邱关源《电路》第五版第7章一阶电路
电路课件_第7章(第五版_邱关源_高等教育出版社)
2. 非独立的初始条件 除电容电压、电感电流外，其它初始条件都为非独立初始条 件，都可以跃变。根据以求得的uc（0+）和iL（0+）及KVL、 KCL求之。 求 初 始 值 的 步 骤 : 1). 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2). 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 a. 换路后的电路 3). 画0+等效电路。 b.电容用电压源、电感用电流源替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的方向相同）。 4). 由0+电路求所需各变量的0+值。
0 0
0
i ()d
uC (0+) = uC (0－)
结论：
q =C uC
q (0+) = q (0－)
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
电感的初始条件：
1 t i L ( t ) i L (0 ) u()d L 0
iL
+
u
L
0+等效电路
电容用电 压源替代
10 8 iC ( 0 ) 0.2mA 10
iC(0－)=0 iC(0+)
例2
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) 解 先求 i L (0 ) 1 4 1 4 K
L
iL
+
uL
10V
0+电路
-
10V
电 感 短 路
1
4 uL
10 i L (0 ) 2A 1 4
+
48V
+
K L iL uL 2
3 C
电路第五版 罗先觉 邱关源 课件(第七章)课件
2
零输入响应：仅由电路初始储能引起的响应。
（输入激励为零） 零状态响应：仅由输入激励引起的响应。 （初始储能为零）
1. RC电路的放电过程：
如右图，已知uc(0-)=U0，S 于t=0时刻闭合，分析t≧0 时uc(t) 、 i(t)的变化规律。 +
i(t)
S uc(t) R
+ uR(t) -
(a)
i ()=12/4=3A
例3：如图(a)零状态电路，S于t=0时刻闭合，作0+图 并求ic(0+)和uL(0+)。 S Us ic
+ uc -
R2 L
S
↓iL
ic(0+) C
Us R1
R2 L
C R1
+ uL -
+ uL(0+) -
(a) 解: ① t<0时，零状态 →uc(0-)=0 iL(0-)=0 ② 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0 作0+图： 零状态电容→零值电压源 →短路线 零状态电感→零值电流源 →开路 ③ 由0+图有：ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us
uc(0+)= uc(0-) =8V
② 由换路定理有： iL(0+)= iL(0-) =2A 作0+等效图（图b）
S i 12V + R3 Us
2 R1 + uc (a) + R2 5 ic + iL 12V uL 4 i(0+) Us
R1 +
5
ic(0+) 8V
《电路原理》第五版习题解答,邱关源,罗先觉(第七章)
小结
一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
uc
uS (t)
(t >0)
i
R+
－
uC＋
uL
–
L
C 二阶电路
结论：
描述动态电路的电路方程为微分方程； 动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数.
动态电路的分类：
一阶电路: 二阶电路:
一阶电路中只有一个动态元件,描述电
路的方程是一阶线性微分方程。
a1
dx dt
i1(0 ) 0
u2 (0 ) uC (0 ) 10V
u2 (0 ) 0
i2 (0 ) u2 (0 ) / R2 5mA iC (0 ) i1(0 ) i2 (0 ) 5mA
i2 (0 ) 0 iC (0 ) 0
例2 t=0时闭合开关，试求开关转换前和转换后瞬间 的电感电流和电感电压。
当t=0+时上式变为:
t
uC (0 ) Ae RC A
根据初始条件 :
uC (0 ) uC (0 ) U0
求得:
A U0
uC (t)
U 0e pt
t
U 0e RC
(t 0)
电流方面：
iC (t)
C
duC dt
U0 R
-t
e RC
iR (t) iC (t)
U0
-
e
t RC
R
t
uC (t ) U0e RC
电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
iL I0
uL
0 2 3 t
《电路》第五版 课件 第7章
c
全解
uc = uc′ + uc′′ = U s + Ae
由初始条件u 确定积分常数A 由初始条件 c(0+)=U0确定积分常数
uc (0+ ) = A + U s = U 0
∴ A = U0 − U s
− 1 t RC
uc (t ) = U s + (U 0 − U s )e
强制分量 稳态分量） （稳态分量）
1 t = iL (0− ) + ∫ u (ξ )dξ L 0−
Ψ=LiL
ψ = ψ (0− ) + ∫ u (ξ )dξ
0−
t
当u(ξ) 为有限值时 iL(0+)=iL(0-) Ψ(0+)=Ψ(0-)
∫0
0+
−
u (ξ )dξ → 0
磁链守恒
换路定理
uc(0+)=uc(0-) q(0+)=q(0-) iL(0+)=iL(0-) Ψ(0+)=Ψ(0-)
t
uc(0-)
换路定理
t =0+等 等 效电路
uc(0+)
ic(0+)
(1)由t=0-电路求uc(0-) 电路求 (1)由 电路 uc(0-)=8V ic(0-)=0≠ic(0+) (2)由 电阻(2)由换路定理
电路
uc(0+)=uc(0-)=8V
电阻 (0 ) ic + 电路
电路求 (3)由 (3)由t=0+电路求ic(0+)
思考题： 思考题：含有两个储能元件的电路
求iC(0+)和uL(0+) 和
电路 第五版 高等教育出版社 邱关源著 ppt教案 第七章下
