正比例 一课时
正比例函数第一课时
正方形ABCD的边长为4，P为DC上一点， 设DP为x，求三角形APD的面积y关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范 围？
赤城中学最近准备拨款5000元添置一批体育用 品，这批体育用品中包括耐克牌篮球，已知如果购 买 4个耐克牌篮球需花340元。 （1）耐克牌篮球多少钱一个？ （2）耐克篮球总价y（单位：元）与个数x（单位： 天）之间有什么关系？ （3）若学校买了10个篮球，一共花了多少钱？
反思： 在实际问题中 ，函数解析式的
自变量的取值范围受到实际条件的制约， 介于一定范围内，因此在列函数解析式时， 要同时指明自变量的取值范围。
我们的收获与 体会是……
完成《教与学》中正比例函数（1）。
下列问题中的变量对应的规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长l随半径r的大小的变化而变化；
（2）铁的密度为7.8g/cm3 铁块的质量m（单位：g）随它的 体积v（单位：cm3 ）的大小的变化而变化；
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总 厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T （单位；℃）随冷冻的时间t（单位：分）的变化而变化。
上周末，徐老师回家探亲，乘7路公交 车从赤城中学出发（假设车速不变），大 约过了10 分钟到达一个叫施庵桥的地方， 赤城中学到施庵桥的直线距离为6000米， 接着公交车从施庵桥到客运中心又用了5分 钟，你能算出施庵桥到客运中心有多少距 离吗？时间t与路程s有什么关系？
什么是正比例？ 如果两个量的比等于一个不 为零的常数，那么就说这两个量成 正比例
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0） 的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例 系数．
6年级下册3单元：《正比例》第1课时
1.找一找:图中有那两种变化的量，（）随着（）的变化而变化的？有什么规律？
2.算一算：写出几组相对应量的比，并比较比值的大小，你发现什么？
3.试一试：用同样方法分析路程与时间的变化关系?
通过两个实例你发现了什么？
设计目的及依据：课中主要围绕“什么量因什么变化而变化，什么量不变”等关键问题展开引导，让学生经历正比例关系的建构过程，在变与不变，自变与因变中感悟函数思想。通过观察表格找到变量，归纳数量间隐含的变化规律，变：相关联的量；不变：比值。抓住变量与不变量，联系具体问题理解正比例的概念。再让学生脱离情景，抽象数字化符号来表征这一数量关系，真正理解正比例的意义。
练习单
基础过关：
1.课堂活动第1题
2.练习十二第1、2题
综合运用：
练习十二第3题
拓展延伸：小华和小东进行百米赛跑，当小东到达终点时，小华离终点还有20米，如果两人各自的速度不变，要使小东、小华同时到达终点，小东的起跑线应该后移多少米？
设计目的及依据：
基础过关：通过练习，让学生感受正比例随处可见，为深度思维的发生提供更大的空间。结合生活中的量，几何图形中的量考察学生完整描述相关联的两个量在变化的过程中存在的规律，
3.让学生感受事物是充满运动、变化、变中有不变的思想。
预习单
1.表格中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ化的是什么？不变的是什么？
2.水费是怎样随着用水量的变化而变化的？
设计目的及依据:从知识结构化的角度思考，要将正比例在数据变化上的规律与之前学过的除法、分数、比、比例、方程等知识进行沟联，进行知识建构。新课标将此内容归于“数量关系”，将“正比例”改为“成正比例的量”。所以正比例是研究量的变化规律，是学生从“常量”到“变量”认知的重要跨越，根据六年级小学生的认知特点，引导学生借助真实的问题情景、具体的数据对变量进行理解，找出表格中的变量与不变量。
《正比例函数》一次函数(第1课时正比例函数的概念)
例题
用于解释正比例函数的实际应 用和解题方法。
习题
用于帮助学生巩固所学知识和 提高解题能力。
教学媒体
投影仪
用于展示PPT、图片等教学资料。
白板
用于书写重要知识点和解题过程。
教学软件
例如Z+教学软件，提供在线学习资源和互动教学功能。
06
CATALOGUE
教学评价与反馈
学生评价
课堂参与度
学生是否积极参与课堂活动，如回答问题、小组讨论等。
03
CATALOGUE
教学方法与手段
教学方法
