高中数学高考总复习复数习题及详解
高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i2－3i＝( ) A ．i B ．－i C ．12－13i D ．12＋13i [答案] A [解析]3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋9i ＋4i －613＝i .2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4C ．－1和4D ．－1和6 [答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．(文)已知复数z ＝11＋i，则z －·i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析]z＝1－i2，z－＝12＋i2，z－·i＝－12＋12i.实数－12，虚部12，对应点⎝⎛⎭⎫－12，12在第二象限，故选B.(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1z()A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案] C[解析]解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ.则z2＋1z＝cos2θ＋i sin2θ＋1cosθ＋i sinθ＝2cos2θ＋2i sinθcosθcosθ＋i sinθ＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，∴z2＋1z＝z＋1z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数．．．．是()A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案] A[解析](3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为()A．－4B．4C．－1D．1[答案] A[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析]∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.(理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋b i等于()A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[答案] A[解析]a＋b i＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(e iθ)5＝e i(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数ab∈R，则实数x的值为() A．－6B．6D．－8 3[答案] C[解析]ab＝3＋2i4＋xi＝(3＋2i)(4－xi)16＋x2＝12＋2x16＋x2＋⎝⎛⎭⎫8－3x16＋x2i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋2z＝()A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [答案] C[解析]∵z＝1－i，∴z2＝－2i，2z＝21－i＝1＋i，∴z 2＋2z＝1－i ，选C.9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是( ) C ．2 D ．2 2 [答案] A [解析] ∵21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i 对应点为(1,1)，它到直线x －y ＋1＝0距离d ＝12＝22，故选A.10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于( ) A ．－34＋i－i ＋i D ．－34－i[答案] C[解析] 由z ＝2－|z －|＋i 知z 的虚部为1，设z ＝a ＋i (a ∈R )，则由条件知a ＝2－a 2＋1，∴a ＝34，故选C.(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z ＝a ＋i1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8 [答案] B[解析] z ＝a ＋i 1－2i ＝(a ＋i )(1＋2i )5＝a －25＋2a ＋15i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧a －25＝02a ＋15≠0，∴a ＝2，∴|a ＋2i |＝|2＋2i |＝2 2. 二、填空题11．规定运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i －i2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.[答案] 1－i[解析] 由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i .12．(2010·南京市调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案] －1[解析] 因为z 1·z 2＝(a －i )(1＋i )＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 13．(文)若a 是复数z 1＝1＋i2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________． [答案] －25[解析] ∵z 1＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋35i ，∴a ＝15.又z 2＝(1－i )3＝1－3i ＋3i 2－i 3＝－2－2i ，∴b ＝－2. 于是，ab ＝－25.(理)如果复数2－bi1＋2i(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________． [答案] －23[解析]2－bi 1＋2i ＝2－bi 1＋2i ·1－2i 1－2i＝2－2b 5－b ＋45i ，由复数的实数与虚数互为相反数得，2－2b 5＝b ＋45， 解得b ＝－23.14．(文)若复数z ＝sin α－i (1－cos α)是纯虚数，则α＝________. [答案] (2k ＋1)π (k ∈Z ) [解析] 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝01－cos α≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧α＝k πα≠2k π，所以α＝(2k ＋1)π (k ∈Z )．[点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．(理)(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i )(cos θ＋i sin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．[答案] －512[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ，∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512. 三、解答题15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a ＋1≠0，∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a ＋1≠0，∴a ≠－1且a ≠6，故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6＝0a ＋1≠0∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数． 16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1且z ＋2z ∈R 的复数z .[解析] 设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )， 由⎪⎪⎪⎪z ＋1z －1＝1?|z ＋1|＝|z －1|，由|(a ＋1)＋bi |＝|(a －1)＋bi |，∴(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，得a ＝0， ∴z ＝bi ，又由bi ＋2bi ∈R 得，b －2b＝0?b ＝±2，∴z ＝±2i .17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥00≤a ≤4b ≥0表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋bi (i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋bi －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
