蝴蝶定理古今谈
蝴蝶定理古今谈
蝴蝶定理(Butterfly theorem)，是古典欧氏平面几何中最精彩的结果之一，原本是一个著名的几何难题。
该定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年英国的一份通俗杂志《男士日记》第39-40页上；而“蝴蝶定理”这个名称第一次出现在《美国数学月刊》1944年2月号。
由于题目中的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，因此得名。
蝴蝶定理的证法很多，有综合法、三角法、面积法、不等式法、解析法、复数法，反证法等。
问题登出的当年，英国一位自学成才的中学数学教师W.G.霍纳给出了第一个繁琐的证明；至于初等的证法，在国外的有关资料中，一般认为是由一位中学教师斯特温(Steven)首先得到的，它用的是面积法；另一个早期的证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出；还有一种证明出现在M.布兰德（Miles Bland）的《几何问题》(1827年)一书中；最为简洁的证法来自射影几何，由英国的J·开世在“A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”(中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆，1956)中给出，只有一句话，用的是线束的交比；1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何给出的一种比较简单的证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录教授以“平面几
何中的名题及其妙解”为题，向国内介绍了蝴蝶定理；1988年，汪江松、黄家礼二教授在《几何明珠》一书的第21章，对“蝴蝶定理”进行了全面综述，介绍了蝴蝶定理的逆定理及各种引申和推广；1991年，张景中院士的力作“蝴蝶定理的新故事”（载于《中学数学》1991年第1期）以面积比和线段比为工具，与斯特温的证法一脉相承，别开生面，给出了蝴蝶定理的推广和变异，揭示了该定理与著名的Pascal定理的深刻联系，令人耳目一新；2008年，本版版主叶中豪老师在“东方论坛”发帖“蝴蝶定理的本质”，与陈殿林老师就蝴蝶定理的对合本质展开讨论：从射影几何的观点看，蝴蝶定理实质就是迪沙格(G．Desargues，1591—1661)对合定理的推广。
二十多年来，我国的数学专家学者在各级数学专业刊物上发文百余篇，沿不同途径、从不同角度对蝴蝶定理进行了深入、广泛、细致的探讨，从此，这个奇异而优美的蝴蝶定理就像一只色彩斑斓的蝴蝶，在九百六十万平方公里的数学书刊上翩翩飞舞......
在网上溜达了一圈，发现有关“蝴蝶定理”的文献还真不少，可谓汗牛充栋，浩如烟海。
今信手搜集了一些，经整理供大家参考：
（1）平面几何中的名题及其巧解，《数学教师》1985年01期
（2）谈谈蝴蝶定理，《数学教师》1985年02期
（3）蝴蝶定理的变异，《数学教师》1985年06期
（4）蝴蝶定理的多种证法，《数学教学研究》1987年03期（5）蝴蝶定理史话，《中学生数学》1989年01期
（6）射影变换下Menelaus定理和Ceva定理，《宁夏大学学报(自然科学版)》1990年01期
（7）蝴蝶定理的新故事，《中学数学》1991年01期
（8）三阶虚圆点曲线的射影变换，《工程图学学报》1991年02期
（9）直线对上的“蝴蝶定理”，《中等数学》1991年06期（10）蝴蝶定理的研究综述，《玉溪师范学院学报》1994年02期
（11）广义蝴蝶定理，《数学通讯》1994年04期
（12）关于蝴蝶定理的推广，《温州师范学院学报》1995年03期
（13）从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用，《成都师范高等专科学校学报》1995年04期
（14）高观点下的蝴蝶定理，《安康师专学报》1996年02期（15）蝴蝶定理及其推广的射影本源，《数学通报》1996年03期
（16）蝴蝶定理的射影证明及其推广，《洛阳师范学院学报》1996年05期
（17）蝴蝶定理的一个推广，《晋中师范高等专科学校学报》1997年01期
（18）蝴蝶定理的二种高等几何证法，《河南教育学院学报(自然科学版)》1997年02期
（19）关于相似变换射影定义的注记，《四川师范大学学报(自然科学版)》1997年03期
（20）“蝴蝶定理”在射影平面的推广，《陕西教育学院学报》1997年03期
（21）蝴蝶定理的一个推广及应用，《四川职业技术学院学报》2007年03期
（22）蝴蝶定理加强推广与统一处理，《毕节师范高等专科学校学报》1998年01期
（23）蝴蝶定理衍化与统一处理，《蒙自师范高等专科学校学报》1998年01期
（24）射影观点下的蝴蝶定理，《湖南教育学院学报》1998年02期
（25）从蝴蝶定理的射影证明得到的联想，《铜仁师范高等专科学校学报》1999年01期
（26）空间有理三次Bezier曲线的射影变换和蝴蝶定理，《应用数学学报》1999年02期
（27）蝴蝶定理的衍变推广，《楚雄师范学院学报》2000年03期
（28）Steiner定理与蝴蝶定理，《数学通报》2000年12期（29）直线上射影变换的几何结构，《德州学院学报》2001年02期
（30）从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用，《黔东南民族师范高等专科学校学报》2002年06期
（31）关于蝴蝶定理的思考与探索，《中学生数理化(高三版)》2002年11期
（32）直线型蝴蝶定理的射影讨论，《黄冈师范学院学报》2003年06期
（33）蝴蝶定理——研究性学习的一个好课题，《数学通报》2004年01期
（34）蝴蝶定理——一棵生机勃勃的常青树，《中学数学》2004年08期
（35）关系圆的一个命题，《中等数学》2005年10期（36）关于蝴蝶定理的新证法，《数学学习》2006年01期（37）圆锥曲线“准点弦”的几个性质，《数学通报》2006年03期
（38）蝴蝶定理的另一呈现形式，《数学通报》2006年05期（39）圆锥曲线的一类“过定点”问题，《中学数学教学》2006年06期
（40）探究圆锥曲线的中点弦的解法，《中学生数理化(高二版)》2006年06期
（41）对圆锥曲线的一类定值问题的再思考，《数学教学通讯》2006年09期
（42）坎迪定理在圆锥曲线上的推广，《中学数学研究》2007年03期
（43）蝴蝶定理的几个推广，《上海中学数学》2007年11期（44）与圆锥曲线准线有关的一个性质的推广，《中学数学研究》2008年03期
（45）圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用，《上海中学数学》2008年05期
