湖北省华师一附中荆州中学高三数学5月模拟 文【会员独享】
湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学(文)试题
湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（文）试题一、单选题1．设是虚数单位，则复数的虚部等于（）A. B. C. D.2．设集合，，则（）A. B. C. D.值域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．已知，则（）A. B. C. D.4．“”是直线与圆相切的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知变量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.6．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，7．运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.8．将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则的值可能为（）A. B. C. D.9．关于的方程在内有且仅有5个根，设最大的根是，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 以上都不对10．中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.11．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. 或 D.12．已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13．如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为__________．14．已知双曲线的标准方程为，且其焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的标准方程为__________．15．在中，角，，的对边分别为，，且，若的面积，则的最小值为__________．16．对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽为的通道．给出下列函数：①；②；③；④.其中在区间上通道宽度为1的函数由__________ （写出所有正确的序号）．三、解答题17．已知正项等比数列满足，前三项和．（1）求；（2）若数列满足，的前项和为，求．18．某贫困地区有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.（Ⅰ）应收集多少户山区家庭的样本数据？（Ⅱ）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，.如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（Ⅲ）样本数据中，由5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：19．如图1，在中，，，分别为线段，的中点，，，以为折痕，将折起到图2中的位置，使平面平面，连接，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设是线段上的动点，，若，求的值.20．已知曲线，是焦点，点为准线上一点，直线交曲线于、两点.（Ⅰ）若，且在第一象限，求直线的方程；（Ⅱ）求的最大值，并求出此时点的坐标.21．已知函数，其中无理数.（Ⅰ）若函数有两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.22．以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；（Ⅱ）若存在实数使得成立，求的取值范围.湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（文）试题一、单选题1．设是虚数单位，则复数的虚部等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：对所给的复数分子、分母同乘以，利用进行化简，整理出实部和虚部即可．详解：∵∴复数的虚部为故选D.点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．2．设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题目中使函数有意义的的值求得集合，再利用函数的值域求得集合，再求它们的交集即可．详解：∵集合∴集合∵集合∴集合∴故选B.点睛：本题属于以圆的方程式及函数的值域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角基本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．详解：由题意得.∵∴故选A.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．4．“”是直线与圆相切的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解可得到的值，即可得出结论．详解：由圆，可得圆心为，半径.∵直线与圆相切∴∴∴“”是直线与圆相切的充要条件故选C.点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，考查四种条件．直线和圆的位置关系分相交，相离，相切三种状态，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．5．已知变量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．详解：由约束条件作出可行域如图所示：联立，解得，即；联立，解得，即.的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率.∵，∴的取值范围是故选B.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.6．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积．详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：∴该几何体的体积为；该几何体的表面积为.故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7．运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：执行程序框图，依次写出，的值，程序运行的功能是，根据计算变量判断程序终止运行时的值，利用并项求和求得.详解：执行程序框图，，；，；，；，；…，.∴输出故选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图象按向量平移得到平移后的解析式，再根据平移后所得的图象关于点中心对称，将代入使其等于0即可求值.详解：∵函数的图象按向量平移∴平移后的解析式为∵平移后所得的图象关于点中心对称∴，即.∴，即.∴时，.故选C.点睛：本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等.求对称中心时，可由得对称中心横坐标；在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对”的原则. 9．关于的方程在内有且仅有5个根，设最大的根是，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图，再观察交点个数，即可得必是与在内相切时切点的横坐标，从而可得结论．详解：由题意作出与在的图象，如图所示：∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，，则.∴，则.∴∴故选C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10．中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由于是边上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设，，再根据，，，利用数量积运算性质表示出，然后根据一次函数的单调性即可得出范围.详解：∵是边上的一点（包括端点）∴可设，.∵∴∵，，∴故选D.点睛：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，着重考查了推理能力和计算能力，解题的关键是向量共线定理的应用，若点、、三点共线，点在线外，可得.11．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】分析：根据向量共线定理及，，可推出，的值，再根据过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），可推出，两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线的方程，即可求得点的坐标，从而可得，，三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵、、三点共线，∴又∵∴或∵∴∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）∴，∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点∴直线的方程为为∴∵∴，即.∴，即.∴∵∴故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．12．已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：对函数求导，利用导数研究函数的单调性，从而可作出函数的图象，再根据关于的方程有四个不等的实根，可设，判断出单调性，转化为在和上分别有根，构造，由，只需即可保证题意，从而可得实数的取值范围.详解：由题意可得函数的定义域为，且.令得或，则函数在，上单调递增；令得，则函数在上单调递减.∵∴函数的图象如图所示：令，则的增减性与相同，.∵关于的方程有四个不等的实根∴有四个不等的实根，即在和上分别有根.令，则.∴，即∴故选C.点睛：本题考查的是有关已知函数零点个数有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合，求得相应的结果.二、填空题13．如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为__________．【答案】【解析】分析：设正方形的边长为2，则，根据为正三角形，分别求出和阴影部分面积，利用面积比即可求得概率.详解：设正方形的边长为2，则.∵为正三角形∴∴阴影部分面积为∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.14．已知双曲线的标准方程为，且其焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的标准方程为__________．【答案】.【解析】分析：根据双曲线的标准方程求得双曲线的渐近线的方程，再根据焦点到渐近线的距离等于，利用点到直线距离公式，即可得出，即可求出，然后结合，从而求得双曲线的标准方程.详解：∵双曲线的标准方程为∴双曲线的渐近线的方程为，即.∵其焦点到渐近线的距离等于∴，即.∵∴∴∴双曲线的标准方程为故答案为.点睛：本题主要考查了双曲线的方程、渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，是常考题.确定，，的值是解答本题的关键.15．在中，角，，的对边分别为，，且，若的面积，则的最小值为__________．【答案】48.【解析】分析：根据正弦定理将边化角为，再根据三角关系，将其化简得，从而可得角，然后通过余弦定理及基本不等式即可求得的最小值.详解：∵∴根据正弦定理可得∵∴，即.∵∴∵∴∵的面积∴，即.∵∴，当且仅当时取等号.∴，即的最小值为.故答案为.点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16．对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽为的通道．给出下列函数：①；②；③；④.其中在区间上通道宽度为1的函数由__________ （写出所有正确的序号）．【答案】①②③.【解析】分析：对于①，求出函数的值域，判断即可；对于②，从函数图象入手，寻找符合条件的直线即可；对于③，利用导数研究函数的单调性，即可得其值域，判断即可；对于④，求出函数的值域，并根据导数的几何意义求出函数的切线方程，从而可判断.详解：对于①，，当时，，故在上有一个宽度为1的通道，两条直线可取，；对于②，，当时，表示的是双曲线在第一象限的部分，双曲线的渐近线为，故函数满足，满足在上有一个宽度为1的通道；对于③，，，当时，，时，，则，且在上的值域为，满足，故该函数满足在上有一个宽度为1的通道；对于④，，，与之间的距离为，又因为，则为增函数，设的切点为，则，解得，则与平行的切线为：，即，，因为与相切，故不存在两条直线.故答案为①②③.点睛：本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是正确理解“新定义”，主要是能将“新问题”转化为“老问题”、用“老方法”解决问题，本题通过研究函数的性质，找出满足题意的直线，结合导数的知识进行求解．三、解答题17．已知正项等比数列满足，前三项和．（1）求；（2）若数列满足，的前项和为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将转化为，再根据数列各项为正数，可得的值，然后根据前三项和，可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得.详解：（1）∵∴∵∴∵，且∴∴（2）∵∴∴．点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某贫困地区有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.