2008顺德区高三数学(理科)质量检测题(2)

顺德区2008年高三质量检测题（二）理科数学试卷命题人：区中心组成员 李兆基中学 唐秋生 青云中学 刘菊芳本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上。

一、选择题：(本大题共 8 小题；每小题 5 分，满分 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填入答题卡中。

)1、已知复数i z +=21，i z -=12，则21z z z ⋅=在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、定义集合运算：},,log |{B y A x y z z B A x ∈∈==⊗，且}3,2,1{=A ，}3,2,1{=B ，则集合B A ⊗中的元素个数是A ．4B ．5C ．6D ．93、在ABC ∆中，C B A 、、是它的三个内角，则B A <是B A sin sin <的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4、函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a5、已知平面α外不共线的三点C B A 、、到α的距离都相等，则下列结论中正确的一个是A ．平面ABC 必平行于平面αB ．平面ABC 必与平面α相交 C ．平面ABC 必垂直于平面αD . 存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内6、设O 为坐标愿点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标是A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2( 7、设函数)(x f 定义如下表，数列}{n a 满足50=x ，且对任意自然数n 都有)(1n n x f x =+，则=2008xA ．1B ．2C ．4D ．58、已知随机变量),(~p n B ξ，且12=ξE ，4.2=ξD ，则n 与p 的值分别为A ．16与0.8B ．20与0.4C ．12与0.6D ．15与0.8A顺德区2008年高三质量检测题（二）理科数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 100分）二．填空题(共6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在题中横线上)9、右框图表示的程序所输出的结果是 10、在代数式52212)(13(xx --的展开式中， 各项系数之和为11、在ABC ∆中，如果点A 在BC 边上的射影是D ，ABC ∆的三边AB AC BC 、、的长依次是c b a 、、，则b c C b a cos cos ⋅+⋅=，类比这一结论，推广到空间：在四面体ABC P -中，PCA PBC PAB ABC ∆∆∆∆、、、的面积依次为321S S S S 、、、，二面角B CA P A BC P C AB P ------、、的度数依次为γβα、、，则=S12、抛物线x y 22=与直线x y -=4围成的平面图形的面积是选做题：从下列13~15三小题中任选做两小题，如果三小题都做，则只按前两小题记分13、在极坐标系中，曲线)4cos(22x -=πρ上的点，到曲线22)4cos(=+θπρ的最短距离是14、若b a 、为正实数，3=+b a ，则b a +++11的最大值是15、如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，点E 是⊙O 上一点，AC AE =，DE 交AB 于点F ，且42==BP AB ， 则=PF////////////////////////////////////////////密封线内不要答题 /////////////////////////////80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16、（本小题满分12分）设平面上两个向量 ,)3600(,)sin ,(cos ︒<≤︒=αααa )23,21(-=b （1）求证：向量+与向量-垂直（2）若向量+与-的模相等，求角α17．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果都有A 、B 两个等级对每种产品，只有两道工序的结果都为A 等级时，才为一等品，其余均为二等品。

（1）已知甲、乙两种产品每道工序的加工结果为A 等级的概率如表一所示，分别求工厂生产甲、乙产品为一等品的概率甲P 和乙P(2)已知一件产品的利润如表二所示，用ηξ、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ηξ、的分布列及其数学期望18．（本小题满分14分） 如图（1），在直角梯形ABCP 中，AP BC //，BC AB ⊥，AP CD ⊥，2===PD DC AD ，G F E 、、分别是线段BC PD PC 、、的中点，现将PDC ∆折起，使平面⊥PDC 平面ABCD ，如图（2） （1）求证：//AP 平面EFG（2）求二面角D EF G --的余弦值 （3）在线段PB 上是否存在这样的点Q ，使⊥PC 平面ADQ ，若存在，请指出它的位置，若不存在，请说明理由19.（本小题满分14分）已知方向向量为)3,1(=的直线l 过椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦点以及点)2,0(-，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上。

