塞曼效应

塞曼效应的量子力学分析

摘要

本论文将研究电子自旋磁矩与轨道磁矩耦合为总磁矩，在外磁场作用下引起的附加能量不同，造成能级分裂，从而导致光谱线的分裂的现象。正常塞曼效应是总自旋为零时原子能级和光谱线在磁场中的分裂；反常塞曼效应是总自旋不为零的原子能级和光谱线在磁场中的分裂。本文将主要以正常塞曼效应展开，主要讲述其发现史、种类、偏振分析、量子分析及其具体实例等几个方面来研究。

1塞曼效应的发现史

法拉第是一位伟大的实验物理学家，他的一生对人类作了许多的贡献，最重要的是电磁感应现象的发现。他坚持探索电与磁的关系，并对光与电磁之间的联系进行了许多探索。19世纪末研究电磁和光之间的相互作用竟成了一个热门。就在这个年代塞曼开始了他的科学生涯。1893年他从麦克斯韦纪念法拉第的文章中读到过一段话，了解到对磁和光之间的联系所作的实验成了法拉第最后的工作。于是塞曼坚持法拉第的研究。

塞曼认为法拉第之所以没有成功可能是因为议器不够完善，当时巳经有了很精密的光谱议和很强太的电磁铁，应该可以实现法拉第的思想。于是他就运用了当时分辨本领最高的光谱仪—美国物理学家罗兰发朗的凹面光栅和鲁姆科夫制造的电磁铁。电磁铁的磁极间燃烧氢氧焰，将石棉条沾上食盐，放在火焰中，用光谱议观察，可以看到钠的两根黄色

的特征谱线D，(5896埃)和D (5890埃)。

他一边观察光谱，一边给电磁铁通电，当电路接通时，他注意到两根D 线都明显地变宽。如果切断电流，光谱则恢复原状。变宽现象的出现和消失都是瞬时的。塞曼确证了这个现象以后，就想进一步去解释它。在各种理论中，他选择了洛仑兹的电磁理论。他将这个想法写信告诉洛仑兹教授，洛仑兹指出，如果这个理论用得正确，就应该有下列结果：从增宽的谱线边缘发出的光，沿磁力线方向观察应是圆偏振光；相反，如果从与磁力线成直角的方向观察，增宽了的钠谱线的边缘显示出是平面偏振光，与洛它兹的理论相符。就这样塞曼不仅发现了塞曼效应，他的实验还帮助了J．J汤姆生发现了电子和洛仑兹的电磁理论。

塞曼还根据洛仑兹理论的预计，在观测镉蓝线时，观祭到了光谱线的分裂现象：在垂直于磁场方向观察，谱线分裂成三根；平行于磁场方向观察，谱线分裂成二根，进一步证实了洛仑兹理论．但是，塞曼却没有注意更多种类的光谱线磁场分裂并不遵守洛伦兹理论。比如：钠黄线D1在磁场作用下沿垂直于磁场的方向分裂为4根，D2 剧分裂为6根；甚至有些谱线可分裂为9根、l1根等等。经典理是无法解释这些现象的，只有等到量子力学出现，特别是发现了电子自旋以后，才建立起完整的理论，得到了完善的解释。由于历史的原因，人们把符合经典理论的磁致分裂称为正常塞曼效应，不符合经典理论的称为反常塞曼效应。其实，正常塞曼效应只是反常塞曼效应中的一些特例。

2 简单塞曼效应

1896年，荷兰物理学家塞曼使用半径10英尺的凹形罗兰光栅观察磁场中的钠火焰的光谱，他发现钠的D谱线似乎出现了加宽的现象。这种加宽现象实际是谱线发生了分裂。

随后不久，塞曼的老师、荷兰物理学家洛仑兹应用经典电磁理论对这种现象进行了解释。他认为，由于电子存在轨道磁矩，并且磁矩方向在空间的取向是量子化的，因此在磁场作用下能级发生分裂，谱线分裂成间隔相等的3条谱线。塞曼和洛仑兹因为这一发现共同获得了1902年的诺贝尔物理学奖。

考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情况。由于电子的轨道磁矩和自旋磁矩受到磁场的作用，电子除了在原子中所具有的动能和势能外，还有磁场引起的附加能量。另外，电子的自旋和轨道运动之间也有相互作用能量，我们假设外磁场足够地大，以致自旋和轨道运动相互作用能量和外磁场引起的附加能量比较起来可以略去。

取磁场方向为z 轴，则磁场引起的附加能量是

β???

