矩阵分析 第一章 线性空间和线性映射
例 1
实数域
是一组线性无关的函数， 是一组线性无关的函数，其中 λ1 , λ2 , , λn 为一 组互不相同的实数。 组互不相同的实数。 例 2 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组 是一组线性无关的函数， 是一组线性无关的函数，其中 α1 , α 2 , , α n 为一 组互不相同的实数。 组互不相同的实数。 例 3 实数域 R 上的线性空间 R R 中，函数组
0,1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,
级数。 为Fibonacci级数。它满足下述第推公式： 级数 它满足下述第推公式：
以及初始条件： 以及初始条件： f 0 = 0, 公式， 公式，并且求出极限
f k + 2 = f k +1 + f k , k = 0,1, 2,3,
fk f k +1
我们首先以单输入单输出系统为例 。 考虑系统下面的单输入单输出系统： 考虑系统下面的单输入单输出系统：
& X = AX + bu Y =c X
T
其中 及
和
是
维矢量， 维矢量，
是
矩阵， 矩阵，
是标量。 是标量。
定理： 定理： 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要 条件是可控性判别矩阵
Q = (b, b, ,
r ， 使得
ai < r, i = 1, 2,L
二： 线性空间的基本概念及其性质
定义: 线性组合；线性表出；线性相关；线性无关 线性组合；线性表出；线性相关； 定义 向量组的极大线性无关组； ；向量组的极大线性无关组；向量组的秩 基本性质： 基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； ）含有零向量的向量组一定线性相关； 部分无关； 整体相关； （2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关； ） （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 ） 量组线性表出， 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不 ）向量组的秩是唯一的， 唯一； 唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， ）如果向量组（ ）可以由向量组（ ）线性表出， 那么向量组（ ） 向量组（ ）的秩； 那么向量组（I）的秩 ≤ 向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。 ）等价的向量组秩相同。
am an < ε
中满足Hilbert条件的无限序列组成的 例7 在 R 中满足 条件的无限序列组成的 子集合不 不 子集合∞ 构成 级数
∞
R 上的线性空间。Hilbert条件是： 上的线性空间。 条件是： 条件是
∑a
n =1
2
n
收敛
例8 在
R
∞
中有界的无限序列组成的子集也构成
上的线性空间。 R 上的线性空间。一个无限序列 [a1 , a2 , a3 ,L] 称为有界的， 称为有界的，如果存在一个实数
这就是著名的Fibonacci数列通项公式，容 数列通项公式， 这就是著名的 数列通项公式 易计算出： 易计算出：
lim
k →∞
fk f k +1
1 5 = = ≈ 0.618 λ1 2 1
这个数在最优化中有重要的应用， 0.618 这个数在最优化中有重要的应用，在最优化 中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间， 中我们经常运用这个数来迅速缩短搜索区间，以便 找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。 找出最优点，这种方法也常称其为黄金分割法。
性判别矩阵
C CA V = n 1 CA
是列满秩的。 是列满秩的。
例 5：设 ：
0 1 1 1 A= , B = 1 1 1 0
由于矩阵
[B
1 1 1 1 AB ] = 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。 是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
第一节
线性空间
一： 线性空间的定义与例子 是一个非空的集合， 是一个数域， 定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 在集和 V 中定义两种代数运算 一种是加法运算 来表示; 另一种是数乘运算, 来表示, 用 + 来表示 另一种是数乘运算 用 来表示 并且 这两种运算满足下列八条运算律： 这两种运算满足下列八条运算律：
0 1 3 0 A= 0 0 0 2
0 0 0 2 , cT = [1 0 0 0] 0 1 0 0
由于矩阵
c 1 0 T 0 1 c A = T 2 c A 3 0 T 3 c A 0 1
T
0 0 0 0 0 2 0 0
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。 是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可观测的。
1 1 λ1 = (1 + 5) , λ2 = (1 5), 2 2
由此可以看出 可以对角化。 A 可以对角化。解齐次线性方程组
1 ( (1 + 5) I A) X = 0 2
可以得到它的一个基础解系： 可以得到它的一个基础解系：
1 λ (1 + 5) 1 α1 = 2 = 1 1
例 2 复数域 C上的全体 m × n 型矩阵构成 m ×n m m 的集合 C 为 C 上的线性空间。 上的线性空间。
