1n维向量

T T
有
α + β = (0, a 2 + b2 ,⋯, a n + bn ) ∈ V1
T
λα = (0, λa 2 , ⋯ , λa n ) ∈ V1 .
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
αα
T
= ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n )
1 1 0， 0， 例1 设n维向量 α = ， ⋯， ，矩阵 2 2 T T A = E − α α , B = E + 2α α , 其中E为n阶矩阵， 阶矩阵， 求证AB = E .
证
AB = ( E − α Tα )( E + 2α Tα ) = E − α Tα + 2α Tα − 2(α Tα ) ⋅ (α Tα ) = E − α α + 2α α − 2α (αα )α
二、向量的运算
向量的运算是按照矩阵 的运算规则进行运算 ,即
α + β = (a1 + b1 , a2 + b2 ,⋯, an + bn )
称为 α 与 β 的和向量。 的和向量。
α − β = α + ( − β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,⋯, an − bn ) 的差。 称为 α与β的差。
kx1 = ( kλ1 )a + ( kµ 1 )b ∈ V .
这个向量空间称为由向 量 a , b所生成的向量空 间.
一般地， 量 a , 一般地， 向 组 1,a2,⋯ am所 成 向 空 由 生 的 量 为 间
} V = {x = λ1a1 + λ2a2 +⋯+ λmam λ1,λ2,⋯λm ∈R ,
类似地， 类似地， n维向量的全体 R ，也是一个向量空 间.
n
判别下列集合是否为向量空间. 例2 判别下列集合是否为向量空间
V1
= {x = (0, x , ⋯ , x
2
)T n
x2 ,⋯ , xn ∈ R
}
解 V1是向量空间 .
因为对于 V1的任意两个元素
α = (0, a 2 , ⋯ , a n ) , β = (0, b2 , ⋯ , bn ) ∈ V1 ,
T{Leabharlann }解 V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,⋯, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 ,⋯,2a n ) ∉ V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + µb λ , µ ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间 解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + µ 1b x 2 = λ 2 a + µ 2 b， 则有 x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( µ 1 + µ 2 )b ∈ V ,
§4.1 n维向量
定义1 n个数a1 , a2 ,⋯, an组成的有序数组 ），称为 维向量， （a1 , a2 ,⋯, an），称为 n维向量，这 n个数称为 个分量， 该向量的 n个分量，第 i个数ai 称为第 i个分量 。
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例5 记 V2 = {x = µ 1b1 + µ 2 b2 + ⋯ + µ s bs µ 1 , µ 2 ,⋯ µ s ∈ R} 试证： V1 = V2 . 试证： V1 = {x = λ1 a1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ m a m λ1 , λ 2 ,⋯, λ m ∈ R} 等价， 设向量组 a1 ,⋯, a m 与向量组 b1 ,⋯, bs 等价，
T T T T
= E − α T α + 2α T α − 2(αα T )α T α = E − α T α + 2α T α − α T α =E
三、向量空间
定义1 维向量的集合， 非空， 定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 对于加法及乘数两种运算封闭， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 为向量空间． 集合 V 为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 ． 若α ∈ V , β ∈ V , 则 α + β ∈ V ;
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 维向量写成一列，称为列向量 列向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a,b,α, β 等表示，如：
a1 a2 a= ⋮ a n
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量 列向量. 都当作列向量
证 设x ∈ V1，则 x可由 a1 ,⋯ , am 线性表示 .
线性表示， 因a1 ,⋯, a m 可由b1 ,⋯, bs 线性表示，故 x可由b1 ,⋯, bs 线性表示， 所以x ∈ V2 . 线性表示，
这就是说， 这就是说，若 x ∈ V1，则x ∈ V2， 因此V1 ⊂ V2 .
类似地可证 : 若x ∈ V2 , 则x ∈ V1 ,
例如
(1,2,3,⋯, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,⋯, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第1个分量 个分量
第n个分量 个分量
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， T T T T 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a ,b ,α , β 等表示，如： a T = ( a 1 , a 2 ,⋯ , a n )
因此 V2 ⊂ V1 . 因为 V1 ⊂ V2，V2 ⊂ V1，所以 V1 = V2 .
T T T T
为行向量， 为数， 因α为行向量， αα T 为数，
1 2 0 1 1 1 1 1 T 0， 0， 且αα = ， ⋯， ⋮ = + = 2 4 4 2 2 0 1 2
故 AB = E − α α + 2α α − 2α (αα )α
kα = αk = ( ka1 , ka2 ,⋯, kan ) ( k为实数） 为实数）
的数量乘积， 称为数 k 与向量 α 的数量乘积，简称数乘 。
面的八条运算律： 向量的线性运算满足下 面的八条运算律：
加法交换律： （1）加法交换律： α + β = β + α； （2）加法结合律：（ α + β） γ = α + β + γ）； 加法结合律：（ （ + （3）对任一向量 α，有α + 0 = α； （4）对任一向量 α，有α + − α） 0； （ = （5）对数1, 有1α = α； （6）( kl )α = k ( lα ) = l ( kα ); (7 ) ( k + l )α = kα + lα ; (8) k (α + β ) = kα + kβ .
若α ∈ V , λ ∈ R, 则 λα ∈ V .
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 R n. ． 维向量的集合是一个向量空间 记作
例1 3 维向量的全体 R 3 , 是一个向量空间 .
因为任意两个 3维向量之和仍然是 3维向量 , 数
λ乘 3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R 3 . 维向量，
对于 n 维行向量 α = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ), 有 α Tα = x1 x2 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n )为 n 阶矩阵， 阶矩阵， ⋮ xn x1 x2 为一个数。 为一个数。 ⋮ xn