电磁波的辐射5

将方程右边对小球体积分： 将方程右边对小球体积分：
∫
∆V
−
Q(t )
ε0
δ ( x)dV = −
Q(t )
ε0
所以, 方程左和右边对小球体积分后相等。 为真解。 所以, 方程左和右边对小球体积分后相等。 Φ(r,t)为真解。 为真解
r Q(t − ) c ϕ (r , t ) = 4πε 0 r
对于一般的电荷分布： 对于一般的电荷分布：
因此： 因此：
2
ρf ρf ∂A ∂ (∇ ⋅ A) 2 ∇ ⋅ (−∇ϕ − )= ;⇒ ∇ ϕ + =− ; ∂t ε0 ∂t ε0
ρf 1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ∇ ϕ − 2 2 − (∇ ⋅ A + 2 )=− ; c ∂t ∂t c ∂t ε0
2
1 ∂2 A 1 ∂ϕ ) = − µ0 J f ; ∇ A − 2 2 − ∇(∇ ⋅ A + 2 c ∂t c ∂t
虽然有洛仑兹规范， A、Φ还不能唯一确定。作变换： 虽然有洛仑兹规范， 、 还不能唯一确定。作变换： 还不能唯一确定
' A0 → A0 = A0 + α k ; ϕ0 → ϕ0 = ϕ0 + αω; ⇒ E = −∇ϕ − '
∂A ∂ A' = −∇ϕ '− ; B = ∇ × A = ∇ × A '; ∂t ∂t
E、B不变，此变换称为规范变换。当电磁势作规范变换时，所有的物理 、 不变 此变换称为规范变换。当电磁势作规范变换时， 不变， 量和物理规律保持不变的性质称为规范不变性。对一定的E、 ， 量和物理规律保持不变的性质称为规范不变性。对一定的 、B，有许多 ），每一组 组（ A，Φ），每一组（ A，Φ）都是一种规范，可加一定的条件： ， ），每一组（ ， ）都是一种规范，可加一定的条件： 这种规范特点E=(E 较明显, ①库仑规范：取规范条件 ∇ ⋅ A = 0 。这种规范特点E=(E1+E2)较明显, 库仑规范： 是静电场（纵场）， 是感应场（横场）。 ），E E1是静电场（纵场），E2是感应场（横场）。
2
∇ 2 A = − µ0 J f ; ∇ 2ϕ = −
ρf ; ε0
达朗贝尔方程的解应与静场势的解类似。现以一点电荷 达朗贝尔方程的解应与静场势的解类似。现以一点电荷Q(t) 置于坐 标系原点为例求解。因为ρ 标系原点为例求解。因为 f= Q(t)δ(x)，所以方程为： ，所以方程为：
1 ∂ 2ϕ 1 ∇ ϕ − 2 2 = − Q(t )δ ( x) c ∂t ε0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Shengzhi_zhao@
平面波的解： 平面波的解：
A = A0 ei ( k ⋅ x −ωt ) ; ϕ = ϕ0 ei ( k ⋅ x −ωt ) ;
由规范条件可得出A、 的依赖关系 的依赖关系。 由规范条件可得出 、Φ的依赖关系。
∇ ⋅ A = ∇ ⋅ [ A0 e
i ( k ⋅ x −ωt )
第一节 电磁场的矢势和标势
一、用势描述电磁场 麦氏方程组： 麦氏方程组： 静场： 静场：
∇× E = −
∂B ∂D ; ∇× H = J f + ; ∇⋅D = ρf ; ∇⋅B = 0 ∂t ∂t
∂B ∂D = 0; = 0; ⇒ E = −∇ϕ ; B = ∇ × A; ∂t ∂t
一般情况下： 一般情况下： ∂ B ≠ 0; ∂ D ≠ 0; ⇒ B = ∇ × A; ⇐ ∇ ⋅ B = 0;
Shengzhi_zhao@
三、达朗贝尔方程 由麦氏方程组可导出电磁势所满足的方程。 由麦氏方程组可导出电磁势所满足的方程。
∇× H = J f + ∂D ∂E ∂A ; ⇒ ∇ × B = µ0 J f + µ0ε 0 ; ⇐ B = ∇ × A; E = −∇ϕ − ; ∂t ∂t ∂t
2
2 电荷分布球对称：Φ=Φ(r,t)，球坐标系： 12 ∂ (r 2 ∂ϕ ) − 12 ∂ ϕ = − 1 Q(t )δ ( x) 电荷分布球对称： ，球坐标系： 2
r ∂r
∂r
c ∂t
ε0
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考虑r≠0的空间： 考虑 ≠0的空间： ≠0的空间
1 ∂ 2 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ (r )− 2 2 =0 r 2 ∂r ∂r c ∂t
Shengzhi_zhao@
②库仑规范 考虑空间J =0、 =0， 考虑空间Jf=0、ρf=0，则：
1 ∂ 2 A 1 ∂∇ϕ ∇ A− 2 2 − 2 = 0; ∇ 2ϕ = 0; c ∂t c ∂t
2
因此有： 因此有：
1 ∂2 A ϕ ≡ 0; ⇒ ∇ A − 2 2 = 0; c ∂t
Shengzhi_zhao@
二、规范变换及规范不变性 对一定的E、 ， 、 不是唯一的。做变换： 不是唯一的 对一定的 、B，A、Φ不是唯一的。做变换：