例 3 实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项 式集合 R[ x ]n 构成实数域 R上的线性空间 例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的 定义下也构成线性空间： 定义下也构成线性空间：
同理可得
1 ( (1 5) I A) X = 0 2
一个基础解系是
1 λ (1 5) 2 α2 = 2 = 1 1
令
λ1 λ2 U = 1 1
那么
λ1 0 U AU = 0 λ2
1
从而
λ1 0 1 λ1 k A =U U = 1 0 λ2
是可逆（非奇异）矩阵。 是可逆（非奇异）矩阵。 例 1：设 ：
A b)
n 1
0 1 0 1 0 0 1 , b = 2 A= 0 0 0 3
由于矩阵
b
Ab
1 2 3 A2b = 2 3 0 3 0 0
是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。 是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。 例 2：设 ：
c T c V = T n 1 c A
T
是可逆（非奇异）矩阵。 是可逆（非奇异）矩阵。 例 3：设 ：
1 1 T A= , c = [1 2] 1 1
由于矩阵
c 1 2 T = 3 3 c A
T
是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。 是可逆矩阵，所以相应的系统是可观测的。 例 4：设 ：
二 矩阵理论在生物数学中的应用 在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。 在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣 毛茛属的植物有 瓣花；许多翠雀属 的植物有5瓣花 的花瓣有 瓣；毛茛属的植物有 瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花 万寿菊的花瓣有 瓣花； 的花瓣有13瓣 紫菀属的植 的植物有 瓣花；万寿菊的花瓣有 瓣；紫菀属的植 物有21瓣花 大多数的雏菊 瓣花； 雏菊有 ， ， 瓣花。 物有 瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外， 向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序 叶序中也存 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 级数模式。 在此种现象。这就是著名的 级数模式 们称下面的数列
为 分别为
维输出向量，矩阵 型矩阵且均为时间
的函数矩阵。 定义：如果上述方程中的矩阵 都是常 数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形 方程为
考虑一个线性定常系统
& X = AX + BU Y = CX + DU
定义：对于上述系统，如果从状态空间中的任意一 点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间 内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的； 否则，称该系统是不可控的。 定义：对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以 由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维 零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的 ;否则，称该系统是不可观测的。
λ1k λ2 1 0
0 k λ2
1 1 λ2 1 λ1 k 1 λ = 5 5 λ1 1
k +1
λ2 1 λ2
k
k +1
λ2 1 λ1
由递推公式以及初始条件可得
f k +1 1 f = Ak 0 k
比较上式的第二个分量得
1 k k fk = ( λ1 λ2 ) 5 1 1+ 5 k 1 5 k = ) ( ) ( 2 5 2
0 0 0 0 1 0 0 , b = 1 A= 0 1 0 1
由于矩阵
b
Ab
0 0 0 2 1 0 0 A b = 1 1 0
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。 是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。 定理： 定理： 上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要 条件是可观测性判别矩阵
矩阵分析
主讲教师：魏丰
第一章
线性空间和线性映射
矩阵理论的简单应用
一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用 线性系统的状态空间性方程为
& X = A ( t ) X + B ( t )U ; Y& = C ( t ) X + D ( t ) U ,
其中 U (t ) 为 l 维输入变量， X (t ) 为 维状态向量，
我们再以多输入多输出系统为例 。 考虑系统下面的多输入多输出系统： 考虑系统下面的多输入多输出系统：
第一章线性空间与线性映射1
第一章 线性空间与线性映射线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的性质、线性映射与矩阵的关系等。
§1.1 数 域定义1 设F 是至少包含两个数的数集，如果F b a ∈∀,均有ab b a ,±F b ba∈≠)0(,，则称F 是数域。
例1 全体实数构成实数域，记为R 。
全体复数构成复数域，记为C 。