（46）圆锥曲线的一个性质，《中学数学月刊》2008年06期（47）交比在初等几何中的应用，《山东教育学院学报》2009年01期
（48）蝶心离枝亦精彩，《数学通报》2009年04期
（49）双曲线中的坎比定理，《中国科技信息》2009年04期（50）射影变换下的蝴蝶定理，《阜阳师范学院学报(自然科学版)》2009年04期
（51）蝴蝶定理的几种初等证法及其比较分析，《陇东学院学报》2009年05期
（52）圆锥曲线的一个性质及其在一类问题中的应用，《中学数学研究》2009年05期
（53）蝴蝶定理的猜想推理推广，《中学数学杂志》2009年10期
（54）蝴蝶定理新证法，《中学数学》2009年18期
（55）蝴蝶定理及其推广，《上海中学数学》2010年03期（56）直线与圆锥曲线相交中的一类问题，《新课程(教育学术)》2010年04期
（57）蝴蝶定理的一则不添辅助线证法，《中学数学杂志》2010年06期
（58）梯形蝴蝶定理在面积计算中的妙用，《广东教育(综合版)》2010年06期
（59）筝形蝴蝶定理的解析几何简单证法，《中学教学参考》2010年14期
（60）蝴蝶定理的一个简捷证明，《中学生数学》2010年18期。
小学奥数之几何蝴蝶定理问题完整版
小学奥数之几何蝴蝶定理问题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】CFEADBCB E FDA几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质1） HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？12AD AB =，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
蝴蝶定理起源于圆，并可推广至圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），椭圆中的蝴蝶定理是高考中最常见的情况，对综合分析能力要求甚高。
一·何谓蝴蝶定理：
1815年，英国伦敦出版社，著名的数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下的命题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被称之为“蝴蝶定理”的原因。
由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，内涵丰富，两百多年来引无数数学家为之流连忘返，浮想联翩。
时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的六十多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。
二·蝴蝶定理的证明：
蝴蝶定理的证明方法非常之多，但利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净简洁，内涵丰富。
另外，如果将圆的方程换成圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的方程，则得到对应这些曲线中的蝴蝶定理。
三·蝴蝶定理的推广：
对蝴蝶定理的探索与研究至今仍然没有结束，由人称它为欧氏平面几何里的一颗璀璨明珠。
四·典型高考题示例：
蝴蝶定理在高考数学中曾多次出现，下面仅举一例进行说明：
蝴蝶定理，butterfly thearem，古典欧氏几何最精彩的结果之一。
1815年首次被一个自学成才的中学教师W·霍纳以初等方式证明。
足可见，高等的东西用初等方法解决未必完全不可能。
以上，祝你好运。
蝴蝶定理
蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用
蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。
此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下：蝴蝶定理解析法证明图示蝴蝶定理解析法证明若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的。
现以椭圆为例给出证明。
蝴蝶定理解析法证明图示（椭圆）蝴蝶定理解析法证明（椭圆）类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线，结论也成立。
若在蝴蝶定理的条件中把中点M改为AB上任一点，结论是：蝴蝶定理一般性结论这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA=MB时，MP=MQ。
④式成立的条件是AB是⊙O的弦，M是AB上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立。
蝴蝶定理一般性结论（圆锥曲线）蝴蝶定理一般性（圆锥曲线）蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：矢量法表示蝴蝶定理一般性结论定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1证明定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l//AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理2定理2证明特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上。
蝴蝶定理的推广蝴蝶定理的推广蝴蝶定理十二大推论性质蝴蝶定理推论性质1蝴蝶定理推论性质2蝴蝶定理推论性质3蝴蝶定理推论性质4蝴蝶定理推论性质5蝴蝶定理推论性质6蝴蝶定理推论性质7蝴蝶定理推论性质8蝴蝶定理推论性质9蝴蝶定理推论性质10蝴蝶定理推论性质11蝴蝶定理推论性质12下面奉献6道调研题，供大家作答。
蝴蝶定理
不会飞的蝴蝶——蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。
求证：PM=MQ。
由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。
这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。
登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。
不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。