高中数学《复数》练习题(含答案解析)
高中数学《复数》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知()21i 32i z -=+，则z =（ ） A ．31i 2--B ．31i 2-+C ．3i 2-+D ．3i 2--2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1B ．–1C ．2D ．–23．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为55后这两个根分别记为5和5．若()55z =，则复数z =（ ）A ．1B ．1C D 4．已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +5．已知 i 为虚数单位， 复数12iiz +=， 则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i +D ．2i -6．复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3107．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（ ） A．1BC D ．28．若()()1i 11i z --=+，则z 的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i9．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 10．已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i --D ．32i +二、填空题11．若z C ∈，且25i z =-，则()Re z =________. 12．i 的周期性：当n 是整数时，41i n +=______，42i n +=_______，43i n +=______，4i n =_______．13．复数34i2i+=+___________.14．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．三、解答题15．已知复数14i1im z +=-（,i m ∈R 是虚数单位）. (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 16．在复数范围内分解因式： (1)4269++x x ； (2)4228--x x ．17．设虚数z 满足21510z +=． （1）求||z ；（2）若z aa z+是实数，求实数a 的值．18．（1）已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限，2z =，且2z z +=-，求z ； （2）已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.参考答案与解析：1．B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+， ()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅. 故选：B. 2．C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．C【分析】利用复数除法运算求得z .【详解】由()55z =，得25z ==== 故选：C ． 4．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 5．D【分析】由复数的除法法则求解即可 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z +-+===-⨯-, 故选：D 6．D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 7．B【分析】先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+，所以1x y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以i x y +== 故选：B. 8．B【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()1i 11i z --=+，所以()()()21i 12i 11i 1i 1i 2z ++--===-+，所以1i z =-，所以1i z =+， 所以z 的虚部为1． 故选：B 9．D【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证.【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误； 对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a bb a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ===，D 正确故选：D 10．A【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A 11．5【分析】推导出()52z i -=，从而2552z i i=+=-，由此能求出()Re z . 【详解】解：∈z C ∈，且25i z =-， ∈()52z i -=， ∈2225552iz i i i=+=+=-， ∈()5Re z =. 故答案为：5.【点睛】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念. 12． i 1- i - 1【分析】由2i 1=-及指数幂的运算性质依次对41i n +，42i n +，43i n +，4i n 变形即可得到答案. 【详解】由2i 1=-及指数幂的运算性质得：3i i =-，41i =414i i i ()i n n +==∴，4242()i 1i i n n +==-，4334()i i i i n n +==-，44i (i )1n n ==.故答案为：i ；1-；i -；1. 13．2i +##i+2【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】()()()()2234i 2i 34i 65i 4i 105i2i 2i 2i 2i 4i 5+-++-+====+++-- 故答案为：2i +14【分析】由已知可得12z z -，进而由()2121212z z z z z z -=--可得12212z z z z +=，从而有22212121221z z z z z z z z +=+++，故而可得答案.【详解】解：因为121z z -=，所以12z z -==又11z =，22z =，所以()212121211221221121222213z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=+--=+--=， 所以12212z z z z +=，所以()2221212122121217z z z z z z z z z z z z +=++=+++=，所以12z z +=15．(1)14(2)1144m -<<【分析】（1）化简复数z ，根据纯虚数的概念可求出m ； （2）求出z ，根据复数的几何意义可求出结果. 【详解】（1）因为14i 1im z +=-(14i)(1i)(1i)(1i)m ++=-+14(14)i2m m -++=是纯虚数， 所以140140m m -=⎧⎨+≠⎩，得14m =.