全体有理数构成有理数域，记为Q 。
例2 全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。
例3设{|,}F a a Q b Q =∈∈，证明F 是数域。
证明 ,F αβ∀∈，则1122,,,a b a b Q ∃∈，使得1122,a a αβ==，易证,αβαβ±,(0)F αββ≠∈。
例4 证明任何数域F 都包含有理数域。
证明 因为F 中至少包含两个不同元素，所以0,≠∈∃a F a ，由运算的封闭性知F aa∈=1，112,123,F +=+=∈ 121,132F -=--=-∈，所以F 包含了全体整数，又由除法封闭性知F 包含有理数域。
和号：∑∑∑∑=====∈n j mi j i m i nj ji j i a aF a 1111,§1.2 线 性 空 间在线性代数中n R 是n 维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空间。
定义1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V 关于加法封闭，即,,x y V ∀∈有唯一的V y x ∈+。
在F 与V 之间定义一种运算称之为数乘，即V x F ∈∈λ∀,有唯一确定的V x ∈λ=ω与之对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V 为数域F 上的线性空间，V 中元素也称为V 中的向量，也记)(F V V =。
V y x x y y x ∈∀+=+,.1V z y x z y x z y x ∈∀++=++,,)()(.2.3V θ∃∈使,x x x V θ+=∀∈，称θ为零元素，也记为0。
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章函数逼近与曲线拟合3.1内积空间；3.2函数的最佳平方逼近；3.3正交多项式（用正交函数系作最佳平方逼近）；3.4曲线拟合的最小二乘法；3.5三次样条插值；第四章数值积分4.1数值求积公式的基本概念；4.2牛顿－柯斯特公式；4.3复化求积公式及其收敛性；4.4高斯型求积公式；4.5数值微分；第五章常微分方程的数值方法5.1欧拉方法及其截断误差和阶；5.2龙格－库塔方法；5.3单步法收敛性与稳定性；5.4线性多步法；5.5预测－校正技术和外推技巧；第六章线性代数方程组的解法6.1预备知识（向量与矩阵范数，范数的连续性定理，范数等价性定理范数收敛性，矩阵的算子范数矩阵特征值的上界等）；6.2高斯消去法，高斯主元素消去法；6.3矩阵分解及其在解方程组中的应用；6.4误差分析；6.5线性代数方程组的迭代解法；第七章线性代数方程组的解法7.1二分法；7.2简单迭代法；7.3迭代过程的加速；7.4Newton迭代法；7.5弦截法与抛物线法；第八章矩阵特征值与特征向量计算8.1幂法与反幂法；8.2Jacobi方法；8.3QR方法；。
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用iiE 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，iiE ，ijE 都是对称矩阵，iiE 有(1)2n n -个.不难证明iiE ，ijE 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A EE E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-.方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基;(2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA 可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A 在21,(),(),,()n -ξξξξA AA下矩阵表示为n 阶矩阵000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A 的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求;(2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。
矩阵分析课件(1-1,4)
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
矩阵分析第一章课件.ppt
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
矩阵分析第一章
类似地, 还可定义多个集
注 1.1.3 (表示映射的带尾与不带尾的箭头的区别) 从集合 S 到集合 S 的映射 f 这一事实用不带尾的箭头表示, 即 f :S →S ; 而映射 f 把集合 S 中的元素 a ∈ S 映为集合 S 中的元素 b ∈ S 这一事实, 用带尾的箭头表示, 即 f :a ab. 这种记号约定在数学文献中已很普遍. 另外, 要习惯于将运算视为映射的观点. 例如, 整数集合 Z 上的加法运算+就决定了如下映射
[α1
α2
理解; 右边的 0 为线性空间 V 中的零元素. 另一方面, V 中的向量组 α ,α ,K,α 线性无关, 就是以该向量组拼成的抽象矩阵为系数矩阵的抽象齐次 线性方程组
n n n n n
几何空间中的有向线段} = { AB : A, B两点都取遍几何空间} ,
这里第二个加号“+”按例 1.1.1 中的(1.1.2)式来理解; 给定 f ∈ F ( I , R ) ,
n
f + g : t a f (t ) + g (t ) , f ⋅ k : t a f (t ) ⋅ k ,
n n 1 2 p 1 2 p
称为向量组 α ,α ,K,α 拼成的抽象矩阵.
