广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择、填空题1、（潮州市2016届高三上期末）已知函数322()23(0)3f x x ax x a =-++>的导数'()f x 的最大值为5，则在函数()f x 图象上的点（1，f （1））处的切线方程是A 、3x －15y ＋4＝0B 、15x －3y －2＝0C 、15x －3y ＋2＝0D 、3x －y ＋1＝02、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知30π=x 是函数)2sin()(ϕ+=x x f 的一个极大值点，则)(x f 的一个单调递减区间是（ ）A ．)32,6(ππ B ．)65,3(ππ C ．),2(ππD ．),32(ππ 3、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为__________4、（惠州市2016届高三第三次调研考试）设点P 在曲线x e y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为 ．5、（揭阳市2016届高三上期末）若函数32()21f x x ax =-++存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（A ）[0,)+∞ （B ）[0,3] （C ）(3,0]- （D ）(3,)-+∞6、（汕头市2016届高三上期末）若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ）A ．]6,2[-B ．)1,6(-C ．)2,6(-D ．)2,4(-7、（韶关市2016届高三1月调研）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('()f x 是函数()f x 的导函数)成立, 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =,则,,a b c 的大小关系是( ） A ． a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>8、（韶关市2016届高三1月调研）已知函数()f x 的图像在点(1,(1))A f 处的切线方程是2310x y -+=，'()f x 是函数()f x 的导函数，则(1)'(1)f f += .12、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））13、（珠海市2016届高三上期末）14、（湛江市2016年普通高考测试（一））答案：1、B2、B3、04、)2ln 1(2- 【解析】函数x e y 21=和函数)2ln(x y =互为反函数图像关于y x =对称，则只有直线PQ 与直线y x =垂直时||PQ 才能取得最小值。

设1(,)2x P x e ，则点P 到直线y x =的距离为122x e x d -=，令()1,(0)2x g x e x x =->，则()1'12x g x e =-， 令()1'102x g x e =->得ln 2x >；令()1'102x g x e =-<得0ln 2x <<， 则()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增。

则ln 2x =时()ln 2min 1ln 21ln 202g x e =-=->，所以min 1ln 22d -=。

则min 22(1ln 2)PQ d ==-。

（备注：也可以用平行于y x =的切线求最值）5、D【解析】函数32()21f x x ax =-++存在唯一的零点，即方程32210x ax --=有唯一的实根⇔直线y a =与函数3221()x g x x -=的图象有唯一的交点，由332(1)'()x g x x +=，可得()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当1x =-时，()g x 有极小值，()(1)3g x g =-=-极小，故当3a >-时，直线y a =与函数3221()x g x x -=的图象有唯一的交点. [或因2()62,f x x ax '=-+由()0f x '=得0x =或3a x =，若0a =显然()f x 存在唯一的零点，若0a >，()f x 在(,0)-∞和(,)3a +∞上单调递减，在(0,)3a 上单调递增，且(0)10,f =>故()f x 存在唯一的零点，若0a <，要使()f x 存在唯一的零点，则有()0,3a f >解得3a >-，综上得3a >-.] 6、C 7、A 8、53二、解答题1、（潮州市2016届高三上期末）已知函数()ln a f x x x=-。

（I ）若()f x 在x ＝1处取得极值，求实数a 的值；（II ）若()f x ≥5－3x 恒成立，求实数a 的取值范围；2、（东莞市2016届高三上期末）已知函数21()ln ,()2f x x g x x kx ==-。

（I ）设1(0)k m m m=+>，若函数()()()h x f x g x =+在区间（0,2）内有且仅有一个极值点，求实数m 的取值范围；（II ）设()()()M x f x g x =-，若函数()M x 存在两个零点1221,()x x x x >，且满足0122x x x =+，问：函数()M x 在00(,())x M x 处的切线能否平行于直线y ＝1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。

3、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））设常数0>λ，0>a ，x a xx x f ln )(2-+=λ． （1）当λ43=a 时，若)(x f 的最小值为0，求λ的值； （2）对于任意给定的正实数λ、a ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，0)(>x f ．4、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值；（Ⅱ）证明：当0>x 时，2e xx <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e x x c <.5、（惠州市2016届高三第三次调研考试）已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围。

6、（揭阳市2016届高三上期末）已知函数(1)()ln b x f x a x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当1x >时，不等式()ln ()1x k x f x x ->-恒成立，求实数k 的取值范围。

7、（茂名市2016届高三第一次高考模拟考试）已知定义在R 上的偶函数()f x ，当[0,)x ∈+∞时，()x f x e =.（1）当(,0)x ∈-∞时，求过原点与函数()f x 图像相切的直线的方程;（2）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤.8、（清远市2016届高三上期末）设1()ln a f x x a x x -=--，()a R ∈ （1） 当a =1时，求曲线()y f x =在点11,ln 222⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程； （2） 若1x =是函数()f x 的极大值点，求a 的取值范围；（3） 当1a <时，在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在一点0x ，使0()1f x e >-成立？说明理由。

