高中数学第三章三角恒等变形3.2两角和与差的三角函数3.2.2两角和与差的正弦、余弦课件北师大版必修4
所以 cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 33 ＝ －5 ×13－ －5 ×13＝－65， cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 4 12 3 5 63 ＝ －5 ×13＋ －5 ×13＝－65.
给值求值 π 3π 12 3 [例 2] 已知2<β<α< 4 ， cos(α－β)＝13， sin(α＋β)＝－5， 求 cos2α 与 cos2β<β<α< 4 ， π 3π． 所以 0<α－β<4，π<α＋β< 2 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β 122 5 ＝ 1－13 ＝13， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β 32 4 ＝－ 1－ －5 ＝－5.
5．已知
π 12π π cosα－6＝136<α<2，则
cosα＝________.
π 12 π 5 π π 解析：由于 0<α－6<3，cosα－6＝13，所以 sinα－6＝13. π π 所以 cosα＝cosα－6＋6 π π π π ＝cosα－6cos6－sinα－6sin6 12 3 5 1 12 3－5 ＝13× 2 －13×2＝ 26 . 12 3－5 答案： 26
方法归纳 解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题， 一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否 则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式， 化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆 用或变用公式．
3 ．设 7 A.5
π α∈0，2，若
π 3 sinα＝5，则 2cosα＋4＝(
)
1 B.5 1 D．－5
7 C．－5
π 4 解析：易得 cosα＝5，则 2cos α＋4 π π 1 ＝ 2cosαcos4－sinαsin4＝5. 答案：B
4．在△ABC 中，C＝90° ，AC＝3，BC＝4，则 sin(A－B)的值 是( ) 7 7 A.25 B．－25 C．1 D．－1
解析：在 Rt△ABC 中，AC＝3， BC＝4， 所以 AB＝5， 所以 sinA 4 3 ＝cosB＝5，cosA＝sinB＝5，所以 sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB 4 4 3 3 7 ＝5×5－5×5＝25. 答案：A
2．(2015· 高考全国卷Ⅰ)sin20° cos10° －cos160° sin10° ＝( 3 3 A．－ 2 B. 2 1 1 C．－2 D.2
)
解 析 ： sin20° cos10° － cos160° sin10° ＝ sin20° cos10° ＋ 1 cos20° sin10° ＝sin(20° ＋10° )＝sin30° ＝2，故选 D. 答案：D
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ ) (2)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sinα－sinβ 成立．( √ ) (3)对于任意 α、β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 都不成立．( × ) (4)sin54° cos24° －sin36° sin24° ＝sin30° .( √ )
跟踪训练 1 求下列各式的值． (1)sin347° cos148° ＋sin77° cos58° ； π π (2) 3sin12＋cos12.
解 析 ： (1) 原 式 ＝ sin(360° － 13° )· cos(180° － 32° ) ＋ sin(90° － 13° )cos(90° －32° ) ＝sin13° cos32° ＋cos13° sin32° ＝sin(13° ＋32° ) 2 ＝sin45° ＝2. 3 π 1 π (2)原式＝2 sin ＋ cos 12 2 12 2 π π π π ＝2sin12cos6＋sin6cos12 π π π ＝2sin 12＋6 ＝2sin4＝ 2.
