2020年甘肃高考文科数学试题及答案
2020年甘肃高考文科数学试题及答案注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}2．（1–i）4=A．–4 B．4C．–4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5 B．8 C．10 D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b6．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a = A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –17．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A ．2B ．3C ．4D ．58．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y -3=0的距离为 A 5B 25C 35D 459．设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222 x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3210．设函数f (x )=x3－31x，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11．已知△ABC 93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 A 3B ．32C ．1D 3 12．若2x－2y<3−x－3−y，则A ．ln(y -x +1)>0B ．ln(y -x +1)<0C ．ln ∣x -y ∣>0D ．ln ∣x -y ∣<0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1=–2，a 2+a 6=2，则S 10=__________．15．若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．16．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ； （2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 18． (12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；（2）求样本(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，2=1.414．19．(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 20．（12分）如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积． 21．（12分）已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )=|x -a 2|+|x -2a +1|．（1）当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集； （2）若f (x )≥4，求a 的取值范围．参考答案1．D 2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．B9．B10．A 11．C 12．A13．1914．25 15．8 16．①③④17．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 18．解：（1）由己知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12 000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20))0.943iix y r x y --===≈∑（（．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c +=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ． 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ⋂平面EB 1C 1F = PN ， 故AO ∥PN ，又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN =AO =6，AP = ON =13AM =3，PM =23AM =23，EF =13BC =2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离． 作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN =3．底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯=所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．21．解：设h (x )=f (x )−2x −c ，则h (x )=2ln x −2x +1−c ，其定义域为(0，+∞)，2()2h x x'=-. （1）当0<x <1时，h '(x )>0；当x >1时，h '(x )<0.所以h (x )在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x =1时，h (x )取得最大值，最大值为h (1)=−1−c . 故当且仅当−1−c ≤0，即c ≥−1时，f (x )≤2x +c . 所以c 的取值范围为[−1，+∞). （2）()()2(ln ln )()f x f a x a g x x a x a--==--，x ∈(0，a )∪(a ，+∞).222(ln ln )2(1ln )()()()x a a aa x x x x g x x a x a -+--+'==-- 取c =−1得h (x )=2ln x −2x +2，h (1)=0，则由（1）知，当x ≠1时，h (x )<0，即 1−x +ln x <0.故当x ∈(0，a )∪(a ，+∞)时，1ln 0a ax x-+<，从而()0g x '<. 所以()g x 在区间(0，a )，(a ，+∞)单调递减. 22．解：（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=． 故2C 的普通方程为224x y -=．（2）由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22． 设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得220059()24x x =-+，解得01710x =． 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 23．解：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或．（2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a ≥3或a ≤-1时，()4f x ≥． 所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．。
精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)(原卷版)
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： K 2 =
n(ad − bc)2
，
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.如图， 长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 E ，F 分别在棱 DD1 ，BB1 上，且 2DE = ED1 ，BF = 2FB1 ．证
A 60
B. 63
C. 66
D. 69
5.已知
sin
+
sin
+
π 3
=1
，则
sin
+
π 6
=
（
）
1 A.
2
B. 3 3
2
C.