? ??+=∧

∧S L M M U

s S L c e βμ???

? ??+=∧∧22

s

z z S L c e βμ????

? ??+=∧∧22 为了把SI 和CGS 两种单位制中的公式用一个式子表示，我们在这里引用一个记号s β，它的含义是：

c s ββ=， （SI ）

ββ=s . （CGS ）

于是，体系的定态薛定谔方程写为

??μβ??μE L L c

e r U z z s =+++?-∧∧)2(2)(22

2 . （1） 这方程左边的自旋算符∧

z S ，但无自旋轨道相互作用项，所以?的形式应当是

???

????

==01211???X （2）或

???

????

==-12120???X （3）

代入（1）式，得到1?和2?所满足的方程：

111122)(2)(2??μβ??μE L c e r U z s =+++?-∧

， （4）

222222)(2)(2??μβ??μE L c

e r U z s =+++?-∧ ， （5）

当外磁场不存在时，方程（4）和（5）的解是

),()(21?θ???lm r nl nlm Y R ===. （6）

在氢原子的情况，U(r)是库仑势，nlm ?所属的能级E n 仅与总量子数n 有关；在碱金属原子（如Li ，Na ，…）的情况下，核外电子对核的库仑场有屏蔽作用和轨道贯穿，这时nlm ?所属的能级E nl 不仅与n 有关，而且与角量子数l 有关：

nlm nl nlm nlm E r U ???μ=+?-)(22

2 . （7）

当有外磁场时，由于nlm ?是∧

z L 的本征函数：

nlm nlm z m L ψψ =∧

所以nlm ψ仍是方程（4）和（5）的解。将（6）式代入（4）和（5）两个方程中，得到

??

??

???

-+=-=++==

.)1(22)1(22m c e E E S m c e E E S s nl nlm z s nl nlm z μβμβ

时，；时，

（8）

由此可见，在外磁场中，能级与m 有关，原来m 不同而能量相同的简并现象被外磁场消除。其次由于，外磁场的存在，能量与自旋有关。当原子处于s 态时，0=-m l ，时因而原来的能级nl E 分裂为两个，正如斯特恩一革拉赫实验中所观察到的。下图表示s 1和p 2两能级在外磁场中的分裂情形。

由（2－8）式，在外磁场中电子由能级nlm E 跃迁到'''m l n E 时，谱线频率为

，m c

e h

E E s

m l n nlm ?+

=-=

μβ?ω20'

'' 式中h

E E m l n nlm '

