最好最全高中数学题库

第1章集合与简易逻辑

§1–1集合

一、集合的概念

1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．

(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④

解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．

1.1.2下列集合中，有限集是()．

(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}

(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}

解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．

1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝√5，则下列结论中正确的是()．

(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a?M

解析因为√5<6，则√5∈M，{a}M，所以，答案为A．

1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．

(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B

解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．

1.1.5下列四个关系中，正确的是()．

(A) ?∈{0} (B) 0?{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}

解析?与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合

间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．

1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，b

a，b}，则b－a＝()．

(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2

解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则b

a＝－1，又

－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．

1.1.7用适当的方式写出下列集合：

(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；

(2) 不大于6的非负整数所组成的集合 ；

(3) 所有正奇数组成的集合 ；

(4) 方程x 3＋6＝0的实数解构成的集合 ；

(5) 不等式x 2－5x ＋4<0的解集 ；

(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合 ；

(7) 直角坐标平面中，直线y ＝2x －1上的所有点组成的集合 ．

解析 (1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．

(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．

(3) 所有正奇数组成的集合是{x |x ＝2k ＋1，k ∈N}．

(4) 方程x 3＋6＝0的实数解构成的集合是{x |x 3＋6＝0，x ∈R}．

(5) 不等式x 2－5x ＋4<0的解集{x |x 2－5x ＋4<0}或写成{x |1

(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x ，y )|x >0且y >0}．

(7) 直角坐标平面中，直线y ＝2x －1上的所有点组成的集合是{(x ，y )|y ＝2x －1}．

1.1.8 已知集合A ＝{1，3，x }，集合B ＝{1，x 2}，若有B A 且x ?B ，则A ＝ ． 解析 由x 2∈A 及x ?B 得x 2＝3，解得x ＝±√3，经检验此x 的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A ＝{1，3，√3}或{1，3，－√3}．

1.1.9 集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2m －1≤x ≤2m ＋1}，若B ?A ，则m 的取值范围是 ．

解析 由已知可得{2m －1≥－3，2m ＋1≤2，

解得－1≤m ≤12．

1.1.10 若集合M ＝{0，1，2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，则N 中元素的个数为( )．

(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2

解析 将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)

的坐标代入不等式组{x －2y ＋1≥0，x －2y －1≤0，

可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N 内，所以，答案为C ．

1.1.11 定义集合运算：A ☉B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ☉B 的所有元素之和为( )．

(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18

解析 由已知可得A ☉B ＝{0，6，12}，所以，A ☉B 中所有元素之和为18，答案为D ．

1.1.12 设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )．

(A) 自然数集 (B) 整数集 (C) 有理数集 (D) 无理数集 解析 任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加

法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C ．

1.1.13 集合M ＝{x |a 1x >b 1}，N ＝{x |a 2x >b 2}，其中常数a 1b 1a 2b 2≠0，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“M ＝N ”的( )．

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件 (C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件 解析 若a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝－1，则有a

1a 2＝b 1b 2，此时，M ＝{x |x >1}，N ＝{x |x <1}，

M ≠N ；

若M ＝N ，则必有a 1a 2>0，于是，M ＝{x |x >

b 1a 1}，N ＝{x |x >b 2a 2}， 或者，M ＝{x |x

， 所以，“a 1a 2＝b 1b 2

”是“M ＝N ”的必要不充分条件，答案为B ．

1.1.14 已知集合M ＝{x |x ≤a 2＋b 2}，其中a ，b 是常数．给出下列四个命题：

① 2ab 一定属于M ② 2ab 一定不属于M

③ －2ab 一定属于M ④ －2ab 一定不属于M

其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．

解析 由(a －b )2≥0和(a ＋b )2≥0对任意a ，b ∈R 恒成立可得2ab ≤a 2＋b 2，－2ab ≤a 2＋b 2，所以，2ab ∈M ，－2ab ∈M ，在上述四个命题中，①和③是正确的．

1.1.15 已知集合A 是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x ∈A ，必有3－2x

∈A ．问： (1) 集合A 可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A ；若不可以，则说明理由；