（2）由（1）知，1414i 22m mz -+=+，1414i 22m m z -+=-， 所以z 在复平面内对应的点为1414,22m m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，依题意可得14021402mm -⎧>⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得1144m -<<.16．(1)22((x x(2)(2)(2)+-x x x x【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. （1）由于()()23x x x =+，所以()242222693((x x x x x ++=+=.（2）由于()()22x x x =+，所以()()42222824(2)(2)x x x x x x x x --=+-=+-.17．（1）（2）±【分析】（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠利用复数的模相等即得;（2）先化简z a a z+又因为是实数,故虚部为零,即得结果.【详解】设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠ ，则z x yi =- 1010z x yi +=+- 则2152()15(215)2z x yi x yi +=++=++215z +=1010z x yi +=+-=21510z +=即：2275x y+=即||z == （2）222222()()()a a x yi ax ayi ax ayi x yi x yi x yi x y x y x y --===-++⋅-+++ 22222222()()ax ay ax ay i i x y x y x y z a x yi a x y x y i a z a x yi a a a y a x -=+-+++++==++++++若z aa z+是实数，则22220(01)ay a y x y x y y a a -=⇒-=++22100aa y x y≠∴-=+ 即22275a x y =+=即a =±18．（1）1z =-；（2）2-【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z ； （2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m 的值.【详解】解：（1）设()i ,z a b a b R =+∈，由题意每224,22,a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a =-，b =∈复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∈b =∈1z =-.（2）()()()()()()()2221i 212i 32i 12i 32i 1i 1i 1i m m z m m +=-+-+=-+-+--+ ()()22623i m m m m =--+--，由题意得2260230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得2m =-。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-， 〔B 〕(13)-， 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______． 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
《复数》专项练习参考答案1．(2016全国Ⅰ卷,文2,5分）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )（A ）−3 （B ）−2 （C)2 （D ）3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．(2016全国Ⅰ卷,理2，5分）设(1i)1i x y +=+，其中x ,y 是实数,则i =x y +（ )（A ）1 （B)2 (C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |2,x x y x y x x y +==+=所以故故选B ．3．(2016全国Ⅱ卷，文2，5分）设复数z 满足i 3i z +=-，则z ＝（ ) (A ）12i -+ （B ）12i - （C)32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C ． 4．（2016全国Ⅱ卷,理1，5分)已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ )(A ）(31)-， （B)(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，5．(2016全国Ⅲ卷，文2，5分）若43i z =+，则||zz ＝( )（A)1 （B)1- （C ）43i 55+ （D ）43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，｜z |＝2234+．则2243i 43i ||5543z z -==-+，故选D ．6．（2016全国Ⅲ卷,理2，5分）若z ＝1＋2i ，则4i1zz =-（ ) (A ）1 (B ）−1 （C)i (D)−i【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，则4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 7．（2015全国Ⅰ卷，文3，5分)已知复数z 满足（z －1）i ＝1＋i ，则z ＝( ）A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i 【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝＝＝2－i ．故选C ．【解析二】（z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝⇒ z ＝＋1 ⇒z ＝＋1＝2－i ．故选C．8．（2015全国Ⅰ卷,理1，5分）设复数z满足1+z1z-＝i，则|z｜＝()（A)1（B）2（C）3（D）2 【答案】A【解析一】1+z1z-＝i⇒1＋z＝i(1－z)⇒1＋z＝i－zi⇒z＋zi＝－1＋i ⇒（1＋i）z＝－1＋i⇒9．（2015全国Ⅱ卷,文2,5分）若a为实数，且＝3＋i,则a＝(）A．－4B．－3C．3D．4【答案】D【解析】由已知得2＋ai＝(1＋i）（3＋i)＝2＋4i，所以a＝4，故选D．10．(2015全国Ⅱ卷，理2，5分)若a为实数，且(2＋ai）（a－2i）＝－4i，则a＝(）A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】（2＋ai）（a－2i）＝－4i⇒2a－4i＋a2i＋2a＝－4i⇒2a－4i＋a2i＋2a＋4i ＝0⇒4a＋a2i＝0⇒a＝0．11．（2014全国Ⅰ卷,文3，5分）设z＝＋i，则｜z｜＝（)A．B．C．D．2【答案】B【解析】z＝＋i＝＋i＝i，因此|z｜＝,故选B．12．＝()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i【答案】D【解析】·＝＝＝＝－（1＋i）＝－1－i，故选D．13．(2014全国Ⅱ卷，文2，5分)＝（）A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i【答案】B【解析】＝＝－1＋2i，故选B．14．(2014全国Ⅱ卷，理2，5分）设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i ）＝－5，故选A ．15．（2013全国Ⅰ卷，文2，5分）＝（ )A ．－1－B ．－1＋C ．1＋D ．1－i【答案】B 【解析】＝－1＋i ，故选B ．16．(2013全国Ⅰ卷，理2，5分)若复数z 满足（3－4i ）z ＝|4＋3i ｜，则z 的虚部为（ ）A ．－4B ．－C ．4D ． 【答案】D【解析】∵｜4＋3i ｜＝＝5，∴（3－4i ）z ＝5，∴z ＝i ，虚部为,故选D ．17．（2013全国Ⅱ卷，文2，5分）＝（ )A ．2B ．2C ．D ．1 【答案】C【解析】＝｜1－i|＝22)1(1-+＝．选C ．