福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准版
福建省高一数学竞赛试题参考答案
2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。
3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。
的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。
在直线2ll。
在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。
过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。
与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。
aa bbP??????。
，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。
和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。
内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。
a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。
【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。
ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ） A ．[)(]3114--⋃，， B ．[](]3114--⋃，， C ．[)[]3114--⋃，， D ．[][]3114--⋃，， 【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。
由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。
所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。
2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）AB ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。
∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。
因此，(11)P -，，线段OP3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。
不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC = ∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30, 满分160分)一、填空题(共10小题, 每小题6分, 满分60分. 请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC 中,已知AB =4,BC =2,AC =23,若动点P 满足CP =1,则AP ⋅BP的最大值为.【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⋅BP =PA ⋅PB =14PA +PB 2-PA -PB 2 =142PO 2-BA 2 =PO 2-14×42=PO 2-4由 AB =4,BC =2,AC =23,知 AB 2=CA 2+CB 2,于是 CA ⊥CB .所以 CO =12AB =2 .又 CP =1,所以 PO的最大值为 CO +1=3 .所以 AP ⋅BP的最大值为 32-4=5 .2已知z 1,z 2,z 3为方程z 3=-i 的三个不同的复数根,则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=.【答案】 0【解答】设 z =x +yi x ,y ∈R 为方程 z 3=-i 的复数根,则 z 3=x +yi 3=x 3+3x 2yi +3x yi 2+yi 3=-i .即 x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i =-i ,x 3-3xy 2+3x 2y -y 3 i =-i .由 x ,y ∈R ,得 x 3-3xy 2=03x 2y -y 3=-1,解得 x 1=0y 1=1 , x 2=32y 2=-12,x 3=-32y 3=-12.于是 z 1=i , z 2=32-12i , z 3=-32-12i .所以 z 2+z 3=32-12i+-32-12i =-i ,z 2z 3=32-12i-32-12i =-12i 2-322=-14-34=-1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1z 2+z 3 +z 2z 3=i ×-i -1=0 .3设a =66⋯6⏟10个6,b =33⋯3⏟6个3,则a ,b 的最大公约数为.【答案】 33【解答】用 x ,y 表示正整数 x ,y 的最大公约数.则 a ,b =66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3=33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3=311⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1.设 m =11⋯1⏟10个1, n =11⋯1⏟6个1,则由 m =11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111,可知 m ,n =1111,11⋯1⏟6个1.同理可得, m ,n =1111,11⋯1⏟6↑1=11,1111 =11,11 =11 .所以 a ,b =3m ,n =33 .4某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派4名选手参加比赛. 组委会随机将这12名选手分成6组, 每组2人, 则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有:C 212C 210C 28C 26C 24C 22A 66=11×9×7×5×3×1 种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个 年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有 C 24×C 24×A 44=36×24 种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有 2×1 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有 36×24×2 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5如图,在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F分别为AB ,BC 的中点,点G 在棱CC 1上. 若平面EFG 与底面ABCD 所成角的余弦值为31717,则平面EFG 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面多边形的周长为.【答案】 613+32【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA ,DC ,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图)z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E 6,3,0 ,F 3,6,0 . 