精选高二数学下学期考试试题
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
福建省福州2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学及答案
福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学（答案在最后）一、单选题1.已知tan22α=，则1cos sin αα+的值是（）A.2B.2C.D.122.已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+3.若0a b <<，则下列结论正确的是（）A.ln ln a b> B.22b a< C.11a b< D.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20B.25C.30D.355.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（）A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3F QF ∠=，则C 的离心率为（）A.3B.2C.D.7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ，满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ，则（）A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是518.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3二、多选题9.已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 10.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A.PF 最小值为2B.若PA PB =，则2AB PF =C.若8AB =，则PF =D.若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>11.已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：X 12345Pm11015n310若()10E Y =，则（）A.310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（）A.当112a =时，()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列，则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列，则12a > D.当13a =时，1221n n a -=+三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________．14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=，若()1g x +为奇函数，()23f =，则311()k g k ==∑__________．四、解答题16.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC的面积tan 4S ac B =⋅.（1）求B ；（2）若a ､b ､c 成等差数列，ABC 的面积为32，求b .17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a ca B =-.（1）证明：2B A =；（2）若3a =，b =，求c ．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A ）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B ），若A 胜则A 获得冠军，若B 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ，求M 的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列.20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos()1B A C ++=.（1）求角B 的大小；（2）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x ea a g x e x +-=+-∈=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--，使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学一、单选题1.已知tan22α=，则1cos sin αα+的值是（）A.2B.2C.D.12【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.【详解】由tan 22α=，则212cos 11cos 2sin 2sin cos 22ααααα+-+=2cos 2sin cos 22ααα=1tan 2α=12=.故选：D 2.已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】由已知()()()()2i 1i 13i1i 1i 22z --==-+-，则13i 22z =+.故选：B .3.若0a b <<，则下列结论正确的是（）A.ln ln a b >B.22b a < C.11a b< D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断B ，C ，利用对数函数和指数函数的性质判断A ，D.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上单调递增，0a b <<，所以ln ln b a >，A 错误，因为0a b <<，由不等式性质可得220a b <<，B 错误，因为0a b <<，所以0a b -<，0ab >，所以110a b b a ba --=<，故11b a<，C 错误，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0+∞，上单调递减，0a b <<，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴D 正确，故选：D.4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20B.25C.30D.35【答案】B 【解析】【分析】根据所有项的系数之和求解n ，写出(1)n x +的展开式，求3x 与二项式中含3x 的项相乘所得的项，-1与二项式中含4x 的项相乘所得的项，两项相加，即为(31)(1)n x x -+的展开式中含4x 的项.【详解】所有项的系数之和为64，∴(31)(11)64n -+=，∴5n =5(31)(1)(31)(1)n x x x x -+=-+，5(1)x +展开式第1r +项515r r r T C x -+=，2r =时，2333510T C x x ==，3431030x x x ⋅=，1r =时，144255T C x x ==，44(1)55x x -⨯=-，44430525x x x -=，故选：B ．5.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（）A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由图像得出解析式，再由正弦函数的单调性判断即可.【详解】根据函数()()2sin (0)f x x ωϕω=+>的部分图像，可得1122544312T πππω⋅=⋅=-解得2ω=，∴函数()()2sin 2f x x ϕ=+再把5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数的解析式，可得52sin 26ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴5sin 1,2πZ ,63k k ππϕϕ⎛⎫+=∴=-+∈⎪⎝⎭（）故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令222,232k x k k Z πππππ--+∈ ，得51212k x k πππ-π+ ，当1k =时，函数()f x 的一个单调递增区间是1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3F QF ∠=，则C 的离心率为（）A.3 B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设1||PF x =，则||2PQ x =，1||3QF x =，再由双曲线的定义可得2||2PF a x =+，2||32QF x a =-，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，可求出离心率．【详解】1:1:2F P PQ =，设1||PF x =，则||2PQ x =，1||3QF x =，由双曲线的定义可得2||2PF a x =+，2||32QF x a =-，因为122cos 3F QF ∠=，在12QF F 中，由余弦定理有222121212122cos F F QF QF QF QF F QF =+-⋅⋅∠，即22224(3)(32)3(32)32c x x a x x a -⨯=+--⨯，①在2PQF 中，由余弦定理有222222122cos PF PQ QF PQ QF F QF =+-⋅⋅∠，即2222(2)(32)(2)(32)(2)32a x x a x x a x -+=-+-⨯，②由②可得83x a =，代入①可得229c a =，即3c a =.所以C 的离心率为：3ce a==，故选：A.公众号：高中试卷君7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ，满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ，则（）A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是51【答案】A 【解析】【分析】不妨设10a >，0d <，由对称性可得：2,*n k k N =∈.可得10k k a a +>⎧⎨<⎩，130k a ++<.解得3d <-.可得()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ，可得22010k d =-，解出即可得出.【详解】解：不妨设10a >，0d <，由对称性可得：2,*n k k N =∈.