”，这可不是严厉的老师要罚站，而是模型对错误的容忍度。
支持向量机回归会考虑到那些跑到玻璃外边的房子，心里想着：哎呀，别把我踢出局啊！它会给这些出局的房子设定一个“惩罚分”，惩罚那些离得太远的点，让模型更加严格、更加精准。
这里的“惩罚”就像个保护伞，挡住了无谓的干扰，确保最终的结果更加稳妥。
调节这些参数可不是一件容易的事。
这就像做菜时要掌握火候，放盐也得有个度。
假如放多了，那就咸得让人想掉眼泪；放少了，又淡得像白开水。
支持向量机回归通过调节这个“惩罚”参数，让模型更加灵活，找到最佳的平衡。
就像精打细算的主妇，知道在什么时候该多加一点调料，在什么时候又得控制住手，才不会把整道菜搞砸。
支持向量机回归并不止步于线性模型，它还能通过“核函数”这个魔法，把数据点变得更“高大上”。
核函数就像是一道门，可以把那些原本难以处理的复杂数据转化为更简单的形式。
支持向量机及支持向量回归简介
3．支持向量机（回归）3.1.1 支持向量机支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。
它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。
它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。
SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。
作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。
所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。
因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。
由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。
特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间nR上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(),...n x x x φφφ。
如果221(,)((),()),{}k k k k k K x y a x y a lφφ∞==∈∑，那么取1()()k k k x a x φφ∞==∑即为所求的非线性嵌入映射。
由于核函数(,)K x y 的定义域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。
因此，巧妙地避开了计算高维内积(),())x y φφ（所需付出的计算代价。
实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，并不去重构嵌入映射1()()k k k x a x φφ∞==∑。
所以寻找核函数(,)K x y （对称且非负）就是主要任务了。
满足以上条件的核函数很多，例如● 可以取为d-阶多项式：(,)(1)dK x y x y =+ ，其中y 为固定元素。
预测回归的九大类算法
预测回归的九大类算法包括以下几种：1. 线性回归（Linear Regression）：它是预测中最简单也是最直观的方法。
通过找到一个线性方程来最小化预测值和实际值之间的平方差。
2. 逻辑回归（Logistic Regression）：虽然称为“回归”，但它实际上是一种分类算法。
逻辑回归通过Sigmoid函数将输入特征映射到0和1之间，用于估计某个事件发生的概率。
3. 多项式回归（Polynomial Regression）：它是线性回归的扩展，允许模型具有非线性的特征。
通过将特征转换为多项式形式，可以捕捉到数据中的非线性关系。
4. 决策树回归（Decision Tree Regression）：决策树是一种树形结构，用于对数据进行分类或回归。
在回归任务中，决策树通过预测连续值来预测结果。
5. 随机森林回归（Random Forest Regression）：随机森林是由多个决策树组成的集成学习方法。
每个树都独立地进行预测，最终结果是所有树预测值的平均值。
6. 支持向量机回归（Support Vector Regression, SVR）：SVR是一种监督学习算法，用于回归分析。
它的目标是找到一个最佳的超平面，以最大化数据点与超平面的距离。
7. 人工神经网络回归（Artificial Neural Network Regression）：人工神经网络是一种模仿人脑工作方式的计算模型，用于处理复杂的非线性关系。
8. 梯度提升机回归（Gradient Boosting Regression）：梯度提升机是一种强大的集成学习算法，通过逐步构建模型来最小化损失函数，提高预测准确性。
9. 弹性网回归（Elastic Net Regression）：弹性网是一种线性回归模型，它结合了L1和L2正则化，以解决数据集中的多重共线性问题。
这些算法各有优势和局限性，适用于不同类型的数据和问题。
在实际应用中，通常需要根据具体问题和对数据的理解来选择合适的算法。
支持向量回归案例代码
支持向量回归案例代码支持向量回归（Support Vector Regression, SVR）是一种基于支持向量机的回归方法，可以用于解决回归问题。
下面列举了一些支持向量回归的案例代码，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