设 G 0,6,t ,则 EF =-3,3,0 , EG=-6,3,t .设 m=x ,y ,z 为平面 EFG 的一个法向量,则m ⋅EF=-3x +3y +0=0m⋅EG =-6x +3y +tz =0,于是 m=t ,t ,3 为平面 EFG 的一个法向量.又 n =0,0,1 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为31717,所以 cos ⟨m ,n⟩ =m ⋅nm ⋅n=32t 2+9⋅1=31717 .结合 t >0,解得 t =2 . 所以 G 0,6,2 ,CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E ,F 分别为 AB ,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 .由CG DD 1=26=39=MCMD知, M ,G ,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由 AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形.易知 EF =32+32=32,FG =32+22=13,GD 1=42+62=213 ,D 1P =62+42=213, PE =22+32=13.所以截面五边形的周长为 613+32 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF ,∠GHC 为二面角 G -EF -D 的平面角,于是 tan ∠GHC =CG CH=CG 322=223,因此 CG =2 。
2022年 高一数学竞赛 参考答案
2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准〔考试时间：5月11日上午8：30－11：00〕一、选择题〔每题6分，共36分〕1．集合，，假设，那么实数的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】 A【解答】时，，符合要求。
时，，。
由知，。
，解得。
∴的取值范围为。
2．假设一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，那么该圆锥内切球的体积为〔〕A．B．C．D．【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为，母线长为，那么，。
又。
因此，，。
圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。
所以，其内切球半径，其体积。
3．函数的值域为〔〕A．B．C．D．【答案】 B【解答】由，知，。
∴，。
又，因此，。
值域为。
4．给出以下命题：〔1〕设，是不同的直线，是一个平面，假设，，那么。
〔2〕，是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与，之一垂直，与另一条平行。
〔3〕在正四面体中，与平面所成角的余弦值为。
〔4〕在空间四边形中，各边长均为1，假设，那么的取值范围是。
其中正确的命题的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 C【解答】〔1〕显然正确。
〔2〕假设存在平面，使得，，那么。
但，是未必垂直。
故不正确。
〔3〕作于，那么为正三角形的中心，是与平面所成角。
设，那么，。
故，〔3〕正确。
〔4〕取中点，那么。
由、、构成三角形知，。
故，〔4〕正确。
5．是定义在上的奇函数，且对任意，均有，当时，，那么函数在区间上的零点个数为〔〕A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】 D【解答】由知，，或。
∴在区间内有唯一零点1。
结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。
又由知，在区间内有唯一零点2；在区间内有唯一零点4；在区间内有唯一零点5。
又由，知，，。
又。
∴在区间上的零点个数为9。
6．函数。
给出以下四个判断：〔1〕的值域是；〔2〕的图像是轴对称图形；〔3〕的图像是中心对称图形；〔4〕方程有解。
其中正确的判断有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】设，，，那么。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8： 30- 11: 00）、选择题（每小题6分，共36 分） 1 .若集合Ax x 2x 12 0,Bx x 10 x 1,Cx xA 且xB ，则集合C （）A . 3, 1 1 ,4B . 3, 1 1,4C .3, 11,4D .3, 11 ,4【答案】 D【解答】 依题意, Ax x 2 x 12 03,4 , Bx x 1 0 (1,1)。
x 1由x A , 知 3x4 ; x B ,知x 1或 x 1。
所以，3x1或1 x 4,即C 3, 1 1,4 。
2.已知直线h :(m 2)x3my 1 0与直线 J : (m 2)x (m 2)y4 0 ( m 0) 相互垂直，垂足为 P , O 为坐标原点，则线段OP 的长为（)A . 75B.2C .D .近【答案】 D【解答】如图，取AC 中点O , PC 中点D ,连结OP , OB , OD ,DB 。
不妨设AB 2，则由条件知，PA PC 2 , AC ^ 2 。
角A PC B 的余弦值为()A .2B .C.'D.-3333【答案】 B【解军答1由1 12 知,(m 2) (m2) (m 2) 3m 0 ,结合m 0，得m 23m c 10 , m — o211方程 为 5—x 3 -y1 0 ,即5x3y 32 0 ; I 2方程为：—x5 -y 4 0，即2 22 23x 5y80。
由 5x 3y 2 0 得x 1 。
因此，P( 1 ,1），线段OP 长为、2。
3x 5y 8 0y 1△ PAB , △ PBC 均为等边三角形，且 ABBC 。
则二面3.如图，在三棱锥P ABC 中, P1PA PC , OP -AC 2 OC 。
2••• OD PC 。
又 BD PC ，故 BDO 是二面角 A PC B 的平面角。
在厶 BOD 中，由 OB 2 , OD 1, BD . 3 ,得 BOD 90 , cos BDO °D3。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
又 f (x 6) f (x) 6 。因此， f (x 6) f (x) 6 ， f (x 6) f (x) 6 。
∴ f (x 6k) f (x) 6k ， k N* 。
∴ f (2016) f (0 6 336) f (0) 6 336 1 2016 2017 。
12．已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 b 5c 8a 2c 3b c 的最小值为
。
a b 2b 3c 2c a
【答案】 6
【解答】 设 a b x ， 2b 3c y ， 2c a z ，则 x 0 ， y 0 ， z 0 。
由 x y ，知 x 1 y ，因此， 2x 2 y 1 4 y 。
∴ x 4 ， x 1 ，2，3。 若 x 1 ，则 y (2 y 3) ， y 3 ， y 3 。将 x 1 ， y 3 代入题中方程，得15 3z ， z 5 。
若 x 2 ，则 2 y (2 y 5) ， 2 y 5 。由 y 2 知， y 不存在。
A． 3
B． 3 3
C． 5 3
D． 3 3
P
2
2
【答案】 D
【解答】 如图，设 AE AF AG 2 3 （ E 在 AB 上， F 在 PB 上， G 在 A