p1,2
R 2L
(R)2 1 2L LC
共轭复根
令 ： R (
2L衰ຫໍສະໝຸດ 减系 0数 L1) C(,谐
振
角
频
2 0
2
(固有振荡角频率p)j
u uC C 的 解A 1 答e p 形1 t 式A ：2 e p 2 t e t( A 1 e j t A 2 e j t)
经常写为： uCA etsint ( )
特征方程： LC 2p RC 1p 0
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特征根： pR R24L/C R ( R)2 1
2L
2L 2L LC
2. 零状态响应的三种情况
R2 L 二 个 不 等 负 实过根 阻尼 C
R2 L 二 个 相 等 负 实临根界阻尼 C
R2 L 二 个 共 轭 复 根欠阻尼 C
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第七章 一阶电路和二阶电路 的时域分析(下)
7-1 动态电路的方程及其初始条件
7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7-2 一阶电路的零输入响应
7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
7-3 一阶电路的零状态响应
*7-9 卷积积分
7-4 一阶电路的全响应
*7-10 状态方程
7-5 二阶电路的零输入响应
*7-11 动态电路时域分析中的几个问题
t=2 tm时 uL 最大
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uLLd dti(p 2U 0 p1)(p1ep1t p2ep2t)
iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下:
(pe pe )0 p1t 1
p2t 2
p1t m
p e 2
p1
e p2tm
由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t 。
电路第五版邱关源课件 第七章
1 C
t RC
e
t 0
t RC
C
1 C
+ uc
-
uc R
1 RC
uc ( 0 )
t 0
1 C
e
uC
uc
1 C
t RC
注意
e d uc dt
(t )
1 RC
t RC
t 0
e
iC
ic C
(t )
(t )
1 RC
1
t
例2
R
+ uL iL (0 ) 0
f(0)(t)
同理有：
f ( t ) ( t t 0 ) d t f ( t 0 )
(t)
(1) f(0)
f(t) t
* f(t)在 t0 处连续
0
二. 单位冲激响应
(t)
h(t)
零状态
1. 冲激函数作用于储能元件 当把一个单位冲激电流 i ( t ) （其单位为A）加到初始电 压为零且C=1F 的电容上，则电容电压u c为
dt 0
0
uc R
dt 0 ( t ) dt
0
=0
=1
uc (0 )
C [ u c ( 0 ) u c ( 0 )] 1
1 C
uC (0 )
电容中的冲激电流使电容电压发生跳变
b. t > 0+ 零输入响应（RC放电）
ic R
uc
ic
4. 单位冲激函数δ(t)对时间的积分等于单位阶跃函数ε(t)，即
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
邱关源《电路》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
（3）图1-14(c)所示
电阻吸收功率：
电流源u、i参考方向关联，吸收功率： 电压源u、i参考方向非关联，发出功率： 1-6 以电压U为纵轴，电流I为横轴，取适当的电压、电流标尺，在同一坐标上：画出以下元件及支路的电 压、电流关系(仅画第一象限)。 (1)US =10 V的电压源，如图1-15(a)所示； (2)R=5 Ω线性电阻，如图1-15(b)所示； (3)US 、R的串联组合，如图1-15(c)所示。
（a） （b） 图1-4
说明：a．电压源为一种理想模型；b．与电压源并联的元件，其端电压为电压源的值；c．电压源的功率
从理论上来说可以为无穷大。 ② 理想电流源
理想电流源的符号如图1-5（a）所示。其特点是输出电流总能保持一定或一定的时间函数，且电流值大小 由电流源本身决定，与外部电路及它的两端电压值无关，如图1-5（b）所示。
1-3 求解电路以后，校核所得结果的方法之一是核对电路中所有元件的功率平衡，即一部分元件发出的总 功率应等于其他元件吸收的总功率。试校核图1-12中电路所得解答是否正确。
图1-12 解： A元件的电压与电流参考方向非关联，功率为发出功率，其他元件的电压与电流方向关联，功率为吸
收功率。
总发出功率：PA =60×5=300 W； 总吸收功率：PB ＋PC ＋PD ＋PE =60×1＋60×2＋40×2＋20×2=300 W；
目 录
8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解 第9章 正弦稳态电路的分析 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 9.3 名校考研真题详解 第10章 含有耦合电感的电路 10.1 复习笔记 10.2 课后习题详解 10.3 名校考研真题详解 第11章 电路的频率响应 11.1 复习笔记 11.2 课后习题详解 11.3 名校考研真题详解 第12章 三相电路 12.1 复习笔记 12.2 课后习题详解 12.3 名校考研真题详解 第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 名校考研真题详解 第14章 线性动态电路的复频域分析 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 名校考研真题详解 第15章 电路方程的矩阵形式 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 名校考研真题详解 第16章 二端口网络 16.1 复习笔记