（Ⅰ）应收集多少户山区家庭的样本数据？（Ⅱ）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，.如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（Ⅲ）样本数据中，由5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）；（Ⅲ）有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【解析】分析：（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等求得答案；（Ⅱ）根据频率分布直方图可得该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（Ⅲ）由题意列出2×2列联表，计算出的值，结合附表得答案．详解：（Ⅰ）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应手机户山区家庭的样本数据．（Ⅱ）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为．（Ⅲ）样本数据中，年收入超过2万元的户数为户．而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以，∴有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题.解决独立性检验的三个步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式，计算的值；③查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断.19．如图1，在中，，，分别为线段，的中点，，，以为折痕，将折起到图2中的位置，使平面平面，连接，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设是线段上的动点，，若，求的值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由平面平面，，推出平面，再根据中位线定理可得，，，结合勾股定理可得，从而根据线面垂直判定定理即可求证；（Ⅱ）由，推出，结合（Ⅰ），可得，从而可得的值.详解：（Ⅰ）∵平面平面，，平面平面∴平面∵平面∴．∵，分别为线段，的中点∴，，，设与交于点，∴．∴，，∵∴，∴，∵∴平面．（Ⅱ）∵∴由（Ⅰ）知，平面.∴∴∴．点睛：本题考查了立体几何中的直线与平面垂直的判定和有关三棱锥体积计算.证明线线垂直的常用方法：①等腰三角形三线合一；②勾股定理逆定理；③线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.20．已知曲线，是焦点，点为准线上一点，直线交曲线于、两点.（Ⅰ）若，且在第一象限，求直线的方程；（Ⅱ）求的最大值，并求出此时点的坐标.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为.【解析】分析：（Ⅰ）根据题意可得，设，，，由，可得为的中点，从而可求得，即可求得直线的方程；（Ⅱ）设直线：（），其中，表示出，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理及基本不等式即可求得的最大值与此时点的坐标.详解：由题意，设，，．（Ⅰ）∵∴为的中点∴，∴∴∴直线的方程为，即．（Ⅱ）设直线：（），其中．.由得，则有，.∴，当且仅当时取“”.∴当时，有最大值，此时点的坐标为.点睛：求圆锥曲线中研究范围或最值问题得常见方法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21．已知函数，其中无理数.（Ⅰ）若函数有两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）先对函数求导，构造，则函数有两个极值点等价于有两个不等的正实根，对函数求导，然后对和进行讨论，可得函数的单调性，结合，即可求得的取值范围；（Ⅱ）对函数求导，由有三个极值点，则有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，结合（Ⅰ），可得的两个零点即为的最小和最大极值点，，即，令，由题知，则，令，利用导数研究函数的单调性，从而可求得的最小值即的最小值.详解：（Ⅰ），令，，∵有两个极值点∴有两个不等的正实根∵∴当时，，在上单调递增，不符合题意．当时，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．又∵，当→时，→∴∴综上，的取值范围是．（Ⅱ）．∵有三个极值点∴有三个零点，1为一个零点，其他两个则为的零点，由（Ⅰ）知.∵∴的两个零点即为的最小和最大极值点，，即.∴令，由题知.∴，，∴令，，则，令，则．∴在上单调递增∴∴在上单调递减∴故的最小值为．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，转化与化归思想，逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求得曲线的切线方程及参数的值；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．22．以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；。
湖北省华中师范大学第一附属中学高三数学5月押题考试试题 理
华中师范大学第一附属中学（湖北）三高三5月押题考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1+2)1i z i =-，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35- C ．35i D ．35i - 2.设集合{}2,2M =-，12N xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．N M ⊆ B ．M N ⊆ C ．{}2N M ⋂= D ．N M R ⋂= 3.设函数()f x 是以2为周期的奇函数，已知(0,1)x ∈时，()2xf x =，则()f x 在(2017,2018)上是（ ）A ．增函数，且()0f x >B ．减函数，且()0f x <C ．增函数，且()0f x <D ．减函数，且()0f x >4.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，(3,a b -=，则2a b +=（ ）A ．． 5.在“五一”促销活动中，某商场对5月11日19时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（ ）A ．3万元B ．6万元 C.8万元 D ．10万元6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C. D ．7.已知命题:(,0),23xxp x ∀∈-∞>；命题:(0,),sin 2q x x x π∃∈>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨ C.()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝ 8.函数()cos()f x A x ωϕ=+满足()()33f x f x ππ+=--，且()()66f x f x ππ+=-则ω的一个可能值是（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．59.已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线10y --=平行，则双曲线C 的离心率为（ ）A D 10.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）1.732,sin150.258,sin 7.50.1305=︒≈︒≈A ．12B ．24 C.48 D ．9611.二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，,,,M MN C AB MCB αβ∈⊥∈∠为锐角，则（ ）A ．MCN θ∠<B ．MCN θ∠= C.MCN θ∠> D ．以上三种情况都有可能 12.已知函数212y x =的图象在点2001(,)2x x 处的切线为l ，若l 也为函数ln (01)y x x =<<的图象的切线，则0x 必须满足（ ）A．012x << B．01x <<0x <<02x << 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.25(21)x x +-的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）14.已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若可行域内存在(,)x y 使不等式20x y k ++≥有解，则实数k 的取值范围为 ．15.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆上一点M 作垂线MA ，MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为 ． 16.在ABC ∆中，,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前3项和为27，且22a 为13a 和3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足*131log (2,)n n n b b a n n N -+=⋅≥∈，且11b =，求数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。
2024年5月荆州中学高三数学四模考试卷附答案解析
2024年5月荆州中学高三数学四模考试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()tan(2)3f x x π=+的最小正周期为A ．πB ．π2C ．π3D ．π62.已知椭圆C ：2218x y k+=的一个焦点为()0,2，则k 的值为A ．4B ．8C ．10D ．123.已知集合{}()21,{}A xx B x x a a =<=>∈R ∣∣，若A B =∅ ，则a 的取值范围为A.(,1]-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．[1,)+∞4.已知()202422024012202431a a x a x a x x =+++-+L ，则122024a a a +++L 被3除的余数为A.3B ．2C ．1D ．05.L 的图形．图中四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若DO OB λ= ，则λ=A ．1BC ．2D 6.已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤7.根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆybx a =+，求得如右图所示的残差图.模型误差A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的2()D e σ=假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和2()D e σ=的假设8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数()1n n ≠经过()K n 次上述运算法则后首次得到1（若 n 经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记()K n =+∞），以下说法正确的是A.()K n 可看作一个定义域和值域均为*N 的函数B ．()K n 在其定义域上不单调，有最小值，有最大值C ．对任意正整数()1n n ≠，都有()()()221K n K K n =-D ．()()2121n nK K -≤+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若有两个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对1个得2分，有选错的得0分．9.已知复数()()211i z m m m R =-++∈，则下列命题正确的是A ．若z 为纯虚数，则1m =±B ．若z 为实数，则0z =C ．若z 在复平面内对应的点在直线2y x =上，则1m =-D ．z 在复平面内对应的点不可能在第三象限10.如图，正八面体E ABCD F --棱长为2．下列说法正确的是A ．//BE 平面ADFB ．当P 为棱EC 的中点时，正八面体表面从F 点到P C ．若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F ADP -的体积为定值43D ．以正八面体中心为球心，111.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，则A ．()02f = B.()f x 关于(3,0)中心对称C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的解析式可能为()o 3π2c s f x x=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,1)，则C 的渐近线方程为_______．13.若实数0,,,6x y 成等差数列，11,,,,28a b c --成等比数列，则y xb-=_______.14.设π02αβ<<<，tan tan m αβ=，()3cos 5αβ-=，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =_______，tan tan αβ=_______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()f x x=（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求证：函数()y f x =的图象位于直线y x =的下方；16.