3.2.2 两角和与差的正弦、余弦
【课标要求】 1.理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式 在推导 S(α－β)中的作用. 2.掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ， 简记为 C(α＋β)， 使用的条件为 α， β 为任意角． 2．两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋ α，β∈R 两角和的正弦 S(α＋β) cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－ α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) cosαsinβ
课堂探究 互动讲练 类型一 给角求值 cos31° ＋cos91° [例 1] 求值：(1)cos105° ； (2) . sin29° 【思路点拨】 (1)cos105° ＝cos(60° ＋45° )，利用 cos(α－β)公 式求值．
【解】 (1)cos105° ＝cos(60° ＋45° ) ＝cos60° cos45° －sin60° sin45° 2－ 6 1 2 3 2 ＝2× 2 － 2 × 2 ＝ 4 . cos31° ＋cos91° cos31° ＋cos60° ＋31° (2) ＝ sin29° sin29° 3 3 － 2 sin31° cos31° ＋cos60° cos31° －sin60° sin31° 2cos31° ＝ ＝ sin29° sin29° －31° 3sin 60° ＝ ＝ 3. sin29°
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角
3.2.3 两角和与差的正切函数两角和与差的正切公式(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝__________________(T α＋β) (2)两角差的正切：tan(α－β)＝__________________(T α－β)公式T α±β的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即tan(α±β)，右侧是分式，分子是tan α与tan β的和或差，分母是1与tan αtan β的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”．预习交流1在公式T α±β中，α，β的使用范围是什么？ 预习交流2两角和与差的正切公式的变形有哪些？ 预习交流3(1)若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )．A ．－3B ．－13C ．3D.13 (2)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α＝( )． A ．－2 B ．－12 C.12D ．2(3)tan 41°＋tan 19°1－tan 41°tan 19°＝__________. (4)1－tan 75°1＋tan 75°＝__________.答案：(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β预习交流1：提示：从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )，例如tan 3π4，tan π4都有意义，但tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4无意义．预习交流2：提示：两角和与差的正切公式的常见变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan(α＋β)；(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β).这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tan α±tan β和tan αtan β时，就要有灵活运用公式T α±β的变形形式的意识．预习交流3：(1)D (2)B (3) 3 (4)－331．公式的直接应用已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．思路分析：首先利用诱导公式求出sin θ，再求出cos θ，进而求出tan θ，最后利用T α－β求解．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．求tan(α－β)，tan(α＋β)的值．对于这类给值求值题，解答的关键在于先用公式T α±β分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知进行转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时可拆分角．2．公式的逆用与变形用求值：(1)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°； (2)3－tan 15°1＋3tan 15°；(3)已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 思路分析：注意到10°＋50°＝60°，而tan 60°＝3，故联想到tan(10°＋50°)的展开形式，并变形可解决(1)；在第(2)题中可将3替换为tan 60°，再解答；(3)注意到α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，利用T α－β即可解决．求值：(1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°·tan 37°； (2)tan 105°－1tan 105°＋1.对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用是恒等变换的基本要求，数学的特点是“多想点就少算点”，因此注意观察式子的结构特点并注意特殊值的代换、角的变换等技巧可使运算简捷．例如，“1＝tan 45°，3＝tan 60°”等．3．利用公式求角已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．思路分析：先利用角的变换α＝(α－β)＋β可以直接利用公式求出tan α的值．再根据求出的tan α的值，再次变换角2α－β＝α＋(α－β)，然后求值，定范围找角．角α，β(0＜α＜β＜π)的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，－255.试求： (1)tan(α－β)； (2)α－2β.求角问题中应特别关注的问题：(1)角的变换前面学习S α±β，C α±β的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式T α±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法．(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数． (3)角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此，角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素．4．公式的综合应用在△ABC 中，已知tan A 与tan B 是方程2x 2＋9x －13＝0的两个根，求tan C 的值． 思路分析：先利用三角形的内角和将角C 用角A 和角B 表示出来，tan C ＝tan(π－A －B )＝－tan(A ＋B )，然后用韦达定理求tan A ＋tan B ，tan A tan B ，最后求tan C .已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．公式T α＋β与一元二次方程的联系：在两角和的正切公式T α＋β中，有tan α＋tan β和tan αtan β这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点．因此tan α、tan β可以看作一元二次方程的根，这样tan α＋tan β、tan αtan β、tan α－tan β就可以互相表示，进而可以利用它们求tan(α±β)．答案：活动与探究1：解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.迁移与应用：解：∵β∈(0，π)，cos β＝55， ∴sin β＝1－cos 2β＝255.∴tan β＝sin βcos β＝2.∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝－7.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1.