(2) 集合A 可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A ；若不可以，则说明理由．

解析 (1) 若集合A 中有且仅有一个元素x ，则3－2

x ＝x ，即x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．

(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A ＝{a ，b }是满足要求的二元集，并且{3－2a ＝b ，3－2b ＝a ，即{3a －2＝ab ，3b －2＝ab ，则a ＝b ，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．

1.1.16 同时满足{1}A ?{1，2，3，4，5}，且A 中所有元素之和为奇数的集合A 的个数是( )．

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

解析 若A 为二元集，则A 可为{1，2}、{1，4}；若A 为三元集，则A 可为{1，2，

4}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．

1.1.17对于集合A和B，当A B时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．

(A) ??A(B) ?B(C) B＝?(D) A＝?

解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由A B可得B≠?，所以，答案为C．

1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．

(A) M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}

(B) M＝?，P＝{0}

(C) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}

(D) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}

解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．

集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，

而集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{y|y≥1}，所以，答案为D．

1.1.19写出集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．

解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是?，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．

1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：

(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；

(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；

(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．

解析(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x2＋2＝0，x∈R}＝?；

(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2，1≤x≤3}＝

{y|5≤y≤11}；

(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x2＋4x＋3，x∈R}

＝{y|y≤7}．

1.1.21已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值

是．

解析要使得集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．

1.1.22关于x的不等式|x－(a＋1)

2

2|≤

(a－1)

2

2的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋

1)x＋2(3a＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A?B的a的取值范围．

解析 不等式|x －(a ＋1)22|≤(a －1)22的解集A ＝[2a ，a 2＋1]． 不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0即为(x －2)(x －3a －1)≤0．

若a ≥13，则B ＝[2，3a ＋1]；若a <13，则B ＝[3a ＋1，2]．

由A ?B 得{ a ≥13， 2≤2a ， a 2＋1≤3a ＋1或{ a <13，

3a ＋1≤2a ，a 2＋1≤2，

解得1≤a ≤3或a ＝－1． 所以，a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3．

1.1.23 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋(a －1)＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0，x ∈R}，若B ?A ，C ?A ，求实数a ，b 应满足的条件．

解析 集合A ＝{1，2}，而x 2－ax ＋(a －1)＝0即为(x －1)(x －a ＋1)＝0，若a －1＝1，即a ＝2，则B ＝{1}满足；若a －1≠1，即a ≠2，则B ＝{1，a －1}，由B ?A 知a －1＝2，即a ＝3．对于集合C ，由C ?A 知，若C ＝?，则Δ＝(－b )2－8<0，解得－2√2

1.1.24 已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋mx －1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，0≤x ≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A 和B ，求实数m 的取值范围．

解析 由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由{y ＝－x 2＋mx －1，x ＋y ＝3，

得 x 2－(1＋m )x ＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．

若Δ＝(m ＋1)2－16＝0，则m ＝3或m ＝－5，如果m ＝3，解得x ＝2；如果m ＝－5，解得x ＝－2?[0，3]，于是m ＝－5舍去．

若Δ>0，则记f (x )＝x 2－(1＋m )x ＋4，此时，只需f (3)<0，即9－3(m ＋1)＋4<0，解得m >103．

所以，m 的取值范围是m >103或m ＝3．

1.1.25 设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，S 1，S 2，…，S k 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i ＝{a i ，b i }，S j ＝{a j ，b j }(i ≠j ，i ，j ∈{1，2，3，…，k })，都有

min {a i b i ，b i a i }≠min {a j b j ，b j

a j

}(min{x ，y }表示两个数x ，y 中的较小者)，则k 的最大值是( )． (A) 10 (B) 11

(C) 12 (D) 13

解析 集合M 的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计15

个，其中，不同min {a i b i ，b i a i } (i ＝1，2，…，15)有12，13，14，15，16，23，25，34，35

，45，56共11个，所以，答案为B ．

1.1.26 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b

∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b √2|a ，b ∈Q}也是数域．有下列命题：

① 整数集是数域； ② 若有理数集Q ?M ，则数集M 必为数域；

③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域．

其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号填上)．

解析 因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题①不正确；当集合M ＝Q ∪{√2}时，由于1∈Q ，而1√2?M ，故命题②不正确；由数域P 的定义知，必有b b ＝1∈P ，从而2∈P ，则3∈P ，…，所以，整数集Z ?P ，故数域P 中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F ＝{a ＋b √2|a ，b ∈Q}是数域，则将其中的√2换成√3，√5，…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确．