（15分）如图在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）求证：PQ ∥平面BCD ；（2）2,AB AD BC CD AC BD ======求直线DQ 与平面ACP 所成角的正弦值.17.（15分）宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中14的人计划只参观三峡大坝，另外34的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n 人()n N *∈，记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求1nii P =∑；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．18.（17分）从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为Γ.（1）求Γ的轨迹方程；（2）,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，①若//AC DF ，求BD BF的值；②证明：三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.19.（17分）对于数列{}n x ,如果存在一个正整数m ,使得对任意()*N n n ∈,都有n m n x x +=成立,那么就把这样的一类数列{}n x 称作周期为m 的周期数列,m 的最小值称作数列{}n x 的最小正周期,简称周期.（1）判断数列122,1sin π3,231,n n n n x y n n y n y n --+⎪=⎧⎪===⎨-≥⎩和是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；（2）设（1）中数列{}n y 前n 项和为n S ，试问是否存在,p q ,使对任意*N n ∈，都有(1)nnS p q n≤-⋅≤成立，若存在，求出,p q 的取值范围，若不存在,说明理由.（3）若数列{}n a 和{}n b 满足1n n n b a a +=-，且()12121,1,N n n n b b a b b n n b++==⎧⎪⎨=≥∈⎪⎩，是否存在非零常数a ，使得{}n a 是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a ；若不存在，请说明理由.参考答案题号1234567891011答案BDDDBADCBDABDACD12.22y x =±13.-13.-814.1,tan tan 19m αβ==1.【详解】由周期公式得ππ2T ω==.故选：B 2.【详解】由题意得，24c =，2a k =，28b =，所以4812k =+=．故选：D ．3.【详解】由题意知{|11}A x x =-<<，又(){}B xx a a =>∈R ∣且A B =∅ ，故1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞.故选D.4.【详解】令0x =，得01a =，令1x =，得202401220242a a a a ++++=L ，两式相减，101212202441a a a +++=- ．因为()1012010121101110111012101210121012101231C C C 33C 3+=++++ ，其中01012110111011101210121012C 3C 3C 3+++L 被3整除，所以()101231+被3除的余数为1，从而122024a a a +++L 能被3整除．故选D.5.【详解】延长AB 、DC 交于点E ，取CE 的中点F ，连接BF ，易知ABC 为等腰直角三角形，则90ABC ACD ∠=∠= ，45ACB ∠= ，所以，ACE 90∠= ，90CBE ∠=o ，45BCE ACE ACB ∠=∠-∠= ，故BCE 为等腰直角三角形，且1BE BC AB ===，则CE 因为B 、F 分别为AE 、CE 的中点，则//BF AC ，且1222CF CE ==，所以，DO CDOB CF==λ=故选：B.6.【详解】由题意可知圆C 的圆心坐标为()0,m ，半径为1.因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，所以圆心()0,C m 到直线l 的距离1d =≤，解得112m -≤≤.其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，所以选项中只有11m -≤≤是112m -≤≤的必要不充分条件.故选：A 7．【详解】解：用一元线性回归模型2()0,()Y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据对应的残差图，残差的均值()0E e =不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上，说明残差与坐标轴变量有二次关系，2()D e σ=不满足一元线性回归模型，故选D.8.【详解】依题意，()K n 的定义域是大于1的正整数集，A 错误；由(4)2,(5)5,(8)3K K K ===，得()K n 在其定义域上不单调，而(2)1K =，()N K n *∈，则()K n 有最小值1，由 n 经过有限次角谷运算均无法得到1，记()K n =+∞，得()K n 无最大值，B 错误；对任意正整数()1n n ≠，(2)()1K n K n =+，而(2)1K =，因此()(2)()(2)1K n K K n K n ==-，C 正确；由22(21)(3)7,(21)(5)5K K K K -==+==，知()()2121n nK K -≤+不正确，D 错误.故选：C 9.【详解】复数()()211i z m m m =-++∈R 的实部为21m -，虚部为1m +，复数z 在复平面内对应的点的坐标为()21,1m m -+，对于A ：若z 为纯虚数，则21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得1m =，故A 错误；对于B ：若z 为实数，则10m +=，解得1m =-，则0z =，故B 正确；对于C ：若z 在复平面内对应的点在直线2y x =上，所以()2121m m +=-，解得1m =-或32m =，故C 错误；对于D ：令21010m m ⎧-<⎨+<⎩，即111m m -<<⎧⎨<-⎩，不等式组无解，所以z 在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D 正确.10.【详解】A 选项，连接,BD EF ，由对称性可知，EF ⊥平面ABCD ，且,EF BD 相交于点O ，O 为BD 和EF 的中点，又2BE DE BF DF ====，故四边形BFDE 为菱形，故//BE DF ，又DF ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，所以//BE 平面ADF ，A 正确；对于B ，将△EBC 和△F BC 展开至同一平面，由余弦定理得：2222π2cos73FP CF CP CF CP =+-⋅=，FP ∴=，B 正确；C 选项，F ADP A FDP V V --=，其中A 到平面FDP 的距离为AO =设菱形BFDE 的面积为S ，则11422S BD EF =⋅=⨯=，122FDP S S == ，若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F ADP -的体积为定值12233FDP S = ，C 错误.对于D ，易得以O 为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，以2可得内切圆半径r =82πL r =⨯D 正确．故选ABD 11.【详解】由()()()()++-=f x y f x y f x f y ，令1x =，0y =，有(1)(1)(1)(0)f f f f +=，可得()02f =,故A 正确；令0x =，则()()()(0)()2f y f y f f y f y +-==，则()()f y f y =-，()11f =，令1y =，则()()(1)(1)()1f x f x f x f f x ++-==，所以(1)()(1)f x f x f x +=--，则()(1)(2)f x f x f x =---，(1)[(1)(2)](1)(2)f x f x f x f x f x +=-----=--，所以()(3)(6)f x f x f x =--=-，则()f x 周期为6，C 正确．由于()f x 为偶函数且周期为6，故()()()333f x f x f x ==-+-，()f x 关于3x =轴对称，B 错误，函数()f x 是偶函数且周期为6，()02f =，()11f =，故D 正确.12.【详解】因为双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,1)，所以1a b ==，渐近线方程为22b y x x a =±=.13.【详解】实数0,,,6x y 成等差数列，则6023y x --==，11,,,,28a b c --成等比数列，则211121616b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由于等比数列奇数项同号，所以0b <，所以14b =-.则8y xb-=-.故答案为8-.14.【详解】由tan tan m αβ=，得sin sin cos cos m αβαβ=，即sin cos cos sin m αβαβ=，由于()3cos 5αβ-=，所以()()sin cos cos s 5in 1cos s n i i n 4s m βααβαβαβ=--=-=-，所以()4cos sin 51m αβ=--，所以()4sin cos cos sin 51mm m αβαβ==--，所以()()()41sin sin cos cos sin 51m m αβαβαβ-++=+=-，因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以αβ+唯一，所以()()()41sin 151m m αβ-++==-，所以19m =，经检验符合题意，所以1tan tan 9αβ=，则()24tan tan tan 9tan tan 31tan tan 19tan αβαααβαβα---=-==++，解得1tan 3α=，所以2tan tan 9tan 1αβα==.15.【详解】（1）()f x ='()11f '=，又()10f =，所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-；..................................................5分（2）因为0x >0>，要证明()f x x <，只需要证明ln x <ln 0x <，令()ln h x x =()1h x x =='..................................................8分当04x <<时，()0h x '>，此时()h x 在()0,4上单调递增；当>4x 时，()0h x '<，此时()h x 在()4,∞+上单调递减，..................................................11分故()h x 在4x =取极大值也是最大值，故()()4ln420h x h ≤=-<，所以ln 0x -<恒成立，即原不等式成立，所以函数()y f x =的图象位于直线y x =的下方；..................................................13分16.【详解】（1）过点P 作PE ∥AD 交BD 于点E ，过点Q 作QF ∥AD 交CD 于点F ，则PE ∥QF ，因为M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，所以14PE AD =，因为3AQ QC =，由平行线分线段成比例定理得：14QF AD =，所以PE =QF ，所以四边形PEFQ 为平行四边形，所以PQ ∥EF ，又PQ ⊄平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ；..................................................6分（2）因为23,BD =所以1,AE CE ==又3,AC =所以120,AEC ∠= 因为,AB AD E =为中点，所以AE BD ⊥,同理CE BD ⊥,又因为AE CE E = ，所以BD ⊥平面ACE ，又因为BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面,ACM 作AH CE ⊥交CE 延长线于点,H 则AH⊥平面BCD 且3,2AH =如图，以EB 为x 轴，EC 为y 轴，z 轴//AH 建立空间直角坐标系....................................8分)()()13313530,,,3,0,0,0,1,0,3,0,0,(,,(0,,2828488A B C D P Q ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭,333330,,,,,,3954888,,228AC P DQ C ⎛⎫⎛⎫⎫=-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭设面ACP 的一个法向量为(),,n x y z =033023930n AC y z n CP x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩ 3,x =则1,3y z ==所以3,1,3n =...........................13分设直线DQ 与平面ACP 所成角为,θ516385s 3in |co |8s ,DQ n θ=<>=所以直线AB 与平面ACD 取成线面角的正弦值为16385385...................................................15分17.