激活学生的前知
通过提问和回顾相关知识，激活 学生对正比例关系的认知。
示范与讲解
通过实例和图表的示范，解释Fra bibliotek比 例函数的定义和性质。
小组讨论与合作
组织学生进行小组讨论，鼓励他们 分享对正比例函数的理解和探索发 现。
教学手段
多媒体教学
使用PPT、几何画板等工具，展 示正比例函数的图像和性质。
正比例函数的定义
通过实例和图像，讲解正比例函数的定义，并强调正比例函数是一 种特殊的线性函数。
正比例函数的表达式
介绍正比例函数的表达式，并解释其中各个符号的含义。
正比例函数的图像与性质
01
02
03
图像的绘制
讲解如何绘制正比例函数 的图像，并强调图像的形 状和特点。
性质的解释
通过图像，解释正比例函 数的一些基本性质，如单 调性、经过的象限等。
《正比例函数》一次函数
(第1课时正比例函数的概
念)
汇报人：
2023-12-06
CATALOGUE
目 录
• 教学目标与重点 • 教学内容与步骤 • 教学方法与手段 • 教学步骤与活动 • 教学资源与媒体 • 教学评价与反馈
正比例函数(第一课时)教案
19.2.1正比例函数教材分析：本节课内容是在学习了平面直角坐标系的基础上，初次接触函数，在对函数初步讨论后，再来学习具体的函数——正比例函数的概念学情分析：学生已经学习了函数的概念、图象和表示方法，再来学习具体的函数——正比例函数，经历从一般到特殊的学习过程，符合学生的认知水平，从抽象到具体，学生掌握起来会得心应手。
教学目标：知识目标：1、掌握正比例函数的概念2、能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系能力目标：能应用正比例函数相关知识解决简单题目情感目标：形成合作交流意识及独立思考习惯．教学重点：正比例函数的概念教学难点：判断两个变量是否能够构成正比例函数关系教学方法：启发式教学，合作探究教学准备：多媒体课件，直尺、三角尺【学习流程】创设情境：函数和人的概念一样，比较宽泛，人按照年龄有儿童、青少年、青年、中年、老年之分，同样函数也可以分类，今天我们来学习最简单的一类特殊函数-----正比例函数。
预知正比例函数概念，请往下看。
问题1：京沪高速铁路全长1318千米．设列车平均速度300千米/时；考虑以下问题（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站约需多少小时？（结果保留小数点后一位）（2）京沪高铁的行程y（单位：km)运行时间t（单位：h）之间有和数量关系？问题二、细读课本86内容，完成课本“思考”，试着写出函数解析式：⑴；⑵；⑶；⑷。
一、正比例函数的概念观察“思考”中所得的四个函数；（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量的形式，（2）一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中k叫做。
思考：为什么强调K是常数，K≠0 ？对正比例函数概念的理解：（1）两个变量x与y的指数都是（2）函数都是常数（）与自变量的，在式子中只有乘号，没有“+”或“-”（3）比例系数≠二、课堂练习（1）、下列函数哪些是正比例函数？① y=x3② y=3x③ y=2x④y=x2+1 ⑤y = x-2 ⑥y=2 x（2）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数，比例系数①正方形的边长为xcm，周长为ycm②某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元③一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm,体积为ycm3长方体的体积公式=(3)、若y=5x3m-2是正比例函数，则m=___________.(4)、若y=（3m-2）x是正比例函数，则m≠___(5)、若y=(m-2)x m-3是正比例函数，则m=____________.（6）已知一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式（7）请任意写出一个正比例函数解析式（8）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝6，则函数关系式为_________，当x＝4时y＝____．三、总结：本节课我们学到了什么？四、布置作业：课本87页——练习题教学反思。
六年级下册数学教案《 4.2.正比例和反比例 第1课时 正比例 》 人教版