所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④．

1.1.27 非空集合G 关于运算⊕满足：(1) 对任意a ，b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；(2) 存在e ∈G ，使得对一切a ∈G ，都有a ⊕e ＝e ⊕a ＝a ，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：

① G ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；

② G ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；

③ G ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；

④ G ＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法；

⑤ G ＝{虚数}，⊕为复数的乘法．

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号)．

解析 对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e ＝0；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e ；对于平面向量集合以及向量的加

法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e ＝0

? ；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e ；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在满足要求的元素e ，所以，集合G 关于运算⊕为“融洽集”的是①和③．

1.1.28 已知集合S ＝{x |x ＝m 2＋n 2，m ，n ∈Z}．求证：若a ，b ∈S ，则ab ∈S ．

解析 由a ，b ∈S 得存在整数p ，q ，r ，s ，使得a ＝p 2＋q 2，b ＝r 2＋s 2，则ab ＝(p 2＋q 2)(r 2＋s 2)＝p 2r 2＋q 2s 2＋p 2s 2＋q 2r 2＝(pr ＋qs )2＋(ps －qr )2，其中pr ＋qs 和ps －qr 都是整数，所以，ab ∈S ．

1.1.29 已知集合A ＝{x |x ＝12a ＋8b ，a ，b ∈Z}，B ＝{y |y ＝20c ＋16d ，c ，d ∈Z}．判断集合A 与集合B 之间存在什么关系，并说明理由．

解析 若y ∈B ，即y ＝20c ＋16d ＝12c ＋8(c ＋2d )，因为c ，d ∈Z ，则有c ＋2d ∈Z ，得y ∈A ，于是B ?A ；若x ∈A ，则x ＝12a ＋8b ＝60a －48a ＋40b －32b ＝20(3a ＋2b )＋16(－3a

－2b)，因为a，b∈Z，则有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A?B．所以，A＝B．

1.1.30若f(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R，A＝{x|x＝f(x)，x∈R}，B＝{x|x＝f[f(x)]，x∈C}．

(1) 写出集合A与B之间的关系，并证明；(2) 当A＝{－1，3}时，用列举法表示集

合B．

解析(1) 任取x∈A，则f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A?B，

但由于x＝f[f(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以A B．

(2) 当A＝{－1，3}时，即方程x2＋ax＋b＝x的两根为－1、3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)×3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此时，集合B中的方程为(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，√3，－√3}．

1.1.31已知A＝{(x，y)|x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|xy＝－10，x，

y∈R}．

(1) 对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义；

(2) 依照(1)中的定义求出A与B的“距离”．

解析(1) 定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此

最小值称为点集A与B的“距离”．

(2) 集合A中的点构成一个圆，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－2，－2)，半径为1，设P(x，y)为曲线xy＝－10上任意一点，则|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)

＋8＝(x＋y)2－2xy＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．

当且仅当{x＋y＋2＝0，

xy＝－10 ，

即{

x＝－1＋√11，

y＝－1－√11

或{

x＝－1－√11，

y＝－1＋√11

时，|PC|

最小值

2＝24，

|PC|最小值＝2√6，所以，A与B的“距离”为2√6－1．

二、集合的运算

1.1.32已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，则A∩?I B＝()．

(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}

(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}

解析?I B＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩?I B＝{a3，a5}，答案为C．

1.1.33若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()．

(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}

解析M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案为B．

1.1.34设A，B，I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各

式中错误的是()．

(A) (?I A)∪B＝I

(B) (?I A)∪(?I B)＝I题1.1.34

(C) A ∩(?I B )＝?