【详解】（1）X 的可能取值为2,3,4，211(2)()416P X ===,12136(3)4416P X C ==⨯⨯=,239(4)()416P X ===所以X 的分布列如下表所示：X234P116616916所以1697()2341616162E X =⨯+⨯+⨯=..................................................5分(2)因为这n 人的合计得分为1n +分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以11313()444n n nn n P C -=⋅⋅=，231332333...4444ni ni nP =⨯⨯=++++∑，则234111332333...44444n i n i n P +=⨯⨯⨯=++++∑由两式相减得，2311111333333334 (14444444414)nn in n n i n n P ++=-⨯=++++-=⨯--∑所以141(1)344ni n ni nP ==--∑..................................................10分(3)在随机抽取的若干人的合计得分为1n -分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n 分或1n +分，记“合计得n 分”为事件A ，“合计得1n +分”为事件B ，A 与B 是对立事件．因为()n P A a =，13()4n P B a -=，所以131(2)4n n a a n -+=≥，即1434()(2)747n n a a n --=--≥．因为114a =，则数列4{}7n a -是首项为928-，公比为34-的等比数列，所以1493()(1)7284n n a n --=--≥，所以1493()(1)7284n n a n -=--≥所以随着抽取人数的无限增加，n a 趋近于常数47...........15分18.【详解】（1）设垂线段中点坐标为(,)x y ，抛物线上点坐标为(,2)x y ，代入抛物线方程，则2(2)8y x =，即22y x =.................3分（2）①如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，设()()()223121234455662,,,,,,,,,,,222y y y A y B y C y D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭......................4分则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，................................................5分同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，.................................................7分则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DBDE FC BF==，...............................................9分当//AC DF 时，AD CF DE FE =，故EF FCFC EF =，即EF FC =，因此1BD EF BF FC==......................10分②易知12221212222AB y y k y y y y -==+-，则直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，化简得1212,2y y y x y y +=+即1212()2x y y y y y ++=且21A B y ==-，点323,2y C y ⎛⎫⎪⎝⎭到直线AB的距离为1d =则三角形ABC 的面积()()()112131321124S AB d y y y y y y =⋅=---．.............................................14分由（2）①知切线DE 的方程为2112y x y y =-131323231212(,(,),(,)222222y y y y y y y y y y y y D E F +++可知32DE y y ==-，点F 到直线ED的距离为2d =则外切三角形DEF 的面积()()()222131321128S ED d y y y y y y =⋅=---．故122S S ==．因此三角形ABC 与外切三角形DEF 的面积之比为定值2．.............17分19.【详解】（1）{}{}n n x y ､均是周期数列，理由如下：因为()1sin 1π0sin πn n x n n x +=+===，所以数列{}n x 是周期数列，其周期为1.因为321211,1n n n n n n y y y y y y +++++=-+=-+，所以32n n y y +=-+.则632n n y y ++=-+，所以6n ny y +=所以数列{}n y 是周期数列，其周期为6..............................................4分（2）由（1）可知，{}n y 是周期为6的数列.计算数列为：2,3,2,0,1,0,2,3...-故,661,613,62,4,633,641,65n n n k n n k n n k S k N n n k n n k n n k =+⎧⎪+=+⎪⎪+=+=∈⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+⎩，.............................................6分当66n k =+时，(1)1n n S n -⋅=，故1,1p q ≤≥；当61n k =+时，12(1)1n n S n n n +-≤-⋅=-<-，故2,1p q ≤-≥-；当62n k =+时，351(1)2n n S n n n +<-⋅=≤，故51,2p q ≤≥当63n k =+时，74(1)13n n S n n n +-≤-⋅=-<-，故7,13p q ≤-≥-当64n k =+时，371(1)4n n S n n n +<-⋅=≤，故71,4p q ≤≥当65n k =+时，61(1)15n n S n n n +-≤-⋅=-<-，故6,15p q ≤-≥-综上所述：存在，且75,32p q ≤-≥.............................................10分（3）解：假设存在非零常数a ，使得{}n a 是周期为T 的数列，所以n T n a a +=，即0n T n a a +-=所以，11,n T n n T n a a a a ++++==，即110n T n n T n a a a a ++++-=-=所以，11n T n T n n a a a a ++++-=-，即11n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以数列{}n b 是周期为T 的周期数列，.............................................12分因为()()()()11113221T T T T T a a a a a a a a a a ++--=-+-++-+- 1210T T b b b b -=++++= ，即10Ti i b ==∑，因为()12121,1,N n n n b b a b b n n b ++==⎧⎪⎨=≥∈⎪⎩，所以，35243456123411,1,,b b b b b a b b b b b b a b a =======，6787895671,,,b b b b b a b a b b b ====== ..................15分所以数列{}n b 是周期为6T =，所以612220i i b a a ==++=∑，即22131024a a a ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，显然方程无解，所以，不存在非零常数a ，使得{}n a 是周期数列..............................................17分。
2022届湖北省华中师范大学第一附属中学新高考联盟名校高考押题卷(全国卷)文科数学5月试题
2022届高考押题卷（全国卷）5月试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设R U =，已知两个非空集合M ，N 满足()U M N ⋂=∅，则（ ） A ．R M N ⋂= B ．M N ⊆ C ．N M ⊆D ．R M N ⋃=2．在()8i x +（其中i 为虚数单位）的展开式中，4x 项的系数为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-70D ．703．已知命题:q x R ∀∈，210x x +->，则（ ） A ．命题:q x R ⌝∀∈，210x x +-≤为假命题 B ．命题:q x R ⌝∀∈，210x x +-≤为真命题 C ．命题:q x R ⌝∃∈，210x x +-≤为假命题 D ．命题:q x R ⌝∃∈，210x x +-≤为真命题4．要得到函数()2sin3f x x =的图象，只需将函数()2cos3g x x =的图象（ ） A ．向左平移2π B ．向右平移2π C ．向左平移6π D ．向右平移6π5．一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A 为“第一次记下的数字为奇数”，事件B 为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（ ） A ．()13P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．()14P B A =D ．事件A 与事件B 相互独立6．若实数x ，y 满足2242x y x y ++=，则2x y +的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．设0.3log 0.2a =，3log 2b =，30log 20c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<8．设角α，β的终边均不在坐标轴上，且()tan tan tan αββα-+=，则下列结论正确的是（ ）A ．()sin 0αβ+＝B ．()cos 1αβ-＝C ．22sin sin 1αβ+=D ．22sin cos 1αβ+=9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AF AQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．33B ．2C ．102D ．310．设函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0>ω，下列说法错误的是（ ）A ．当2ω=时，()f x 的图像关于直线π12x =对称 B ．当πω=时，()f x 的图象关于点4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称C ．当12ω=时，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．若()f x 在[]0,π上的最小值为-2，则ω的取值范围为76ω≥11．某空间多面体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则在这个多面体的各个面中，最大的面的面积为（ ）A ．8B ．82C ．83D ．1612．设()sin 22cos f x x x =+，x ∈R ，给出下列四个结论： ①()f x 在区间[]0,2π上有2个零点；②()f x 的单调递增区间为π7ππ,π26k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈； ③()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；④()f x 的值域为330,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确的结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.14．已知双曲线C ：22112x y m m-＝－－的离心率2e =，则双曲线C 的渐近线方程为___________.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n S ≠，若存在常数λ使得()*42n n S S n N λ=∈恒成立，则常数λ的值为___________.16．在正三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，底面ABC 的边长为2，用一个平面α截此三棱柱，截面α与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于点M ，N ，P ，且MNP △为直角三角形，则MNP △的面积的取值范围是___________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值x ，得到该厂所生产的消毒液质量指标值的频率分布直方图如图所示，规定：当13<x 或21x ≥时，消毒液为二等品；当1317x ≤<或1921x ≤<时，消毒液为一等品；当1719x ≤<时，消毒液为特等品（将频率视为概率）.(1)现在从抽样的100瓶消毒液中随机抽取2瓶二等品，求这2瓶二等品消毒液中其质量指标值13<x 的消毒液恰好有1瓶的概率；(2)若每瓶消毒液的生产成本为20元，特等品售价每瓶35元，一等品售价每瓶30元，二等品售价每瓶25元.政府指定该工厂5月份只生产10万瓶高考考场专用消毒液，要求高考考点使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免费赠送给某区教育局用于各小学操场消毒.假定教育局全部购买了该厂5月份生产的特等品和一等品消毒液，估计该厂5月份生产的消毒液的利润（利润=销售收入-成本）是多少万元？ 18．如图所示，四边形ABCD 为菱形，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿BD 折起（折起后A 到1A 的位置），设13AA =，点M 在线段1A C 上.(1)证明：平面1AAC ⊥平面MBD ； (2)当1AA ∥平面MBD 时，求三棱锥1M A BD -的体积.19．