1 2 p
[α1
α2 L α p ]
定义 1.1.3 (向量组的线性相关性) 设 V 是 F 上的线性空间, α ,α ,K,α 是V 中的一个向量组. (1) 向量组 α , α ,K, α 称为线性相关的, 如果存在不全为零的 p 个数 k ∈ F ,
2
或写成列
( s1 , s2 ) ≠ ( s2 , s1 ) .
依赖于约定, 或有时只是为了节省书写篇幅. 这里应注意顺序: 合的积. 特别地, 我们有
矩阵分析 第一章
矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij =a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为： Ax=∇f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x 处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题.这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S ，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S 中元素a 和S'中元素对应，记为 a'=σ(a),或σ：a →a'. 映射最本质的特征在于对于S 中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
《矩阵分析》
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
数乘运算：设 k为数域 p 中的数，向量
ka1,ka2,L ,kan 称为向量 a1,a2,L ,an
与数 k 的数量乘积。记为 k
数乘运算满足下列四条规则：
50 1 60 k(l ) (kl )
70 k l k l
80 k( ) k k , 是n维向量，k, l P
则与的和 为
(a b ,a b , ,a b )
1
1
2
2
n
n
负向量：向量 (a ,a , ,a )
1
2
n
称为向量 的负向量
向量的差 ( )
加法运算满足性质
10 20 ( ) ( ) 30 0
40 0
注： 零向量和负向量是唯一的
满足: , V
(4) 对于 V , V ,使
在集合V的元素与数域F之间还定义一种运算,叫乘法.即对于
V中任一元素 与数域F中任一数k,在V中有唯一 与它们对应,称为k与 的数乘积,记为 k 且满足:
(1)1 (2)k(l ) (kl) (3)(k l) k l (4)k( ) k k
问题3：全体正实数R ,加法“”和数乘“”分别
定义为：a,b R , k R, R是否为R上的线性空间？
a b ab
k
a
ak
,
例：设A Rmn , 记 N ( A) {x Rn , Ax 0},则N ( A)为R上的线性空间. 称其为矩阵A的核或零空间。
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第 1 章线性空间和线性变换（详解）1-1证：用 E ii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为 1外，其余元素全为 0 的矩阵 . 用E ij(i j , i1,2,, n1) 表示n阶矩阵中除第 i 行，第 j 列元素与第 j 行第 i 列元素为1 外，其余元素全为0的矩阵.显然， E ii，E ij都是对称矩阵， E ii有 n( n1)个.不难证明E ii，E ij是线性无关的，2且任何一个对称矩阵都可用这n+ n( n1)= n( n 1)个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成n(n 1)维线性空间 .222同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为n(n 1).2评注 : 欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个n(n 1)维线性空间，只需找出n(n 1)个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这2n(n 1)个向量线性表示即22可.1-2 解:令x1 1 x2 2x3 3x4 4解出 x1 , x2 , x3, x4即可.1-3解：方法一设A x1E1x2E2x3E3x4E4即12111111100 3x1 1 1x2 1 0x3 0 0x4 00故1 2x1x2x3x4x1x2x303x1x2x1于是x1x2x3x41, x1x2x3 2x1x20, x13解之得x1 3, x23, x32, x41A E,E,E,E(3, 3,2,1)T方法二应用同构的概念，R2 2是一个四维空间，并且可将矩阵 A 看做(1,2,0,3)T，E1,E2, E3, E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有1111110003111020100311000001021000300011因此 A 