高中数学课下能力提升(二十二)新人教A版必修4

课下能力提升(二十二)[学业水平达标练]题组1 给角求值问题1．cos(－75°)的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.6＋242．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A.32B.12C.1＋32 D.3－123．－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________．题组2 给值(式)求值问题4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.33655．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365B ．－3365C.5465D ．－54656．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则cos α的值为________． 7．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋2cos x 的值． 题组3 给值求角问题8．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π49．若α∈[0，π]，sin α3sin 4α3＋cos α3cos 4α3＝0，则α的值是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π210．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．[能力提升综合练]1．cos 165°的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.6－24 D.－6－242．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0<θ<π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226 B.12－5313C.5＋12326 D.6＋5313 3．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )，且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1 5．已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________． 6．已知cos(α－β)＝－35，cos(α＋β)＝35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值． 7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2的值．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选C cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos 45°·cos 120°＋sin 45°sin 120°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋22×32＝6－24，故选C.2. 解析：选B sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos (11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B. 3. 解析：－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝－sin 40°(－sin 39°)＋cos 40°cos 39°＝cos(40°－39°)＝cos 1°.答案：cos 1°4. 解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213， ∴sin α＝1－cos 2α＝513. ∵β为第三象限角，且sin β＝－35， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－45， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.故选A.5. 解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， ∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.6. 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3， ∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3 ＝－513×12＋1213×32＝123－526. 答案：123－5267. 解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x ＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 8. 解析：选B ∵cos αcos β＝32－sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32， 即cos(α－β)＝32，经验证可知选项B 正确． 9. 解析：选D 由已知得cos 4α3cos α3＋sin 4α3sin α3＝0， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α3－α3＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]， 所以α＝π2，选D. 10. 解：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437.因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17. 因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 因为0<β<π2，所以β＝π3. [能力提升综合练]1. 解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－22×32－22×12＝－6－24. 2. 解析：选A ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.故cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 3. 解析：选B 因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．4. 解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.故选C. 5. 解析：因为α为锐角，所以sin α＝437.因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由cos α＝17<12，得π3<α<π2，从而2π3<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12. 答案：126. 解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos(α－β)＝－35， 可知sin(α－β)＝45. 又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos(α＋β)＝35， ∴sin(α＋β)＝－45，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝－1.∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， ∴2β＝π，故β＝π2. 7. 解：∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α2<π2，0<β2<π4，π2<α＋β<3π2. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，π4<α＋β2<3π4. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1213， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝513. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝－1565＋4865＝3365.。