在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ，b ，c ，设()()()sin cos tan f x x B x B C =+++，且516cos f C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求角A ；(2)若ABC 36sin sin B C +=a 的值. 20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，四点()12,0P ，()23,0P ，36P ⎛- ⎝⎭，427P ⎝⎭中恰有三个点在椭圆C 上，A ，B 是椭圆C 上的两动点，设直线1AP ，1BP 的斜率分别为1k ，2k . (1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B ，2P 三点共线，求12k k 的值. 21．设函数()1ln a xf x x+=，其中R a ∈. (1)当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()2f x x ≤，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为4222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩ （α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 4tan ρθθ=． (1)求圆M 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)过圆M 的圆心作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若111MA MB+=，求直线l 的直角坐标方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a ，b ，c 都是正数，()f x x a x b c =-+++，且()f x 的最小值为1． (1)求a b c ++的值；(2)证明：3131311a b c a b c ---⋅⋅≥．参考答案：1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．C 10．C 11．C 12．C13．14．y = 15．2或416．⎡⎣17． (1)在100瓶的样本中13<x 的共抽取0.0121002⨯⨯=瓶，不妨设为a ，b ，21x ≥的共抽取0.01521003⨯⨯=瓶，不妨设为1，2，3，则从这5瓶二等品中抽取2瓶包含如下基本事件：(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，1,2，()1,3，()2,3共10个基本事件，质量指标值13<x 的消毒液恰好有1瓶的基本事件有：(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，共6个基本事件，所以这2瓶二等品消毒液中其质量指标值13<x 的消毒液恰好有1瓶的概率为63105P ==. (2)该厂5月份生产特等品的消毒液为0.19210 3.8⨯⨯=万瓶， 一等品的消毒液为(0.0620.17520.052)10 5.7⨯+⨯+⨯⨯=万瓶，该厂5月份生产的消毒液的利润是3.835 5.7301020104⨯+⨯-⨯=万元， 所以该厂5月份生产的消毒液的利润是104万元. 18． (1)证明：如图，连接1A O ， ∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥， 又∵11A B A D =，O 为BD 的中点， ∴1BD AO ⊥. 又∵1ACAO O =，1,AC AO ⊂平面1AA C ， ∴BD ⊥平面1AA C ，而BD ⊂平面MBD ，∴平面1AAC ⊥平面MBD .(2)解：连接OM ，∵1//AA 平面MBD ，而平面1AA C平面MBD OM =，∴1//AA OM ，又O 为AC 的中点，∴M 为1A C 的中点.由（1）知BD ⊥平面1AA C ，BD ⊂平面ABCD ，∴平面1AAC ⊥平面ABCD ， 过点1A 作1A H AC ⊥于H ，平面1AA C 平面ABCD AC =，1A H ⊂平面1AA C ，所以1A H ⊥平面ABCD ，∵2AB =，60BAD ∠=︒，所以13AO AO ==13AA =∴1AA O 为等边三角形，∴132A H =.所以122sin 602BCD S =⨯⨯︒=△故三棱锥1M A BD -的体积11133324M A BD A BCD M BCD BCD V V V S ---⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭△. 19． (1) sin()cos cos()sin ()cos x B C x B Cf x C+++=sin()sin()cos cos x B C x A C C π+++-==sin()cos x A C-=-.∵516cos f C π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴5sin 16cos cos A C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-， ∴5sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又0A π<<，∴55666A πππ-<-< ∴562A ππ-=， ∴ 3A π=；(2)∵ABC的面积11sin 22S bc A bc ===∴4bc =设ABC 的外接圆的半径为R , 由正弦定理知2sin sin sin b c a R B C A，sin 2b B R =，sin2c C R =，a =，sin sin B C b c +=+=， 由余弦定理得2222cos3a b c bc π=+-，∴22()3a b c bc =+- ∴223612R R =-， ∴2R =∴a =20． (1)依题意知椭圆C 不可能同时过1P ，2P ，所以一定经过3P ，4P ， 即2222221314227214a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，1P 显然满足22142x y +=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)A ，B ，2P 三点共线，设AB 的方程为()3y k x =-，()()1122,,,A x y B x y 联立()()2222212694423x y x k x x y k x ⎧+=⎪⇒+-+=⎨⎪=-⎩， ()222212121840k xk x k +-+-=，()()()2222221241218405k k k k ∆=-+->⇒<， 21221212k x x k +=+，212218412k x x k -=+，()()()()21212121212332222k x x y y k k x x x x --=⋅=----()()2121212123924k x x x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=-++ 2222222221841239121218412241212k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦=⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭()2222222221843691855184244822k k k k k k k k k --++===--++. 21． (1) 1ln ()(0)a xf x x x+=>， 22(1ln )1ln ()a a x a a xf x x x -+--'==.当0a =时，22(1ln )1()0a a x f x x x-+'==-<恒成立，则()f x 在()0,∞+上为减函数， 当0a >时，令()0f x '>，可得1ln 0a a x -->，则1ln a x a-<，解得10e a a x -<<，令()0f x '<，解得1ea ax ->，综上，当0a =时，()f x 的减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,e a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)由2()f x x ≤，可得3ln 10x a x --≥ 设3()ln 1(0)g x x a x x =-->， 则323()3a x ag x x x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增，而1117ln 1ln 202828g a a ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭，所以不满足题意，②当0a >时，令33()0x ag x x-'==，解得x =当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，()g x 为减函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以111()ln 3ln 1333g x g a a a ⎛⎫≥=+-- ⎪⎝⎭. 令111()ln 3ln 1(0)333h a a a a a ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，1111()ln 3(ln 1)(ln 3ln )3333h a a a '=+-+=-，当()0,3a ∈时，()0h a '>，()h a 为增函数， 当()3,a ∈+∞时，()0h a '<，()g x 为减函数， 所以()()30h a h ≤=，又()()0g x h a ≥≥.则()0h a =，解得3a =，所以实数a 的取值范围是{}3. 22． (1)由42cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ ，可得()()22424x y -+-=，所以圆M 的普通方程为()()22424x y -+-=，因为cos 4tan ρθθ=，所以222cos 4sin 4x y ρθρθ=⇒=，曲线C 的直角坐标方程为24x y =．(2) 由（1）知，()4,2M ，设直线l 的参数方程为4cos 2sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ （t 为参数,90ϕ≠）， 代入24x y =得，()()24cos 42sin t t ϕϕ+=+，()22cos 42cos sin 80t t ϕϕϕ+-+=，()2222162cos sin 48cos 02cos sin 4sin cos 0ϕϕϕϕαϕα∆=--⨯>⇒+->， 即22tan 4tan 0ϕϕ+-> ，①；()12242cos sin cos t t ϕϕϕ-+=-，1228cos t t ϕ=． 又12280cos t t ϕ=>，所以12121211111t t MA MB t t t t ++=+==， 即222cos sin 24cos sin 4sin cos 4ϕϕϕϕϕϕ-=⇒+-=，2222224cos sin 4sin cos 4tan 4tan 44sin cos tan 1ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-+-=⇒=++， 23tan 4tan 0tan 0ϕϕϕ+=⇒=或4tan 3ϕ=-， 代入①式验证满足题意，故:20l y -=或()4243y x -=--， 所以直线l 的直角坐标方程为20y -=或43220x y +-=．23．(1)()()()f x x a x b c x a x b c a b c =-+++≥--++=++，因为a ，b ，c 都是正数，且()f x 的最小值为1，所以1a b c a b c ++=++=． (2)313131222a b a c b c a b c a b c b a c c a b a b a c b a b c c a c b a a b a b c a b c a b c b c c -------------+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若a b ≥时，1a b ≥，01a b a a b b -⎛⎫-≥⇒≥ ⎪⎝⎭，若a b <时，01a b <<，01a b a a b b -⎛⎫-<⇒> ⎪⎝⎭，所以1a b a b -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 同理可证1a c a c -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，1b c b c -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以1a b a c b c a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故3131311a b c a b c ---⋅⋅≥．。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三5月适应性考试数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 若且，则是（ ）角A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知向量满足，，则A ．2B．C ．4D ．83. 已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．4. 已知为函数的导函数，且，则不等式的解 集为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数有两个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．或B ．或C．D ．或6. 若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．8. 要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，若容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价为（ ）A ．