3
D. 2 2
6.在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 直线
7.设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线 C： y2 = 2 px( p 0) 交于 D ， E 两点，若 OD ⊥ OE ，则 C 的
23.设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ．
x 1,
14.设双曲线 C： x2 a2
−
y2 b2
2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(文科)(含解析)
2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3}，B ={x|2x 2−9x +9≤0}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1，2}2.1i=( )A. −1B. −iC. 1D. i3. 已知F 是抛物线C ：y =2x 2的焦点，点P(x,y)在抛物线C 上，且x =1，则|PF|=( )A. 98B. 32C. 178D. 524. 根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是( )A. 自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B. 自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5％上下波动C. 从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D. 可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大5. 已知等比数列的前n 项和S n =4n +a ，则a 的值等于( )A. −4B. −1C. 0D. 16. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 的中点，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗7. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5=8，则S 7=( )A. 28B. 32C. 56D. 249. 已知函数f(x)=sin(x +φ)(−π<φ<0)图像的一条对称轴是直线x =π4，则φ=( )A. −π4B. −π2C. −3π4D. −π810. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=2x ，那么f(log 23)的值为( )A. 13B. −3C. 3D. −1311. 四面体ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若CD =2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12. 函数f (x )=e x −e 1−x −b|2x −1|在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A. (−√e,1−√e)⋃(√e −1,√e)B. (1−e,0)⋃(0,e −1)C. (1−√e,0)⋃(0,√e −1)D. (1−e,−√e)⋃(√e,e −1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设函数，若f(a)=−1，则a =______．14. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z =3x +y 的最小值为______．15. 口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a,b.在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，则甲、乙两人成为“好朋友”的概率为_________． 16. 双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左焦点为F(−√5,0)，点A 坐标为(0,2)，点P 为双曲线右支上的动点，且△APF 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：已知先从所有实验动物中任取一只，取得“未注射疫苗”动物的概率为35．(I)求2×2列表中的数据x，y，A，B的值；(II)根据上述数据能得到什么结论？附：公式及数据x2=112212n21)2n1+n2+n+1n+218.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=√2，cosC=34．(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AB=√2，B1C=1，B1C⊥平面ABC．(1)证明：AC⊥平面BCC1B1；(2)求点C到平面ABB1A1的距离．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，且经过点M(√2,1)．(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．21.设x>−1，试比较ln(1+x)与x的大小；22. 已知曲线C 的参数方程为{x =√t −√ty =3(t +1t ),(t 为参数，t >0).求曲线C 的普通方程．23. 已知函数f(x)==|x −1|+|x −a|+|x −3|．(1)当a =1时，求不等式f(x)<4的解集； (2)当a =2时，求函数f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|32≤x≤3}；∴A∩B={2,3}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算法则，利用复数的运算法则即可得出，属于基础题．解：1i =−i−i⋅i=−i．故选B．3.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．解：由y=2x2，得x2=y2，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178．故选：C．4.答案：D解析：本道试题主要是考查了柱形图和折线图在统计图中的应用.利用柱形图和折线图中的相关数据，逐个判断选项的正确性即可．解：通过观察柱形图不难发现，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势； 自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5％上下波动；从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，所以A ，B ，C 是正确的， 但是应用统计图进行预测不一定准确，所以D 是错误的． 故选D ．5.答案：B解析：解：∵等比数列的前n 项和S n =4n +a ， ∴a 1= S 1=4+a ，a 2=S 2−S 1=(16+a)−(4+a)=12， a 3=S 3−S 2=(64+a)−(16+a)=48， ∴122=48(4+a)， 解得a =−1． 故选：B ．由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，利用S n =4n +a ，能求出a 1，a 2，a 3，再由等比数列的性质能求出a 的值．本题考查公式由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的应用和等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6.答案：B解析：由平面向量基本定理及共线向量的运算得：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．解：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选 B ．7.答案：C解析：本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．解：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形可以画出五边形但不是正五边形；故选：C．8.答案：A解析：解：由a3+a7=8，即S7=7(a1+a7)2=28，a5=8，得a1+故选：A．利用等差数列的性质、求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查正弦函数的图象及性质的运用，属于基础题．根据三角函数的性质可知时f(x)取得最值，即可求出φ解：∵直线x=π4是函数f(x)图像的对称轴，∴sin(π4+φ)=±1，∴π4+φ=kπ+π2，k∈Z.又−π<φ<0，∴φ=−3π4．故选C．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)
q 2 a1 1
，
所以 an
a1qn1
2n1, Sn
a1(1 qn ) 1 q
1 2n 1 2
2n
1，
因此
Sn an
2n 1 2n1
2
21n
.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 n 项和公式的应用，考查了数
学运算能力. 7.执行右面的程序框图，若输入的 k=0，a=0，则输出的 k 为（ ）
( ) ( ) 所以函数
f
x
x3
1 x3
在
0, +¥
上单调递增，在 -¥ , 0 上单调递增．
故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
11.已知△ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π，则 O 到
4
平面 ABC 的距离为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值，模拟程序的运行过程，分析