则10k k a a +>⎧⎨<⎩，130k a ++<.()110a k d +->，10a kd +<，130a kd ++>∴3d <-∴()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ，∴22010k d =-，∴220103k-<-，解得：k <，∴2k <，∴250k ≤.∴n 的最大值为50.故选：A .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质､方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.8.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等式，即可判断②.【详解】①将曲线22:1C x y --+=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，故①正确；②设曲线C 上任一点为(),P x y ()222222222211224y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当2222y x x y=，即222x y ==时，等号成立，2≥，曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；③曲线3x y +=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，并且将x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线也关于y x =对称，曲线2211:1C x y +=中，21x ≥且21y ≥，将曲线2211:1C x y+=中的x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线C 也关于y x =对称，当0,0x y >>时，联立22111x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得x y ==，当0,0x y >>时，y ==1x >时，函数单调递减，3<，所以点在直线3x y +=的下方，如图，在第一象限有2个交点，根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判断函数的单调性，即可判断.二、多选题9.已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用奇函数的定义进行判断；对于B ，D ，利用判别式法求其值域；对于C ，利用单调性的定义进行判断【详解】对于A ，()221xf x x =+，其定义域为R ，有()()221x f x f x x -=-=-+，为奇函数，A 正确；对于B ，221xy x =+，变形可得220yx x y -+=，则有2440y ∆=-≥，解可得11y -≤≤，即函数的值域为[]1,1-，B 正确，对于C ，()221xf x x =+，任取12,x x R ∈，且12x x <，则1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，当12,[1,1]x x ∈-，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 的递增区间是[1,1]-，所以C 正确，对于D ，由选项B 的结论，D 错误，故选：ABC ．10.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A.PF 最小值为2B.若PA PB =，则2AB PF =C.若8AB =，则PF = D.若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.【详解】点()1,0F ，抛物线的准线方程为=1x -，设()1,P m -，2PF ==≥=，所以点P 在横轴上时PF 有最小值2，所以选项A 正确；若PA PB =，根据抛物线的对称性可知点P 在横轴上，把1x =代入24y x =中，得2y =±，()224AB =--=，此时2PF =，于是有2AB PF =，所以选项B 正确；因为8AB =，显然点P 不在横轴上，则有22PF AB m k k m=⇒=-，所以直线AB 的方程为()21y x m=-代入抛物线方程中，得()2244240x x m -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，2122x x m +=+22121182284AB x x m m =+++=⇒++=⇒=，PF ===，所以选项C 正确，点P 不在x 轴上，由上可知：2122x x m +=+，121=x x ，()()22121212111224x x x x x x FA FB m m =++=+++=++=+⋅，而224PFm =+，显然2FA FB PF ⋅=，所以选项D 不正确，故选：ABC11.已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：X 12345Pm11015n310若()10E Y =，则（）A .310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =【答案】AC 【解析】【分析】由分布列的性质和期望公式求出,m n 可判断ABC ；由方差公式可判断D .【详解】由113110510m n ++++=可得：25m n +=①，又因为()()()313110E Y E X E X =+=+=，解得：()3E X =，故C 正确.所以()1132345310510E X m n =+⨯+⨯++⨯=，则7410m n +=②，所以由①②可得：13,1010n m ==，故A 正确，B 错误；()()()()()2222231113()1323334353101051010D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯3113134114101010105=⨯+⨯+⨯+⨯=,()()13117()319955D Y D X D X =+==⨯=，故D 错误.故选：AC .12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（）A.当112a =时，()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列，则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列，则12a > D.当13a =时，1221n n a -=+【答案】AD 【解析】【分析】令1n n b a =-可得21n n b b +=，据此判断A ，令n a t =，由递推关系222t t t =-+求出即可判断B ，根据B 及条件数列{}n a 为递增数列，分类讨论求出10a <或12a >时判断C ，通过对21n n b b +=取对数，构造等比数列求解即可判断D.【详解】对于A ，当112a =时，254a =，令1n n b a =-，则21n n b b +=，214b =，故()1024n b n <≤≥，即()5124n a n <≤≥，A 正确；对于B ，若数列{}n a 为常数列，令n a t =，则222t t t =-+，解得1t =或2,1n t a =∴=或2n a =，B 不正确；对于C ，令1n n b a =-，则21n n b b +=，若数列{}n a 为递增数列，则数列{}n b 为递增数列，则210n n n n b b b b +-=->，解得0n b <或1n b >.当11b <-时，2211b b =>，且21n n b b +=，2312,n b b b b b ∴<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<，此时数列{}n b 为递增数列，即数列{}n a 为递增数列；当110b -≤<时，201b <≤，且21n n b b +=，2312,n b b b b b ∴≥≥⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅<，此时数列{}n b 不为递增数列，即数列{}n a 不为递增数列；当11b >时，21n n b b +=，123n b b b b ∴<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，此时数列{}n b 为递增数列，即数列{}n a 为递增数列.综上，当11b <-或11b >，即10a <或12a >时，数列{}n a 为递增数列，C 不正确；对于D ，令1n n b a =-，则21n n b b +=，12b =，两边同时取以2为底的对数，得212log 2log n n b b +=，21log 1b =，∴数列{}2log n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12log 2n n b -∴=，即11222,21n n n n b a --=∴=+，D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，求解时将已知条件变为()2111n n a a +-=-是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的作用.公众号：高中试卷君三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________．【答案】()1,-+∞【解析】【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.【详解】解：由1020x x +>⎧⎨+≠⎩，可得1x >-，所以函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】()2212x y +-=【解析】【分析】求出圆心和半径可得答案.【详解】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)，圆的半径为R ==，故圆的方程为：22(1)2x y +-=．故答案为：22(1)2x y +-=．15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=，若()1g x +为奇函数，()23f =，则311()k g k ==∑__________．【答案】1-【解析】【分析】由()f x 的对称性及()()24f x g x -+=得()()2g x g x =--，再由()1g x +为奇函数得()()4g x g x =--，从而得()()8g x g x -=，即()g x 是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.