活动与探究2：解：(1)∵tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°＝3，∴tan 10°＋tan 50°＝3－3tan 10°tan 50°. ∴tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.(2)3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15° ＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.迁移与应用：解：(1)∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－t an 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°. ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.(2)原式＝tan 105°－tan 45°1＋tan 105°tan 45°＝tan(105°－45°)＝tan 60°＝ 3.活动与探究3：解：因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13.tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan(α－β)＋tan α1－tan(α－β)tan α＝12＋131－12×13＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)．又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.迁移与应用：解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，0＜α＜π2＜β＜π，cos α＝210，cos β＝－255. 因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝－12.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α－2β)＝tan[(α－β)－β]＝－3＋121＋(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.又0＜α＜π2，π2＜β＜π，∴－2π＜α－2β＜－π2，得α－2β＝－5π4.活动与探究4：解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝－92，tan A ·tan B ＝－132，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－－921＋132＝915＝35.迁移与应用：解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，∴⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.①②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33－3＝ 3.又由①②可知tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 从而α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.1．tan(－165°)的值是( )．A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．－2＋ 3D ．－2－ 32．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )． A.17B ．7C ．－17D ．－73．(2012·吉林实验中学高三模拟，3)sin 15°＋cos 15°sin 15°－cos 15°的值是( )．A.33B.2＋64C.2－64D ．－ 34．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．35．在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan C 的值．答案：1．B 解析：原式＝tan(－180°＋15°) ＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3. 2．A 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.3．D 解析：原式＝tan 15°＋1tan 15°－1＝－1＋tan 15°1－tan 15°＝－tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝－tan(15°＋45°)＝－tan 60°＝－ 3.4．A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A.5．解：∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.∴tan A ＝34.tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－34＋21－34×2＝112.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）课后集训基础达标1.已知α、β为锐角，且cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，那么cos α的值是（ ）A.6556B.-6556C.259D.-259解析：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，π23）.又cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，∴sin （α+β）=135，sin （2α+β）=54，cos α=cos ［（2α+β）-（α+β）］=cos （2α+β）cos （α+β）+sin （2α+β）sin （α+β）=1312×53+135×54=6556.∴选A. 答案：A 2.当-2π≤x≤2π时，函数f （x ）=sinx+3cosx 的（ ） A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-21C.最大值是2，最小值是-21D.最大值是2，最小值是-1 解析：f （x ）=sinx+3cosx=2（21sinx+23cosx ）=2sin （x+3π）. ∵-2π≤x≤2π，∴-6π≤x+3π≤65π.从而-1≤2sin（x+3π）≤2.∴选D. 答案：D3.若（4tan α+1）（1-4tan β）=17，tan αtan β≠-1,则tan （α-β）的值为（ ） A.41 B.21C.4D.12 解析：∵（4tan α+1）（1-4tan β）=17， tan αtan β≠-1，∴4tan α-4tan β=16+16tan αtan β. ∴βαβαtan tan 1tan tan +-=4=tan （α-β）.∴选C. 答案：C4.在△ABC 中，若2cosB·sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：sinC=sin ［π-（A+B ）］=sin （A+B ）， ∴2cosB·sinA=sin（A+B ）. ∴可得sinAcosB-cosAsinB=0， 即sin （A-B ）=0，A=B.∴三角形为等腰三角形，故选答案C. 答案：C5.sin15°sin75°的值是_________________. 解析：原式=sin （45°-30°）sin （45°+30°） =（sin45°cos30°-cos45°sin30°）（sin45°cos30°+cos45°sin30°） =（4246-）×（4246+）=41. 答案：416.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为_________________.解析：原式=.1cos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin =⨯=︒+︒-︒+︒ααααααα答案：1综合运用7.a=sin12°+cos12°与b=2sin56°的大小关系是（ ）A.a=bB.a ＜bC.a ＞bD.a≤b 解析：化简a=2sin （12°+45°）=2sin57°，∴a＞b. 答案：C8.在△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 等于（ ）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516-解析：cosC=cos ［π-（A+B ）］=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB.因为cosA=135，所以A 必为锐角，所以sinA=1312.