六年级下册数学教案《 4.2.正比例和反比例第1课时正比例》 - 人教版一、教学目标1.了解正比例的概念2.能够辨别正比例的特征3.能够解决实际问题中的正比例关系二、教学重点1.正比例的定义2.正比例的表达方式3.实际问题中的应用三、教学准备1.教科书《人教版数学六年级下册》2.教学笔记3.课件投影仪四、教学过程步骤一：导入1.引入正比例的概念，与学生一起讨论什么是正比例，举例说明正比例在生活中的应用。
步骤二：概念讲解1.介绍正比例的定义：当两个量相互变化时，如果它们的比例始终保持不变，就称为正比例。
2.解释正比例的表达方式：可以用等式表示，如y=kx，其中k为比例系数。
3.分析正比例的特征：随着一个量的增大，另一个量也以同样的比例增大。
步骤三：实例演练1.给学生几个简单的正比例例题，让他们通过计算来体会正比例的特征。
2.引导学生总结得出判断正比例的方法。
步骤四：拓展应用1.提出一些实际问题，让学生运用正比例的概念来解决，锻炼他们的推理能力和应用能力。
2.鼓励学生思考更多与正比例相关的问题，并展开讨论。
五、课堂小结1.总结本节课学习的内容，强调正比例的重要性和应用价值。
2.鼓励学生在课后多加练习，巩固所学知识。
六、作业布置1.完成课后练习册上与正比例相关的题目。
2.思考一个生活中的例子，描述其中存在的正比例关系，并用数学的方式表示出来。
七、课后反思1.回顾本堂课的教学过程，总结教学中好的地方和需要改进的地方。
2.规划下一堂课的教学内容，做好充分准备。
以上为本节课的教学计划，希望能够有效地帮助学生理解正比例的概念，并能熟练运用于实际问题中。
19.2.1正比例函数(第一课时正比例函数的概念)
19.2.1 正比例函数第1课时 正比例函数的概念一、知识回顾：1.函数的概念：在一个 过程中有 变量x 与y ，并且对于x 的 确定的值，y 都有 的值与其对应，那么我们就说x 是 ，y 是x 的 。
2. 表示函数的方法有：、 、3. 用描点法画函数图像的一般步骤为：、 、 、 。
二、新知探究：1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．2.思考：（1）认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常数和自变量．（2）这些函数解析式在结构上有什么共同特点？归纳：一般地，形如 （ ）的函数，叫做正比例函数，其中 叫做比例系数．三、针对训练。
1.在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少.①y=x, ②y=6x 2, ③ y=2x , ④y=x -4， ⑤ ⑥y=-x ⑦2. 判定正误：下列说法正确的打“√”，错误的打“×”（1）若y=kx ，则y 是x 的正比例函数（ ）（2）若y=4x2，则y 是x 的正比例函数（ ）（3）若y=4(x -1)，则y 是x 的正比例函数（ ）（4）若y=4(x -1)+4，则y 是x 的正比例函数（ ）（5）若y=4(x -1) ，则y 是x -1的正比例函数（ ）3.2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米，设列车的平均速度为300千米每小时。
考虑以下问题： x y 1-=x 2132)2(--=m x m y （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时？（保留一位小数）（2）京沪高铁的行程ykm 与时间th 之间满足函数关系吗？若满足请写出解析式。
正比例函数(第一课时)课件
直线运动问题
路程、速度和时间的关系
当物体做匀速直线运动时，路程与时间成正比例关系，即s=vt，其中s表示路 程，v表示速度，t表示时间。
相遇和追及问题
当两个物体在同一直线上运动时，它们之间的相对速度等于两物体速度之和或 之差。因此，相遇问题和追及问题可以通过正比例函数来求解。
题目：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系式为s = 60t，求当t = 2时，汽车行驶的路程s。 解答过程
2. 将v = 60和t = 2代入上式，得到s = 60 × 2 = 120 。
分析：本题主要考察正比例函数在实际问题中的应用。 根据题意，速度v = 60千米/小时，时间t = 2小时，我 们需要求出路程s。 1. 根据正比例函数的定义，我们有s = vt。
比例系数 k 决定了直线的斜率，即 k = tanα (α 为直线与 x 轴正方向的夹角)。
函数图像是一条经过原点的直线。
性质：正比例函数具有以下性质
当 x > 0 时，y 与 x 同号；当 x < 0 时 ，y 与 x 异号。