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第7章一阶电路●本章重点1、暂态及其存在原因的理解；2、初值求解；3、利用经典法求解暂态过程的响应；4、利用三要素法求响应；5、理解阶跃响应、冲激响应。
●本章难点1、存在两个以上动态元件时，初值的求解；2、三种响应过程的理解；3、含有受控源电路的暂态过程求解；4、冲激响应求解。
●教学方法本章主要是RC电路和RL电路的分析，本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法，共用6课时。
课堂上要讲解清楚零输入响应、零状态响应、全响应、稳态分量、暂态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念，还列举大量例题加以分析和求解。
使学生理解动态电路响应的物理意义并牢固掌握响应的求解方法。
●授课内容6.1 动态电路的方程及其初始条件一、暂态及其存在原因暂态：从一种稳态到达另一种稳态的中间过程（动态过程、过渡过程）。
存在原因：1）含有动态元件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==dt di C u C dtdi L u L ::2）存在换路：电路结构或参数发生变化描述方程：微分方程一阶电路：能够用一阶微分方程描述电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述电路。
解决方法：经典法、三要素法。
二、换路：电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。
换路时刻0t （通常取0t ＝0），换路前一瞬间：0_t ，换路后一瞬间：0t +。
换路定则 c 0c 0()()u t u t +-= L 0L 0()()i t i t +-=C 0C 0()()i t i t +-≠， L 0L 0()()u t u t +-≠， R 0R 0()()i t i t +-≠，R 0R 0()()u t u t +-≠三、初始值的计算：1. 求C 0L 0(),()u t i t --： ①给定C 0L 0(),()u t i t --；②0t t <时，原电路为直流稳态 ： C —断路 L —短路③0t t -=时，电路未进入稳态 ： 0C 0C ()()|t t u t u t --==，0L 0L ()()|t t i t i t --==2. 画0t +时的等效电路： C 00()()u t u t +-=，L 0L 0()()i t i t +-= C —电压源 L —电流源3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。
例1：已知：0t <时，原电路已稳定,0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，各物理量的初始值。
解： 1. 求C L (0),(0)u i --：0t -=时，C L (0)7.5V,(0)0.25A u i --==2. 画0t +=时的等效电路：3. 0t +=时：R1(0)0.2510 2.5V u +=⨯= R27.5(0)0.5A 15i +== L R1C (0)(0)10(0)0u u u +++=-+-= 2C L R (0)(0)(0)0.25i i i A +-+=-=-例2：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，1(0),(0)i i ++。
C (t ) _7.5V +_C (0-)解：1. 求C (0)u -：0t -=时：C 1111C (0)14(0)10(0)4(0)(0)(0)4(0)(0)2A (0)28Vu i i i i i i i u ---------==+⎧⎪+=⎪⎨==⎪⎪=⎩ 2. 作0t +=时的等效电路：0t +=时：11(0)(0)414(0)7(0)28i i i i +++++=⎧⎨=+⎩ 184(0)A,(0)A 33i i ++∴==6.2 一阶电路的零输入响应R C S KVL :()()(0)u t u t u t ++=≥C C C R C VAR :,du dui Cu Ri RC dt dt=== C C S C (0)(0)?du RC u u t dt u +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。
10i 1(0+) +_ +_Uu C + _一、RC 放电过程已知：0t -=时，电容已充电至0U求0t +≥后的C R C (),(),()u t u t i t 。
1. 定性分析：0t -=时，C 0(0)u U -=，R S 0(0)u U U -=-，S 0C (0)U U i R --=0t +=时，C C 0(0)(0)u u U +-== R 0(0)u U +=-0(0)C Ui R+=-C ,t u ，R C ,u i ； C R C ,0,0,0t u u i →∞→→→2. 定量分析：0t +≥时，C C C 00(0)du RC u dt u U ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ C ()et RCu t K -=令0t +=，C 0(0)1u K U +=⋅=C 0()e(0)t RCu t U t -+∴=≥R C 0()()e (0tRCu t u t U t -=-=-≥0R C ()()e(0tRCU u t i t t R R-+==-≥_u R (t )+ C U()(0)e(0)t RCf t f t -++=≥3. 时间常数： RC τR ：由动态元件看进去的戴维南等效电阻[]τ⋅⎡⎤⎡⎤=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦伏特库仑安培秒＝＝秒安培伏特安培C 0:()u t τ的物理意义衰减到36.8％C 0()u t 所需时间C 0()e(0)t RC u t U t -+=≥0C 00()et RCu t u -=00C 000C 0()e ee()0.368t t RCRCRCu t u U u t τττ+---+===⨯τ的几何意义：由0C 0[,()]t u t 点作C ()u t 的切线所得的次切距。