【详解】由()1g x +为奇函数，得()()11g x g x -+=-+，即()()2g x g x -=-，由()()6f x f x -=+，得()()()2422f x f x f x ⎡⎤-=+=---⎣⎦，又()()24f x g x -+=，于是()()442g x g x -=---，即()()2g x g x =--，从而()()22g x g x -=---，即()()4g x g x +=-，因此()()()84g x g x g x -=--=，函数()g x 的周期为8的周期函数，显然(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)0g g g g g g g g +=+=+=+=，又(32)(0)4(2)1g g f ==-=，所以83111()4()(32)4011k k g k g k g ===-=⨯-=-∑∑.故答案为：1-【点睛】结论点睛：函数()f x 关于直线x a =对称，则有()()f a x f a x +=-；函数()f x 关于(,)a b 中心对称，则有()2()2f a x f x b -+=；函数()f x 的周期为2a ，则有()()f x a f x a -=+.四、解答题16.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan 4S ac B =⋅.（1）求B ；（2）若a ､b ､c 成等差数列，ABC 的面积为32，求b .【答案】（1）6π（2）1+【解析】【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B ；（2）由a ､b ､c 成等差数列，可得22242a c b ac +=-，再由ABC 的面积为32，可得6ac =，然后利用余弦定理可求得结果【小问1详解】∵1sin tan 24S ac B ac B ==，∴1sin sin 24cos B B B =⋅，即3cos 2B =，∵0B π<<，∴6B π=.【小问2详解】∵a ､b ､c 成等差数列，∴2b a c =+，两边同时平方得：22242a c b ac +=-，又由（1）可知：6B π=，∴113sin 242S ac B ac ===，∴6ac =，222412a c b +=-，由余弦定理得，22222241243cos 21242a cb b b b B ac +----====，解得24b =+，∴1b =+17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +，结合题意分析判断.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a c a B =-.（1）证明：2B A =；（2）若3a =，b =，求c ．【答案】（1）证明见解析（2）5c =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简2cos a c a B =-可得sin sin()A B A =-，结合角的范围，可证明结论；（2）由正弦定理可得sin sin 3B A =，结合（1）的结论利用二倍角公式可求出cos 3A =，继而求得cos B ，结合已知条件即可求得答案.【小问1详解】由2cos a c a B =-及正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A =-=-．因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，所以B A A -=，或πB A A -+=（即B π=，不合题意，舍去），所以2B A =．【小问2详解】由正弦定理可得sin 26sin 3B b A a ==，由（1）知sin sin22sin cos B A A A ==，代入上式可得6cos 3A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=，再由条件可得12cos 3653c a a B =+=+⨯=．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A ）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B ），若A 胜则A 获得冠军，若B 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ，求M 的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列.【答案】（1）47；（2）①427；②答案见解析.【解析】【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可②由题意可得{}3,4,5,6,7ξ∈，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列【详解】（1）8人平均分成四组，共有2222864244C C C C A 种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为35A ，所以()352222864244A P A C C C C A =47=（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为211121333333⨯⨯+⨯⨯427=②若甲在第一轮获胜，{}3,4,5,6,7ξ∈.当3ξ=时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即()1113339P ξ==⨯=.当4ξ=时，有两种情况：（i ）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为222833327⨯⨯=；（ii ）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为12211433327C ⋅⨯⨯=，所以()844427279P ξ==+=当5ξ=时，有两种情况：（i ）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为221433327⨯⨯=；（ii ）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为1221218333381C ⋅⨯⨯⨯=；所以()48205278181P ξ==+=.当6ξ=时，有两种情况：（i ）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为2212833381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；（ii ）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为31218333243⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；所以()8832681243243P ξ==+=.当7ξ=时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即()41216733243P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列为：ξ34567P 194920813224316243【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是正确理解题意，求出3,4,5,6,7ξ=对应的概率，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos()1B A C ++=.（1）求角B 的大小；（2）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.【答案】（1）3π（2）7【解析】【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式计算可得；（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【小问1详解】解：在ABC 中，A B C π++=()cos 1B A C ++=，()cos 1B B π+-=cos 1B B -=，∴2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0B π<<，∴5666B πππ-<-<，∴66B ππ-=，∴3B π=；【小问2详解】解：在ABC 中，222222cos AC a c ac B a c ac =+-=+-，在ABM 中，2222212cos 2242a a a AM c c B c ⎛⎫=+-⨯=+- ⎪⎝⎭，又AM AC = ，∴2222142a a c ac c ac +-=+-，32a c ∴=，代入上式得2AC =，在ABC 中，sin 21sin 7BC B BAC AC ⋅∠==．21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x e a a g x e x +-=+-∈=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--，使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存在，e λ≥.【解析】【分析】（1）求函数导数，分0,0,0a a a =><三种情况，分析()f x '与0的关系，即可求出函数的单调区间；（2）由题意转化为0λ>且2min min [()]()f n g m λ<，利用导数求出min 22[()](1)f n a =-，min ()(1)0g x g ==，即转化为21(1)a a e a λ-->-，构造函数21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-，利用导数可求出21(1)a a e e a--<-，即可求解.【详解】（1）()211ax f x x e a +=+-(R)a ∈的定义域为(,)∞∞-+，1()(2)ax f x x ax e +'=+⋅，①当a =0时，0,()0,0,()0x f x x f x ''>><<，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.②当a >0时，22,,()0,,0,()0,(0,)x f x x f x x a a ⎛⎫⎛⎫''∈-∞->∈-<∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为2,,(0,)a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.