因为sinB=53，若B 为钝角，则π43＜B ＜π65，3π＜A ＜2π，所以13[]12π＜A+B ＜34π，所以B 不可能为钝角，故B 必为锐角.所以cosB=54，则cosC=-135·54+1312·53=6516. 答案：A9.如下图，△ABC 中，∠BAC=45°，BC 边上的高AD 将BC 分成2 cm 和3 cm 两段，求△ABC 的面积.解：设∠BAD=α，∠CAD=β，AD=x.在Rt△ADB 中，tan α=x AD BD2=. 在Rt△ADC 中，tan β=x ADDC3=. tan45°=,132132tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+xx x x βαβα 即652-x x =1. 解这个方程，得x=6或x=-1（舍）， 故S △ABC =21×5×6=15（cm 2）. 拓展探究10.（探究题）是否存在锐角α、β，使α+2β=π32①，tan 2α·tan β=（2-3）②同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角α，β，则由①式得tan （2α+β）=3tan 2tan1tan 2tan=∙-+βαβα③.将②式代入③得tan2α+tan β=3-3.所以tan 2α，tan β是方程x 2-（3-3）x+（2-3）=0的两个根.解得x 1=1，x 2=2-3.又0＜2α＜4π，所以tan 2α≠1.所以tan 2α=2-3，tan β=1，tan α=tan （2α+2α）·.33)32(1)32(22tan12tan222=---⨯=-αα 所以α=6π，β=4π.所以存在α=6π，β=4π使①②式同时成立.备选习题11.已知tan α、tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两个根，α，β∈（-2π，2π），求α+β.解：易知tan （α+β）=3，∵α，β∈（-2π，2π）， 又∵tan α+tan β=-33＜0，tan α·tan β=4＞0，∴tan α＜0，tan β＜0. ∴α∈（-2π，0），β∈（-2π，0）. ∴α+β∈（-π，0）. ∴α+β=-π32. 12.已知sin （2α+β）+2sin β=0，求证： tan α=3tan （α+β）. 证明：由条件得：sin ［（α+β）+α］+2sin ［（α+β）-α］=0， ∴sin （α+β）·cos α+cos （α+β）·sin α+2sin （α+β）·cos α-2cos （α+β）·sin α=0. ∴sin α·cos（α+β）=3cos α·sin（α+β）. ∴)cos()sin(3cos sin βαβααα++=. 即：tan α=3tan （α+β）.13.求证：tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan（α-β）tan2β. 证明：由角之间的关系观察到2β=（α+β）-（α-β），所证等式可由tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］变形而得到. ∵tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］ =,)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-++--+∴tan2β［1+tan （α+β）·tan（α-β）］=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan2β+tan （α+β）tan （α-β）tan2β=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan（α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan（α-β）tan2β.14.tan α，tan β是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan （α+β）的取值范围.解析：因为tan α、tan β是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有Δ=（2a+1）2-4a（a+2）≥0且a≠0.解得a≤41且a≠0, ∴a 的取值范围是（-∞，0）∪（0，41］.由根与系数关系知tan α+tan β=a a 12+，tan α·tan β=a a 2+.于是tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=,212122112--=-+=+-+a a aa a a 由于-a-21≥-41-21=43-.且-a-21≠-21，∴tan（α+β）的取值范围是［43-，-21）∪（-21，+∞）. 15.已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+的值.解：∵sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=21， sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β=31， ∴两式相加得sin αcos β=125，两式相减得cos αsin β=121. ∴βαβαsin cos cos sin =5，即βαtan tan =5.∴)tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(22βαββαβαβαβαββαβα+-+-+=+--+βαββαtan tan tan tan tan 2===5.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数北师大版4讲解
1.2.3 两角和与差的正切函数整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.推进新课新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?③分析观察公式Tα-β、Tα+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cos αcos β即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cos αcos β等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cos αcos β讨论如下:当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子分母同除以cos αcos β,得tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”.tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠2π+k π(k∈Z ),β≠2π+k π(k∈Z ),α±β≠2π+k π(k∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tan α,tan β都有意义.教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sin α、sin β、cos α、cos β→tan α、tan β.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tan α、tan β、tan(α±β)都有意义,且1±tan αtan β≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β),在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tan α,tan β或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T α±β处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理.讨论结果:①—④略.应用示例例1 已知tan α=2,tan β=-31,其中0＜α＜2π,2π＜β＜π. (1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.解:(1)因为已知tan α=2,tan β=-31, 所以tan(α-β)=321312tan tan 1tan tan -+=∙+-βαβα=7. (2)因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=321312+-=1, 又因为0＜α＜2π,2π＜β＜π,所以2π＜α+β＜43π. 在2π与43π之间,只有45π的正切值等于1,所以α+β=45π. 例2 计算15tan 115tan 1+-的值. 