(D) (?I A )∩(?I B )＝(?I B )

解析 集合A ，B ，I 的关系如图所示，可知(?I A )∪(?I B )＝?I A ≠I ，所以，答案为B ．

1.1.35 设全集I ＝{2，3，5}，A ＝{|a －5|，2}，?I A ＝{5}，则a 的值为( )．

(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8 解析 由A ∪?I A ＝I 得|a －5|＝3，所以a ＝2或8，答案为C ．

1.1.36 设集合M ＝{x |a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0}，N ＝{x |a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0}，则方程(a 1x 2＋b 1x ＋c 1)(a 2x 2＋b 2x ＋c 2)＝0的解集是( )．

(A) M ∩N (B) M ∪N (C) N (D) M

解析 由(a 1x 2＋b 1x ＋c 1)(a 2x 2＋b 2x ＋c 2)＝0可得(a 1x 2＋b 1x ＋c 1)＝0或(a 2x 2＋b 2x ＋c 2)＝0，所以，该方程的解集是M ∪N ，答案为B ．

1.1.37 若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P ＝( )．

(A) (1，－1) (B) {x ＝1}∪{y ＝－1}

(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}

解析 由{x ＋y ＝0，x －y ＝2，得{x ＝1， y ＝－1，

所以，M ∩P ＝{(1，－1)}，答案为D ．

1.1.38 满足M ?{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是

( )．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解析 由M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}知a 1、a 2∈M ，a 3?M ，a 4可以在集合M 也可以不在集合M 中，所以，满足要求的集合M 的个数是2个．答案为B ．

1.1.39 若A ，B ，C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )．

(A) A ?C (B) C ?A

(C) A ≠C (D) A ＝?

解析 任取x ∈A ，则x ∈A ∪B ＝B ∩C ，于是，x ∈B ∩C ，则x ∈C ，所以，A ?C ，答案为A ．

1.1.40 已知A ＝{x |x ≤7}，B ＝{x |x <2}，C ＝{x |x >5}，则A ∩B ＝ ；A ∪C ＝ ；A ∩B ∩C ＝ ．

解析 由已知得A ∩B ＝{x |x <2}，A ∪C ＝R ，A ∩B ∩C ＝?．

1.1.41 若集合A ＝{x |－21}，B ＝{x |a ≤x ≤b }满足

A ∪

B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1

解析 在数轴上画出集合A ∪B 和A ∩B 可得a ＝1，b ＝3．

1.1.42 全集U 的子集A 、B 、C 的关系如图所示：其中三个圆分别

表示集合A 、B 、C ，试用集合A 、B 、C 的运算结果表述图中的阴影所

代表的集合： ． 题1.1.41

解析 图中的阴影部分表示集合?U A ∩B ∩C ．

1.1.43 已知a >b >0，全集I ＝R ，集合M ＝{x |b

(A) P ＝M ∩?I N (B) P ＝?I M ∩N

(C) P ＝M ∪N (D) P ＝M ∩N

解析 由a >b >0得b <√ab

轴上可知P ＝ M ∩?I N ，答案为A ．

1.1.44 对于集合A ，B ，C ，“A ∩C ＝B ∩C ”是“A ＝B ”的( )．

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

解析 若A ＝B ，则显然有A ∩C ＝B ∩C ；反之，若C ＝{1}，A ＝{1，2}，B ＝{1，3}，此时A ∩C ＝B ∩C ＝{1}，但A ≠B ，所以，“A ∩C ＝B ∩C ”是“A ＝B ”的必要不充分条件，答案为B ．

1.1.45 设全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合M ＝{(x ，y)|

y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋

1}，那么?I (M ∪N )＝( )．

(A) ? (B) {(2，3)} (C) (2，3) (D) {(x ，y )|y ＝x ＋1}

解析 集合I 表示平面上所有的点，集合M 表示直线y ＝x ＋1上除(2，3)外的所有点，集合N 表示不在直线y ＝x ＋1上的所有点，所以M ∪N 表示平面上除(2，3)外的所有点，所以，?I (M ∪N )是集合{(2，3)}，答案为B ．

1.1.46 若全集I ＝R ，f (x )，g (x )都是定义域为R 的函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，