1200元B ．2400元C ．3600元D ．3800元9. 下列四个命题中，是真命题有（ ）A．存在B．存在C．任意D．任意10.已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）A ．若关于的方程在上无解，则B ．存在关于直线对称C ．若存在关于轴对称，则D ．若存在满足，则11. 如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（ ）湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三5月适应性考试数学试题(3)湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三5月适应性考试数学试题(3)三、填空题四、解答题A．的最小值为；B．的最小值为；C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是D ．若，则12. 已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）A．B．C．D．13.若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是__________.14. 已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________．15.记为等差数列的前n 项和．若，则__________．16. 已知函数，(1)若的图象在处的切线过点，求的值及的方程(2)若有两个不同的极值点，，（），且当时恒有，求的取值范围．17. ，，，．(1)若在点处的切线方程为，求实数，的值；(2)当时，的图象与的图象在内有两个不同的公共点，求实数的取值范围．18. 甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为.(1)求甲､乙都成功破译密码的概率；(2)求至少有一人成功破译密码的概率.19. 2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，2月底学生不能如期到学校上课，某学校决定采用自治区教育网络平台和老师钉钉教学相合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习.经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了､两个班级，并得到如下数据：班班合计严格遵守3657不能严格遵守合计5560（1）补全上面的列联表，并且根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；（2）网络授课结束后，高一年级1540名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布，若90分以下都算不及格，人数向上取整，问高一年级不及格的学生有多少人，并且估计全年级前两名学生的数学成绩是在多少分以上.附：参考公式：.临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828若，则，，.20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，为线段上一点，且.(1)证明：平面；(2)若平面，且，求与的面积之比.21. 如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且．(1)求的长；(2)求锐二面角的余弦值．。
湖北华中师大一附中高三数学毕业生五月模拟考试试题(二)文(华中师大附二模)
湖北华中师大一附中2013届高中毕业生五月模拟考试（二）数学（文）试题本试题卷共22题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦=F 净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数ii+-221对应点的坐标为A ．（0，一1）B ．（0，1）C ．)53,54(-D ．)53,54(2．若集合B B A a x a x x B x x x A ==+--=<-= 且}0)1)((|{},3)2(|{，则实数a的取值范围是 A ．31<<-aB ． 1<a<4C ．0<a<3D ． 0<a<43．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，没A=60，a=34，b=42，则B=A ． 45或135B ． 135C ．45D ． 以上都不对4．己知{n a }是各项均为正数的等比数列，=+++=+=+87654321,4,1a a a a a a a a 则A ．80B ．20C ．32D ．32555．己知ω>0，0<ω<π，直线343ππ==x x 和是函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象的两条相邻的对称轴，则ϕω+的值为A ．π652+B ．62π+C ．π651+D ．61π+6．己知函数3)(2+-=ax x x f 在（0，1）上为减函数，函数x a x x g ln )(2-=的（1，2）上为增函数，则a 的值等于A ．1B ．2C ．2D ．07．设a,b 为实数，则“0<ab<l”是“ab 1<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 和双曲线)0,0(12222>>=-n m ny mx 有相同的焦点F 1、F 2，以线段F 1F 2为边作正△F 1F 2M ，若椭圆与双曲线的一个交点P 恰好是MF 1的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为S r S D e e e e ⋅则和,等于 A ．5 B ．2 C ．3D ．49．下列说法中，不正确的是 A ．点)0,8(π为函数)42tan()(π+=x x f 的一个对称中心B ．设回归直线方程为5.22ˆ-=yx ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2．5个单位C ．命题“在△ABC 中，若sinA=sin B ，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题D ．对于命题p ：“01≥-x x ”则p ⌝“01<-x x ” 10．定义在R上的函数)(x f y =，对任意不等的实数21,x x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成立，又函数)1(-=x f y 的图象关于点（1，0）对称，若不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，则当1≤x<4时，xy的取值范围是A ．]1,21(-B ．]1,(-∞C ．]1,21[-D ．),21[∞-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与1 8秒 之间，将测试结果分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…， 第五组[17，18]．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若 成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试 中成绩良好的人数是12．已知向量|2|,2||,1||,,-==则的取值范围是13．用秦九韶算法计算2.065432)(2345=+++++=x x x x x x f 时的值时，需要运算次14．已知等差数列{n a }的前n 项和为S n ，且nn a S S a 64,110,4102+==则的最小值为 .15．某一几何体的三视图如图所示，其中圆的半径都为1，则这该几何体的体积为 .16．“解方程（1)54()53=+xx”有如下思路；设xxx f )54()53()(+=，则)(x f 在R 上单调递减，且1)2(=f ，故原方程有唯一解x=2，类比上述解题思路，不等式236)2()2(x x x x -+>+-的解集是 .17．如上图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，Y 轴正半轴上移动，则231+≥⋅OC OB 的概率为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)
湖北省荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则的虚部为( )A.-4B. C. D.2.如图,在三棱柱中,分别为的中点,则下列说法错误的是()A.四点共面B.C.三线共点D.3.已知,则“”是“"的()A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.在正方体中,点是棱上的动点,则过三点的截面图形是()A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能5.已知正数x 、y 满足,则的最小值为( )A.8B. C.12D.6.已知函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,则()A.1B.-1C.0D.-2z (34)|43|i z i +=+z 45-4i-45i -111ABC A B C -E F G H 、、、111111BB CC A B A C 、、、E F G H 、、、11EGB FHC ∠=∠1EG FH AA 、、//EF GH(1,1),(,2)a m b m =-= 2m =//a b1111ABCD A B C D -Q 1DD 1A Q B 、、439x y -=8x y+4+()f x R (1)1f x --(1)f x +(2023)f =7.已知正数a 、b 、c 满足,则()A. B. C. D.8.记函数的最小正周期为.若不等式对恒成立,且的图像关于对称,则的最小值为()A.1B.2C.3D.4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若复数,则下列说法正确的是( )A.的虚部是B.若复数的共轭复数为,则C.在复数范围内,是方程的根D.若复数满足,则|z|的最大值为610.如图所示,设是平面内相交成角的两条数轴,分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系为仿射坐标系.若,则把有序数对叫做向量的仿射坐标,记为.在的仿射坐标系中,,.则下列结论中,正确的是()A. B.C. D.在上的投影向量为323log 252aa b b c ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭a c b<<a b c<<c a b<<b c a<<()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<T ()8T f x f ⎛⎫⎪⎝⎭…x R ∀∈()f x π8x =ω122,34z i z i =-=+12z z -5i-1z 1z 22211111z z z z z ==⋅=1z 2450x x -+=z 21z z -=Ox Oy 、2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭12e e、xOy θ12OM xe ye =+(,)x y OM (,)OM x y =23πθ=(1,2)a =(2,1)b =- (1,3)a b -=-||a =a b⊥ a b 33,714⎛⎫- ⎪⎝⎭11.在锐角中,设分别表示角对边,,则下列选项正确的有( )A. B.的取值范围是C.当时D.若当A ,B 变化时,存在最大值,则正数的取值范围为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知,则___________.13.已知点与点,点在直线AB 上,且,则点的坐标为__________.14.如图,某商场内有一家半圆形时装店,其平面图如图所示,是圆心,直径MN 为24米,是弧的中点.一个时装塑料模特在OP 上,.计划在弧上设置一个收银台,记,其中(1)则__________.(用表示);(2)若越大,该店店长在收银台处的视线范围越大,则当店长在收银台处的视线范围最大时,AB 的长度为__________米.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分)如图所示棱长为1的正四面体ABCD,E 、F 分别为AB 、AC 中点,为靠近的三等分点.记.ABC a b c 、、A B C 、、1,cos cos 1a b A B =-=2B A =b 32b =ABC 2sin 2sin B A λ-λ⎛ ⎝102,103ab==2ba=(3,4)A -(1,2)B -P ||2||AP PB =P O P MNA 2MA AO = NPB BON α∠=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan ABO ∠=αABO ∠B B 15.(13G D ,a AB b AC ==(1),求的最小值;(2)求证:平面BFG .分)已知,设函数.(1)求函数的表达式及其单调增区间;(2)将函数的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的,横坐标缩短到原来的,得到函数的图象,求函数在区间内的所有零点之和.17.(15分)已知锐角中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,向量,,且与共线.(1)求角的值;(2)若,求的取值范围.18.(17分)如图,正边长为2,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,现沿着DE 将折起,得到四棱锥,点为中点.(1)求证:平面;,R c a tb t =+∈||c //DE 16.(15(2cos ,cos ),sin ,sin 3a x x x b x x π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x a b =⋅ ()y f x =()f x 1212()g x 1()3y g x =+,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ABC (cos )m A A =(2sin cos )n C B B =- m nA 2b =a c -ABC ADE A BCED '-M AC '//ME A BD '(2)若求四棱锥的表面积;(3)过ME 的平面分别与棱相交于点S 、T ,记与的面积分别为,若,求的值.19.