18(2013全国Ⅱ卷,理2，5分)设复数z 满足（1－i ）z ＝2i,则z ＝( ）A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝＝＝＝＝－1＋i ，故选A ．19．（2012全国卷，文2，5分）复数z ＝的共轭复数是（ ） A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋i D ．－1－i【答案】D【解析】z ＝＝－1＋i ，∴＝－1－i ，故选D ．20．（2011全国卷，文2,5分）复数＝（ )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i 【答案】C【解析】＝－2＋i ，故选C ．21．（2016北京,文2，5分）复数12i=2i+-( ）(A)i (B ）1＋i （C ）i - (D ）1i - 【答案】A 【解析】12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+，故选A ．22．（2016北京，理9，5分）设a ∈R ,若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i ）(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝（a －1）＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0,即(1＋a ）＝0,解得a ＝－1． 23．（2016江苏，文/理2，5分）复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位,则z 的实部是____．【答案】524．（2016山东,文2，5分)若复数21i z =-,其中i 为虚数单位，则z ＝( ) （A ）1＋i（B ）1−i(C ）−1＋i （D ）−1−i【答案】B25．（2016山东，理1，5分)若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z ＝( ）(A)1＋2i （B)1-2i （C ）12i -+ (D ）12i -- 【答案】B26．（2016上海，文/理2,5分）设32iiz +=,其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于_______． 【答案】-3【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．（2016四川,文1,5分）设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ）(A) 0 (B ）2 （C)2i (D ）2＋2i 【答案】C 【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，故选C ．28．（2016天津，文9，5分）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．（2016天津，理9，5分）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i)(1-b i ）＝a ，则ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +6．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4C D 13．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4 16．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．217．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 20．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 28．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 35．计算cos 40isin 40cos10isin10________．36．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．已知复数2(2)()i z m m m =-+-，其中i 是虚数单位，m 为实数． (1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围． 43．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值. 44．已知1z ，2z ∈C ，12z =，23z =，124z z +=，求12z z ．（提示：()1122cos isin z z z z θθ=+或()1122cos isin z zz z θθ=-，θ是1z ，2z 所表示的向量的夹角．） 45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A 13．A 14．A15．B 16．A 17．B 18．B 19．C 20．D 二、填空题 21．35 22．123．12或12##12-或12 24．四 25．1 26．13i 22-+ 27．1i -##i+1-2829．2- 30．5 31．i - 32．825i 625- 33．[]4,6 343512i36．12- 37．()0,3 38．039．12-##0.5- 40．9 三、解答题41．【解析】 【分析】由题可得21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1． 42．(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】（1）由复数z 为纯虚数，得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩，即可求解； （2）由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩，即可求解. (1)解：由题意，复数2(2)()i z m m m =-+-， 因为复数z 为纯虚数，则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩，解得2m =. (2)解：由复数2(2)()i z m m m =-+-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩，解得01m <<， 所以m 的取值范围为()0,1.43．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1.44．16+或16 【解析】 【分析】算出1z ，2z 所表示的向量的夹角的正、余弦即可. 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，则22223431cos 223124OAC +-∠==-=-⨯⨯ 所以1cos 4AOB ∠=，所以15sin AOB ∠= 所以122115115346z z ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或121156z z =. 45．证明详见解析 【解析】 【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
高考数学复数典型例题附答案
1, 已知复数求k的值。
的值。
解：解：，∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评：点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。
均为实数。
比较大小，更无正负之分，因此，（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。
2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。
的值，并求出此实根。
解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。
点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。
充要条件求解。
3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。
的取值范围。