C
PC 上）。
B
由 PA PB ， PA PC ， PB PC ， PA PB PC 3 ，知 PF PG EAF 。
若 x 3 ，则 3y (2 y 7) 。所以， 3y 2 y 7 ，又 y 3 ，因此， y 4 ，5，6，7。经验证只有
2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2 福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5 月 13 日上午 8：30－11：00）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1．已知集合 A = { x 1 ≤ 3x ≤ 27 }， B = { x log (x 2 - x ) < 1 }，则 A B = （）A ． (1，2) 【答案】 AB ． (-1，3]C ． [0 ，2) D ． (-∞ ，-1) (0 ，2)【解答】由1 ≤ 3x ≤ 27 ，得0 ≤ x ≤ 3 。
因此， A = [0 ，3]。
⎧⎪x 2 - x > 0 由log (x 2 - x ) < 1，得⎨ ，解得， -1 < x < 0 或1 < x < 2。
2⎪⎩ x 2 - x < 2 因此， B = (-1，0) (1，2) 。
所以， A B = (1，2) 。
2．若直线l 与两直线l 1 ： x - y - 7 = 0 ， l 2 ：13x + 3y -11 = 0 分别交于 A ， B 两点，且线段 AB 中点为 P (1，2) ，则直线l 的斜率为（） A ． -2 【答案】BB ． -3C ． 2D ． 3【解答】由点 A 在直线l 1 ： x - y - 7 = 0 上，设 A (t ，t - 7) 。
由 AB 中点为 P (1，2) ，知 B (2 - t ，11- t ) 。
∵ 点 B 在直线l 2 ：13x + 3y -11 = 0 上， ∴ 13(2 - t ) + 3(11- t ) -11 = 0。
解得， t = 3 。
∴ A (3，- 4) ， kl = k PA =2 - (-4) = -3 。
1- 33 3 3 O O 2 + O C 21 1 3+12 3．如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 、E 分别为棱 BC 、BB 1 的中点， N 为正方形 B 1BCC 1 的中心。
福建省高一数学竞赛试题
年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。
•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。
又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。
2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。
()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。
()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。
对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。
又 AB , _ OF 。
因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准〔考试时间：5月8日上午8：30－11：00〕一、选择题〔每题6分，共36分〕1．假设集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =〔 〕A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，， 【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B xx +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。
由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。
所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。
2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=〔0m >〕相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为〔 〕A． B ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。
∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。
因此，(11)P -，，线段OP。
3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为〔 〕A．BCD ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。
不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC =AB CP〔第3题〕∴ PA PC ⊥，122OP AC OC ===。
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2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，，【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。
由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。
所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。
2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）A． B ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。
∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。
因此，(11)P -，，线段OP。
3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3 D ．13【答案】 B 【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。
不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC =∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。
A B CP A BCP OD（第3题）∴ OD PC ⊥。
又BD PC ⊥，故BDO ∠是二面角A PC B --的平面角。
在BOD △中，由2OB =，1OD =，3BD =， 得90BOD ∠=︒，3cos 33OD BDO BD ∠===。
∴ 二面角A PC B --的余弦值为33。
4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，，，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]13，B ．(13)，C ．(3)+∞，D ．[)3+∞，【答案】 A【解答】 ∵ 3x ≤时，函数22()24(1)3f x x x x =-+=-+的值域为[)3+∞，， ∴ 3x >时，2log 3a x +≥，即3x >时，log 1log a a x a ≥=。
