山西省山大附中高三数学9月月考试题新人教A版 理

2013-2014学年第一学期高三9月月考题数学试题（考查时间：90分钟）（考查内容：全部）一、选择题：（每小题6分）1. 已知集合{}()(){}021,012<-+∈=<+∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B A ( ) A.()1,-∞-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21 D.()+∞,22．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a =( ) A.1-B.1C.2-D.23从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 A.60种B.72C.84种D.96种4 x x n+⎛⎝ ⎫⎭⎪132（*∈N n ）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ） A. 120B. 210C. 252D. 455设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是 A.[]52,22 B.(]23,22 C.(]52,23 D.()()+∞⋃,5222,06、已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A.()x f y =B.()x f y =C.()x f y -=D.()x f y -=7函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A.1B.2C.3D.48. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是A.13B.18C.21D.269.已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是 A.11211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf B.⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf f C.()x f 是奇函数D.()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ10.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若S a a a n N n n =+++∈12Λ()*，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（ ）A ．1256 B.13128 C.12 D.73211. 已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则 OC AB ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A. 15-B.15 C. 65- D. 6512．已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线二、填空题（每小题6分）13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为___ ______. 14．观察下列算式：113=， 5323+=， 119733++=， 1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______．15. 已知121(0,0),m n m n+=>>当mn取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为16.已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈，满足)()()(a bf b af b a f +=⋅，)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n ， 考查下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列。

其中正确的是_________ .三、解答题17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，*133()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3nn n a b =. （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .18.(本小题满分14分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为43,每命中一次得1分,DA BC左视图没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为32,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ;19. （本题满分14分）设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．20.(本题满分14分)设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直. (1)求a 的值;(2) 若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.(3)求证：*421ln 21.().41ni i n n N i =+<∈-∑2013-2014学年第一学期高三9月月考题 数学试题答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B BDCBCDBAC二、填空题 13. 42 14. 45 15. 2 16._①③④_三、解答题17.解（1）证明：由3n n n a b =，得1113n n n a b +++=， ∴1111333n n n n n n a a b b +++-=-=---------------------2分所以数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为13-----------4分∴121(1)33n n b n +=+-= ------------------6分（2）13(2)3n n n n a b n -==+⨯ -------------------------7分 n n a a a S +++=∴Λ2113)2(3413-⨯+++⨯+⨯=n n Λ----①n n n S 3)2(343332⨯+++⨯+⨯=∴Λ-------------------②----------9分①-②得nn n n S 3)2(33313212⨯+-++++⨯=--Λn n n 3)2(3331212⨯+-+++++=-Λn n n 3)2(233⨯+-+=-----------------------------------11分23)2(433nn n n S +++-=∴------------------------------------------12分18.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ,“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知,()()()32,43===D P C P B P ,所以()()()()CD B P D C B P D BC P A P ++=()()()()()()()()()D P C P B P D P C P B P D P C P B P ++=324343132431433214343⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=167=.………………………………………………………………………6分 (II)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()()4813214314310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-===D C B P X P ,()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+==32143431321431431D C B P D C B P X P 81=.()()()D C B P D BC P X P +==24811324314313214343=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=, ()()()CD B P D C B P X P +==34132434313243143=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=,()()BCD P X P ==483324343=⨯⨯=,……11分X 0 1 2 3 4P481 81 4811 41 83 分所以617834413481128114810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX .………………………14分 19. 解：（1）∵ OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，--------------------------1分又P 、Q 在抛物线上，故y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，故得 y 122p ·y 222p＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2222212144)(||p py y x x ==∴--------------------------3分 又|x 1x 2|＝4，故得4p 2＝4，p =1．所以抛物线的方程为: 22y x =------------5分 （2）设直线PQ 过点E (a ,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=xy amy x 22消去x 得y 2－2my －2a ＝0 ∴ ⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121 ① --------------------------------7分设直线PR 与x 轴交于点M (b ,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b ,并设R (x 3,y 3)，同理可知⎩⎨⎧-==+by y ny y 223131 ② --------------------------9分由①、②可得32y by a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴ y 3＝2y 2，∴b =2a 又由（Ⅰ）知， y 1y 2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4 ∴ a ＝2．故b ＝4．----------------------11分 ∴831-=y y∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n =0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR |取最小值24--------------------14分20.解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f -----------------------2分由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a11=+∴a ，0=∴a . -------------------------------4分(2) 1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x=--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x-+-'=-+=-------------------------------------6分 ①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.-----------------8分②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立.----------------------------------------------------------------------9分当10m <<时，方程20mx x m -+-=，其根10x =>，1112x m+=>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥.------------------------------------------------------------------------10分(3) 由(2)知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈- 所以221121214ln 212212141k k k kk k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭， ()()*21[ln 21ln 21],441kk k k N k +--<∈-----------------------11分()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩L L L L L L L ---------------------12分 累加可得*211ln(21).().441ni in n N i =+<∈-∑ *21ln .().41ni i n N i =<∈-∑------------------------14分。