4t τ≥时，电路进入新的稳态,4C 0C 0C 0(4)()e 1.82%()0u t u t u t τ-+==≈211422()4e V (0)2s ()4e V (0)4st t u t t u t t ττ-+-+=≥==≥=可见，时间常数反映了物理量的变化快慢，τ越小，物理量变化越快。
u C (t 0+τ)=36.8%二、RL 放磁过程已知0t -=时，L 0(0)i I -=，求0t +≥时的L L (),()i t u t . 利用对偶关系：LC LC i u L C u i GRRC 串联：C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩ RL 并联：LL L 00(0)(0)di GL i t dt i I ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩L 0()e(0)tGLi t I t -+=≥ L GL Rτ==0L ()e(0)tGLI u t t G-+=-≥ ()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥故求一阶电路的零输入响应时，确定出(0)f +和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。
6.3 一阶电路的零状态响应零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。
_u L (t )+ _L (t )1、RC 充电过程已知C (0)0u =，求0t ≥时的C R C ,,u u i 。
1. 定性分析：0t +=时，(0)0C u += R S (0)u U += SC (0)U i R+= C,tu ，R C ,u i ； C S R C ,,0,0t u U u i →∞→→→2. 定量分析： C C S C (0)(0)0du RCu U t dtu +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩C Cp Ch ()()()u t u t u t =+Cp ()u t 为非齐次微分方程任一特解， Ch ()u t 为对应齐次微分方程的通解，cp u —强制响应，与输入具有相同形式， cp S ()u t A A U =⇒=，cp S ()u t U ∴=/ch ()e t RC u t K -=—固有响应，与电路结构有关。
∴ C S ()etRCu t U K -=+0t +令＝ C S S (0)0u U K K U +=+=⇒=-U U+ _ C (t ) + _U + _ _C S S S ()e(1e)(0)t t RCRCu t U U U t --+∴=-=-≥R S C S ()()et RCu t U u t U -=-= (0)t +≥ S R C ()e tRCU u i t R R-== (0)t +≥C Cp Ch S C ()()()e()(1e )(0)ttRCu t u t u t U K u t τ--+=+=+=∞-≥其中：S U 为稳态响应（C ()u ∞），et RCK -为暂态响应（必将衰减为0）RC τ=为时间常数C 0S ()(1e)t u t U τ-=-0C 0S ()(1e)t u t U τττ+-+=-01S S S (1e )(1e )(1e )t tU U U ττ---⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦[]C 0S C 0()63.2%()u t U u t =+-即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始值差值的63.2%处所需的时间。
4t τ≥ 时，电路进入新的稳态。
3. 充电效率ηu C (t 0t 0)()100%()()C R C W W W η∞⨯∞+∞22C C S1()()22C W Cu U ∞=∞= 222S R C S 0()(e )2tRC U C W Ri dt R dt U R -∞∞∞===⎰⎰50%η∴=例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的C 0(),()u t u t 。
解：已知(0)0C u =1. C ()u ∞： t →∞时，C 2()V 3u ∞=2. 求τ eq 23R =Ω2s 3τ∴=1.5C 2()(1e )V (0)3t u t t -+∴=-≥1.50C 12()1()e V (0)33t u t u t t -+=-=+≥)Ω二、RL 充磁过程已知：L (0)0i =。
求：0t +≥时的L ()i t 利用对偶关系RL 充磁过程 LL S L (0)(0)0di GLi I t dti +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ L S L ()(1e)()(1e )(0)t tGLi t I i t τ--=-=∞-≥例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =求0t +≥时的L o (),()i t i t解：已知L (0)0i =1.求L ()i ∞ t →∞时 L ()3A i ∴∞=2. 求τ102s 5L R τ∴===5(t )i 0(L (∞)55R eq =5ΩL (t )I S =U S /2L ()3(1)A(0)t i t e t -+∴=-≥LL 2o 410()20.5e A(0)6tdi i dt i t t -++==+≥6.4 一阶电路的完全响应完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。