③当a <0时，22(,0),()0,0,,()0,,x f x x f x x a a '⎛⎫⎛⎫'∈-∞<∈->∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '<所以函数()f x 的单调递减区间为2(,0),,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由1()xg x e x -=-，得1()1x g x e -'=-，当1x >时，()0, 1 g x x '><时，()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，故当[1,]m a a ∈-时，1min ()()0a g m g a e a -==->当(0,1)a ∈时，21a a ->-，由（1）知，当[1,]n a a ∈-时，min ()(0)10f n f a ==->所以min 22[()](1)f n a =-，若对[1,],[1,]m a a n a a ∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立，即2[()]()f ng m λ<则0λ>且2min min [()]()f n g m λ<.所以()21(1)e a a a λ--<-，所以21(1)a a e a λ-->-.设21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-，则()()1121(1)31()x x x x e xe x h x e x --'-----=-，令11()3e e 1,[0,1]x x r x x x x --=---∈则1()(2)e 1x r x x -'=--，当[0,1)x ∈时，由1x e x >+，故1e 2x x ->-，所以1(2)1x x e --<，故()0r x '<，所以()r x 在[0,1]上单调递减，所以[0,1)x ∈时，()(1)0r x r >=，即()0r x >,又[0,1)x ∈时,10x -<,所以当[0,1)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减，所以当(0,1)x ∈时，()(0)h x h e <=，即(0,1)a ∈时，21(1)a a e e a--<-，故e λ .所以当e λ 时，对(0.1),[1,],[1,]a m a a n a a ∀∈∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，恒成立问题，转化思想，分类讨论思想，考查了推理能力和运算能力，属于难题.。
吉林省部分名校2023-2024学年高二下学期联合考试数学试题(含解析)
高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第二册第五章占40%，选择性必修第三册第六､七章占60%.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则质点在秒时的瞬时速度为（ ）A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒2.的展开式中的常数项为（ ）A.12B.8C.-12D.-83.某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）A.12万斤B.10万斤C.8万斤D.6万斤4.某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（ ）A.240B.360C.480D.6405.函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（）A s t ()212ln 2s t t t =+A 2t =432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭y x 32136y x x x =-++()y f x =()y f x ='()y f x =A. B.C. D.6.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（）A. B. C. D.7.2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个组至多3名学生，且学生甲和学生乙不在同一组，则不同的安排方法种数为（ ）A.354B.368C.336D.4208.已知，则（ ）A. B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）A.B.C.D.X X 12,22,13,113,234log 5,,ln33a b c ===a b c <<a c b<<c a b <<c b a<<()()()2,,131X N P X P X μσ~+=……()10.2P X -=…1μ=2μ=()120.3P X -=……()150.8P X -=……10.不透明袋子中装有5个编号为的小球，这5个小球除编号外其余完全相同，从袋子中随机取出3个小球，记取出的3个小球的编号之和为，编号之积为，则（ ）A.是3的倍数的概率为0.4B.是3的倍数的概率为0.6C.是3的倍数的概率为0.4D.是3的倍数的概率为0.611.已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值可以为（ ）A.B. C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知随机变量，则__________，__________.13.在数轴上，一质点从原点0出发，每次等可能地向左或向右平移一个单位长度，则经过11次平移后，该质点最终到达3的位置，则不同的平移方法共有__________种.14.已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者.（1）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？（2）先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？（3）若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？16.（15分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；（2）讨论的单调性.17.（15分）在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率1,2,3,4,5S T S S T T ()1e ln 1axf x a x +=-+()()e,,0x f x ∞∈+…a 41e 31e 21e 1e23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()21E X -=()31D X -=()f x ()0,π()f x '()()sin cos 0f x x f x x ->'x ()πsin 4f x x ⎛⎫<⎪⎝⎭()()22ln 4f x a x x a x =+-+()y f x =()()1,1f y x b =-+a b ()f x n为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为.（1）若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望；（2）若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.18.（17分）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立.（1）在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率.（2）已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：.19.（17分）已知函数.（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）设，证明：.高二数学试卷参考答案1.C 由，得，则，故质点在秒时的瞬时速度为3米/秒.2.D 展开式的通项.令，得，所以展开式中的常数项为.3.A 设销售利润为，则，所以，可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，销售利润最大.13233n =X X 10n =2312R =S =()01P S <<()()P RS P R S >∣∣()22e e xf x ax =--1x …()0f x …a *n ∈N 11122e 343ni i n i n =⎛⎫->-+ ⎪+⎝⎭∑()212ln 2s t t t =+()2s t t t'=+()23s '=A 2t =432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭44414432C (2)C rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭440r -=1r =142C 8-=-()g x ()3232113333,01566g x x x x x x x x =-++--=-+-<…()()21161222g x x x x x '=-+=--()g x ()0,12()12,1512x =4.B 每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目.第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法种.5.B 设的零点分别为，其中，当时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，选项B 符合条件.6.C 白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，则向左的次数服从二项分布.因为，，所以，.7.C 因为6人分成三组，且每组至多3人，所以可分成或两类.当6人分成三组时，有种情况；当6人分成三组时，有种情况.故共有种不同的安排方法.8.D 令，则在（0，上恒成立，则在上单调递减，所以，即.因为，所以，从而.9.BC 因为，所以，所以.