∴ 1a >，且3x >时，x a ≥恒成立。
∴ 13a <≤，a 的取值范围为(]13，。
5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。
则在该四面体表面上与点A 距离为23的点形成的曲线段的总长度为（ ）A ．3πB ．33πC ．53π D ．33π 【答案】 D【解答】 如图，设23AE AF AG ===（E 在AB 上，F 在PB 上，G 在PC 上）。
由PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，3PA PB PC ===，知3PF PG ==，6PAF π∠=，4612EAF πππ∠=-=。
∴ 在面PAB 内与点A 距离为23的点形成的曲线段（图中弧EF ）长为323126ππ⨯=。
同理，在面PAC 内与点A 距离为23的点形成的曲线段长为3π。
又在面ABC 内与点A 距离为23的点形成的曲线段长为232333ππ⨯=。
A C B P （第5题）在面PBC 内与点A 距离为FG ）长为22π=。
∴ 四面体表面上与点A 距离为++=。
6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019【答案】 C【解答】 ∵ 对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，∴ [][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤。
又(6)()6f x f x +-≥。
因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+。
∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈。
∴ (2016)(06336)(0)6336120162017f f f =+⨯=+⨯=+=。
二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。
【答案】 72【解答】设()P x y ，，由226440x y x y +-++=知，22(3)(2)9x y -++=。
因此，点P 在以1(32)C -，为圆心，3为半径的圆上。
又222224(1)(2)5x y x y x y μ=++-=++--，设2(12)C -，，则225C P μ=-。
∵ 2max 2133C P C C =+=，2min 2133C P C C =-=。
∴ 23)5M =-，23)5m =-，72M m +=。
注：本题也可以三角换元法。
由22(3)(2)9x y -++=，设33cos x α=+，23sin y α=-+，代入μ后求最值。
8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225(3)(1)4x y -+-=的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。
若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为 。
【答案】 【解答】由切线PA 、PB 关于直线PC 关于对称，以及切线PA 、PB 关于直线2y x =对称知，直线2y x =与直线PC 与重合或垂直。
由点C 不在直线2y x =上知，PC 与直线2y x =垂直。
设(2)P t t ，，则21132t t -=--，1t =。
∴ (12)P ，，5CP =。
9．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为5，I 为侧面PCD △的内心，则四棱锥I ABCD -的体积为 。
【答案】 97 【解答】如图，取BC 中点E ，连结PE ，由条件知在PCD △中，5PC PD ==，6CD =。
∴ I 在线段PE 上，且53PI PC IE CE ==。
∴ 38IE PE =。
∴ 2223319765(32)883I ABCD P ABCD V V --==⨯⨯⨯-=。
10．已知()f x 是偶函数，0x ≤时，[]()f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若关于x 的方程()f x kx k =+（0k >）恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 。
【答案】 1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解答】作出函数()y f x =与y kx k =+的草图（如图所示）。
易知直线y kx k =+恒过点(10)-，，1x =-是方程()f x kx k =+的一个根。
从图像可知，当10102(1)1(1)k --≤<----，即1132k ≤<时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。
∴ k 的取值范围为1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，。
11．方程2(1)(1)1x y xyz ++-=（x y <）的正整数解()x y z ，，为 。
（写出所有可能的情况）OE C AD B PI【答案】 (135)，，，(373)，，【解答】依题意，2221xy x y xyz +++=。
∴ (2221)xy xy x y +++，(221)xy x y ++，221xy x y ≤++。
由x y <，知1x y +≤，因此，2214x y y ++<。
∴ 4x <，1x =，2，3。
若1x =，则(23)y y +，3y ，3y =。
将1x =，3y =代入题中方程，得153z =，5z =。
若2x =，则2(25)y y +，25y 。
由2y >知，y 不存在。
若3x =，则3(27)y y +。
所以，327y y ≤+，又3y >，因此，4y =，5，6，7。
经验证只有7y =符合3(27)y y +。
将3x =，7y =代入题中方程，得6321z =，3z =。
∴ 符合条件的正整数解有()(135)x y z =，，，，或(373)，，。
12．已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b c a b b c c a++++++++的最小值为 。
【答案】 6【解答】 设a b x +=，23b c y +=，2c a z +=，则0x >，0y >，0z >。
且4237x y z a -+=，3237x y z b +-=，227x y z c -++=。
∴ 5b c x y z +=-++，82424a c x y z +=-+，3b c x y z +=+-。
∴ 5823424232b c a c b c x y z x y z x y z m a b b c c a x y z+++-++-++-=++=+++++ 当且仅当4y x x y =，z x x z=，4z y y z =，即2y x =，z x =，2y z =，即2y x =，z x =时等号成立。
（如7x z ==，14y =，即3a =，4b =，2c =时等号成立）。
∴ 5823232b c a c b c a b b c c a++++++++的最小值为6。
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知()ln f x x =，2()241g x x ax a =-+-。
（1）若函数(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数(())g f x 在区间31e ⎡⎤⎣⎦，上的最小值为2-，求实数a 的值。
【答案】（1）依题意，2(())ln(241)f g x x ax a =-+-。