循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程
k 0, a 0 第 1 次循环， a 2 0 1 1 , k 0 1 1， 2 10 为否 第 2 次循环， a 211 3 , k 11 2 ， 3 10 为否 第 3 次循环， a 23 1 7 , k 2 1 3 ， 7 10 为否 第 4 次循环， a 2 7 1 15 , k 3 1 4 ，15 10 为是
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（5分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C ．D．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx 6．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx +）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A．17B．19C．21D．2310．（5分）设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．3211．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A ．B．3C ．D．212．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC ＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年高考文科数学试卷全国Ⅰ卷(含答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x^2-3x-4<0\}$，$B=\{-4,1,3,5\}$，则$A$ 为A。
$ \{-4,1\}$B。
$\{1,5\}$C。
$\{3,5\}$D。
$\{1,3\}$2.若 $z=1+2i+i^3$，则 $|z|$ 等于A。
$1$B。
$2$___$D。
$3$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\dfrac{1}{2}$C。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$D。
$\dfrac{5+\sqrt{10}}{2}$4.设 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，在 $O$，$A$，$B$，$C$，$D$ 中任取 $3$ 点，则取到的 $3$ 点共线的概率为A。
$\dfrac{1}{5}$B。
$\dfrac{2}{5}$C。
$\dfrac{4}{5}$D。
$1$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\dots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题-含答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}13|{},1|{2<=≤=xx B x x A ，则=)(B C A R YA ．}0|{<x xB ．}10|{≤≤x xC ．}01|{<≤-x xD ．}1|{-≥x x 2．若复数z 与其共轭复数z 满足i z z 312+=-，则=||z A ．2B ．3C ．2D ．53．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则其渐近线方程为A ．2x+y=0B ．20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 4．在区间(0,4]内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立’为真命题”的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．345．若向量)2,1(+=x a 与)1,1(-=b 平行，则|2+|=a b r rAB C ．D 6．F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．4B ．92 C ．72D ．3 7．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是A ．若α⊥⊥m n m ,，则α//nB ．若αα⊄n m n m ,//,//，则α//nC ．若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥D ．若βαα//,//m ，则β//m 或β⊂m8．已知函数y =f (x )的部分图像如图，则f (x )的解析式可能是 A ．()tan f x x x =+B ．()2sin f x x x =+C ．()sin f x x x =-D ．1()cos 2f x x x =-9．已知函数41()2x xf x -=，0.30.30.3(2),(0.2),(log 2)a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。
甘肃高考文科数学试题及答案解析.docx
普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=
A．（-1，+∞）
B．（-∞，2）
C．（-1，2）
2.设z=i（2+i），则z=
A．1+2i
B．-1+2i
C．1-2i
D．-1-2i
3.已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=
A．√2
B．2
C．5√2
D．50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．2/3
B．3/5
C．2/3
D．1/5
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙。
甘肃兰州市2020届高考数学(文)诊断试题(含答案)
2020年兰州市高三诊断考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，则A B =I （ ）A. {}0,2,4B. {}2,4C. {}1,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，所以{2,4}A B ⋂=， 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2.已知复数5i22iz =+-，则z =（ ） A. 5 5 C. 1313【答案】B 【解析】 【分析】首先进行除法运算化简z ，再求模即可. 【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-，所以5z =故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.3.已知非零向量a r ，b r 给定:p R λ∃∈，使得λa b =r r，:q a b a b +=+r r r r ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分析各个命题中向量a r ，b r的关系，然后根据充分必要条件的定义确定． 【详解】:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，则a r ，b r共线，:q a b a b +=+r r r r 等价于a r ，b r同向，因此p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα-=，则tan α=（ ）A. 4B. 3C. 4-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和正切公式可求出tan α的值. 【详解】575555512sincos 2sin cos 2sin cos sin 12121212121262ππππππππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭Q ，2221tan 1tan 222tan tan 2tan 22ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，由题意可得21tan 2α=-，因此，tan 4α=-. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.5.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）A.52B.3C.5 D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a =-x 上，得到a ＝2b ，再根据e 22222c a ba a+==解.【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y ba=-x 上， 所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e 222225c a b a a +===， 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.已知集合571113,,,,66666A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A.110 B.25C.35D.310【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-，列举出所有的基本事件，并列举出事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-， 从A 中任选两个角，所有的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、57,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、65611,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、713,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1113,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共10种情况.