强对偶性,运筹学中的术语。如果x-是原问题的最优解,y-是对

强对偶性，运筹学中的术语。如果x*是原问题的最优解，y*是对

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强对偶性。强对偶性。运筹学中的术语。如果x*是原问题的最优解。对偶y*是对偶问题的最优解。那么有如下关系：cx*=y*b。

中文名,强对偶性。别称,cx*=y*b。应用学科,运筹学。

定律定义。矩阵形式的线性规划问题的原问题为：。

其对偶问题为：若原问题及其对偶问题均有可行解。则两者均具有最优解。且它们最优解的目标函数值相等：其中X*和Y*是最优解。T上标表示转置。

推导过程。由于原问题和对偶问题均有可行解。

根据弱对偶性的推论。原问题的目

标函数值具有上界。而对偶问题的目标函数值具有下界。因此不可能具有无界解的情况。而且“可行解”的前提也保证了没有无解的情况。所以两者都一定具有最优解。既然原问题有最优解。初始单纯形表进过若干步迭代变成最终单纯形表后。对偶其非基变量的检验数均小于等于0：。将上式变形。T≥CT。ATT≥CT。将此式与对偶问题的约束条件ATY≥CT做比较。

可以看出初始基变量Xs的检验数-CBB-1的相反数。若原问题是极小化问题Xs的检验数即为CBB-1。恰好是其对偶问题的一个可行解Y=T。由此可知。原问题有最优解时。其对偶问题有可行解使得对偶问题的可行解的目标函数值w等于原问题最优目标函数值z。w=YTb=CBB-1b=z存在两者的可行解。使得原问题和对偶问题的的目标函数值相等。由对偶问题的最优性。这时令两者的目标函数值相等的可行解均为最优解。即此时原问题和对偶问题它们最优

解下的目标函数值相等。

适用范围。无论原问题是极大化问题和极小化问题均适用。

定律定义推导过程

由于原问题和对偶问题均有可行解，根据弱对偶性的推论，原问题的目标函数值具有上界，而对偶问题的目标函数值具有下界，因此不可能具有无界解的情况，而且“可行解”的前提也保证了没有无解的情况，所以两者都一定具有最优解。

将上式变形，T≥CT，ATT≥CT，将此式与对偶问题的约束条件ATY≥CT做比较，可以看出初始基变量Xs的检验数-CBB-1的相反数，若原问题是极小化问题Xs的检验数即为CBB-1，恰好是其对偶问题的一个可行解Y=(CBB-1)T。由此可知，原问题有最优解时，其对偶问题有可行解使得对偶问题的可行解的目标函数值w等于原问题最优目标函数值z，w=YTb=CBB-1b=z

存在两者的可行解，使得原问题和

对偶问题的的目标函数值相等，由对偶问题的最优性，这时令两者的目标函数值相等的可行解均为最优解，即此时原问题和对偶问题它们最优解下的目标函数值相等。

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