''0-=

ω是没有外磁场时的跃迁频率，'m m m -=?是跃迁中磁量子数的改变。

由选择定则知

10±=?，m

所以ω可以取三个值：

,2,00c

e s

μβωωωω±

=＝ 即在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条。这就是简单塞曼（Zeeman ）效应，

它是在外磁场较强的情况下观察到的。如果外磁场很弱，电子自旋与轨道相互作用不能略去，则能级的分裂比简单塞曼效应要复杂得多，这种情况称为复杂塞曼效应。

3 塞曼效应的偏振特性

3.1塞曼效应的偏振特性的全面描述

当光源放在足够强的磁场中时，光源发射谱线发生分裂从而形成塞曼谱线。实验表明塞曼谱线是偏振光且偏振态与观察方向有关。

当垂直干B 方向观察时，其结果称为横效应，即波数为ν

~的谱线分成三条：波数为ν~ 和 ν~±△ν~。三条谱线均为线偏振光，波数为ν~的光矢量E ∥B 称为π光；波数为ν~±△ν~的光矢量E

⊥B 称为σ光.较高频者为+σ光，较低频者为-

σ光。当逆着B 观察时，其结果称为纵效应，这时+

σ变成左旋圆偏振光，-

σ变成右旋圆偏振光，π光消失。

3.2塞曼谱线偏振特性解释的理论前提

首先解释谱线的偏振性有两个依据。一、是角动量守恒定律：在辐射过程中，原子和所发射的光于作为整体的角动量是守恒的；二、是原子跃迁的选择定则：

当△m =前m -后m =+1时，产生光+

σ；

2 p

1

s

2

-=z S

2

+=z S

(a) 磁场不存在时

(b) 磁场存在时

在强磁场中s 项和p 项的分裂

当 △m =前m -后m =-1时 产生-

σ光； 当△m =前m -后m =0时 产生π光。

解释谱线的偏振性的总方向是从选择定则出发，根据角动量守恒定律推出光子的自旋角动量方向，然后分析其偏振性。因此，必须明确自旋与偏振性的关系.

第一、光子的自旋角动量与光矢量的转动必成右手螺旋关系。

按量子理论，光子的自旋量子数s =1．自旋角动量S P

在空问任意方向的分量为z S P = ，

- 。设光沿z 轴正向传播，则可观察到具有z S P = 的光于的光矢量绕z 轴沿反时针转动，为左旋圆偏振光；具有z S P =- 的光子的光矢绕z 轴沿顺时针方向转动，为右旋圆偏振光。 显然，z 轴上的自旋角动量分量z S P 的方向与光矢量绕z 轴转动的方向成有手螺旋关系。如下图（1）所示。

第二、光子自旋角动量与传播方向共同决定偏振性

光子一旦产生，其自旋角动量就已确定，并对应着某种光矢量的转动，从不同的方向 观察

光矢量的转动，横向效果是不同的，即偏振性不同。设z S P 与光速V

夹角为α下图（2）所

示：

①当α=0时，观察到左旋圆偏振光。 ⑦ 当α=π 时．观察到右旋圆偏振光。

③ 当α=2

π

时，观察到线偏振光(E 垂直于z S P 和V 所确定的平面)。

④ 当0＜α＜2

π

时，观察到左旋椭圆偏振光(椭圆的长轴垂直于z S P 和V 所确定的平面)