158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。
从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。
下面仅举四例与读者共同欣赏。
证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。
又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。
因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ，所以有14433221S S S S S S S S ⋅⋅⋅=1， 即 PMEPM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =22)()(PM FQ CQ MQ DP PE ⋅⋅⋅⋅=1。
就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。
由相交弦定理有CQ ·FQ =BQ ·QA=(a -x )(a+x )=a 2-x 2，PE ·DP =AP ·PB=(a -y )(a+y )=a 2-y 2，所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2，即 a 2y 2=a 2x 2，∵ x 、y 都是正数，∴ x=y ，即 PM =MQ 。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
数书九章 蝴蝶定理
数书九章蝴蝶定理
数书九章是中国古代数学著作《九章算术》中的一章，该书是中国古代数学的经典之作，被誉为中国古代数学的"圣经"。
蝴蝶定理（Butterfly theorem）是一个几何定理，也被称为"蝴蝶中值定理"或"蝴蝶定理"。
它描述了一个关于三角形中线的性质。
定理陈述如下：
在一个三角形ABC中，D和E分别是BC的中点和AC的中点，F 是AB上的一个点。
连接DF和FE，交AC于G，交BC于H。
则有DG = GH = HF，即三条线段的长度相等。
这个定理被称为"蝴蝶定理"是因为连接DF和FE的线段在三角形中起到了蝴蝶的形状。
蝴蝶定理可以通过使用向量、相似三角形或割线定理等多种方法证明。
它具有一定的应用价值，在几何学、向量分析以及其他相关数学领域有一定的应用。
蝴蝶定理
蝴蝶定理:这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
蝴蝶定理Butterfly Theorem 蝴蝶原理XM=MY W.G.霍纳1815年定义蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1-2]蝴蝶定理的证明验证编辑方法一证：过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，容易证明△ESD∽△CSF，蝴蝶定理的证明图∴ES/CS=ED/FC，根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2，∴ES/CS=EL/CT，又∵∠E=∠C，∴△ESL∽△CST，∴∠SLN=∠STM，∵S是AB的中点所以OS⊥AB，∴∠OSN=∠OLN=90°，取OM中点X，在Rt△MTO和△OSM中，TX=OX=MX=SX，∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）。
同理，O，T，M，S四点共圆，∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，∴∠SON=∠SOM，∵OS⊥AB，∴MS=NS。
证毕。
方法二从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。
蝴蝶定理的证明（证明过程见图片）证明方法二3推广编辑该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
1.在椭圆中椭圆中的蝴蝶定理如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)（b>r>0）。
（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。
蝴蝶定理
中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。
到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。
而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。
其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。
另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
蝴蝶定理资料
Q
P
C，F，D，E 的二次曲线系为
A
M
Bx
b2x2+a2(y+h)2 – a2b2+λ(y – k1x )( y – k2x )=0，
F
令 y=0，得(b2–λk1k2)x2+a2h2–b2a2=0．由韦达定理 xp+xq=0，即 E MP= MQ．命题得证．
类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.
，
因为点 M(0，m)为线段 PN 的中点，所以 xN xP =0， 0 yP =m，
A1
M
P
O
求证：
=
；
C B1
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C，D，G，H，设 CH 交 x 轴于点 P，GD 交 x 轴于点 Q.
Q G
D A2
x
求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形)
答案 （I）e= a2 b2 ；（II）见解析 (Ⅲ)见解析．
M
x
Q
F
设 A(0，t)，B(0，–t)，知 t，–t 是 Cy2+Ey+F=0 的两个根，所以 E=0. 若 CD，EF 有一条斜率不存在，则 P，Q 与 A，B 重合，结论成立.
DB
图1
若 CD，EF 斜率都存在，设 C(x1，k1x1)，D(x2，k1x2)，E(x3，k2x3)，F(x4，k2x4)，P(0，p)，
=
(点 M 也可以是 AB 延长线上的点)．
定理 1：在圆锥曲线中，过弦 AB 中点 M 任作两条弦 CD 和 EF，
y
C
直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 P，Q，则有|MP|=|MQ|.