在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,3,2,1)T.1-4 解：证：设k1 1k22k33k440即11111110k1 1 1k2 0 1k3 1 0k4 1 1k1k2 k3k4k1k2k3k1k3k4k1k2k4于是k1k2k3k40,k1k2k30k1k3k40, k1k2k40解之得k1k2k3k40故α,α,α,α 线性无关.1234设a b11x211x31110c d x110110x41 11x1x2x3x4x1x2x3x1x3x4x1x2x4于是x1x2x3x40, x1x2x30x1x3x40, x1x2x40解之得x1b c d2a, x2a cx3 a d , x4a bx1, x2 , x3 , x4即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）1p( x) 1 2x31,x, x2, x302y123y 21,x 1,( x 1) ,( x1)y3y4又由于1,x1,( x1)2 ,( x1)311111,x, x2 , x30123 0013 0001于是 p( x) 在基1, x1,( x1)2 ,( x1)3下的坐标为y11111113y2012306y3001306y4000122方法二将 p(x) 12x3根据幂级数公式按x 1 展开可得p( x) 1 2x3p(1)p (1)(x1)p (1) (x1)2p (1)( x1)32!3!36(x1)6(x1)22(x1)3因此 p( x) 在基1, x1,( x1)2 ,( xT 1)3下的坐标为3,6,6, 2.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设β,β,β,βα,α,α,αP将 α1,α2 ,α3, α4 与 β1, β2, β3,β4 代入上式得2 0 5 6 1 0 0 1 13 3 6 1 1 0 01 12 1 0 1 1 P0 1 01 30 1 1故过渡矩阵10 01 10 5 62 P1 1 0 0 1 3 3 61 10 1 1 2 10 0 1 1 10 1 3121 22231 5 42 211 9 52 232 11 82 2②设1y 1ξ0 β β β β y 21 ( 1, 2, 3 , 4 )y 3y 4将 β1, β2, β3, β4 坐标代入上式后整理得719 y 1 2 0 5 6 1 8 y 2 1 3 3 6 0 27 y 3 1 1 2 1 1 1 y 411 33 227评注 ：只需将iβ1,β2 ,β3, β41,2,3,4P计算出, β代入过渡矩阵的定义α α α α P .1-7 解：因为span{ α1, α2}span{ β1,β2}span{ α1, α2, β1,β2}由于秩 span{ α1,α2 , β1, β2}3 ，且α1, α2, β1是向量α1, α2, β1,β2的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为α1,α2,β1.方法一设ξ span{α1,α2}span{ β1, β2} ，于是由交空间定义可知112121k31k41k1k210130117解之得k1l2 , k24l2 ,l13l2 (l2为任意数)于是ξ k1α1k2α2l 2[5,2,3,4] T( 很显然ξl1 1l2 2 )所以交空间的维数为 1，基为[5,2,3,4] T.方法二不难知span{ α1,α2}span{ α1,α2}, span{ β1,β2} span{ β1, β2}其中α[ 2, 2,0,1] T, β[13,2,1,0] T.又span{ α1,α2 }也是线性方程组223x1x32x4x22x3x4的解空间 . span{β1,β2}是线性方程组x113x32x4 3x22x3x4的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组x 1 x 3 2x 4x 2 2x 3 x 4x 1 13x 3 2x 4x 2 32x 3x 4的解空间，容易求出其基础解系为[ 5,2,3,4] T ，所以交空间的维数为1，基为[ 5,2,3,4] T .评注：本题有几个知识点是很重要的.(1)span{ α1,α2 , , αn } 的 基 底 就 是α1, α2, , αn 的极大线性无关组. 维数等于秩{ α1,α2 ,,αn } . (2) span{α1, α2} span{ β1, β2} span{ α1,α2 , β1, β2} . (3) 方法一的思路，求交span{ α,α} span{ β, β} 就是求向量 ，既可由 α, α 线性表121 2ξ1 2示，又可由 β, β线性表示的那部分向量 . (4) 方法二是借用“两个齐次线性方程1 2组解空间的交空间就是联立方程组的解空间” ，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解 .1-8 解:(1):解出方程组 （Ⅰ）x 1 2x 2 x 3 x 45x 1 10x 2 6x 3的基础解系 ,即是 V 1 的基 ,4 x 4 0解出方程组 （Ⅱ） x 1x 2 x 3 2 x 4 0 的基础解系 ,即是 V 2 的基 ;x 12x 2 x 3x 4 0(2): 解出方程组5x 1 10 x 2 6x 3 4 x 4 0 的基础解系 ,即为 V 1V 2的基 ;x 1 x 2x 32x 4 0(3): 设 V 1 span 1,,k,V 2 span1 ,, l ,则1 ,, k ,1 ,, l 的极大无关组即是V 1 V 2 的基 . 