其中，事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共4个， 因此，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率为42105=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份12345 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误； 对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，∵第一组数据(1,4,1,1)是离群值，去掉后得到的相关系数为2r ，其相关性更强，∴12r r <，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；综上可知正确命题个数是1． 故选：B ．【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题． 8.已知函数()(2ln1f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D.b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】分析出函数()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，利用偶函数的性质可得()1c f =，利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较0.20.2、1、3log 4的大小关系，利用函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】函数()2ln1f x x =+的定义域为R ，且()(()221ln1ln 12f x x x =+=+，()()()()2211ln 1ln 122f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，函数()y f x =为偶函数，()()13log 311c f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，由于函数21u x =+在[)0,+∞上为增函数，函数ln y u =为增函数， 所以，函数()(2ln1f x x =+在[)0,+∞上为增函数，0.203300.20.21log 3log 4<<==<Q ，因此，a c b <<.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A.3 B.22C.3 D.13【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥高和底面的半径相等，且点D 为底面圆周上的一点，∠ABD ＝60，可知D 为¶BE的中点，则以底面中心为原点，分别以OD ，OE ，OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量AB u u u r ，DE u u u r 的坐标，代入公式cos AB u u u r ＜，AB DEDE AB DE⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞求解.【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB.∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ；∴D 为¶BE的中点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设OB ＝1则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB =uu u r （0，﹣1，﹣1），DE =uuu r（﹣1，1，0），∴cos AB u u u r ＜，12AB DE DE AB DE⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π. ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为32. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.10.已知函数()()sin sin cos f x x x x ωωω=+（0>ω），若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的取值范围是（ ）A. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦B. 15,24⎛⎤⎥⎝⎦ C. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦D. 55,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得ω的范围. 【详解】()()1cos 2121sin sin cos sin 2222242x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同交点，即方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根， 由()0,x π∈得2,2444x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以9112444πππωπ<-≤，解得5342ω<≤. 故选：C【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.11.已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR+的最小值为（ ） A. 15+ B. 5 C. 17 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，推导出直线1l 为线段FQ 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得RQ FR =，进而可得出QR MR FR MR +=+，利用F 、R 、M 三点共线可求得QR MR +的最小值. 【详解】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥Q ，则1l 为FQ 的垂直平分线，FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=.故选：D.【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()2xxf x f x x e '-=，()1f e =，则()f x 的最小值为（ ）A. e -B. eC.1eD. 1e-【答案】D 【解析】 【分析】将题干中的等式变形为()()2x xf x f x e x -='，可得出()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并构造函数()()f x F x x=，可得出()x f x e c x=+，进而可得出()xf x xe cx =+，利用()1f e =求得c的值，可得出函数()y f x =的解析式，进而利用导数可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】由()()2xxf x f x x e -='，变形得()()2x xf x f x e x -='，即()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()x f x e c x∴=+（c 为常数），则()xf x xe cx =+，()1f e c e =+=，得0c =. ()x f x xe ∴=，()()1x f x x e ∴=+'，当1x <-时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在1x =-处取得极小值，亦即最小值，则()()min 11f x f e=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，则232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，的定义域，先求232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求232f f log ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】∵函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，且23log 12<，∴232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭232322log ==，∴232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （32）＝23142⨯+=. .故答案为：4.【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量a →，b →满足2b →=，向量a →，b →夹角为120︒，且a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则向量a b →→+=________．6 【解析】 【分析】由垂直得数量积为0，从而得a b ⋅r r，得a r ，然后把模的运算转化为数量积运算即得．