A → A ' = A + ∇ϕ ; ϕ → ϕ ' = ϕ − ∂A ∂A ∂ A' ; ⇒ E = −∇ϕ − ; B = ∇ × A = ∇ × A '; = −∇ϕ '− ∂t ∂t ∂t
ε0
4πε 0 r
令解： 令解：
r Q(t − ) 1 ∂ϕ Q (t ) c ; ∇ 2ϕ − 2 2 = − δ ( x); ⇒ ϕ (r , t ) = c ∂t 4πε 0 r ε0
2
Shengzhi_zhao@
现在证明上面的解确为真解。 现在证明上面的解确为真解。 1 ∂ 2 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ① r≠0时： ≠0时 ≠0 (r )− 2 2 =0 2
2
r Q(t − ) ∂ r →0 c → ∫∆V ∂t 2 r dV
2
∂ 2Q (t ) r 1 1 ∂ 2Q(t ) 2 2 = 2 2 ∫0 r 4π r dr = 2ε 0c 2 ∂t 2 r ⇒ 0; 4πε 0 c ∂t 1
Shengzhi_zhao@
计算上式右边第一项： 计算上式右边第一项： 因此有： 因此有：
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第二节 推迟势
一、达朗贝尔方程的解 ∂A 电磁场与势： 电磁场与势： E = −∇ϕ − ;
∂t
B = ∇ × A;
洛仑兹规范： 洛仑兹规范： 静场的势方程： 静场的势方程：
ρf 1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ 2 ∇ A − 2 2 = − µ0 J f ; ∇ ϕ − 2 2 = − ; c ∂t c ∂t ε0
E1 = −∇ϕ ; ∇ × E1 = 0; k × E1 = 0;
E2 = −
②洛仑兹规范：取规范条件 洛仑兹规范：
∇⋅ A+
1 ∂ϕ =0 c 2 ∂t
∂A ; ∇ ⋅ E 2 = 0; k ⋅ E 2 = 0; ∂t
这种规范特点是A、 满足方程的形式相同 满足方程的形式相同。 这种规范特点是 、Φ满足方程的形式相同。
r ∂r ∂r c ∂t
显然Φ(r,t)满足方程。 显然 满足方程。 满足方程
为奇点。 为心做一个半径为r →0的小球体 的小球体： ②r=0时， Φ(r,t)为奇点。以Q(t) 为心做一个半径为 →0的小球体：将 r=0时 为奇点 Φ(r,t)带入方程左边并对小球体积分： 带入方程左边并对小球体积分 带入方程左边并对小球体积分：
2
(1) (2)
（1）和（2）称为达朗贝尔方程。 称为达朗贝尔方程。 例：求平面电磁波的势，并进而由势求场。 求平面电磁波的势，并进而由势求场。 解：①洛仑兹规范 由达朗贝尔方程并考虑空间J =0、 由达朗贝尔方程并考虑空间Jf=0、ρf=0 ，则：
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ 2 ∇ A − 2 2 = 0; ∇ ϕ − 2 2 = 0; c ∂t c ∂t
由势求场。 由势求场。
E = −∇ϕ −
B = ∇ × A = ∇ × [ A0 ei ( k ⋅ x −ωt ) ] = ∇ei ( k ⋅ x −ωt ) × A0 = ik × A
∂A = −ikϕ + iω A == −ick (n ⋅ A) + iω A = −ic[k ( n ⋅ A) − (n ⋅ k ) A] = −icn × (k × A) = −cn × B ∂t
∂ ∂A 1 ∂ϕ 1 ∂ 2 A 2 ∇ × (∇ × A) = µ0 J f + µ0ε 0 (−∇ϕ − ); ⇒ ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = µ0 J f − 2 ∇ − ; c ∂t ∂t ∂t c 2 ∂t 2
∇ ⋅ D = ρ f ;⇒ ∇ ⋅ E =
ρf ∂A ; ⇐ E = −∇ϕ − ; ε0 ∂t
2
平面波的解： 平面波的解： A = A0 ei ( k ⋅x −ωt ) 由势求场： 由势求场： B = ∇ × A = ∇ × [ A0 ei ( k ⋅ x −ωt ) ] = ∇ei ( k ⋅ x −ωt ) × A0 = ik × A
E = −∇ϕ − ∂A = iω A = −cn × B ∂t
∂ 2U 1 ∂ 2U 令Φ=U/r，可得： ，可得： − 2 2 =0 2 ∂r c ∂t r r 1 r 1 r U = f (t − ) + g (t + ); ⇒ ϕ = f (t − ) + g (t + ); 这是波动方程， 这是波动方程，解： c c r c r c
势Φ的解第一项为向外辐射的球面波，第二项为向内汇聚的球面波。因 的解第一项为向外辐射的球面波，第二项为向内汇聚的球面波。 的解第一项为向外辐射的球面波 1 r 考虑辐射问题，可将第二项舍去。 考虑辐射问题，可将第二项舍去。 ϕ = f (t − ) r c 与静场对比： 与静场对比： ∇ 2ϕ = − Q δ ( x) ⇒; ϕ (r ) = Q ;