1-9 解 : 仿上题解 .1-10 解 : 仿上题解 . 1-11 证：设l 0ξ l 1A (ξ) l 2A2(ξ)l k 1Ak 1(ξ) 0①用 A k 1 从左侧成 ① 式两端，由 A k (ξ) 0 可得l 0A k 1 (ξ) 0因为 A k 1 (ξ) 0 ，所以 l 00，代入 ①可得l 1A (ξ) l 2A 2 (ξ)l k 1A k 1 (ξ) 0②用k 2kA从左侧乘②式两端，由Aξ0可 得 l0 0，继续下去，可得( )l 2l k 1 0 ，于是 ξ,A (ξ), A 2 (ξ), ,A k 1(ξ) 线性无关 .1-12解：由 1-11可知， n 个向量 ξ 0,A ( ),A2(ξ),,An 1 (ξ)线性无关，它是 V 的ξ一个基 . 又由ξξ2ξ,An 1ξA [,A( ),A( ),( )][A (ξ),A 2(ξ), ,A n 1(ξ)][A (ξ),A2(ξ),,An 1(ξ),0]0 0 0 010 0 ξξ2ξ ,An 1ξ 0 1[,A (),A( ),( )]0 0 0 010 n n所以 A在, (ξ),A 2(ξ), ,An 1(ξ)下矩阵表示为 n 阶矩阵ξA0 0 0 01 0 0 00 10 00 0 0 0 n0 01V 中任何一组 n个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，评注 ： 维线性空间 因此 ξ,(ξ), A 2(ξ), ,A n1(ξ)是 V 的一个基 .A1-13 证: 设 1, , r , , s1 , , m A, A 1, , r , , s设 1 , , r 是 1,, r ,, s 的极大无关组，则可以证明1,, r 是 1, , r,,s 的极大无关组 .1-14 解： (1) 由题意知A [α1, α2,α3 ] [ α1,α2 ,α3] A1 1 1[β, β, β] [ α,α , α ] 0 1 11 231 230 0 1设 A在基 β1, β2, β3下的矩阵表示是 B ，则1 1 112 3 1 1 11BP 1AP 01 11 0 3 0 1 10 0 1 2 1 5 0 0 12 4 434 6238(2) 由于 A0 ，故 AX 0 只有零解，所以 A的核是零空间 . 由维数定理可知A 的值域是线性空间 R 3 .1-15 解 :已知 A1,2,31,2,3A(1) 求得式 1 , 2 , 3 1 ,2 ,3 P 中的过渡矩阵 P ,则BP 1AP 即为所求 ; (2) 仿教材例 1.5.1.(见<矩阵分析 >史荣昌编著 .北京理工大学出版社 .)1-16 解 :设 A1 ,2 ,3 , 则 R( A)span1 ,2 ,3 ; N ( A) 就是齐次方程组 Ax的解空间 .1-17 证 :由矩阵的乘法定义知AB 与 BA 的主对角线上元素相等 , 故知 AB 与 BA 的迹相等 ; 再由 1-18题可证 .1-18 证 :对 k 用数学归纳法证。
线性空间和线性映射(1)
零的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的 ;
否则，称该系统是不可观测的。
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4
我们首先以单输入单输出系统为例 。 考虑下面的单输入单输出系统：
x Ax bu
y cT x 其中 b 和 c 是 n 维矢量， A是 n n矩阵， u 及 y 是标量。
定理1 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要
例4 在4维线性空间 R22中，向量组
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31
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
0
A 1 0 0 , b 1
0 1 0
1
由于矩阵
0 0 0 b Ab A2b 1 0 0
1 1 0
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7
是不可逆（奇异）矩阵，所以对应的系统 是不可控的。
定理2 上面的单输入单输出系统是可观测的充分 必要条件是可观测性判别矩阵
cT
V
cT A
cT
An1
是可逆（非奇异）矩阵。
那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
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25
例1 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n为一
组互不相同的实数。
例2 实数域 R上的线性空间 RR中，函数组