因为，所以.10.AD 从5个小球中随机取出3个，共有种不同的取法，其中编号之和是3的倍数的有，共4种不同的取法，编号之积是3的倍数的有6种不同的取法，故是3的倍数的概率为是3的倍数的概率为0.6.6543360⨯⨯⨯=()y f x =',a b 0a b <<()(),,x a b ∞∞∈-⋃+()0f x '>(),x a b ∈()0f x '<()f x (),a ∞-(),b ∞+(),a b 1214,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()44434411111C ,2C 21624P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()4442104441311113C ,4C ,5C 2824216P X P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()113111234531648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2222211311(13)(23)(33)(43)(53)11648416D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=1,2,32,2,21,2,3()121113654433C C C C C A 264--=2,2,2222364433232C C C A 72A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭26472336+=()11ln (0)2f x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()222111(1)1022x f x x x x --⎛⎫=-+=⎪⎝⎭'…)∞+()f x ()0,∞+()()43ln3103f f =-<=c b <3333log 5log 125log 814=>=a b >c b a <<()()131P X P X +=......()()31P X P X =......2μ=()10.2P X -=...()()120.50.20.3,15120.20.6P X P X -=-=-=-⨯= (3)5C 10={}{}{}{}1,2,3,1,3,5,2,3,4,3,4,524C =S 0.4,T11.CD 因为，所以，所以.令，则.因为，所以在上单调递增.因为，所以，所以.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.12.3；6 因为，所以，故1）.13.330 从原点0出发，平移11次最终达到3的位置，则可知这11次有7次向右平移，4次向左平移，故不同的平移方法共有种.14. 令，则，所以在定义域内单调递增.因为，所以关于的不等式可化为，即.因为，所以，即不等式的解集为.15.解：（1）从这11人中任选4人的选法有种，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，故4人中必须既有男生又有女生的选法有种.（2）从这11人中任选4人的选法有种，()1eln 10ax f x a x +=-+…()11e ln 1,e ln 1lneax ax xa x ax x x x ++--=……ln e e ln e ln e e ex xx x xax α=…()()e ,0,xg x x x ∞=∈+()lne x g ax g ⎛⎫ ⎪⎝⎭…()()1e 0xg x x =+>'()g x ()0,∞+0,ln0e x ax >>ln e x ax …ln 1x a x -…()ln 1x h x x -=()22ln x h x x-='()h x (2e,e ⎤⎦()2e ,∞+()2max 21()e e h x h ==21e a …21,e a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()()222232,313333E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭(2E X -()()()213,3196E X D X D X =-=-==411C 330=π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()()sin f x F x x =()()()2sin cos 0sin f x x f x x F x x='->'()F x sin 0x >x ()πsin 4f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π4πsin sin 4f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭<()π4F x F ⎛⎫<⎪⎝⎭0πx <<π04x <<()πsin 4f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭π0,4⎛⎫⎪⎝⎭411111098C 3304321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯46C 15=45C 5=330155310--=411C 330=若人数按1，3分配，则安排方法有种，若人数按2，2分配，则安排方法有种，所以共有种安排方法.（3）因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种.先排2名男生与2名组织者，有种排法，再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法，所以共有种不同的合影方法.16.解：（1）因为，所以.由，得曲线在点处的切线方程为，即，则解得（2）.若，则当时，，当时，.若，则当时，，当时，.若，则在上恒成立.若，则当时，，当时，.综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，1242330C A 2640=22242222C C 330A 1980A =264019804620+=2265C C 150=44A 24=15C 5=22150245A 36000⨯⨯=()()22ln 4f x a x x a x =+-+()224af x x a x=+--'()()13,12f a f a ='--=-()y f x =()()1,1f ()()321y a a x ++=--()2y a x =--21a -21,21,a ab -=-⎧⎨--=⎩1,3.a b =⎧⎨=-⎩()()()()224222224x a x a x x a af x x a x x x-'++--=+--==0a …()0,2x ∈()0f x '<()2,x ∞∈+()0f x '>04a <<,22a x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0f x '<()0,2,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭()0f x '>4a =()0f x '…()0,∞+4a >2,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()0,2,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭()0f x '>0a …()f x ()2,∞+()0,204a <<()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,∞+,22a ⎛⎫⎪⎝⎭4a =()f x ()0,∞+无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.17.解：（1）由题可知，的所有可能取值为，且，的分布列为0123则.（2）设“考生甲答对第道试题”，则，，则.因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，则，即，则，即他第10道试题也答对的概率为.18.解：（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，设结束时甲获胜为事件，即2轮结束或4轮结束或5轮结束，即甲与乙的比分为或或结束比赛.4a >()f x ()0,2,2a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭X 0,1,2,3()1111023318P X ==⨯⨯=()121122112412332332339P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()112122121422332332339P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1111323318P X ==⨯⨯=X X P1184949118()1441301231899182E X =⨯+⨯+⨯+⨯=i A =i ()()1112,33i i i i P A A P A A ++==∣∣()()()()()()()1111233i i i i i i i ii P A P A P A A P A P A A P A P A +++=+=+∣∣()()()121213333i i i P A P A P A ⎡⎤=+-=-+⎣⎦()()1111232i i P A P A +⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦()11122P A -=()12i P A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1213-()1111223i i P A -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭()1111223i i P A -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭()910911111223223P A ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⨯⎝⎭911223-⨯A B M 2:03:13:2若甲与乙的比分为，则；若甲与乙的比分为，则若甲与乙的比分为，则.所以.设结束时甲比乙多2分为事件，则，所以，即在结束时甲获胜的条件下，甲比乙多2分的概率为（2）因为在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率，所以，即.因为，所以.因为，所以，即得，所以即.又因为，所以.因为，所以，即得证.19.（1）解：当时，等价于.令，则.