解：设，。
由得①对应点在第二象限，故有对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得 ，即于是由②，④得再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。
此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。
4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；的实部与虚部都是整数。
（2）z的实部与虚部都是整数。
，则解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由 得①∴由注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。
此时①式无解。
（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。
的值。
（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。
特征。
解：解：（1）解法一：解法一：由于∴由解：由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z，下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时，上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时，方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解 当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z，则21z z > (3) (3)若若b a >，则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（的点的轨迹是（ ））A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数，且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（内的椭圆的个数是（ ）A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解：解：根据题意，根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．的正整数．但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972´=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________．． 解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=， 同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程． 解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221xb =±-，，所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= ．当且仅当22b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+．②．②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为21b d k=+， 所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0D >，故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAFD 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（，则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30º．30ºB ．45º．45ºC ．60º．60ºD ．90º．90º解：解：D D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程，x ab y =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c ab c S OAF =´´=D ，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90°，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，本题考查双曲线中焦距，准线方程，准线方程，准线方程，渐近线方程，渐近线方程，渐近线方程，三角形面积，三角形面积，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（的最大值为（ ））A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例例6．已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．点．（Ⅰ）若动点M 满足1111F M F A F B FO=++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î，即12124x x x y y y +=-ìí+=î，，于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y yxx x x-==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数．为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)l >．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB为定值；为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f l =的表达式，并求S 的最小值．的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0l >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →， 即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-，îïíïì－x 1＝λx 2 ①①1－y 1＝λ(y 2－1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－＝－44λy 2＝－＝－44，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x (x－－x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x (x－－x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－，－1)1)1)．．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－，－2)2)2)··(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM ABM 中，中，FM FM FM⊥⊥AB AB，因而，因而S ＝12|AB||FM||AB||FM|．．|FM||FM|＝＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)4)＋＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．＋＋λ＋λ)＝|AB||FM||AB||FM|＝(λ＋λ)λ＋1λ≥2m ÷ø，m+=m +=2my -，2my -，211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解：（Ⅰ）在P AB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．方程为：2211x y l l -=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--． 因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î． 由①②知，51223l -£<．。