(17分)早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.(1)如图一所示,在一个半径为3的半球体中,挖去一个半径为的球体,求剩余部分的体积;(2)如图二,由抛物线和线段围成一个几何形,将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体,请运用祖暅原理求该旋转体的体积;（3）将两个底面半径为1,高为3的圆柱体按如图三所示正交拼接在一起,构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积,关键在求两个圆柱公共部分几何体的体积,请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.A B '=A BCED '-A D AB ''、A ST 'A BD 'A ST A BD S S '' 、14A STA BDS S ''= A SA D''3221(33)3y x x =-≤≤3(33)y x =-≤≤y荆州中学2023~2024学年高一下学期5月月考数学试题参考答案一、选择题:BBCD CAAB 二、选择题:10.AD 11.ACD三、填空题:12.313.或14.【详解】(1)因为是是弧的中点,所以.因为,所以,则.由题意知,在中,设,则,由,,,则.故答案为:(2)设.,则.令当即取得最大值.,即的最大值为.9.CD1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭(5,8)-P MNOP MN ⊥1cos 2OA MAO AM ∠==π3MAO ∠=OA ==ABO ABO β∠=πππ22BAO βααβ⎛⎫∠=---=+- ⎪⎝⎭12πsin 2αβ=⎛⎫+- ⎪⎝⎭cos()βαβ=-cos cos sin sin βαβαβ=+tan tan ABO β∠==()0,2f παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭sin ,t t α-=∈-cos α==1(),h t t ==∈1t =sin ()h t α=max ()h t h ==tan β因为函数在上单调递增,所以当取得最大值时,也取得最大值,店长在收银台处的视线范围最大,此时.故当视线范围最大时,米.故答案为:四、解答题:15.(13分)【答案】(2)证明见解析【详解】(1)已知，所以………………..…………3分…………………………..3分故.(2)连接CE ,交BF 于,连接分别为AB 、AC 中点,为的重心,,………………………..………………………..4分又,面面面BFG (3)分16.(15分)【答案】(1),单调递增区间为,(2)()tan g ββ=0,2π⎛⎫⎪⎝⎭tan ββB cos cos sin 2AOB παα⎛⎫∠=-==⎪⎝⎭AB ==(R)c a tb t =+∈||c == ==≥||c H ,GH E F 、H ∴ABC ||2||CH HE ∴=||2,//||CG GH DE GD =∴DE ⊂/ ,BFG GH ⊂,//BFG DE ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【详解】(1)因为,所以,.……………………………………………..4分由,解得,…………………..3分即的单调递增区间为；(2)依题意可得,……………………………………3分由得,由图可知,在上有4个零点:,根据对称性有,从而所有零点和………………………..5分6π(2cos ,cos ),sin ,sin 3a x x x b x x π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2cos sin (cos )sin 3f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅=++- ⎪⎝⎭ 22212cos sin sin cos cos sin sin cos 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 5,1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 5,,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭1()03g x +=1sin 433x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭1sin 433x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,22ππ⎡⎤-⎢⎣⎦1234,,,x x x x 1234444433333,2222x x x x ππππππ++++++=-=12346x x x x π+++=17.(15分)【答案】(1)(2)【详解】(1)解：因为与共线,所以,-2分法一:由正弦定理得,又由余弦定理得,则,又为锐角三角形,故.………………………..3分法二:由两角和的正弦公式得:,因为,所以,又为锐角三角形,故.…………………………………………3分(2),…………4分由于为锐角三角形,则,且,解得,………………2分所以,……2分而,即的取值范围为...................2分6A π=⎛- ⎝m nsin (2sin cos )cos cos sin )sin 0A B A C B A B A B C A --=+-=cos cos 2sin 0a B b A c A +-=222222cos ,cos ,2sin 022a c b b c a B A c c A ac bc+-+-==∴-=1sin 2A =ABC 6A π=sin()2sin sin sin 2sin sin 0A B C A C C A +-=-=sin 0C ≠1sin 2A =ABC 6A π=52sin sin 1sin cos 6,sin sin sin sin sin B b A b C B a c B B B B Bπ⎛⎫- ⎪⎝⎭======+ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5062C B ππ<=-<,32B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos tan sin sin 22B a c B B B B ⎫-=-+===⎪⎭,264B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan ,2B a c ⎫∈∴-⎪⎭⎛- ⎝18.(17分)【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)取中点,连DN ,MN ,因为点为中点,,且,同时分别是边AB ,AC 的中点,,且,四边形MNDE 是平行四边形,.......................3分又平面平面平面......................2分(2),,.....................2分根据对称性有,而,所以,所以,所以,..............2分而,.....................1分四棱锥的表面积分(3)由(1)知平面,平面平面..........................................2分又……………………………………3分19.(17分)【答案】(1)2S =+A B 'N M AC '//MN BC ∴12MN BC =D E 、//DE BC ∴12DE BC =//,,MN DE MN DE ∴=∴//ME ND ∴ND ⊂,A BD ME '⊂/,//A BD ME '∴A BD '2221,A B A D DB A D DB A B ''''===∴+= 190,2A DB A EC A DB S S '''︒∴∠=∴==AC A B ''==2BC =222AC A B BC ''+=90CA B '︒∴∠=112A BC S AB AC '''=⋅= 22BCDE ABC A DE S S S '+=== A'BCDE -111222S =+++=+//ME A BD 'ST =A BD '⋂,//MEST ME ST ∴11,242A'ST A STA ST A'DN A BDA DN S S S S S S ''''==∴= 221//,,2A STA DNS A S A S ST DN S A D A D ''''''∴==∴= 272716(2)(3)223ππ【详解】(1)依题意该几何体的体积.(2)图1阴影部分是由长方形ABCD (长为6,宽为3)和抛物线围成,图2阴影部分是由半径为3的半圆和直径为3的圆围成的,将图1绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何体记为,将图2以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体记为,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面或与半球大圆距离为的平面截两个几何体，可得截面都为圆环，纵截面图如下，几何体的截面面积为,几何体的截面面积为,又两几何体等高,由祖暅原理可得两几何体的体积相等,结合(1)可知几何体的体积,而由抛物线跟线段围成一个几何形,将该几何形绕轴该公共部分几何体得到一个抛物线旋转体,是由一个圆柱(底面半径为3,高为3)减去几何体,所以所求的体积.331144327323322V πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭213y x =O P y M N (03)t t <<M 223)93t ππππ⨯-⨯=-N 2293ππππ⨯-=-M 1272M V V π==21(33)3y x x =-≤≤3(33)y x =-≤≤y M 222727332722M V V ππππ=⨯⨯-=-=(3)首先证明该公共部分几何体的体积公式为(为圆柱的底面半径)：该公共部分几何体是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分,计算其体积的方法是将原来的公共部分几何体平均分为八份,取它的八分之一（如图四）.记正方形OABC 的边长为,设,过点作平面PQRS 平行于平面OABC .又,由公股定理有故此正方形PQRS 面积是.如果将图四的几何体放在棱长为的正方体内（如图五），不难证明图五中与图四等高处阴影部分的面积等于。
湖北省荆州中学2018届高三5月模拟数学文试题(含答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合},421|{},034|{2N x x B x x x A x∈≤<=<+-=，则AB =（A ）∅（B ）(]1,2（C ）{}2（D ）{}1,2(2) 欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，20183i eπ表示的复数位于复平面中的（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限(3) 已知双曲线2222:1y x C a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为（A ）33y x =±（B ）3y x =± （C ）2y x =± （D ）5y x =±(4) 在检测一批相同规格共500kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为 （A ）2.8kg（B ）8.9kg（C ）10kg（D ）28kg(5) 要得到函数()sin 2f x x =的图象，只需将函数()cos 2g x x =的图象（A ）向左平移12个周期 （B ）向右平移12个周期 （C ）向左平移14个周期 （D ）向右平移14个周期 (6) 已知11ln8,ln5,ln 6ln 2,62a b c ===-则 （A ）a b c << （B ）a c b << （B ）c a b <<（D ）c b a <<(7) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是 （A ）2（C ）4（D ）5(8) 执行右面的程序框图，如果输入的168,112m n ==， 则输出的,k m 的值分别为（A ）4,7 （B ）4,56 （C ）3,7 （D ）3,56 (9) 已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC的距离为3,232R AB AC BC ===，则球O 的表面积为 （A ）163π （B ）16π （C ）643π（D ）64π (10) 已知()()tan tan m αβγαβγ++=-+，若()sin 23sin 2αγβ+=，则m =（A ）12（B ）34（C ）32（D ）2(11) 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若3AQ =，则E 的离心率是 （A ）23（B ）5 （C ）3 （D ）2(12) 设函数()(1)21xf x ae x x -=--+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()0,f x >则实数a 的取值范围（A ）253(,)32e e（B ）3(,1)2e（C ）3[,1)2e（D ）253[,)32e e本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届湖北省荆州中学高三上学期第五次半月(双周)考数学(文)试题 PDF版含答案
tan
4
的值是（
）
A． 1 3
B． 3
C．3
D． 1
3
5．已知函数 f x x3 9x ， g x f f x 10 ，则 g x 的零点个数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
6．将函数
f
x
sin
2x
0
的图象向右平移
4
个单位长度后得到函数
g
x
sin
2x
6
的图象，则函数 f x 的一个单调减区间为( )
m
11 x1 x2
恒成立，求实数 m 的取值范
围.