E

E

z S P =

z S P =-

Z

图（1）

⑤ 当2

π

＜α＜π时，观察到右旋椭两偏振光(椭圆的轴垂直于长轴垂直于z S P 和V 所确定

的平面)。

可见，z S P 与V

的相对取向决定偏振性。明确了前进解释依据、总方向以及自旋与偏振

的关系，就可对偏振性进行解释。

3.3对σ光偏振性的解释

当△m =+1时，原子在B 方向(Z 轴正方向)的角动量碱小1 ，按角动量守恒定律，所发

光子必定具有沿B

方向1 的角动量z S P 。若光沿B 传播 ，则V 与 z S P 夹角为α=0，由

前述结论知，可观察到左旋圆偏振光。这就纵效应中的+

σ光。若光垂直于B

传播，则V 与

z S P 夹角为α=2

π

，故观察到线偏振光，E 垂直于z S P 和V 所确定的平面，即垂直丁B ，

这就是横效应中的+

σ光。

类似地，可推知当△m =-l 时，所发光子的角动量V 与 z S P 反向，若光沿着B

传播，

则V

与 z S P 夹角为α=π，故可观察到右旋圆偏振光，这就是纵效应中的-

σ光。若光垂

直于B 传播，则V 与 z S P 夹角为α=2

π

，故观察到线偏振光。E 垂直于z

S P 和V 所确定

的平面，即垂直于B 。这就是横效应中的-

σ光。

3.4对π光偏振性的解释

由角动量守恒定律推知π光子的自旋角动量必垂直于B

之后，再分析：光子角动量垂直

α

E

z S P

V

图（2）

于B

，即在xy 平面内，用xy s P 表示。

垂直于B

方向观察时，V 也在xy 平面内，与xy s P 夹角可为任意值，则可观察到椭圆振

动，椭圆的长轴垂直于V

与xy s P 所在的xy 平面，面，即沿x 轴。 假设是迎着x 轴观察，

则椭圆短轴沿着x 方向。设光子角动量xy s P 与V

夹角为θ，为了表示xy s P 在xy 平面内的

各种取向，可取θ=0～π2。如图（3）所示

椭圆振动可表示为：

)2

cos()2

cos(π

ωπ

ω-

=-

=t E t A E z z （半长轴z A =常数，E 与?无关）

t E t A E x x ωωcos cos == （半短轴t E t A A xy x ωωcos cos ==）

当πθ,0=时，椭圆偏振变成圆偏振。当 3,

2π

πθ=

时，椭圆偏振变成沿x 轴的线偏振。

由于xy s P

可在xy 平面内随机变化，故某时刻观察到的π光，应该是0=θ

～π2时的横向光

矢量的平均值：

θππ

d E E z z ?=

20

21

θπ

ωπ

π

d t E )2cos(21

20

?-=

x

y

z

xy s P

θ

xy

A x

A Ay

E Ay Ax ==

图（3）

)2

cos(π

ω-

=t E

θππ

d E E x x ?=

2021

?=

π

θωθπ

20

cos cos 21

td E

=0

可见，迎着y 轴，即垂直于B

观察，π光只有沿z 方向(B 方向)的振动，是线偏振光。

若迎着B 方向观察，V 与 xy S P 夹角为α=2

π，故能看到光矢量在xy 面内的线偏振光。x 、

y 方向的分量为有：

t E t A E x x ωθωcos cos cos ==

t E t A E y y ωθωcos sin cos -==

同样可求平均值为：

0cos cos 21

212020

===

??θωθπθππ

π

d t E d E E x x

??=-==

π

π

θωθπθπ

20

20

0cos sin 2121td E d E E y y

因此，迎着B

观察，π光的横向振幅为0，即π普线消失。这样，就可具体解释了π普线的

偏振性。

4 钠原子光谱和氢原子光谱的塞曼效应

原子光谱是研究原子结构的有力手段，其中氢原子光谱及碱金属光谱是最基本的内容。由于碱金属原子只有一个价电子，(z-1)个电子形成闭壳与核一起形成原子实，在普通 的原子光谱中。原子实没有变化、所以碱金属原子光谱类似于氢原子光谱。

4.1 光谱的精细结构

用分辨率足够高的仪器观察原子光谱时，发现每一条谱线由几条靠得很近的谱线组成，这称为光谱的精细结构。如大家熟知的钠的S P 2

233→之间的一条线由589.59nm 和588.99nm 双线组成。氢原子光谱中S P 2

232→由82259.27 cm -1

与82258.91 cm -1

双线组成。

所有种类原子光谱均有精细结构，这是原子内部电子的轨道运动和自旋运动相互作用的一种表现形式。因电子自旋运动的磁矩处在由轨道运动而产生的磁场中。它们相互作用，在原子内部产生一个附加的自旋一轨道作用能υs E ?。

B E s s θμυ

cos -=? （4-1）

式中s μ为电子自旋磁矩，其值s μ=e g ／)1(+s s βμ，e g =2.0023，为电子自旋因

子。B

是电子轨道运动所产生的磁场。θ是上述两者间的夹角，βμ=9.27×10-24

J ／T 是玻尔磁子。在不考虑相对论的情况下，量子力学和光谱数据都证明<1)式的附加能具体表示为 ：

[])1()1()1()

1)((22134

2+-+-+++=

?*

s s l l j j l l l n RZ E α （4-2）

式中302

103.72-?≈=Ch

e εα，称为精细结构常数，*Z 为有效核电荷，R 为里德堡常

数。由上可知s l -偶合引起的作用能除与l n ,有关外，还和j 有关。S=1／2是个定值，所以j 有=l +1／2和-1／2两个值，即e μ与s μ之间取向只有两种，对=l O 的S 轨道，附加能为零，能级不分裂，对=l 1，2，3 的轨道，附加能在原来nl E 上分裂为两个能级，由（4-2）式可知，它们的差值为：

)