（1）求椭圆C 的方程（2）过点)0,2(-E 的直线m 交椭圆C 于点N M 、，且满足0cot 634≠∠=⋅MON ON OM （O 为坐标原点），求直线m 的方程P A B C DP A B C D • E F •EF G G • （1） （2）20、（本小题满分14分）已知正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a p S p -=-2)1(（1,0*,≠>∈p p N n ），数列}{n b 满足n p n a b log 2= （1）分别求n a 和n b（2）设nn n a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，当21=p 时，求证：40<<n T（3）是否存在正整数M ，使得M n >时，1>n a 恒成立？若存在，求出相应的M 值，若不存在，请说明理由21．（本小题满分14分） 已知函数bx axx f +=2)(在1=x 处取得极值2 （1）求函数)(x f 的表达式（2）当m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增？ （3）若),(00y x P 为b x ax x f +=2)(图形上任意一点，直线l 与bx axx f +=2)(的图象切于点P ，求直线l 的斜率k 的取值范围。

2008顺德区高三质量检测题（二）理科数学参考答案二、填空题9、 1320 ； 10、 2 ；11、γβαcos cos cos 321S S S S ++= ；12、 18 ；13、2 ；14、10 ； 15、 3 ；三、解答题 16、（1）证明：由条件知)23sin ,21(cos +-=+αα ……………………… 1分)23sin ,21(cos -+=-αα ……………………… 2分所以=-+))((b a b a )23sin ,21(cos +-αα)23sin ,21(cos -+⋅αα )23)(sin 23(sin )21)(cos 21(cos -+++-=ααεα43sin 41cos 22-+-=αα011=-=所以向量b a +与向量b a -垂直 ……………………… 5分（2)23sin 3,21cos 3(+-=+αα)23sin ,23(cos -+=-αα 由条件有|)23sin 3,21cos 3(|+-αα|)23sin ,23(cos |-+=αα 即22)23sin 3()21cos 3(++-αα22)23sin ()23(cos -++=ααMPABC D• EF G 即ααcos 3sin 3=显然0cos ≠α，否则1sin ±=α，从而33=± 矛盾所以33tan =α 因 ︒<≤︒3600α 所以 ︒=30α或︒=210α ……………… 12分17、解：（1）由于对每种产品，只有两道工序的结果都为A 等级时，才为一等品，其余均为二等品。

所以，6.075.08.0=⨯=甲P 45.06.075.0=⨯=乙P ……………… 5分（2）有条件知，ξ的取值只能为5、3，η的取值只能为4、2，且 6.075.08.0()5(=⨯===一件甲产品为一等品）P P ξ 4.06.01()3(=-===一件甲产品为二等品）P P ξ 45.06.075.0()4(=⨯===一件乙产品为一等品）P P η 55.045.01()2(=-===一件乙产品为二等品）P P η 所以ηξ、的分布列为：……………… 9分 所以 2.44.036.05=⨯+⨯=ξE9.255.0245.04=⨯+⨯=ηE故ηξ、的数学期望分别为 2.4和9.2 ……………… 12分18、（1）证明：如图，取AD 中点M ，连接MG FM 、 由条件知MG DC EF //// 所以G M F E 、、、四点共面又由三角形中位线定理知 PA MF //所以 //AP 平面EFG ……………… 4分（2）由条件知，AD CD ⊥ PD CD ⊥ 所以，PAD CD 平面⊥又EF 为三角形PCD 的中位线，所以CD EF // 所以PAD EF 平面⊥即EF DP ⊥ ，EF MF ⊥所以 MED ∠为二面角D EF G --的平面角 在FDM Rt ∆中，易知1==DF DM所以︒=∠45MED 即二面角D EF G --的PEF大小为︒45 ……………… 9分（3）取Q 为PD 中点，连接ED QE AQ 、、，则AD BC EQ ////，所以，Q E D A 、、、四点共面， 先证⊥AD 平面PDC ，则AD PC ⊥又2==DC PD ，所以PDC ∆等腰直角三角形。