活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与T α-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为15tan 45tan 115tan 45tan +-,再逆用公式T α-β即可解得. 解:因为tan45°=1,所以 15tan 115tan 1+-=15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan(45°-15°)=tan30°=33. 点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1.不查表求tan105°的值.解:tan105°=tan(60°+45°) =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+ . 2.不查表,计算:(1)tan22°+tan23°+tan22°tan23°;(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°ta n30°.解:(1)原式=tan(22°+23°)²(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=tan45°²(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=1.(2)原式=tan17°tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan60°(1-tan17°tan43°)=1.例3 若tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,求tan(α+4π)的值. 活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破. 解:因为α+4π=(α+β)-(β-4π),所以tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα. 点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=-43,β∈(π,23π). 求tan(α+β). 解:由cos β=-43,β∈(π,23π),sin α=32,α∈(2π,π),∴sin β=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47, cos α=-35)32(1sin 122-=--=-a ∴tan β=37,tan α=-552. ∴tan(α+β)=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα. 4．(1)已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值.(2)已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求βαtan tan . 活动:对于问题(1),教师可与学生一起观察分析已知条件.通过分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在问题(2)中,我们欲求βαtan tan ,若利用已知条件直接求tan α,tan β的值有一定的困难,但细心观察公式S α+β、S α-β发现,它们都含有sin αcos β和cos αsin β,而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能地让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --, ∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.(2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21.① sin αcos β-cos αsin β=31.②①+②,得sin αcos β=125, ①-②,得cos αsin β=121, ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5. 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),这个变形式子对我们解题很有用处.而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,解完后留出一定的时间让学生认真总结反思,熟练掌握其变化的思想方法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°) (1+tan23°)］(1+tan45°)=2³2³2³…³2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能训练课本练习1、2、3、4.课堂小结本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.作业1.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tan α,tan β,求tan(α+β)的值.解:由韦达定理,得tan α+tan β=-a b ,tan αtan β=ac , ∴tan(α+β)=a c b c a b a c a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ. 2.课本习题3—1 A 组6,7.设计感想1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.备课资料备用习题1.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tan α与tan β,求tan(α+β)的取值范围.3.求tan70°+tan50°-3tan50°tan70°的值.4.已知sin β=m²sin(2α+β),求证:tan(α+β)=m m-+11tan α.5.化简A B A sin )2sin(+-2cos(A+B).6.已知5sin β=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tan α.参考答案:1.解:(1)∵A、B 、C 是斜△ABC 的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A 、B 、C 都不为2π,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC. ∴B A BA tan tan 1tan tan -+=-tanC,去分母,移项,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. (2)∵2A +2B +2C =2π,∴2A +2B =2π-2C. ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C). ∴2tan 12tan 2tan 12tan 2tan CB ABA=-+.去分母,移项,整理可得 tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A=1.2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0.①由①解得m∈(-∞,0)∪(0,81］. 根据韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++=∙,2112tan tan ,1tan tan m mm m mm βαβα则tan(α+β)=mm m m1121tan tan 1tan tan +--=-+βαβα=2m-1. ∵m∈(-∞,0)∪(0,81］,∴2m -1≤2³81-1=-43,且2m-1≠-1. ∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-43］. 3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3+3tan70°tan50°-3tan50°tan70° =-3.∴原式的值为-3.4.证明:由sin β=ｍsin(2α+β)⇒sin ［(α+β)-α］=ｍsin ［(α+β)+α］⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=ｍ［sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α］⇒(1-ｍ)²sin(α+β)cos α=(1+ｍ)²cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm -+11tan α. 点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β 可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明. 5.解:原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(])sin[(+-+=+-++ AB A A B A sin sin sin ])sin[(=-+= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］, 即5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α.∴2tan(α+β)=3tan α.点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数第2课时学案