1(3

4

22

3

2

1+=?-?*++l l n Z R E E l l α （4-3）

上式表明nl E ?分裂的间隔与)1(,3+l l n )成反此，与4

*Z

成正比，而α是一个很小的量，

因此由s l -偶合而引起谱线的间隔是很小的， 例H 原子的P 2

分裂成232P 与2

12

P 两者间能

差为：eV R E E 52322

1

2

31053.416

)103.7(6.1316--?=??==?-?α 或365.01053.45=?=

?-hC

eV

υcm -1 232

P 态比P 2上升的能量与212P 比P 2下降能量的比值为21 :1. 2

32P ,212P

分别跃迁到2

12

S 所产生的两条谱线靠得很近，仅为0.365cm -1

，理论计算与光谱实验是很

一致的.见下图（1）。对钠原子的S P 2

233→，代入(3)式，得到两条D 线问隔为17.18 cm -1

4.2塞曼(Zeeman)效应

若把原子放在均匀的外磁场中(约1特斯拉数量级)，发现原来一条谱线分裂为几条，这

种现象称为塞曼效应。谱线的变化与磁场的强弱和观察方向有关。在足够强的磁场下，在垂

直于B 方向观察，原来波数为 0~υ的一条谱线分裂成波数为υυ~~0?+，0~υ，υυ?-0

~的三条线。中间一条电矢量平行于外磁场称为π线，旁边两条电矢量垂直于外磁场，称为σ 线。

在平行于磁场方向，只观察到两条，υυ~~0?+，υυ?-0

~的圆偏振线，这种一条谱线在磁场中分裂为三条谱线的现象，称为正常塞曼效应(或称简单塞曼效应)。正常塞曼效应是总自

旋角动量为零的原子态之闻跃迁产生的，即原子进入磁场后，仅有轨道运动的磁矩与外磁场作用，所产生的附加作用能为：

J T

J

T B E 24241035.461024.95--?±=??±=±=?βμ

或183424cm 331.210

310626.61036.45~---=????=?=?hc E υ 即三条线分别为10

cm 331.2~-+υ、υ~?、1

cm 331.2~--?υ。υ~?与υ~相比是很微小的。 人们发现，许多原子的谱线在磁场中发生分裂的情况与上述不同，一般不是三条线，而

是更多，且间隔不一定相等。这种现象称为反常塞曼效应(或称复杂塞曼效应)，如钠原子进入B=3T 的磁场中，由s l - 偶合而产生的D 线，其中589．59nm 一条分为四条，另一条588.99nm 分裂为六条，共十条。究其原因不难理解，因大多数原子中自旋角动量不等于零，自旋磁矩

βμμ)1(+=S S g e s ，轨道磁矩βμμ)1(+=l l L ，原子内进行L —s 偶合，产生合磁矩J μ，βμμ)1(+=J J g J J ，)

1(2)

1()1()1(1++-++++

=J J L L S S J J g J 称为朗德因子，J=L+S 、

L+s -1? (L —s)，共(2L+1)或(2S+1)个。当s=0时J g =1即为上述正常塞曼效应。L=0时，J g =2， 这些都是极限值。在一般情况下，J g 值随L 、S 、J 而定。

L —s 偶合后的合磁矩J μ在外磁场作用下，附加能为

βμμ?μB =B -=B -=?E J J JZ J M g cos （4-5）

θ为J μ与外磁场B 间夹角，z J μ为J μ在磁场方向的分量，J M =J 、J-1…-J ，共（2J+1）

个。所以在无磁场时为一个能级，进入磁场后分裂为(2J+1)个能级。分裂的能级与正常塞曼效应不同，不但与B 有关，还与J g 有关，同一个能级J g 相同，分裂的间隔相同，其值为