9、（汕头市2016届高三上期末）已知函数x a x a ax x f ln )1(21)(22++-=． （Ⅰ）若函数)(x f 在[1e，e]上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈53,0a 时，求)(x f 在[1，2]上的最大值和最小值．(注意:7.02ln <)10、（汕尾市2016届高三上期末）已知函数f (1)讨论函数 f (x )的单调性；（2）若对任意的a ∈ [1,2)，都存在(0,1]使得不等式成立，求实数m 的取值范围.11、（韶关市2016届高三1月调研）已知函数()ln f x x =，()()h x a x a R =∈.（Ⅰ）函数()f x 与()h x 的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()m y f x x =+的图象在()xe g x x =的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，,ln 3 1.0986=,31.6487, 1.3956e e ==）.12、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））已知函数x a x a x x f ln 1)(-++=，R a ∈. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e ]（ 718.2=e ）上存在一点0x ，使得)1(ln 10000x x a x x -<+成立，求a 的取值范围.13、（珠海市2016届高三上期末）已知函数)(ln )(R a xa x x f ∈+=.（1）求函数的单调区间； （2）若方程2)(=x f 存在两个不同的实数解1x 、2x ，求证：a x x 221>+.解答题参考答案1、解：（Ⅰ）∵()ln a f x x x=-， ∴221'()a x a f x x x x+=--=-．………………………………….….. 1分 由题意得'(1)0f =，即101a +-=，解得1a =-．…………….. 2分 经检验，当1a =-时，函数()f x 在1x =取得极大值．……….. 3分∴1a =-.………………………………………………………..……….4分 （Ⅱ）设()()35ln 35a g x f x x x x x=+-=-+-，则函数()g x 的定义域为(0,)+∞． ∴当0x >时，()0g x ≥恒成立．于是(1)20g a =-≥，故2a ≥．………….…………………….……5分∵22213'()3a x x a g x x x x--=--+=． ∴方程'()0g x =有一负根1x 和一正根2x ，120x x <<．其中1x 不在函数定义域内． 当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，函数()g x 单调递减．当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，函数()g x 单调递增．∴()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．……………………………………….……7分依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350a g x x x x =-+-≥．又22230x x a --=， 于是2231a x x =-，又02>x a ，所以312>x ． ∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥，即2266ln 0x x --≥，…………..……9分令()66ln h x x x =--，则161'()6x h x x x-=-=． 当1(,)3x ∈+∞时，'()0h x >，所以)(x h 是增函数． 又(1)66ln10h =--=，所以2266ln 0x x --≥的解集为[1,)+∞．…... 11分又函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增， ∴222233112a x x =-≥⨯-=．故a 的取值范围是[2,)+∞．……………………………….……………………12分 解法二：由于()ln a f x x x=-的定义域为(0,)+∞， 于是()53f x x ≥-可化为x x x x a 53ln 2+-≥．……………………..……5分设x x x x x g 53ln )(2+-=．则'()ln 66g x x x =-+． 设()'()h x g x =，则116'()6x h x x x-=-=． 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在[1,)+∞减函数．又(1)'(1)0h g ==，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，∴)(x g 在[1,)+∞上是减函数．∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)1ln1352g x g ≤=⨯-+=.………….……..…8分当(0,1)x ∈时，先证1ln -<x x ，设)1(ln )(--=x x x F ，1'()0x F x x-=>， )(x F 是增函数且0)1(=F ，0)(<x F ，即1ln -<x x ，当(0,1)x ∈时， 22)1(253)1(53ln )(222<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g …..11分综上所述()g x 的最大值为2．∴a 的取值范围是[2,)+∞．………………………………………….………12分2、3、【解析】()()()222x x x a f x x x λλ+-'=-=+()222x x a x x λλ+-+………………1分 ()()()2222x x a x x x λλλ+-+=+()()322222x a x ax a x x λλλλ+---=+ 将34a λ=代入得()()()()()23322322493456344x x x x x x f x x x x x λλλλλλλλ-+++--'==++,………………3分 由()0f x '=,得x λ=,且当()0,x λ∈时,()0f x '<,()f x 递减；………………4分(),x λ∈+∞时,()0f x '>,()f x 递增；故当x λ=时,()f x 取极小值()13ln 24f λλλλ=-, 因此()f x 最小值为()13ln 24f λλλλ=-,令()0f λ=,解得23e λ=.………………6分 (Ⅱ)因为()22ln ln ln x f x a x x a x x a x x xλλλλλ=-=-+->--++,………………7分 记()ln h x x a x λ=--,故只需证明:存在实数0x ,当0x x >时,()0h x >,[方法1] ()()ln ln h x x a x x a x ax x λλ=--=--+-,………………8分 设ln y x x =-,0x >,则11222x y x xx -'=-= 易知当4x =时,min 22ln 20y =->,故ln 0y x x =-> ………………10分 又由0x a x λ--≥解得:242a a x λ++≥,即2242a a x λ⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭ 取22042a a x λ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭,则当0x x >时, 恒有()0h x >. 即当0x x >时, 恒有()0f x >成立.………………12分[方法2] 由()ln h x x a x λ=--,得:()1a x a h x x x -'=-=,………………8分 故()h x 是区间(),a +∞上的增函数.