1. 一维线性回归案例：```pythonfrom sklearn.svm import SVRimport numpy as np# 创建训练数据X = np.sort(5 * np.random.rand(100, 1), axis=0)y = np.sin(X).ravel()# 训练支持向量回归模型svr = SVR(kernel='linear', C=1.0, epsilon=0.2)svr.fit(X, y)# 预测X_test = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1)y_pred = svr.predict(X_test)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(X, y, color='darkorange', label='data') plt.plot(X_test, y_pred, color='navy', label='SVR') plt.xlabel('X')plt.ylabel('y')plt.title('SVR - Linear Kernel')plt.legend()plt.show()```2. 多维非线性回归案例：```pythonfrom sklearn.svm import SVRimport numpy as np# 创建训练数据X = np.sort(5 * np.random.rand(100, 2), axis=0)y = np.sin(X[:, 0]) + np.cos(X[:, 1])# 训练支持向量回归模型svr = SVR(kernel='rbf', C=1.0, epsilon=0.2)svr.fit(X, y)# 预测X1 = np.linspace(0, 5, 50)X2 = np.linspace(0, 5, 50)X_test = np.array(np.meshgrid(X1, X2)).T.reshape(-1, 2)y_pred = svr.predict(X_test)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], y, color='darkorange', label='data')ax.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], y_pred, color='navy', label='SVR')ax.set_xlabel('X1')ax.set_ylabel('X2')ax.set_zlabel('y')ax.set_title('SVR - RBF Kernel')plt.legend()plt.show()```3. 支持向量回归中的参数调优：```pythonfrom sklearn.svm import SVRfrom sklearn.model_selection import GridSearchCVimport numpy as np# 创建训练数据X = np.sort(5 * np.random.rand(100, 1), axis=0)y = np.sin(X).ravel()# 定义参数范围param_grid = {'C': [0.1, 1.0, 10.0], 'epsilon': [0.1, 0.2, 0.5], 'kernel': ['linear', 'rbf']}# 使用网格搜索寻找最佳参数svr = SVR()grid_search = GridSearchCV(svr, param_grid, cv=5)grid_search.fit(X, y)# 输出最佳参数print("Best Parameters: ", grid_search.best_params_)# 预测X_test = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1)y_pred = grid_search.predict(X_test)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(X, y, color='darkorange', label='data') plt.plot(X_test, y_pred, color='navy', label='SVR') plt.xlabel('X')plt.ylabel('y')plt.title('SVR - Best Parameters')plt.legend()plt.show()```4. 使用SVR进行时间序列预测：```pythonfrom sklearn.svm import SVRimport numpy as np# 创建时间序列数据X = np.arange(0, 10, 0.1).reshape(-1, 1)y = np.sin(X).ravel()# 训练支持向量回归模型svr = SVR(kernel='rbf', C=1.0, epsilon=0.2)svr.fit(X, y)# 预测X_test = np.arange(10, 20, 0.1).reshape(-1, 1)y_pred = svr.predict(X_test)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(X, y, color='darkorange', label='data') plt.plot(X_test, y_pred, color='navy', label='SVR') plt.xlabel('X')plt.ylabel('y')plt.title('SVR - Time Series')plt.legend()plt.show()```5. 使用SVR进行异常点检测：```pythonfrom sklearn.svm import SVRimport numpy as np# 创建训练数据X = np.sort(5 * np.random.rand(100, 1), axis=0)y = np.sin(X).ravel()# 添加异常点X_outliers = np.array([[2.5]])y_outliers = np.array([10.0])X = np.concatenate((X, X_outliers))y = np.concatenate((y, y_outliers))# 训练支持向量回归模型svr = SVR(kernel='linear', C=1.0, epsilon=0.2)svr.fit(X, y)# 预测X_test = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1)y_pred = svr.predict(X_test)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(X, y, color='darkorange', label='data')plt.plot(X_test, y_pred, color='navy', label='SVR')plt.scatter(X_outliers, y_outliers, color='red', label='outliers')plt.xlabel('X')plt.ylabel('y')plt.title('SVR - Outliers')plt.legend()plt.show()```6. 