【详解】由a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭得2()0a b b a b b +⋅=⋅+=uu r r r r r r ，2a b ⋅=-r r ，即cos1202a b ︒=-r r ，22a =ra b →→+=22222()2(22)2(2)(2)6a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+r r r r r r6．【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系． 15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2222c a b ab =+，8a =，1sin 23A =，则c =_______. 【答案】9 【解析】 【分析】已知由余弦定理即可求得4C π=,由1sin23A =可求得22cos 23A =,即可求得sin A ,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-和2222c a b ab =+-，可得2cos 2C =，得2sin C =，由1sin 23A =，22cos 2A =，42sin 2sin cos 22A A A ∴==sin sin a cA C=，得9c =. 故答案为:9.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝53，AB ＝26，tan54°44′08''2=，则此蜂房的表面积是_____.【答案】2162【解析】【分析】表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD ＝B′D′＝62，再根据∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''2=，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.【详解】如图所示：连接BD ，B ′D ′，则由题意BD ∥B ′D ′，BD ＝B ′D ′＝2， ∵四边形OB ′C ′D ′为菱形，∠B ′C ′D ′＝109°28′16''，tan 54°44′08''2=∴OC ′＝21''25444'08B D tan ⋅=︒"2322=6，B ′C ′＝3， ∴CC ′＝BB ′22''BC BC --=3 ∴S 梯形BB ′CC ′(2653432==2，∴S 表面积＝62⨯316622⨯⨯⨯=2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，18a =-，243a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()*412n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若95n T =，求n 的值. 【答案】（Ⅰ）210n a n =-；（Ⅱ）9n =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，根据题中条件求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求得1121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n T ，然后解方程95n T =，可求得正整数n 的值.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，由18a =-，243a a =，得()8338d d -=-，解得2d =.因此，()11210n a a n d n =+-=-； （Ⅱ）设()()4411212221n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令95n T =，即192115n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，得到9n =.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1==PA AB ，点A 到平面PBC 的距离为3，且直线AC 与PB 垂直.（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥-P EAC 的体积.【答案】（Ⅰ）点E 为PD 中点时，直线PB 与面ACE 平行，理由见解析；（Ⅱ）112. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连接OE ，利用中位线的性质证得//OE PB ，进而可证得//PB 平面ACE ，由此可得出结论；（Ⅱ）推导出AC ⊥平面PAB ，由E 为PD 的中点，可得出12P ACE P ACD V V --=，进而可求得三棱锥-P EAC 的体积.【详解】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与面ACE 平行. 连接BD ，交AC 点O ，则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PBD △的中位线，则//OE PB ，OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以，//PB 平面ACE ；（Ⅱ）根据题意AC PB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则有AC PA ⊥，PA PB P =I ，所以AC ⊥平面PAB ，则AC AB ⊥，设AC x =，2111113112323223P ACB A PBC V V x x --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯，得1AC =， 则11111111223212P EAC P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的判断，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）列联表见解析，有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）根据两幅频率分布直方图完善22⨯列联表，并根据列联表计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C，()0.80.160.360.6P C=++=；（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：()22100303020204 3.84150505050K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计概率，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力，属于基础题.20.已知点F为椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.【答案】（1）22143x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有31a ca c+=⎧⎨-=⎩求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，3），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx3-M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.【详解】（1）由题意可知，31a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得21ac=⎧⎨=⎩，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx 3-由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴221612234M k x k -=+，∴228634Mk x k -=+，21234M k y k -=+， ∴22286123434k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，由2234123x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()2234830k x kx +-=， ∴83N k x =，24333N k y -=， ∴2228343333434k k N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，，∴()221243333433483244332k k k k k k k --+==--+- )()22222212334433348624334kk k k k k k k --++==--+， ∴k 1k 2()2234324433k k k -=--+•)()223443334243k k k -+=--，又∵12c e a ==， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()21123ln 22f x x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）. （Ⅰ）当23a =()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-. 【答案】（Ⅰ）310x y +-=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()223x x af x -+-'=2230x x a -+-=，分>0∆和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出1223x x +=12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+ （Ⅰ）因为23a =()211232322f x x x x =--+，所以()2323f x x x'=-， 那么()11f '=-，()123f =所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()231y x -=--， 即2310x y +-=；（Ⅱ）因为()22323a x x af x x x -+-'=-=2230x x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有133x a =-233x a =-120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在33,33a a --上增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在()0,∞+为减函数. 