数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），，推论公式：a n =a m +(n −m )d(n,m ∈N ∗，n >m)等差中项：成等差数列,a n =a n−1+a n+12,2a n =a n−1+a n+1(n ≥2)等差数列前项和： 性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等 （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为； （4）若是等差数列，且前项和分别为，则； （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n 2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇， .1-=n n S S 偶奇 1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ⇔=+n ()()11122n n a a n n n S nad +-==+{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，2121m m m m a S b T --={}n a 2n S an bn ⇔=+a b ，n n S 2n S an bn =+{}n a 100a d ><，100n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>，10n n a a +≤⎧⎨≥⎩n S n {}n a {}n a2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.推论公式：a n =a m q n−m (n,m ∈N ∗且n >m) 等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号a n 2=a n−1a n+1(n ≥2)等比数列前n 项和公式： S n ={na 1(q =1)a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q(q ≠1)性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。

（2）仍为等比数列,公比为n q 。

. （3）是正项等比数列，则{log c an }是等比数列。

注意：由求时应注意什么？时，； 时，.1n na q a +=q 0q ≠11n n a a q -=x G y 、、2G xy ⇒=G ={}n a m n p q +=+mn p q a a a a =··232n n n n n S S S S S --，，……{}n a n S n a 1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-3.求数列通项公式的常用方法（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列） （2）已知的关系与n 或的关系时与n n a s ，求。

⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n例： 数列的前项和．求数列的通项公式;解：当时，当时数列的通项公式为．练习：设数列的前项和为，且．求数列的通项公式。

（3）求差（商）法例：数列，，求解： 时，，∴①时， ② ① —②得：，∴，∴n S na {}n a 12211125222n n a a a n +++=+……n a 1n =112152a =⨯+114a =12211125222n n a a a n +++=+……2n ≥12121111215222n n a a a n --+++=-+……122n n a =12n n a +=114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩练习：在数列{a n }中，a 1=1，a 1+a 22+a 33+⋯+an n =a n (n ∈N ∗), 求数列{a n }的通项公式。

(4)累乘法形如a n+1a n=f (n )的递推式由1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例：数列中，，求解，∴又，∴. 练习：已知a 1=3,a n+1=3n−13n+2a n (n ≥1), 求数列{a n }的通项公式。

（5）累加法形如 a n+1−a n =f (n )的递推式。

由，求，用迭加法时，两边相加得∴ 例：已知数列满足a 1=1,a n =a n−1+3n −2(n ≥2),(1)求a 2与a 3的值。

（2）求数列的通项公式练习：已知数列中， ，（）．求数列的通项公式；（6）构造法形如（为常数，）的递推式。

{}n a 1131n n a na a n +==+，n a 3212112123n n a a a n a a a n --= (11)n a a n=13a =3n a n =110()n n a a f n a a --==，n a 2n ≥21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……0(2)(3)()n a a f f f n =++++……1n n a ca d -=+c d 、010c c d ≠≠≠，，可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴ 例：已知数列满足，.求数列的通项公式；解：（1），， 而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，，因此．练习1：已知数列{a n }中a 1=12,a n+1=3a n +3，求数列{}n a 的通项公式。

练习2：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（7）倒数法 例：，求 由已知得：，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴ 练习：已知数列的首项，a 1=1。

a n+1=a nan +2(n ∈N ∗)求数列的通项公式。

总结：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法。

()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-(1)c x d -=1d x c =-1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭11d a c c +-，1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭11212nn n a a a a +==+，n a 1211122n n n n a a a a ++==+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12()()11111122n n n a =+-=+·21n a n =+4. 求数列前n 项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前项和： 等比数列前n 项和公式： S n ={na 1(q =1)a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q(q ≠1)常见公式：S n =∑k n k=1=12n (n +1) 1+3+5+⋯+(2n −1)=n 212+22+32+⋯+n 2=16n (n +1)(2n +1) , 13+23+33+⋯+n 3=14[n (n +1)]2（2）错位相减法给S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n 两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n 项的和S n .一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.n ()()11122n na a n n n S nad +-==+{}n a {}n b {}n n a b n n n S qS -n S q {}n b例：①②① —②1x ≠ 时，，时， 练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和．(2) 裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。

常见形式：①若是公差为的等差数列，则1an a n+1=1d (1a n−1an+1)② 1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)③ 1n (n+1)(n+2)=12(1n (n+1)−1(n+1)(n+2))④ √a+√b =1a−b (√a −√b)⑤√n+k+√n=1k(√n +k −√n)如：是公差为的等差数列，求解：由∴ 练习：已知数列的前n 项和，①求数列的通项公式； ②求数列的前n 项和。

（3）倒序相加法2311234n n S x x x nx -=+++++……()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……()2111n nn x S x x x nx --=++++-……()()2111nnnx nx Sxx -=---1x =()11232n n n S n +=++++=……{}n a d {}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111111111111nnk k k k k k nn a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.相加［练习］已知，则由∴原式（3）分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。