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
高中复数经典练习题及讲解
高中复数经典练习题及讲解1. 题目：判断下列各句中的名词是否为复数形式，并解释原因。
- 我有几个朋友。
- 她有两只猫。
- 他喜欢读小说。
- 我们有三本书。
答案：- 几个朋友：是复数形式，因为“几个”表示多于一个。
- 两只猫：是复数形式，因为“两只”明确表示两个。
- 他喜欢读小说：不是复数形式，因为“小说”是单数名词。
- 我们有三本书：是复数形式，因为“三本”表示三个。
2. 题目：将下列句子中的名词变为复数形式。
- 我有一个苹果。
- 她有一只狗。
- 他有一本书。
- 我们有一张桌子。
答案：- 我有两个苹果。
- 她有两只狗。
- 他有几本书。
- 我们有几张桌子。
3. 题目：根据上下文，将下列句子中的名词变为复数形式。
- 每个学生（student）都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些（some）橘子。
- 他们（they）正在讨论几个（a few）问题。
- 我们（we）通常在晚上看电视。
答案：- 每个学生都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些橘子。
- 他们正在讨论几个问题。
- 我们通常在晚上看电视。
4. 题目：判断下列句子中的名词是否正确使用了复数形式，并给出正确形式。
- 我昨天买了一个橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一个问题。
- 我们有两张桌子。
答案：- 我昨天买了一些橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一些问题。
- 我们有两张桌子。
5. 题目：将下列句子中的名词变为复数形式，并解释变化的原因。
- 我有一个梦想。
- 她有一只猫。
- 他有一本书。
- 我们有一张纸。
答案：- 我有多个梦想。
- 她有几只猫。
- 他有几本书。
- 我们有几张纸。
原因解释：- “梦想”通常用来表示多个愿望或目标。
- “猫”在这种情况下可能表示不只一只。
- “书”在讨论时通常不只一本。
- “纸”在这种情况下可能表示多张纸。
复数高考真题一解析
复数高考真题一解析一、选择题解析1. 题目分析本题考查了复数的基本概念和运算规则。
考生需要理解复数的定义以及加减乘除等基本运算的性质。
2. 解题步骤首先，明确题目中给出的复数表达式。
然后，根据复数的运算法则，逐步化简表达式。
在计算过程中，注意实部与虚部的分离与合并。
3. 具体解答设复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其中 $a, b, c, d$ 均为实数。
根据复数的加法法则，$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
根据复数的乘法法则，$z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$。
由于 $i^2 = -1$，所以 $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
4. 常见错误在计算过程中，考生容易忽视 $i^2 = -1$ 的性质，导致结果错误。
此外，实部与虚部的合并时，要注意项的系数相加。
二、填空题解析1. 题目分析本题考查了复数的模和共轭的计算方法。
考生需要掌握复数模的定义以及共轭复数的概念。
2. 解题步骤首先，根据复数的模的定义，计算复数的模长。
然后，根据共轭复数的定义，求出给定复数的共轭。
3. 具体解答设复数 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数。
复数 $z$ 的模为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
复数 $z$ 的共轭为 $\overline{z} = a - bi$。
4. 常见错误在计算模长时，考生有时会忘记开平方根。
在求共轭复数时，易忽略改变虚部的符号。
三、解答题解析1. 题目分析本题考查了复数在几何上的应用，特别是复平面上的表示和复数与三角形的结合。
2. 解题步骤首先，根据题意将复数表示在复平面上。
然后，利用复数的性质解决几何问题。
在解题过程中，要注意复数与三角形边长和角度的对应关系。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
高考数学专题02 复数(解析版)
专题02 复数一、单选题1．（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数()()2i 1i z a =++（其中i 为虚数单位，a R ∈）在复平面内对应的点为()1,3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．0【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()2i 1i 22i z a a a =++=-++， 又因为复数在复平面内对应的点为()1,3，所以2123a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a = 故选：A2．（2022·河北保定·高三期末）()()2212i 1i --+=（ ） A ．32i -- B ．36i -- C ．32i - D ．36i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】22(12i)(1i)34i 2i 36i --+=---=--.故选：B3．（2022·河北张家口·高三期末）已知12z i =-，则5iz=（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i -D ．105i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()5i 12i 5i 5i2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A.4．（2021·福建·莆田二中高三期末）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10C ．11D ．无数【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4kZ ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数z 满足()23i 32i z -=+，则z =（ ）A．12 B C ．1 D 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合复数除法计算复数z ，进而计算z 的模作答. 【详解】因复数z 满足()23i 32i z -=+，则32i (32i)(23i)13ii 23i (23i)(23i)13z +++====--+， 所以1z =. 故选：C6．（2022·山东枣庄·高三期末）已知i 为虚数单位，则2022i =（ ）． A ．1 B ．1- C ．I D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由于41i =，故2022i 可以化简为2i ，即可得到答案. 【详解】20224505+22i i ==i ⨯=1-.故选：B.7．（2022·山东德州·高三期末）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】21i 22|2i |i i +=+=-=z =则复数z 在复平面内所对应的点坐标为⎝⎭，在第一象限.故选：A8．（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z 是纯虚数，11iz+-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【解析】 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B9．（2022·山东临沂·高三期末）已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，然后求得z . 