图像特征
图像形状
01
正比例函数的图像是一条直线。
图像位置
02
该直线经过坐标原点 (0,0)。
结合实际问题进行求解
01
仔细阅读题目，理解题 意，将实际问题抽象成 数学模型。
02
根据题意列出方程或方 程组，注意方程两边的 量要对应。
03
解方程或方程组，求出 未知数的值，并对结果 进行验证和取舍。
04
将求得的未知数的值代 回原方程进行检验，确 保答案的正确性。
06
典型例题分析与解答过程展示
《正比例函数》一次函数(第1课时正比例函数的概念)
总结词
提升学生对正比例函数的掌握程度和 应用能力。
详细描述
进阶练习题包括计算题、作图题和解 析题等，难度略高于基础练习题。这 些题目要求学生能够运用正比例函数 解决实际问题，提高解题技巧和思维 能力。
综合练习题
总结词
检验学生对正比例函数的综合运用能力和问题解决能力。
详细描述
综合练习题包括跨学科的应用题和实际问题的数学建模题目，这些题目需要学生综合运用数学知识，特别是正比 例函数与其他数学知识的结合，以解决复杂问题。题目难度较高，适合学有余力的学生挑战自我。
04
正比例函数的解析式
函数的解析式
函数解析式是表示函 数关系的数学表达式 ，由变量、运算符和 常数组成。
解析式可以表示函数 在任意自变量取值下 的因变量取值。
函数解析式是研究函 数性质、图像和变化 规律的基础。
正比例函数的解析式形式
正比例函数解析式为 $y = kx$ ，其中 $k$ 是比例常数，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
函数图像是解析式的几何表现，通过 图像可以直观地观察函数的性质和变 化规律。
05
课堂练习与巩固
基础练习题
总结词
帮助学生掌握正比例函数的基本概念 和性质。
详细描述
基础练习题包括判断题、选择题和填 空题等，主要考察学生对正比例函数 定义、图像和性质的理解。这些题目 难度较低，适合全体学生练习。
进阶练习题
制函数图像。
描点
根据正比例函数的表达 式，计算出若干个x值所 对应的y值，并描出对应
的点。
连线
使用直线连接所描出的 点，得到正比例函数的
图像。
验证
通过代入已知的x值，验 证所绘制的图像是否准
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正比例的意义
教学目标：
知识与能力：结合丰富的实例，认识正比例。
过程与方法：能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
情感态度和价值观：：利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中的广泛应用。
教学重点、难点
1. 教学重点：能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
2. 教学难点：理解正比例的意义
教学过程：
（一）创设情境，体会相关联的两个量的变化情况。
1、师：上节课我们一起学习了变化的量，知道了生活中有许多相关联的量，谁来说说什么是两种相关联的量？（教师板书，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化）你能举个例子说说什么样的两个量是相关联的量吗？
2、两种相关联的量还有什么特殊的关系呢？今天我们就一起来研究一下。
（二）探究新知。
1、正方形的周长与边长的变化关系（教师引导）
师：出示教材表（1），根据右边的图象把表格填完整，并根据问题观察表中填好的数据，思考应该怎样解答？
（1）填表，观察正方形周长与边长的变化关系，并用语言表达。
（正方形的周长总是边长的4倍……）
（2）你能用一个式子表示出来吗？
（板书：周长÷边长=4（一定））也就是说周长与边长的比值是一个定值，是不变的。
2、正方形的面积与边长的变化关系（教程同上，学生先自主学习再交流）
（1）填表，说说正方形面积与边长的变化规律。
（2）正方形的面积与边长的比值是一个定值吗？
3、比较这两组变量的有什么区别
（三）正比例的意义。
1、教材20页第2题。
出示第2题：（按要求解答）
（1）你能把表格写完整吗？（独立完成）
（2）说一说你是根据什么来填的？（小组交流）
（3）观察路程与时间这两种量，你发现了什么规律？（小组讨论、交流）
（路程÷时间=90（一定），即路程与时间的比值（也就是速度）相同。
）
2、教材20页第3题。
（1）请把表格填写完整。
（独立完成）
（2）说一说你是怎么想的？（小组交流）
（3）从表中你发现了什么规律？（小组讨论、交流）
（应付的价钱÷质量=3（一定），即应付的钱数与质量的比值（也就是单价）相同。