则不等式组{f (x )<0，g (x )<0

的解集用P ，Q 表示为 ． 解析 由已知可得不等式g (x )<0的解集是?I Q ，所以，不等式组的解集是P ∩?I Q ．

1.1.47 设P 表示△ABC 所在平面上的点，则集合{P |PA ＝PB }∩{P |PB ＝PC }＝ ． 解析 由已知得点P 到△ABC 三顶点等距，所以，{P |PA ＝PB }∩{P |PB ＝PC }＝{△ABC 的外心}．

1.1.48 集合A ＝{(x ，y )|ax ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋ay ＝1}，C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，分别求使得集合(A ∪B )∩C 为含有两个元素和三个元素的集合的a 的值．

解析 集合A 、B 分别表示过定点(0，1)和(1，0)的两条直线，集合C 表示单位圆，且(0，1)，(1，0)∈C ，若(A ∪B )∩C 含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得a ＝1或a ＝0．若(A ∪B )∩C 含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线

题1.1.42 题1.1.43

的交点是(11＋a ，11＋a )，则(11＋a )2＋(11＋a )2

＝1，所以，a ＝－1±√2．

1.1.49 若集合A 是一个有限集，我们以f (A )表示该集合中元素的个数．例如：f (?)＝0，f ({a })＝1等等．

(1) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，若集合N ＝{(x ，y )|y ＝b }，其中b 是实常数，求f (M ∩N )的值；

(2) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈Z}，若集合P ＝{(x ，y )|y ＝x ＋p }，其中p 是实常数，如果存在整数k 使得(k ，k 2)∈M ∩P ，求证：f (M ∩P )＝2．

解析 (1) 若b <0，则f (M ∩N )＝0；若b ＝0，则f (M ∩N )＝1；若b >0，则f (M ∩N )＝2．

(2) 由已知可得关于x 的方程x 2＝x ＋p 有一个根是k ，则k 2＝k ＋p ，即p ＝k 2－k ，于是，方程x 2＝x ＋p 即为x 2－x －(k －1)k ＝0，即(x －k )(x ＋k －1)＝0，解得x ＝k 或x ＝1－k ，所以，M ∩P ＝{(k ，k 2)，(1－k ，(1－k )2)}，由k 是整数得k ≠1－k ，则f (M ∩N )＝2．

1.1.50 设全集为R ，A ＝{x |x 2－5x －6>0}，B ＝{x ‖x －5|

( )．

(A) ?R A ∪B ＝R (B) A ∪?R B ＝R

(C) ?R A ∪?R B ＝R (D) A ∪B ＝R

解析 集合A ＝{x |x >6或x <－1}，由11∈B 得|11－5|6，集合B ＝(5－a ，5＋a )，此时5－a <－1，5＋a >6，所以，A ∪B ＝R ，答案为D ．

1.1.51 已知P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则P ∩Q ＝( )．

(A) {(0，1)，(1，0)} (B) {0，1}

(C) {1，2} (D) {y |y ≥1}

解析 集合P ，Q 分别是函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋1的值域，于是P ＝[1，＋∞)，Q ＝R ，所以P ∩Q ＝[1，＋∞)，答案为D ．

1.1.52 设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的“差集”为A

－B ＝{x |x ∈A ，且x ?B }，则A －(A －B )＝( )．

(A) B (B) A ∩B (C) A ∪B (D) A

解析 由“差集”的定义可知集合A –B 如图中阴影部分所示，

所以，A －(A －B )＝A ∩B ，答案为B ．

1.1.53 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(?U A )∪(?U B )中有n

个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )．

(A) mn (B) m ＋n (C) n －m (D) m －n

解析 由文氏图可得A ∩B 的元素个数为m －n ，答案为D ．

1.1.54 设全集U ＝N *，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，则?U (A ∪

B )＝( )．

(A) {x |x ＝6n ，n ∈N *} (B) {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}

(C) {x |x ＝6n ±2，n ∈N *} (D) {x |x ＝6n ±3，n ∈N *} 题1.1.52

题1.1.53