【详解】 ()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z =故选：C10．（2022·湖北武昌·高三期末）已知复数1i z =-，则2iz=-（ ） A ．13i 55-B ．13i 55--C ．13i 55-+D ．1355i +【答案】D 【解析】 【分析】先得出z ，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数1i z =-，则1i z =+则()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 2i 5z ++++===---+ 故选：D11．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列{}n a 满足12i a =，1i i 1n n a a +=++，N n *∈，（i 为虚数单位），则10a =（ ） A ．2i B ．2i - C ．1i + D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列{}i n a -是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得10a 的值. 【详解】由已知可得()1i i i n n a a +-=-，因此，数列{}i n a -是以1i i a -=为首项，以i 为公比的等比数列，所以，91010i i i i 1a -=⋅==-，故101i a =-+.故选：D.12．（2022·湖北江岸·高三期末）已知()12i 43i z -=-，则z =（ ） A ．10i +B ．2i +C ．2i -D ．25i +【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】 由已知可得()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，因此，2i z =-. 故选：C.13．（2022·湖北襄阳·高三期末）下面是关于复数22i 1i z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．z 的共轭复数为11i 22-D ．z 的虚部为1i 2-【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项即得． 【详解】∵22i 11i 1i 1i 2z ---===--，所以z =A 错误；所以复数z 在复平面内对应点坐标为11(,)22--，在直线y x =上，B 正确；所以z 的共轭复数为11i 22-+，C 错误；所以z 的虚部为12-，D 错误．故选：B ．14．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）复数4i1iz =+，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i +D ．22i -【答案】D 【解析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+ ，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知复数121i,i z z =-=，则复数12z z 的共轭复数的模为（ ） A ．12 B2C ．2 D【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得121i z z =--，再根据共轭复数的概念与模的公式计算即可. 【详解】解：因为121i,i z z =-=， 所以()121iii 1i 1i z z -==--=--， 所以复数12z z 的共轭复数为1i -+.故选：D16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若1i z =-+．设zz ω=，则ω=（ ） A ．2i B ．2C ．22i +D ．22i -【答案】B 【解析】 【分析】根据1i z =-+求出1i z =--，结合复数的乘法运算即可. 【详解】由1i z =-+，得1i z =--，所以2(1i)(1i)=(i 1)=2zz ω==-+----. 故选：B17．（2022·湖南常德·高三期末）已知复数z 满足：()1i i z +=，则z z ⋅=（ ）A ．12 B C ．1D ．i 2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算求出z ，然后根据复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】 因为(1)z i i +=， 所以()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-， 因此11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=.故选：A.18．（2022·湖南娄底·高三期末）复数()i 3i z =-⋅在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算出z ，然后可得其对应点的坐标，得所在象限． 【详解】∵()3i i 13i z =-=+⋅，∴z 在复平面内对应的点为()1,3，位于第一象限． 故选：A ．19．（2022·湖南郴州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 123i 4z +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】根据复数的模和除法运算，即可得到答案； 【详解】 |43i |55(12i)12i 12i 12i 5z +-====-++ ∴12i z =+，故选：B20．（2022·广东揭阳·高三期末）复数z 满足()1i 1i(i z +=-为虚数单位)，则z 的模为（ ） A．12-B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】 【分析】先做除法运算求出复数z ，再根据复数模的计算公式求其模. 【详解】由()1i 1i z +=-得1ii 1iz -==-+，从而i 1z =-= 21．（2022·广东潮州·高三期末）已知i 为虚数单位，复数21i 1i -=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．0B ．－1C ．－iD ．1【答案】B 【解析】 【分析】化简复数z 1i =-， z 的虚部为i 前面的系数，即可得到答案. 【详解】21i 22(1-i)1i 1i 1i (1i)(1-i)z -====-+++.则z 的虚部为－1.故选：B.22．（2022·广东罗湖·高三期末）已知复数()1i i =+⋅z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D 【解析】求出复数z，进而可得其共轭复数.【详解】()1i i=1+iz=+⋅-，则1iz=--故选：D.23．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数z满足(1i)|1|+=z，则z=（）A．1i-B．1i+C．22i-D．22i+【答案】B【解析】【分析】结合复数除法运算求出z，进而得出z.【详解】因为21i1i===-+z，所以1iz=+．故选：B24．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足1i12iz+=+其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．3i5--B．3i5-+C．3i5-D．3i5+【答案】D 【解析】【分析】化简可得3i5z-=，根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】因为1i(1i)(12i)3i12i(12i)(12i)5z++--===++-，所以3i5z+ =，故选：D．25．（2022·江苏通州·高三期末）20221i1i-⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．1B ．iC ．－1D ．－i【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算． 【详解】21i (1i)i 1i (1i)(1i)--==-+-+， 所以2022202221i (i)i 11i -⎛⎫=-==- ⎪+⎝⎭．