令，则.2:0()1211323P P AB ==⨯=3:1()2212111211323232326P P ABAB ABAB =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=3:2()3P P ABABA ABABA ABABA ABABA=+++3222222121111212323323236⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12323P M P P P =++=N ()1212P MN P P =+=()()()3|4P MN P N M P M ==3.4()()||P S R P S R >()()()()P RS P RS P R P R >()()0,0P R P R >>()()()()P RS P R P RS P R >()()()()()1,P R P R P RS P S P RS =-=-()()()()()1P RS P R P S P RS P R ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦()()()P RS P R P S >()()()()()()(),P RS P RS P S P R P S P RS P S ->-()()()()()1P RS P S P S P R P RS ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦()()()()()1,P S P S P R P RS P RS -=-=()()()()P RS P S P S P RS >()()01,01P S P S <<<<()()()()P RS P RS P S P S >()()||P R S P R S >1x ...()0f x (2)2e ex a x -…()()22e e 1x g x x x -=…()32e 4e 2ex x x g x x-+='()()2e 4e 2e 1xxh x x x =-+…()()21e xh x x =-'当时，单调递增，则，从而在，上恒成立，则在上单调递增，故，则的取值范围为.（2）证明：令，由（1）可得，在上恒成立，当且仅当时，等号成立.令，则，，则，即.因为，所以.[)1,x ∞∈+()()0,h x h x '…()()10h x h =…()0g x '…[1)∞+()g x [)1,∞+()()1e g x g =…a (],e ∞-e a =()2e e 12xx +…[)1,∞+1x =*11,x n n =+∈N 1x >211e 1e112nn +⎡⎤⎛⎫>++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12112e 22n n n ⎛⎫>++ ⎪⎝⎭1211e 12nn n->+22111111313132164444n n n n n n n >==-⎛⎫⎛⎫+--+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111111111122e 37711132343444444nii n n i n n n =⎛⎫ ⎪⎛⎫->-+-++-+=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∑。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
高二下学期数学综合测试题含答案(经典、值得收藏)
高二下学期数学综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．我校在检查学生作业时，按规定的比例从不同层中随机抽取学生作业进行检查，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B ．sin B sin AC.sin C cD ．c sin C3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件4．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27D ．275．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过点(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg 6．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( )A ．48B ．72C ．144D ．1927．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．228．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－29．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( ) A ．45B ．75C ．180D ．30010．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B ． 2 C.13D ．1211．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C ．92D ．512．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20率是( )A.110B.715 C.815 D.1315第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C 处，则A，C两地的距离为________km.15．等比数列{a n}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝________．16．数列{a n}为等比数列，已知a n＞0，且a n＝a n＋1＋a n＋2，则该数列的公比q是_______．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＝log4b n，求数列{b n}的前n项和T n.19．(本小题满分12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？20．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a、b、c的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值．21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＋C2＝33.(1)求cos B的值；(2)若a＝3，b＝22，求c的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx＋1，数列{a n}满足a1＝1，并且a n＋1＝f(a n).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝1n＋1a n，求数列{b n}的前n项和S n.高二下学期数学综合测试题答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．ACCBD DCCCA 11．C12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )A.110B.715C.815D.1315[解析] 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，共8种．故选取的2位工人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题 共52分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．[答案] 1514．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为 km.答案：7 15. 5832 16．((根号5)-1)/2三、解答题(本大题共6个大题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an ＝log4bn ，求数列{bn}的前n 项和Tn. [解] (1)设an ＝a1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝5，a1＋6d ＝13，解得a1＝1，d ＝2. 所以{an}的通项公式为an ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)依题意得bn ＝4an ＝42n －1， 因为bn ＋1bn ＝42n ＋142n －1＝16，所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n 项和Tn ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1). 18．(本小题满分12分) 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B 处望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，在C 处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC 中， 依题意得BC ＝202(海里)， ∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)． 故A 到航线的距离为AD ＝ACsin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)． 因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．19．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率为P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )＝400＋240＋601000＝710，所以P(A)＝1－P(A )＝1－710＝310.(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＋C 2＝33. (1)求cos B 的值；(2)若a ＝3，b ＝22，求c 的值． 解：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＋C 2＝cos π－B 2＝sin B 2＝33，所以cos B ＝1－2sin 2B 2＝13. (2)因为a ＝3，b ＝22，cos B ＝13，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.21．已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． 【解析】设一条直角边长为x cm ，(0＜x ＜10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52(cm)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xx ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，并且a n ＋1＝f (a n ). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)由题意得a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋1a n ＝1＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个等差数列，公差为1，首项为1a 1＝1，从而1a n＝n ，∴a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝1n ＋1a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。