选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
x 1 t cos
22.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
2 t sin
（t 为参
数， 0 ），以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
2．已知复数 z i ，其中 i 为虚数单位.则| z | （ ） 1 i
A． 1 2
B． 2 2
C． 2
D． 2
3．
y
ax (a
0且a
1）是增函数，那么函数
f
(x)
loga
1 x 1
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
a
cos ,
sin
,b
2,
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三5月适应性考试数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．2. 河图洛书是华夏文化的源头，两幅图案玄奥神妙，博大精深.它始于上古时期，伏羲就是根据【河图】推演出了先天八卦图，后写出了《易经》.河图上，排列成数阵的白点和黑点，蕴藏着无穷的奥秘.白点表示奇､阳，黑点表示偶､阴.此一白一黑，既含阴阳､天地运行之道，又寓五行､四象变化之理.一六在后，象北方壬癸水，玄武星象；三八在左，象东方甲乙木，青龙星象；二七在前，象南方丙丁火，朱雀星象；四九在右，象西方庚辛金，白虎星象；五十在中，象中央戊己土，表示时空奇点；而中间五点，又象太极含四象；中一点，又象太极含一气.若从这十个点数中任选两个数，则选取的恰好是两个奇数的概率为（）A．B．C．D．3.抛物线的焦点坐标为（ ）A．B．C．D．4. 地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M 表示，M可通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下：（其中为震中距）．若某地发生6.0级地震，测得，则可以判断（ ）．参考数据：，．A ．震中距在2000～2020之间B ．震中距在2040～2060之间C ．震中距在2070～2090之间D ．震中距在1040～1060之间5. 已知函数，，下列命题中：①的最小正周期是，最大值是；②；③的单调增区间是（）；④将的图象向右平移个单位得到的函数是偶函数，其中正确个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.已知中，，则A．B．C．D．7. 已知集合满足，则集合A 可以是（ ）A．B．C．D．8. 命题，命题，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三5月适应性考试数学试题 (2)湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三5月适应性考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题A．的最小正周期为B．C ．在上单调递增D ．为奇函数10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则（ ）A．B ．四面体外接球的表面积为C．平面D ．直线与平面所成的角为11. 为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（）A．B ．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75C ．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时D ．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为12. 如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值B ．S 不为定值C ．l 为定值D ．l 不为定值13.已知实数满足，其中，则的最大值为________.14. 若直线l：与圆C ：有两个公共点，则k 的取值范围为________．15. 双曲线5x 2+ky 2=5的一个焦点是（2，0），则k =______.16. 已知椭圆C ：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于两点，A关于x轴对称的点为M，证明：三点共线.17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，且．(1)证明：平面平面；(2)若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．18. 如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．19. 已知函数．（1）若单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．20. 在平面四边形中，已知，，.（1）若，，，求的长；（2）若，求证：.21. 记为数列的前项和，为数列的前项和，已知．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求的前项和．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华师一附中荆州中学2011届高三五月模拟考试数学（文）试题全卷满分150分。
考试用时120分钟。
☆祝考试顺利☆注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题在每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；完成句子和书面表达题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。
答在试题卷上无效。
3. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．函数2()3,[2,4]f x x x x =-∈的最大值是 （ ）A ．-2B ．4C ．-3D ．22．已知集合{|lg ,1},{2,1,1,2}A y y x x B ==>=--，全集U ＝R ，则下列结论正确的是（ ） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)U C A B =-∞C ．(0,)AB =+∞D ．(){2,1}U C A B =--3．若点P 分有向线段AB 所成的比为13-，则点B 分有向线段PA 所成的比为（ ）A ．3B ．12 C ．12- D ．32-4．2名男生和2名女生站成一排，则2名男生相邻的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．已知角α的终边与角β的终边关于直线y x =-对称，则sin α= （ ）A ．sin β-B ．cos β-C ．sin βD ．cos β6．已知:p “a =:q “直线0x y +=与圆22()1x y a +-=相切，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列{}n a 的通项为21,n n a n S =-为数列{}n a 的前n 项和，令1n n b S n=+，则数列{}n b 的前n 项和的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1(,1)2C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．设α表示平面，,l m 表示两条不符合的直线，给定下列四个命题①l ∥α，l m m α⊥⇒⊥ ②l ∥m ，l m αα⊥⇒⊥ ③,l l m m α⊥⊥⇒∥α ④,l m αα⊥⊥⇒l ∥m其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．49．已知函数2221()21x x f x x x ⎧+-⎪=⎨--⎪⎩ (0)(0)x x ≥<，则对任意12,x x R ∈，若120||||x x <<，下列不等式恒成立的是（ ） A ．12()()0f x f x -> B ．12()()0f x f x -< C ．12()()0f x f x +<D ．12()()0f x f x +>10．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若111,||||2AF BF -=则直线l 的倾斜角(0)2πθθ<<等于（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 二、填空题：本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。
11则该样本中成绩在(]80,100内的频率为 。
12．直线(1)30m x y m -++=与直线(1)20x m y +++=平行，则实数m= 。
13．若不等式||4x a +<的解集是集合(6,6)-的子集，则实数a 的取值范围为 。
14．对于函数b x a x ax x f +-+-=||)3(2||31)(23，若)(x f 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为15．已知圆123,,O O O 为球O 的三个小圆，其半径分别为两垂直且公共点P 在球面上，则球的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，边a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若27(s i n,1),(c o s 2,4)22B Cm n A +==+，且//.m n （1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积S 。
17．（本小题满分12分）某射手A 第n 次射击时击中靶心的概率为1()(1,2,).1P n n n ==+ （1）求A 射击5次，直到第5次才击中靶心的概率P ； （2）若A 共射击3次，求恰好击中1次靶心的概率。
18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，且FB=2DE=2。
（1）求点E 到平面FBC 的距离； （2）求证：平面AEC ⊥平面AFC 。
19．（本小题满分12分）函数32()2f x x ax bx =++-的图象在与y 轴交点处的切线方程为.y x a =+（1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数1()(),()3g x f x mx g x =+若存在极值，求实数m 的取值范围。
20．（本小题满分13分）已知点1(,0)4C ，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右准线1:2l x =与x 轴相交于点D ，右焦点F（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得()CA CB BA +⊥？若存在，求出直线l ；若不存在，说明理由。
21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：{}n a n是公差为1的等差数列，且121.n n n a a n ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设*)n b n N =∈，求证：12 1.n b b b +++≤参考答案一、选择题BDDDBAABBB二、填空题 11.0.23 12.－2 13.[－2，2] 14.(2,3) 15.8π三、解答题16.（1）由m ∥n ，274sincos 222B C A +=+ 212cos()742cos 122B C A -+⇒⨯--+2112cos 2cos 0cos 223A A A A π⇒-+=⇒=⇒=（2）22222()231cos 2222b c a b c bc a bc A bc bc bc bc +-+---====⇒=1sin 22ABc S bc A ∆==17.（1）A 射击5次，直到第5次才击中靶心的概率P 为11111(1)(1)(1)235630P =-⨯-⨯-⨯=（2）恰好第一次击中的概率为1111(1)(1)2344⨯-⨯-=恰好第二次击中的概率为1111(1)(1)2348-⨯⨯-=恰好第三次击中的概率为1111(1)(1)23412-⨯-⨯=所以，A 射击3次，恰好击中1次靶心的概率为11111481224++=18.（1）Q DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE ∴∥BF DE ⇒∥面.BFC 故点D 到平面FBC 的距离等于点E 到平面FBC 的距离 因为BF ⊥平面ABCD ，又正方形ABCD 中，DC BC ⊥，故DC ⊥面FBC ，所以DC 即为点D 到平面FBC 的距离，所以点E 到平面FBC 的距离为2.（2）连BD 交AC 于O ，连,.OE OF因为DE ⊥平面ABCD ，AD DC =，所以AE EC =，又O 为AC 的中点，故EO AC ⊥又在E O F ∆中，3,183,E OF ==+=易知E O O F⊥又0OF AC =，所以EO ⊥面AFC ，又EO ⊂面ACE ，故面AEC ⊥面.AFC19.（1）2()32f x x ax b '=++ 函数()f x 与y 交点(0,2)-故直线方程为2(0)212y f x y bx x a b a '=-⇒=--+⇒== （2）设32211()22()34133g x x x x mx g x x x m '=-+-+⇒=-++ ()g x 存在极值即是说()0g x '=有两个不相等的实根，所以21443(1)013m m ∆=-⨯+>⇒<20.（1）由题意可知22a c ⎧=⎪=，又222a b c =+，解得 1.a b c ==∴椭圆的方程为2212x y +=； （2）由（1）得(1,0)F ，所以01m ≤≤。
假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为(1)y k x =-，代入2212x y +=，得2222(21)4220k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++121222(2),21k y y k x x k -∴+=+-=+ 211222211412(,)(,)(,),4421221k kCA CB x y x y k k -+=-+-=-++()CA CB AB +⊥，而AB 的方向向量为(1,)k ，222224121110(1)21221242k k k k k k k -∴-+⨯=⇔-=⇒=-+ 所以存在这样的直线l，其方程为1)y x =-， 21.（1）设数列{}n a 的首项为1a ，则121(1)112n a a an a n =+-⇒=+ 12123111n n n a a a a n ++=+⇒=+联立求解，得11a =，故2n a n = （2）当1n =的时候，11b = 当2n ≥时，n b ===<= 1231[2(21)2(32)2(1]nb b b b nn ++++<+-+-++--11)1=+=。