βμB J g 不同能级，J g 不同，?E 就不同。例如钠的D 线(2

122

122

122

1233,33S P S P →→)，

进入磁场后能级的分裂情况由表1(弱场)列出 ，从中可看出2

32P 、2

12P 、2

12

3S 三种形态

进入磁场后，由于g 不同分裂能各不相同．若无磁场时，谱线的波数为：hC

hC 1

20

~E -E =?E =υ 在磁场下则为：

[]

hc

g M g M hc

J J J J βμυυυB -+=E -E

+=1

2012

)()(~~~

5塞曼效应实验的一个应用

5.1基本原理

5.1.1塞曼效应

塞曼效应是把光源放在足够强的磁场中，所发射光谱的谱线会分裂成几条的现象。分裂后的谱线与原谱线的波数差为：

洛

L g M g M )(~1122-=?υ 式中mc Be L π4＝

洛为洛仑兹单位，朗德因子)

1(2)1()1()1(1++-++++=J J L L S S J J g ，发生塞曼跃迁时有选择定则：

0=?M (当J ＝0时，M 2=0→M 1=除外产生π线) 1±=?M 产生σ线

而对于LS 耦合的选择定则是：

10±=?，J （0→0除外） 10±=?，L 0=?S

当S 1=S 2≠0时，M 2g 2- M 1g 2是一简分数产生反常塞曼效应， 当S 1=S 2=0时，g 1=g 2=1发生正常塞曼效应。 5.1.2 量子数的性质

总轨道角动量量子数L 取正整数值。 总自旋量子数S 取

2

1

的正奇数倍值或正整数值。 总角动量量子数J ＝L+S ，L+S-1，…，（L-S ）,取值与S 值有关，也取2

1

的正奇倍值或正整数值。反之J 值也决定S 值。

磁量子数M ＝J,J-1,…,-J 取2J+1个值，M max =J

5.2应用

假定在一塞曼效应实验中，观察到π线为4条，σ线为8条，相邻谱线间隔为

105

38洛仑兹单位，因谱线分裂为12条，则可知这是一反常塞曼效应，从而确定S 1=S 2≠0。 5.2.1 M 和J 值的确定

产生π线的选择定则为0=?M ,所以4条π线分别对应的M 值为

23

,21,21,2321--==M M ，令2

3,21,21,231--=M ，则231=J 。

产生σ线的选择定则为1±=?M ，有8条σ线，故2

5

,23,21,21,23,252---=M ，则

2

52=J 。

5.2.2 L,S 和g 值的确定

在π线中研究两相邻谱线（M ˊ→M ˊ和M ˊ-1→M ˊ-1）间隔为

[]洛洛洛＝）＝（L L g g L g g M g g M 105

38))(1()(121212±

---'--'

故g 2-g 1为105

38

的正或负值。 由定义：

)

1(2)

1()1()1(222222212++-+++-J J L L S S J J g g ＝

)

1(2)

1()1()1(111111++-+++-

J J L L S S J J

因为J 值为21的正奇数倍，所以S 值亦为2

1

的正奇数值。 令S=

2

1

,则有 10538

12±=-g g

)12

5(252)

1()121

(21)12

5(2522+??+-+?++?=L L )12

3(232)

1()121

(21)12

3(2311+??+-+?++?-L L 整理得：7L 1(L 1+1)-3L 2 (L 2+1)=22或-16，将选择定则1,0±=?L 代入，求得的L 值不为0及正整数，因而L 无解，即S ＝2

1

不成立。 令S ＝

2

3

，则有 10538

12±=-g g

)12

5(252)1()123

(23)125(2522+??+-+?++?=L L

)12

3(232)

1()123

(23)12

3(2311+??+-+?++?-L L 整理得：7L 1(L 1+1)-3L 2 (L 2+1)=34或-4，将选择定则1,0±=?L 代入，求得当取-4时，可以得到：满足选择定则时L=0，满足正整数条件时L 1＝1,L 2=2。

当S 取不为

23的其他值时，L 均无解。将J 1,L 1,S 和J 2,L 2,S 代入g 值公式得到：15261=g ，35482=g ，1053812-=-g g 。

当S=2

3

时，重态数为2S+1＝4，因此，该塞曼效应发生在原子态4D 5/2→4 D 3/2。

需要说明的是，因为没有给出原子态所属的主量子数，因而不能确定原子态的上下能级，但该塞曼效应在这两原子态中产生，这一点是确定无疑的。应用上述方法可以对所做的塞曼效应实验进行判断，可确定产生谱线的原子态。