2023-2024学年山东省青岛第二中学高二下学期期末考试数学试题
2023-2024学年山东省青岛第二中学高二下学期期末考试数学试题1.设复数,则A．–3B．1C．-3i D．3i2.设集合，，且，则（）A．–2B．–3C．2D．33.已知A为抛物线上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则（）A．2B．3C．6D．94.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．B．C．D．5.已知正实数，则“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．7.设函数，若存在最小值，则的最大值为（）A ．1B ．C ．D ．-8.已知函数的定义域为，，，，若，则（）A ．B ．C ．2D ．49.在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（）A ．，B ．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为C ．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为D ．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D ．为定值11.函数，则下列结论正确的是（）A ．若函数在上为减函数，则B ．若函数的对称中心为，则C ．当时，若有三个根，且，则D ．当时，若过点可作曲线的三条切线，则12.在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________.13.若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________14.已知，则_____________.15.已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16.已知函数.(1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值；(2)讨论函数的单调性.17.如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：(1)平面；(2)18.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.19.对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数．(1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由；(2)若是回旋函数，求实数ω的值；(3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值．20.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.21.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，是否为定值？并说明理由.。
高二下数学试题及答案
高二下数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是奇函数？A. y = x^3B. y = sin(x)C. y = cos(x)D. y = |x|2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值。
A. 5B. 4C. 3D. 23. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D^2 + E^2 - 4F > 0，表示的是一个圆。
当D = 2，E = -3，F = 1时，该圆的半径是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
A. 10B. 8C. 6D. 45. 已知等差数列的首项a1 = 5，公差d = 3，求第10项a10的值。
A. 28B. 32C. 35D. 406. 若sin(α) = 1/2，求cos(α)的值。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/√3D. -1/√37. 已知函数g(x) = x^2 - 4x + 4，求g(x)的最小值。
A. 0B. -1C. -4D. 18. 已知抛物线y = x^2 - 2x + 3，求其顶点坐标。
A. (1, 2)B. (-1, 2)C. (1, 4)D. (-1, 4)9. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a = 2，b = 1，求双曲线的焦点坐标。
A. (±2, 0)B. (±3, 0)C. (±4, 0)D. (±5, 0)10. 已知正弦函数y = sin(ωx + φ)的周期为2π，求ω的值。
A. 1/2B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，求第5项a5的值。
12. 若函数h(x) = √x + 1，求h(4)的值。
13. 已知向量c = (2, -1)，向量d = (-3, 4)，求向量c与向量d的向量积。
高二下学期数学期末考试试卷及答案
高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是：- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案：D2. 已知等差数列的前5项和为25，则第10项是：- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案：B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$，则下列选项中$g(x)$的性质正确的是：- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案：A4. 若$a$，$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根，则下列选项正确的是：- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案：C5. 已知复数$z=3+4i$，则$|z|$的值是：- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上且顶点在y轴上，则满足的条件是______。
答案：$a > 0$，$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则公比$q$是______。
答案：23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。
答案：$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A$的行列式值是______。
答案：-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上，则直线的斜率是______。
2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列{a n }，a 2=3，d =5，则a 5=( )A. −5B. 18C. 23D. 282.若函数f(x)满足lim Δx→0f(1−Δx)−f(1)Δx =18，则f′(1)=( )A. −18B. −14C. 18D. 143.设{a n }是等比数列，且a 2+a 3=2，a 5+a 6=−16，则公比q =( )A. −2B. 2C. −8D. 84.在(2− x )7的展开式中，含x 2的项的系数为( )A. −280B. 280C. −560D. 5605.某志愿者小组有5人，从中选3人到A 、B 两个社区开展活动，其中1人到A 社区，则不同的选法有( )A. 12种B. 24种C. 30种D. 60种6.直线y =kx 与曲线y =ln 2x 相切，则实数k 的值为( )A. 1B. 12C. 2e D. 2e 27.若P(B|A)=13，P(A)=34，P(B)=12，则P(A|B)=( )A. 14 B. 34 C. 13 D. 128.不等式2ln x > x ln2的解集是( )A. (1,2)B. (4,+∞)C. (2,+∞)D. (2,4)二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X ~N (3,1),则下列说法正确的是( )A. 若Y =X +3,则E (Y )=6B. 若Y =3X +1,则D (Y )=3C. P (X ≤2)=P (X ≥4)D. P (0≤X ≤4)=1-2P (X ≥4)10.若函数f(x)的定义域为(−4,3)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则( )A. f(x)有两个极大值点B. f(x)有一个极小值点C. f(0)>f(1)D. f(−2)>f(−3)11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列{c n}，其前6项分别为4，8，10，10，8，4，设其通项公式c n=g(n).则下列结论中正确的是( )A. 数列{c n+1−c n}的公差为2B. ∑20(c i+1−c i)=−300i=1C. 数列{c n}的前7项和最大D. c21=−296三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2016学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1． 本卷满分150分，考试时间120分钟；2． 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3． 所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷无效； 4． 考试结束后，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卷的相应位置上． 