使用SVR进行多任务学习：```pythonfrom sklearn.svm import SVRimport numpy as np# 创建训练数据X = np.sort(5 * np.random.rand(100, 1), axis=0)y1 = np.sin(X).ravel()y2 = np.cos(X).ravel()# 训练支持向量回归模型svr = SVR(kernel='linear', C=1.0, epsilon=0.2, multioutput='uniform_average')svr.fit(X, np.column_stack((y1, y2)))# 预测X_test = np.linspace(0, 5, 100).reshape(-1, 1)y_pred = svr.predict(X_test)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltplt.scatter(X, y1, color='darkorange', label='data1')plt.scatter(X, y2, color='limegreen', label='data2')plt.plot(X_test, y_pred[:, 0], color='navy', label='SVR1') plt.plot(X_test, y_pred[:, 1], color='purple', label='SVR2') plt.xlabel('X')plt.ylabel('y')plt.title('SVR - Multi-task Learning')plt.legend()plt.show()```7. 使用SVR进行特征选择：```pythonfrom sklearn.svm import SVRfrom sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.feature_selection import SelectFromModel# 加载波士顿房价数据集X, y = load_boston(return_X_y=True)# 特征选择svr = SVR(kernel='linear', C=1.0, epsilon=0.2)sfm = SelectFromModel(svr)X_new = sfm.fit_transform(X, y)# 输出选择的特征print("Selected Features: ", sfm.get_support(indices=True)) ```8. 使用SVR进行稀疏数据回归：```pythonfrom sklearn.svm import SVRimport numpy as np# 创建稀疏训练数据X = np.sort(5 * np.random.rand(100, 1), axis=0)y = np.sin(X).ravel()X[::5] = np.nany[::5] = np.nan# 训练支持向量回归模型svr = SVR(kernel='linear', C=1.0, epsilon=0.2)svr.fit(X, y)。
支持向量机 回归方法定义
支持向量机（SVM）回归方法定义==================1. 引言----支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种强大的机器学习算法，可以用于分类和回归问题。
其中，支持向量回归（Support Vector Regression, SVR）是一种用于回归问题的变种。
本文档将详细介绍支持向量回归的定义、模型训练、模型优化、预测与评估及其应用案例。
2. 支持向量机基础----------支持向量机是一种基于统计学习理论的二分类器，其基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
间隔最大使得它有别于感知机，等价于求解一个带约束的凸二次规划问题。
也可以扩展到多分类问题，通过“铰链损失”函数引入一个松弛变量，将二分类问题转化为求解多个二分类器的带约束凸二次规划问题。
3. 支持向量回归----------支持向量回归（SVR）是一种用于回归问题的支持向量机。
与支持向量机不同，支持向量回归的目标是找到一个函数，使得对于给定的输入x，可以预测对应的输出y。
在支持向量回归中，我们通过使用核函数（kernel function）来定义输入空间中的点积，从而在更高维的空间中构建一个超平面，以实现回归目标。
4. 模型训练-------在支持向量回归中，模型训练的过程包括以下步骤：* 数据预处理：对输入数据进行标准化处理，以消除数据间的尺度差异。
* 构建核函数：选择一个核函数，用于定义输入空间中的点积。
常见的核函数包括线性核、多项式核和RBF核等。
* 构建超平面：根据核函数构建超平面，以实现回归目标。
超平面的构建是通过求解一个带约束的凸二次规划问题来实现的。
* 计算间隔：计算超平面与最近的数据点之间的间隔，这个间隔被称为软间隔（soft margin）。
5. 模型优化-------为了提高支持向量回归的性能，可以进行一些模型优化。
以下是一些常用的模型优化方法：* 调整核函数参数：通过调整核函数的参数，可以改变超平面的形状和大小，从而优化模型的性能。
支持向量机及支持向量回归简介
3．支持向量机（回归）3.1.1 支持向量机支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。
它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。
它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。
SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。
作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。
所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。
因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。
由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。
特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间n R 上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(),...n x x x φφφ。
如果221(,)((),()),{}k k k k k K x y a x y a l φφ∞==∈∑，那么取1()()k k k x a x φφ∞==∑即为所求的非线性嵌入映射。
由于核函数(,)K x y 的定义域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。
因此，巧妙地避开了计算高维内积(),())x y φφ（所需付出的计算代价。
实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，并不去重构嵌入映射1()()k k k x a x φφ∞==∑。
所以寻找核函数(,)K x y （对称且非负）就是主要任务了。
满足以上条件的核函数很多，例如可以取为d-阶多项式：(,)(1)d K x y x y =+，其中y 为固定元素。
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3．支持向量机（回归）3.1.1 支持向量机支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。
它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。
它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。
SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。
作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。
所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。
因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。
由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。
特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间n R 上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(),...n x x x φφφ。
如果221(,)((),()),{}k k k k k K x y a x y a l φφ∞==∈∑，那么取1()()k k k x a x φφ∞==∑即为所求的非线性嵌入映射。
由于核函数(,)K x y 的定义域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。
因此，巧妙地避开了计算高维内积(),())x y φφ（所需付出的计算代价。
实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，并不去重构嵌入映射1()()k k k x a x φφ∞==∑。
所以寻找核函数(,)K x y （对称且非负）就是主要任务了。
满足以上条件的核函数很多，例如● 可以取为d-阶多项式：(,)(1)d K x y x y =+g ，其中y 为固定元素。
● 可以取为径向函数：()22(,)exp ||||/K x y x y σ=-，其中y 为固定元素。
● 可以取为神经网络惯用的核函数：()12(,)tanh ()K x y c x y c =+g ，其中y 为固定元素。
一般地，核函数的存在性只依赖于如何寻找一个平方收敛的非负序列{}k a 。
这样的序列在2l 空间的正锥{}{}22|0,k k l a l a k +=∈≥∀中的序列都满足。
但哪一个最佳还有待于进一步讨论。
经验表明，分类问题对于核函数不太敏感。
当然，重新构造一个核函数也不是一个简单的事。
因此，实际操作中往往就在上述三类中挑出一个来使用就可以了。
支持向量机的结构示意图可以表示如下：图1 支持向量机结构示意图其中输入层是为了存贮输入数据，并不作任何加工运算；中间层是通过对样本集的学习，选择(,),1,2,3,...,i K x x i L =；最后一层就是构造分类函数1sgn((,))Li i i i y y a K x x b ==+∑整个过程等价于在特征空间中构造一个最优超平面。
支持向量机的作用之一就是分类。
根据分类的任务，可以划分为一分类，二分类以及多分类。
对于多类分类问题，可以用若干种手法将其分解为若干个二分类问题叠加。
因此，为了实现支持向量机分类的算法，我们只要针对二分类，从头来给出它的数学原理。
3.1.2 支持向量机分类的数学原理设样本集为{}{}(,)|;1,1,1,...,n i i i i x y x R y i I ∈∈-+=，我们的目的是寻找一个最优超平面H 使得标签为＋1 和－1的两类点不仅分开且分得间隔最大。
当在n 维欧几里德空间中就可以实现线性分离时，也即存在超平面将样本集按照标签－1与＋1分在两边。
由于超平面在n 维欧几里德空间中的数学表达式是一个线性方程 ,0w x b <>+=，其中，w 为系数向量，x 为n 维变量，,w x <>内积，b 为常数。
空间中点i x 到超平面L 的距离|,|(,)||||i i w x b d x L w <>+=。