3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时 两角和与差的正弦函数1．两角和与差的正弦公式预习交流1根据公式C α±β的识记规律，你能总结出公式S α±β的记忆规律吗？ 2．推导公式 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝______，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝______；cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α.3．辅助角公式通常把a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)写成a sin x ＋b cos x ＝________sin(x ＋θ)的形式，我们把这种形式称为辅助角公式，其中cos θ＝________，sin θ＝________，角θ叫作辅助角．对辅助角公式的认识和理解：(1)a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)中的角x 必须为同一个角，否则不成立．(2)通过化单角(x )为复角(x ＋θ)，达到减少函数名称合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一． 由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f (x )＝3sin x ＋cos x 可以写成f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，还可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.预习交流2已知函数f (x )＝sin x －3cos x . (1)求f (x )的周期与值域； (2)求f (x )的单调递增区间．答案：1．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β预习交流1：提示：对比公式C α±β的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S α±β的记忆规律：“正余余正，和差相同”．2．－cos α －cos α3.a 2＋b 2aa 2＋b2b a 2＋b 2预习交流2：解：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x ·si n π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π，值域为[－2,2]．(2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．1．给角求值化简下列各式：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin π12－3cos π12.思路分析：本题给出了具体的角求值，根据公式的特点，解答(1)可先用诱导公式再用两角和的正弦公式；(2)可直接用辅助角公式化简．求值或化简： (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α；(2)sin 80°·cos 35°－sin 10°·cos 55°；(3)sin π12＋cos π12；(4)sin 37°－sin 45°cos 8°sin 8°.运用公式求值小技巧：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化正、化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．2．给值(式)求值(1)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，求cos α的值．思路分析：(1)观察发现α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，进而可用S α－β求解；(2)将已知条件展开、化简，即得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，再利用角的变换α＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6.(2011·广东高考，文16)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系，具体有以下几种情况：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．如：已知角π4－α的相关三角函数值，那么要求角π4＋α的三角函数值，就可以利用π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α变换得到．(3)角的拆分方法不唯一，要注意根据题目合理选择．3．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为零)研究三角函数的性质若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值．思路分析：本题关键是对f (x )进行合理化简，然后利用三角函数的相关性质，求单调性及最值．1．(1)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最小正周期是__________； (2)函数f (x )＝sin x －cos x 的最小值是__________．2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间．辅助角公式化简的步骤及应用(1)“提”常数即提取a 2＋b 2，使a sin x ＋b cos x 变成a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)“定”θ值 令cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b 2确定辅助角θ的值．(3)用处多利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期、值域、单调性、对称性等很多问题．答案：活动与探究1：解：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3·co s π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 迁移与应用：解：(1)原式＝cos π3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α. (2)原式＝sin 80°·cos 35°－cos 80°·sin 35°＝sin(80°－35°)＝sin 45°＝22.(3)原式＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22sin π12＋22cos π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4 ＝2sin π3＝2×32＝62.(4)原式＝sin(45°－8°)－sin 45°·cos 8°sin 8°＝sin 45°·cos 8°－cos 45°·sin 8°－sin 45°·cos 8°sin 8°＝－cos 45°＝－22.活动与探究2：解：(1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π， ∴3π2＜α＋β＜2π，π2＜β－π4＜3π4. 故cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝sin(α＋β)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－cos(α＋β)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×1213＝1565－4865＝－3365.