令2n x =,n ∈N ,2n ≥,则()()22ln 2n n h x h an λ==--,因为()()211211122n n n n n n -=+≥++>,………………10分故有()()()2122ln 2ln 22n n h x h an n a n λλ==-->-- 令()21ln 202n a n λ--≥,解得: ()22ln 2ln 482a a n λ++≥, 设0n 是满足上述条件的最小正整数,取002n x =,则当0x x >时, 恒有()0h x >,即()0f x >成立.………………12分4、5、解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．……………………（1分）因为当1a >时，ln 0a >，()1ln x a a -在R 上是增函数，因为当01a <<时，ln 0a <，()1ln x a a -在R 上也是增函数，所以当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数，……………………………（2分） 又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞，……（3分） 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞．……………………（4分） （Ⅱ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．………………………………………（5分） 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)-∞0 (0,)∞+()f x ' -+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()m i n 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．………（7分）因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………（9分） 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；…………………（10分）当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．………………（11分）综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．……………………… (12分)6、解：（I ）∵2(),a bf x x x '=-且直线2y =的斜率为0，又过点(1,2)， ∴(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩-------------------------------------------------------------------2分即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------3分（II ）当1x >时，不等式22()ln 11()(1)ln ()ln (1)ln 0.1x k x x x f x x x x k x k x x x x--->⇔-+>-⇔-+>-----------------5分令2222111(1)1()(1)ln ,()1x k x k x g x k x g x x x x x--+-+'=-+=++=，----------------7分 令2()(1)1m x x k x =+-+，①当11,2k-≤即1k ≥-时，()m x 在(1,)+∞单调递增且(1)0m ≥，所以当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0.g x g ∴>=即()ln ()1x k xf x x ->-恒成立．------------9分②当11,2k ->即1k <-时，()m x 在上1(1,)2k -上单调递减，且(1)0m <，故当1(1,)2kx -∈时，()0m x <即()0,g x '<所以函数()g x 在1(1,)2k-单调递减，----------------------------------------------10分 当1(1,)2kx -∈时，()0,g x <与题设矛盾, 综上可得k 的取值范围为[1,).-+∞------------------------------------------------12分7、解：（1）解法1：因为()f x 为偶函数，当0x <时，0x ->，xex f x f -=-=)()( ……1分/()x f x e -=-， ……2分设切点坐标为00(,)x y ，则切线斜率为0/0()x k f x e -==-切线方程为000()x x y ee x x ---=-- ……3分又切线过（0，0），所以00000(0)1,x x ee x x ---=--⇒=- ……4分k e =-，切线方程为y e x =- ，即0ex y += ……5分解法2：当[0,)x ∈+∞时， ()x f x e =，/()xf x e =， 了 ……1分记过原点与()xf x e =相切的直线为L ，设切点坐标为00(,)x y ， 则切线L 斜率为0/0()xk f x e == 切线方程为000()x x y ee x x -=- ……2分又切线过（0，0），所以00000(0)1,x xe e x x -=--⇒= ……3分k e =，切线方程为y e x = ， ……4分 ()f x 为偶．函数，图像关于y 轴对称，∴当(,0)x ∈-∞时，设过原点与()f x 相切的直线/L 方程为y ex =- 即0ex y += ……5分 （2）因为任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤，故x=1时，(1)f t e +≤当10t +≥时，1t e e +≤，从而11t +≤，∴ 10t ∴-≤≤当10t +<时，(1)t e e -+≤，从而(1)1t -+≤，∴ 21t ∴-≤<-，综上 20t -≤≤， ……………6分 又整数(1)m m >，即2m ≥，故0m t +≥，故x=m 时，()f m t em +≤ 得：m t e em +≤， 即存在[2,0]t ∈-，满足t meme e ≤……………7分 ∴ 2min {}t m eme e e-∴≥=，即30m e e m -≤， ……………8分 令3()x g x e e x =-，[2,)x ∈+∞，则3'()x g x e e =- 当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减；当(3,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增， ……………9分又3(3)20g e =-<，3(2)0g e =-<，3(4)(4)0g e e =-<，32(5)(4)0g e e =-> 由此可见，方程()0g x =在区间[2,)+∞上有唯一解0(4,5)m ∈， 且当0[2,]x m ∈时()0g x ≤，当0[,)x m ∈+∞时()0g x ≥，m Z ∈ ，故max 4m =，此时2t =-. ……………10分下面证明：|2|(2)x f x eex --=≤对任意[1,4]x ∈恒成立， ①当[1,2]x ∈时，即2xe ex -≤，等价于x e xe ≤，[1,2]x ∈ ，∴,1x e e x ∴≥≥，x xe e ≥ ……………11分 ②当[2,4]x ∈时，即2x e ex -≤，等价于3max {}0x e x --≤令3()x h x e x -=-，则3'()1x h x e -=-，()h x ∴在(2,3)上递减，在(3,4)上递增，∴max max{(2),(4)}h h h ∴=，而1(2)20,(4)40h h e e=-<=-<，综上所述，(2)f x ex -≤对任意[1,4]x ∈恒成立。