故选：C ．26．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知复数z 满足()1i 4i z +=，则z =（ ） A．2 B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()()()()4i 1i 4i2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，因此，z = 故选：C.27．（2022·江苏扬州·高三期末）若复数z ＝202112i +（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z ＝202112i +，得到其对应点的坐标即可解决.【详解】z 202112i ==+12i =+2i 21i 555-=-， 则z 在复平面上对应的点为21(,)55Z -，Z 位于第四象限.故选：D28．（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52iD ．－12－52i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】 ∵(1－i)z ＝2＋3i, ∴()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+-+-. 故选：A.29．（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z 满足202120222023i 4i 3i z =-，则z ＝（ ） A ．4＋3i B ．4－3iC ．3＋4iD ．3－4i【答案】C 【解析】 【分析】将202120222023i 4i 3i z =-中的202120222023i ,i ,i ，根据41i = 化简，即可得答案. 【详解】 因为41i =，故由202120222023i 4i 3i z =-可得：23i 4i 3i z =-，即4i 334i z =+=+， 故选：C.30．（2022·江苏苏州·高三期末）设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】用复数的乘法法则及纯虚数的定义即可. 【详解】(1i)(1i)1i i 1(1)i a a a a a -+=+-+=++-为纯虚数，10a ∴+=，1a ∴=-，故选:A ．31．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C. 二、多选题32．（2022·河北唐山·高三期末）已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈R B ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC 【解析】 【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误；对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z ∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC33．（2022·山东莱西·高三期末）已知复数()21i z a a =+-，i 为虚数单位，a R ∈，则下列正确的为（ ）A ．若z 是实数，则1a =-B ．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上C ．zD ．若21z z =+，则1a =±【答案】BC 【解析】 【分析】以实数定义求出参数a 判断选项A ；以复数z 对应点的坐标判断选项B ；求出复数z 的模判断选项C ；以复数相等求出参数a 判断选项D. 【详解】选项A ：由复数()21i z a a =+-是实数可知210a -=，解之得1a =±.选项A 判断错误；选项B ：复数()21i z a a =+-在复平面内对应点2(,1)Z a a -，其坐标满足方程21y x =-，即点2(,1)Z a a -位于抛物线21y x =-上. 判断正确；选项C ：由()21i z a a =+-，可得z ===判断正确； 选项D ：21z z =+ 即()()221i =2121i a a a a +-+--可得()2221121a a a a =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解之得1a =-.选项D 判断错误. 故选：BC34．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【解析】 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，z z ==，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC35．（2022·江苏如皋·高三期末）关于复数12z =- (i 为虚数单位)，下列说法正确的是（ ）A ．|z |＝1B ．z ＋z 2＝－1C ．z 3＝－1D ．(z ＋1)3＝i【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数12z =-,可得||1z == ，故A 正确；2211112222z z +=--=-- ，故B 正确；3222111()1222z z z =⋅=--+--=，故C 错误；3221111(1)(1)(1)(((12222z z z ⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：AB.36．（2022·江苏苏州·高三期末）下列命题正确的是（ ） A ．若12,z z 为复数，则1212z z z z =⋅ B ．若,a b 为向量，则a b a b ⋅=⋅C ．若12,z z 为复数，且1212z z z z +=-，则120z z =D ．若,a b 为向量，且a b a b +=-，则0a b ⋅= 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令1i z a b =+，()2i ,,,R z c d a b c d =+∈，，12()i z z ac bd ad bc =-++，12z z ===1z =2z =1212z z z z ∴=⋅，A 对；cos a b a b θ⋅=⋅⋅，cos a b a b a b θ∴⋅=⋅⋅=⋅不一定成立，B 错； 12()()i z z a c b d +=+++，12()()i z z a c b d -=-+-，1212z z z z -=+，0ac bd ∴+=，12(i)(i)()i 0z z a b c d ac bd ad bc =++=-++≠，C 错．将a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅=，D 对. 故选：AD 三、填空题37．（2021·福建·莆田二中高三期末）设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______ 【答案】5π 【解析】 【分析】依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解； 【详解】解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，{}{}{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，所以圆环的面积()22325S ππ=-=故答案为：5π38．（2022·广东佛山·高三期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________. 【答案】28i -- 【解析】 【分析】根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答. 【详解】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--. 故答案为：28i --39．（2022·江苏常州·高三期末）i 是虚数单位，已知复数z 满足等式2i0i z z+=，则z 的模z =________．【解析】 【分析】以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法. 【详解】 由2i 0i z z +=，可得2i i z z =- 则有2ii z z-=，即i 2i 2z z ⨯=⨯-=，故有z =。