(2)由已知，得sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝－435，∴32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2＜α＜0，∴－π3＜α＋π6＜π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 迁移与应用：解：(1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2sin π6＝－1； (2)∵1013＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.活动与探究3：解：(1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x ·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是减少的．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值2.迁移与应用：1.(1)2π (2)－ 2 解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期是2π.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，最小值是－ 2.2．解：(1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x (x ∈R )．(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∴T ＝2πω＝2π，值域为[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )得f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z .1．对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的认识正确的是( )． A ．对任意的角α，β都成立B ．只对α，β取几个特殊值时成立C ．对于任何角α，β都不成立D ．有无限个α，β的值使等式成立2．计算sin 59°·cos 29°－cos 59°sin 29°的结果等于( )． A.33B.32C.12D.223．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形4．函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋1的最大值是__________．5．(2012·安徽重点中学模拟，17改编)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若f (x )＝43，求sin x ·c os x 的值．答案：1．D2．C 解析：原式＝sin(59°－29°)＝sin 30°＝12.3．C 解析：已知条件可化为sin A ≥1，又∵sin A ≤1，∴sin A ＝1.∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．4.2＋1 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1，故f (x )的最大值为2＋1.5．解：(1)由题意，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠0，∴x ＋π4≠k π(k ∈Z )．∴x ≠k π－π4(k ∈Z )．函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)f (x )＝cos 2x －sin 2xsin x ·co s π4＋cos x ·si nπ4＝2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x ＋cos x＝2(cos x －sin x )，∵f (x )＝43，∴cos x －sin x ＝223.∴1－2sin x ·cos x ＝89.∴sin x ·cos x ＝118.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式
a
y＝asin x＋bcos x＝___a_2＋__b_2sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)，其中 cos θ＝___a_2＋__b_2，
b sin θ＝__a_2＋__b_2_.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( ) (2)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sin α－sin β 成立．( ) (3)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当 α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当 α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立． (4)√.因为 sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
灵活应用和、差角公式化简 三角函数式
sin (1)
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
[精品课件]高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦
(2)由(1)可知， sinπ4＋α＝45，cos34π＋β＝－1123， ∴sinπ4＋α－34π＋β ＝sinπ4＋αcos34π＋β－cosπ4＋αsin34π＋β ＝45×－1123－－35×153＝－3635. 又 sinπ4＋α－34π＋β＝sin（α－β）－π2＝－cos(α－β)，从而 cos(α－β)＝3635.
8° 8°.
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝12× 22－
3 2×
22＝
2－ 4
6 .
sin 7°＋cos 15°sin 8° (2)cos 7°－sin 15°sin 8°
＝scions（（1155°°－－88°°））＋－csoins
s（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α
＝14cos2cαo－s α34sin2α＝cocso2αs－α 34.
由题设有cocso2αs－α 34＝－cos2B＝－2 2， 整理得：4 2cos2α＋2cos α－3 2＝0. (2cos α－ 2)(2 2cos α＋3)＝0. ∵2 2cos α＋3≠0，∴2cos α－ 2＝0. ∴cos α＝ 22.故 α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
＝－ 1－－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切(第2
要点 1 和角正切公式 tan(α＋β)＝1t－anαtan＋α ttaannββ ． 要点 2 差角正切公式 tan(α－β)＝1t＋anαtan－α ttaannββ ．
要点 3 公式的变形 tanα ＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanα tanβ )； tanα －tanβ ＝tan(α－β)(1＋tanα tanβ )． 要点 4 公式 T(α±β)中的符号(±)规律可简记为“分子同，分母 反”
这两项．
解析 由题意，得
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝13，① cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝15，② ①＋②，得 2cosαcosβ＝185，∴cosαcosβ＝145. ①－②，得 2sinαsinβ＝－125，∴sinαsinβ＝－115. ∴tanαtanβ＝csoinsααscionsββ＝－4115＝－14.
＝tan 3 [1－tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)]＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)
π
π
π
π
＝ 3－ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＝ 3.
②原式＝ 33(tan20°＋tan40°)＋tan40°·tan20°
＝ 33tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°
1－ 3tan75° (5) 3＋tan75° .
【解析】 (1)原式＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)
＝11＋－ttaann3300°°＋11－＋ttaann3300°°
1＋ ＝
33＋1－