综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数，在33,33a a --上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数； （Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()2230x x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且1223x x +=120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()2212121212123ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++ 若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>， 构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->， 所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =， 且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立， 即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-（1）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（16（2）121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C 1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r ，d ”法求弦长.（2）将曲线C 2的直角坐标方程转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π），由A （1，0），B （0，1），P （2cosθ，2sinθ），得到AB u u u r，AP u u u r的坐标，再利用数量积公式得到AB AP ⋅u u u r u u u r 2214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后用正弦函数的性质求解.【详解】（1）直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数，得直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，因为曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以222sin cos ρραρα=-所以直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0， 标准式方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2， 所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d 222== 所以弦长|MN |＝222(2)()62-=（2）因为曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-所以x 2+y 2＝40y ≥，转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π）.因为A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cosθ，2sinθ），所以()11AB =-u u u r ，，()212AP cos sin θθ=-u u u r，，（0≤θ≤π）， 所以AB AP ⋅=u u u r u u u r 122cos sin θθ=-+214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为30,444πππθπθ≤≤-≤-≤所以2124sin πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|﹣|x ﹣2a |+a .（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，（2）[﹣4，0] 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，再分类解不等式f （x ）＞4.（2）根据对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，则f （x ）min ≥g （x ）min ，由（1）知， f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，解不等式2≥|2a +2|+a 即可.【详解】（1）因为()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，， 所以f （x ）＞4即为1314x x ≤-⎧⎨--⎩＞或1134x x -⎧⎨+⎩＜＜＞或1314x x ≥⎧⎨+⎩＞，解得53x -＜或x ＞1，所以不等式的解集为()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，； （2）由（1）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立， 故f （x ）min ≥g （x ）min ， 即2≥|2a +2|+a ，所以2222a a a -≤+≤- 解得﹣4≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[﹣4，0].【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)文科数学+答题卡+答案+全解全析(2020.6.15)
线
封
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
全国名校 2020 年高三 6 月大联考（新课标Ⅰ卷） 文科数学·答题卡
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的左、右焦点，若直线 x
=c
与双曲线
C
的
两条渐近线分别交于点 M，N，且 ∠MF1N = 60° ，则双曲线 C
的离心率为__________．
16．石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，
机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石 材（如图 1）雕刻制作一件工艺品（如图 2），该作品的上方
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂
贴条形码区
缺考 此栏考生禁填
标记
18．（12 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
π 12
个单位长度后所得函数的图象关于原点对称
D．函数
f
(x)
在区间
(π 3
,
5π ) 6
上单调递减
10．设各项均为正数的数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若数列{an } 满足 a1 = 2 ， anan+1 = 4Sn − 2(n ∈ N* ) ， 则
2020年全国统一高考文数考试卷(全国卷Ⅱ)文科数学(附答案解析)
2020年全国统一高考文数考试卷（全国卷Ⅱ）文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=( )AB {–3，–2，2，3）C {–2，0，2}D {–2，2}2．（1–i）4= ( )A.–4B.4C.–4iD.4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )A. 5B . 8C. 10D. 154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A.10名B.18名C.24名D.32名5．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )A.a+2bB.2a+bC.a–2bD.2a–b6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=( )A.2n–1B.2–21–nC.2–2n–1D.21–n–17．执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为( )A.2B.3C.4D.58．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )A.BCD9．设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：=l(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为10．设函数f(x)=x3－，则f(x)(0,+∞)单调递增(0,+∞)单调递减(0,+∞)单调递增(0,+∞)单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为ABD∣x-y∣>0∣x-y∣<013．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。