1．已知直线1l ：07=++my x 和2l ：()2320m x y m -++=互相平行，则实数m = （ ▲ ） A.1m =-或3 B.1m =- C.3m =- D.1m =或3m =-2．若βα，表示两个不同的平面，直线m α⊂，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1,2,3，则该三棱锥的外接球的表面积（ ▲）A.π24B.π18C.π10D. π64．正方体1111D C B A ABCD -棱长为4，N M ,,P 分别是棱A A D A 111,,11C D 的中点，则过P N M ,,三点的平面截正方体所得截面的面积为（▲） A ．23B ．43C ．63D ． 1235． 定义点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++b a c by ax l 的有向距离．．．．为：2200ba c by ax d +++=.已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的是（ ▲ ）A.若121d d ==，则直线1P 2P 与直线l 平行B.若121,1d d ==-，则直线1P 2P 与直线l 垂直C.若120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直D.若120d d ⋅≤，则直线1P 2P 与直线l 相交6．实数,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ▲ ） D 1A 1B 11MNP第4题A ．2-B ．1-C ．1D ．27．在所有棱长都相等的三棱锥BCD A -中，Q P 、分别是BC AD 、的中点,点R 在平面ABC 内运动，若直线PQ 与直线DR 成030角，则R 在平面ABC 内的轨迹是（ ▲ ） A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．直线8．设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若在曲线C 的右支上存在点P ,使得21F PF ∆的内切圆半径为a ，圆心记为M , 又21F PF ∆的重心为G ,满足21//F F MG ，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）A ．2B ．3C ．2D ． 5二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．9．双曲线191622=-y x 的离心率为 ▲ ,焦点到渐近线的距离为 ▲ ．10．已知点()1,0A ,直线1l ：,01=--y x 直线2l ：022=+-y x ，则点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为 ▲ ,直线2l 关于直线1l 的对称直线方程是 ▲ ．11．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如右图所示，则这个四棱锥的体积是 ▲ ，表面积是 ▲ .12．如图，三棱锥ABC S -中，若32=AC ,4=====BC AB SC SB SA ,E 为棱SC 的中点，则直线AC 与BE 所成角的余弦值为 ▲,直线AC 与平面SAB 所成的角为▲．13．在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动，则下列四个命题：①三棱锥PC D A 1-的体积不变；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变；ABC第12题SE俯视图第9题图③二面角C AD P --1的大小不变；④M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11D A . 其中真命题的编号是 ▲ （写出所有真命题的编号）14． 两定点)0,2(),0,2(B A -及定直线310:=x l ，点P 是l 上一个动点，过B 作BP 的垂线与AP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为▲．15．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,6AB =,BC =,O 为AC 的中点，过C 作BO 的垂线，交AB BO 、分别于D R 、.若DPR CPR ∠=∠,则三棱锥ABC P -体积的最大值为▲． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知直线1:10l x y --=,直线2:30l x y +-= （I ）求直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标；（II ）过点P 的直线与x 轴的非负半轴．．．．交于点A ，与y 轴交于点B ，且4AOB S ∆=（O 为坐标原点），求直线AB 的斜率k ．17．如右图, 在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥A A 1平面ABC ，BC AC ⊥，1AC =， 2BC =，11A A =，点D 是AB 的中点.A BCD 1A 1B 1C 1D 第13题ABCPDOR第15题ABCD1A 1B 1C 第17题（I ）证明：1AC ∥平面1CDB ；(Ⅱ)在线段AB 上找一点P ，使得直线1AC 与CP 所成角 的为60，求AP AB的值．18．已知圆4:22=+y x O 及一点)0,1(-P ，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ．（I ）求轨迹C 的方程；（II ）若直线PQ 的斜率为1，该直线与轨迹C 交于异于M 的一点N ，求CMN∆的面积．19．如图，四棱锥A OBCD -中，已知平面AOC ⊥面OBCD ，2,4,AO OB BC CD ====0120OBC BCD ∠=∠=．（I ）求证：平面ACD ⊥平面AOC ； （II ）直线AO 与平面OBCD 所成角为60， 求二面角A BC D --的平面角的正切值．20．椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为12,F F ，M 在椭圆上，△12MF F 的周长为452+,面积的最大值为2.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线)0(>=k kx y 与椭圆C 交于B A ,，连接22,AF BF 并延长交椭圆C 于E D ,，连接DE ．探索AB 与DE 的斜率之比是 否为定值并说明理由．2016学年第二学期浙江省名校协作体高二年级数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.第18题第20题第19题ACDO二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9.45, 310. ()12-，， 052=--y x 11.2 , 22232++ 12.41， 060 13.①③④ （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）14.2214x y +=15.三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、解：（1）联立两条直线方程：1030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标为(2,1)． 5（2）设直线方程为：1(2)y k x -=-令0x = 得12y k =-，因此(0,12)B k -； 令0y =得12x k =-，因此1(2,0)A k -．211002k k ork k -≥⇒≥< 811(12)(2)42AOBS k k∆∴=--=， 10解得12k =-或32k =．1417 （Ⅰ）证明：设1CB 与B C 1相交于E ，连结DE , ………….2分 D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点, ∴DE ∥1AC , ………….6分⊂DE 平面1CDB ，⊄1AC 平面1CDB ,∴1AC ∥平面1CDB .………….7分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，1CC 为z 轴，CA 为x 轴，CB 为y 轴，……….9分 设(01)AP AB λλ=<<()1,2,0CP CA AB λλλ=+=-，()11,0,1AC =-所以11cos ,2AC CP =13λ⇒=15（向量写出，夹角公式写出，计算答案错误至少给2分）非向量做法：指出角给2分，其他视情况相应给分 18、（1）设),(),,(11y x Q y x M ，则y y x x 2,1211=+=，2 把),(11y x 代入422=+y x 得1)21(:22=++y x C 。
6（2）直线PQ ：1y x =+圆心C 到直线PQ的距离为d =10MN =，128CMN S ∆=1519、（1）证出CD OC ⊥，2因为平面AOC ⊥面OBCD ,CD AOC ∴⊥面 4又CD ACD ⊆面，所以平面ACD ⊥平面AOC6（2）过A 作OC 的垂线，垂足为H ，则60,3AOH AH ∠==8过H 作BC 的垂线，垂足为M ，连,AM 则AM BC ⊥ 则AMH ∠为所求113tan 33AH AMH HM ∠===15（求对一条边长给2分）20．（I ）1212||||||224F F MF MF a c ++=+=，2 1222S c b bc =⋅==，4第19题ACDO得1,2,5===b c a ， 所以15:22=+y x C 。
6（2）（II ）设),(00y x A ，则00(,)B x y --。
直线22:00+-=y y x x AD ， 8代入15:22=+y x C 得[]0)2(45)2(200022020=--++-y y y x y y x ， 因为152020=+y x ，代入化简得0)2(4)49(20020=--+-y y y x y x ， 设),(),,(2211y x E y x D ，则0201049x y y y --=，所以00149x y y --=，221001+-=y y x x 。
12直线22:00++=y y x x BE ，同理可得00249x y y +=，222002++=y y x x 。
所以12121200001212121212000000121222()2DE y y y y y y k x x x x y y y y x x y y y y y y y y y y y y ---====-+++-----⋅-000000199429y k x x x y y ===+-⋅，所以9:=k k DE 。