）
3、思考：从上面的（2、3）题中，它们有什么共同特征？
他们都是两个相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中，两个量的比值相同，我们就可以说这两个量成正比例。
（板书）齐读。
4、学生说说上面（2、3）题中路程和时间成正比例、购买苹果应付的钱数与质量成正比例。
5、思考：你能说说如果判断两个量是不是正比例关系，需要符合哪些条件吗？（学生讨论、交流）
6、想一想：（小组讨论、交流）
（1）正方形的周长与边长成正比例吗？面积与边长呢？为什么？
（2）小明和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。
小明的年龄/岁6 7 8 9 10
11
爸爸的年龄
/岁
32 33
父子的年龄成正比例吗？为什么？
（四）总结。
今天我们学习了什么？你有什么收获？
（五）巩固练习
正比例练习
教学内容：北师大版数学六年级下19---21。
教学目标：
A结合丰富的事例，进一步认识正比例。
B掌握成正比例变化的量的变化规律及其图象的特征。
根据正比例的意义，正确判断两个相关联的量是不是成正比例。
C提高学生分析比较、归纳概括和判断推理能力。
教学重点：认识正比例的意义和怎样判断两个变化的量是不是成正比例。
教学难点：判断两个变化的量是不是成正比例。
教学准备：用小黑板写下教材19、20、21页中有关的图象和表格。
教学过程：
活动一：初步感受正比例图象的特征。
出示情境一中的（1）正方形的周长与边长；
（2）正方形的面积与边长有关的表格和数据
1、回忆正比例的意义和判断方法。
提问：哪两个量是成正比例的量？请说明理由。
2、感受正比例的图象。
（1）现在我们利用横轴和纵轴分别表示正方形的边长和周长，把表格中对应的一组组数据在图中表示出来。
（教师示范描述第一个点，并说明这个点的含义。
）（2）现在我们利用横轴和纵轴分别表示正方形的边长和面积，把表格中对应的一组组数据在图中表示出来。
（3）引导学生观察和思考：对比两个图象，你有什么想法？
（成正比例的两个变量的点会在同一条直线上。
）
活动二：练一练。
1、判断下面各题中的两个量，是否成正比例，并说明理由。
（1）每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。
（2）一个人的身高和年龄。
（3）宽不变，长方形的周长与长。
2、根据下表中平行四边形的面积与高相对应的数值，判断当底是6厘米的时候，它们是是成正比例，并说明理由。
（表格见书）
3、买邮票的枚数与应付的钱数成正比例吗？
应付的钱数随购买的枚数的变化而变化，而且比值不便。
所以应付的钱数与买邮票的枚数成正比例。
4、找一找生活中成正比例的例子。
画一画
教学目标：
A在具体情境中，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图像。
B会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计他所对应的变量的值。
C利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题。
教学重点、难点
1. 教学重点：能画表示成正比例关系的图。
2. 教学难点：发现正比例关系图的特征。
教学过程：
活动一；判断下面的量是否成正比例关系？
1、每行人数一定，总人数和行数。
2、长方形的长一定，宽和面积。
3、长方体的底面积一定，体积和高。
活动二：探索一个数与它的5倍之间的关系。
1、求出一个数的5倍，填写书上表格。
2、判断一个数的5倍和这个数有怎样的关系？
小结：一个数和它的5倍之间具有正比例关系。
3、根据上表，说出下图中各点的含义。
（图见书上）。
4、连接各点，你发现了什么？
5、利用书上的图，把下表填完整。
6、估计并找一找这组数据在统计图上的位置。
活动三：试一试。
1、在下图中描点，表示第20页两个表格中的数量关系。
2、思考；连接各点，你发现了什么？
活动四：练一练。
1、圆的半径和面积成正比例关系吗？为什么？
教师讲解：因为圆的面积和半径的比值不是一个常数。
2、乘船的人数与所付船费为：（数据见书上）
（1）将书上的图补充完整。
（2）说说哪个量没有变？
（3）乘船人数与船费有什么关系？
（4）连接各点，你发现了什么？
3、回答下列问题：
（1）圆的周长与直径成正比例吗？为什么？
（2）根据右图，先估计圆的周长，再实际计算。
（3）直径为5厘米的圆的周长估计值为（），实际计算值为（）。
（4）直径为15厘米的圆的周长估计值为（），实际计算值为（）。