欲使得(,)i d x H 最大，等价于21||||2w 最小。
于是，得到一个在约束条件下的极值问题21min ||||2(,)1,1,2,...,i i w y w x b i I⎧⎪⎨⎪<>+≥=⎩ 引入Lagrange 乘子12(,,...,)I αααα=，可以解得关于该参变量的方程121,1(),IIi iji j i j i i j Q y y x x αααα===-<>∑∑称之为Lagrange 对偶函数。
其约束条件为,10,0,1,2,...,Iiii i j yi I αα==≥=∑在此约束条件之下， 使得()Q α达到最大值的α的许多分量为0，不为0的i α 所对应的样本i x 就称为支持向量。
这就是支持向量的来历。
当在输入空间不能实现线性分离，假设我们找到了非线性映射φ将样本集{}{}(,)|;1,1,1,...,niiiix y x R y i I ∈∈-+=映射到高维特征空间H 中，此时我们考虑在H 中的集合{}{}((),)|;1,1,1,...,n i i i i x y x R y i I φ∈∈-+=的线性分类，即在H 中构造超平面，其权系数w 满足类似的极值问题。
由于允许部分点可以例外，那么可以引入松弛项，即改写为：211min ||||2(,)1,0,1,2,...,Lii ii i i w C y w x b i Iξξξ=⎧+⎪⎨⎪<>+≥-≥=⎩∑ 最终转化为一个二次型在约束条件下的二次规划问题：'''11min 20,0(,...,)(,...,)T T ID c y A C C αααααααα⎧+⎪⎨⎪=≤=≤=⎩ 其中，1(,...,)T I y y y =，(1,...,1)T c =--，()1,(,)i j i j i j I D K x x y y ≤≤=为矩阵。
(,)K x s 是核函数。
一分类问题是一个极端情形但却又是非常有用的，它可以表示为如下数学模型：设{}|,1,...,n i i x x R i I ∈=为空间n R 的有限观测点，找一个以a 为心，以R 为半径的包含这些点的最小球体。
因此，一分类是对于求一个化合物成分的最小包络曲面的最佳方法。
与前面完全相同的手法，设φ是由某个核函数(,)K x s 导出的从输入空间到特征空间中的嵌入映射，最后可以得到二次规划问题'''11min 20,0(,...,)(,...,)T T ID c y A C C αααααααα⎧+⎪⎨⎪=≤=≤=⎩ 其中，1(,...,)T I y y y =， (1,...,1)T c =--， ()1,(,)i j i j i j I D K x x y y ≤≤=为矩阵。
(,)K x s 是核函数。
此时111()(,)2(,)(,)L LLi i ijiji j i f x K x x K x x K x x ααα====-+∑∑∑此时几乎所有的点满足2()f x R ≤。
参数C 起着控制落在球外点的数目,变化区间为：1/1L C <<.3.1.3基于线性规划的SVM 分类由于分类问题的自然推理过程都会归结到二次规划求解，计算复杂度相对较高。
如果能将其简化为线性规划而且没有较大的误差， 那么计算量将急速减少。
于是提出了基于线性规划的SVM 分类。
此方法经过数学严格推理，是合理的（因为涉及泛函的知识较多，推理过程放在附录中）。
因此产生了基于线性规划一分类、二分类、多分类。
此处，我们仅给出基于线性规划的SVM 分类的最终形式：111min .(,),1,...,;1;,0Li i LLi i j j ii i i i C s t K x x j L ρξαρξααξ===⎧⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎨⎪⎪≥-==≥⎪⎩∑∑∑解出α与ρ则得出决策函数1()(,)Li i j i f x K x x α==∑以及阈值。
参数C 控制着满足条件()f x ρ≥的样本数量。
特别核函数取为径向函数时，参数2σ越小，精度越高。
另外，要提醒注意的是，在求解大规模分类问题得SVM 算法实现时，需要以下辅助手段：停机准则：由于分类问题等价于求对偶问题在约束条件下的极值1111max (,)..0,0,1,2,...,L L Li i j i j i j i i j Li i i j y y K x x s t y C i L ααααα====⎧-⎪⎪⎨⎪=≤≤=⎪⎩∑∑∑∑ 而KKT 条件[(,())1]0()0,1,2,...,i i i i i i y w x b C i L αφξαξ<>+-+=⎧⎨-==⎩是收敛的充分必要条件。
因此通过监控KKT 条件来得到停机条件110,0,1,2,...,1,0,((,))1,0,1,,Li i i j i Li i i i j ij i y C i L i y y K x x b C iC i αααααα==⎧=≤≤=⎪⎪⎪≥=∀⎧⎨⎪⎪+=<<∀⎨⎪⎪⎪≤=∀⎩⎩∑∑ 这个条件中的不等式不必严格成立，只要在一定误差条件下成立就可以用了。
选块算法＋分解法1. 给定参数0M >，0ε>， 0k =。
选取初始工作集0W T ⊂，记其对应的样本点的下标集为0J 。
令k W T ⊂第k 次更新的工作集，其对应的样本点的下标集为k J 。
2. 基于工作集k W T ⊂， 由优化问题1111max (,)..0,0,L L Li i j i j i j i i j Li i i k j y y K x x s t y C i J ααααα====⎧-⎪⎪⎨⎪=≤≤∈⎪⎩∑∑∑∑ 求出最优解ˆ{,}j k aj J ∈，构造 1(,...,)k k kL ααα=按照如下方式：ˆ,0,k jk k jkj J j J αα⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩3. 如果k α已经在精度ε内满足停机准则，那么以此权系数构造决策函数即可。
否则继续下一步。
4. 在\k T W 中找出M 个最严重破坏条件11,0,((,))1,0,1,,i Li i i i j i j i i y y K x x b C i C iαααα=≥=∀⎧⎪+=<<∀⎨⎪≤=∀⎩∑ 加入k W 得出新的工作集1k W +，相应的下标集记为1k J +。
5． 重复2）－3），直到样本集耗完为止。