所以PC DE ⊥， 所以ADEQ PC 平面⊥即，在线段PB 上存在点Q ，使⊥PC 平面ADQ ， 且该点为线段PB 的中点 ……………… 14分19、解：（1）已知直线l 方向向量为)3,1(=v ，所以，直线l 的斜率为3，又直线l 过点)2,0(-，所以直线l 的方程为：)2(3+=x y即 323+=x y设点O 关于直线l 的对称点为P ，则直线OP 的方程为：x y3-= 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x y x y 33323 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2323y x 所以，点P 的坐标为)3,3(-，又点P 在椭圆C 所以32=ca又直线l 过椭圆的焦点，可知椭圆的该焦点为)0,2(所以2=c 62=a 22=b故，椭圆C 的方程为：12622=+y x ……………… 6分（2）当直线m 的斜率存在时，设直线直线m 的方程为：)2(+=x k y联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=126)2(22y x x k y 消y 得：061212)13(2223=-+++k x k x k 设),(11y x M ，),(11y x N ，则由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+13612131222212221k k x x k k x x……………… 10分由条件0cot 634≠∠=⋅MON OM 得： MONMONMON OM ∠∠⋅=∠sin cos 634cos ||||，且0cos ≠∠MON所以634sin ||||=∠MON ON OM 即632sin ||||21=∠⋅=∆MON ON OM S MON ……………… 12分而||1||122x x k MN -+=2122124)(1x x x x k -+⋅+=13)1(6222++=k k 点O 到直线m 的距离为21|2|kk d +=所以有3621||213)1(6||21232=+⋅++=⋅kk k k d MN ，解得33±=k ， 当直线m 的斜率不存在时，直线直线m 的方程为：2-=x此时)36,2(-M ，)36,2(--N ，632||=MN 也有632632221=⨯⨯=∆MON S 故直线m ：)2(33+±=x y 或 2-=x 为所求 ……………… 14分20、（1）当1=n 时，由已知得：121)1(a p a p -=⋅-，p a =⇒1当2≥n 时，n n a p S p -=-2)1(121)1(---=-n n a p S p 两式相减得：)()1(1---=⋅-n n n a a a p1-=⋅⇒n n a a p pa a n n 11=⇒- 所以 n n n p pp a --=⋅=21)1( 从而 )2(2log 2log 22n p a b np n p n -===-即 n b n 24-= ……………… 5分（2）由（1）知2)42(-⋅--==n nnn p n a b c 所以 ])42(4202[22101--⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅--=n n p n p p p p T 因 1,0≠>p p所以 ])42(4202[13210-⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅--=⋅n n p n p p p p T p 所以，由错位相减法得：])42()(22[)1(122101-----+++++⋅--=-n n n p n p p p p p T p111)42(1122[-------⨯+⋅--=n n p n pp p当21=p 时，1)21(4-⋅=n n n T当2,1=n 时，421==T T当3≥n 时，02231<-=---n n n nT T即当3≥n 时，1-<n n T T 所以当3≥n 时，42=<T T n即 40<<n T ……………… 11分（3）假设存在正整数M ，使得M n >时，1>n a 恒成立，即021p p n=>-恒成立当10<<p 时，解得2>n ，即当2=M 时，只要m n >，恒有1>n a 恒成立 但当1>p 时，解得2<n ，此时，不存在满足条件的M综上，故满足条件的M 不存在 ……………… 14分21、因222/)()2()()(b x x ax b x a x f +-+= 而函数bx axx f +=2)(在1=x 处取得极值2所以 ⎩⎨⎧==2)1(0)1(/f f ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒ ⎩⎨⎧==14b a所以 214)(x xx f += 为所求 ……………… 4分（2）由（1）知222222/)1()1)(1(4)1(8)1(4)(x x x x x x x f ++--=+-+=1-1• •/可知，)(x f 的单调增区间是]1,1[-所以，⎪⎩⎪⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ⇒ 01≤<-m所以当]1,1(-∈m 时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增 ………… 9分（3）由条件知，过)(x f 的图形上一点P 的切线l 的斜率k 为：22020220200/)1(214)1()1(4)(x x x x x f k ++--⨯=+-==]11)1(2[42220x x +-+= 令211x t +=，则]1,0(∈t 此时 ，21)41(8)21(822--=-=t t t k根据二次函数21)41(82--=t k 的图象性质知：当41=t 时，21min -=t当1=t 时，4max =t所以，直线l 的斜率k 的取值范围是]4,21[- ……………… 14分。