第二章第1讲函数及其表示

第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素： 、和 ．(3)相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有： 、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[做一做] 1．(2014·高考江西卷)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1] C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．设函数f (x )＝ 若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±11．辨明两个易误点(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数解析式的四种常用求法3．(2015·长春模拟)下列对应关系：①A ＝{1，4，9}，B ＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f ：x →x 的平方根； ②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数；③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2； ④A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方． 其中是A 到B 的映射的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________．5．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________．考点一__函数的基本概念____________________以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 21.有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，（x ≥0）－1，（x ＜0）表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 考点二__分段函数(高频考点)____________________(1)(2014·高考江西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a＝( )A.14 B.12C ．1D ．2(2)(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________．(3)(2015·榆林模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－（x －1）2，x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．2.(1)(2015·福建南安一中上学期期末)已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1(2)(2015·西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x >0），若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．考点三__求函数的解析式______________________(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式．(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．3.(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________；(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为f (x )＝__________；(3)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________；(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________．(2014·高考浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________．若本例中的“f (f (a ))＝2”变为“f (f (a ))≤2”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．(2015·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ）， x ≤0f （x －1）－f （x －2）， x >0，则f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3 走进高考(2015年山东高考)10．设函数31,(1)()2,(1)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(()2f a f f a =的a 的取值范围（ ）A 2[,1]3B [0,1]C 2[,)3+∞ D [1,)+∞1．已知集合A ＝[0，8]，集合B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x2．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝（x －1）2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1C ．f (x )＝ln e x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x3．(2015·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，－x ，x <0，则“a ＝2”是“f (a )＝4成立的”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1，3)6．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12log 2x ，则f (2)＝________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________．8．(2015·上海徐汇模拟)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))与g (f (2))；(2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．9．设x ≥0时，f (x )＝2；x ＜0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f （x －1）－f （x －2）2(x ＞0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．1．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 2．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．3．设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx .其中属于集合M的函数是________．(写出所有满足要求的函数的序号)。