高数课件

当 | x |> 1时，原级数不绝对收敛； 原级数发散。
加绝对值后，然后由比值判别法或根值判别法 判定出来：发散级数一定是发散的 收敛级数一定 定是绝对收敛的
当 | x |= 1时， 时 x = 1和x = −1
(−1) n 当x = 1时，原级数为 时 原级数为∑ 3 n =1 n
∞
⇒ 绝对收敛， 绝对收敛
从而级数 ∑ a n x 绝对收敛 .
n n= 0
∞
收敛半径 R = +∞;
( 3) 如果 ρ = +∞ , ∀x ≠ 0, 级数 ∑ a n x 必发散 .
n n= 0 ∞
收敛半径 R = 0.
n x 例2：求幂级数 求幂级数 ∑ (−1) n 的收敛域 n n =1
∞
a n +1 n 解 (1) ∵ ρ = lim = lim =1 ∴R =1 n→ ∞ a n→ ∞ n + 1 n
n ( − 1 ) 当x = 1时, 级数为 ∑ , n n =1 ∞ 1 当x = −1时, 级数为 ∑ , n =1 n ∞
该级数收敛 该级数发散
故收敛区间是( −1,1].
x 例3：求 求∑ 的收敛半径和收敛域 n =1 n ! 1 an (n + 1)! |= lim 解：ρ = lim | =0 n →∞ a n →∞ 1 n +1 n! 1 收敛半径R = = +∞ ρ
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
( − R, R ), [ − R, R ), ( − R, R],
规定
[− R, R] ].
(1) 幂级数只在 x = 0 处收敛,
R = 0,
收敛区间 x = 0;
(2) 幂级数对一切 幂级数对 切 x 都收敛, 都收敛
∞
= ∑ (a n x n )′ = ∑ nan x n−1 .
n= 0
n =1
∞
∞
(收敛半径不变)
1 2n 例6.求幂级数 ∑ n x 的和函数 n =0 4
x 解： ∑ 2n n =1 2
∞ 2n
∞
x 2 2 x 2 = = 2 2 2 x 2 −x 1− 2 2
2
收敛域为(−2, 2)
x 例7.求幂级数 ∑ 的和函数 n =1 n n n ∞ ∞ ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d x d x 1 n −1 解 解： ⎜∑ ⎟ = ∑ ⎜ ⎟ = ∑ x = dx ⎝ n =1 n ⎠ n =1 dx ⎝ n ⎠ n =1 1− x
作业：第373页：
1(偶)，2(奇)，3 (偶)
|x | 解 先考察绝对值级数∑ 3 的敛散性。 解：先考察绝对值级数 的敛散性 n =1 n n +1 3
(−1) n x n 讨论级数∑ 的敛散性 其中x为常数. 的敛散性,其中 为常数 3 n n =1 n ∞
∞
un +1 x n 利用比值判别法 lim 利用比值判别法： li = lim li | |=| x | 3 n n →∞ u n →∞ ( n + 1) x n 当 | x |< 1时，原级数绝对收敛； 时 原级数绝对收敛；
(2) 乘法
( ∑ a n x ) ⋅ ( ∑ bn x )= ∑ cn x n . x ∈ (− R, R )
n n n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
(其中 cn = a0 ⋅ bn + a1 ⋅ bn−1 + 2 和函数的分析运算性质 2.和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数
∞
+ an ⋅ b0 )
∴ ∑ a n x n 收敛 ,
n=0 ∞
即级数 ∑ an x n 绝对收敛;
n=0
∞
( 2 ) 假设当 x = x 0时发散 ,
而有一点 x1 适合 x1 > x 0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x = x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明 收敛区域 发散区域
−R
Байду номын сангаас
R
发散区域
x
推论
如果幂级数
收敛域为： (−∞ ∞, +∞)
∞
n
例4：求 求
∑2
n =1
∞
n −1
x
2 n −1
的收敛半径
2
解 : 几何(等比)级数公比： 2x
2
2 2 x < 1时，即 x < 时收敛， 2 2 收敛半径为 2
( x − 1) ) 例5：求 求∑ 的收敛域 n n2 n =1
∞ n
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
函数项级数 ∑ un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n =1
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数: 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
s( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) +
+ un ( x ) +
∞
n
x0 收敛 ,
n
∴ lim an x0 = 0,
n→ ∞
n
∃ M , 使得 a n x 0 ≤ M
n
( n = 0,1,2,
n
)
n
an x = an x0
n
n
x x x n ⋅ n = an x0 ⋅ ≤M x0 x0 x0
∞ n
n
x x ∵当 < 1时 , 等比级数 ∑ M 收敛 , x0 x0 n= 0
∞
n
xn 1 =∫ dx = − ln x − 1 + C ∑ 1− x n =1 n = − ln(1 ( − x) + C n ∞ x 又x = 0时 时，级数 级数∑ = 0 ∴ C = 0 n =1 n n n ∞ ∞ x (−1) ) 级数∑ = − ln(1 l (1 − x) 注意： 注意 ∑ = − ln l 2 n n =1 n n =1
n=0 ∞
当x0 = 0时,
2.收敛性: 收敛性
n a x ∑ n , 其中a n 为幂级数系数. n= 0
∞
例如级数
x ∑ n= 0
∞
n
= 1+ x + x +
2
,
当 x < 1时, 收敛;
当 x ≥ 1时, 发散;
收敛域 ( − 1,1); 发散域( −∞ ,−1] ∪ [1,+ +∞ );
定理 1 (Abel 定理)
R = +∞ , 收敛区间( −∞ ,+∞ ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理 2 如果幂级数
∑a
n=0
∞
n
x 的所有系数a n ≠ 0 ,
n
a n+1 = ρ (或 lim n a n = ρ ) 设 lim n→ ∞ a n→ ∞ n 1 则收敛半径 R = ; ρ
特别地 当ρ = 0 时, R = +∞ ; 当ρ = +∞ 时, R = 0 . 特别地，当
∑a
n=0
n
x 的和函数 s( x )
n
在收敛区间( − R, R ) 内连续； 内连续 若在端点收敛,则在端点单侧连续.
(2) 幂级数
n a x ∑ n 的和函数 s( x )在收敛区间 n= 0
∞
( − R, R ) 内可积,且对∀x ∈ ( − R, R ) 可逐项积分.
即 ∫ s( x )dx = ∫ ( ∑ a n x n )dx
+ un ( x ) +
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数. 上的(函数项)无穷级数
例如级数
n 2 x = 1 + x + x + ∑ n= 0
∞
,
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 ∈ I ,数项级数
则称 x 0 为级数
∞
∑u (x
n =1 n
∞
0
) 收敛,
∑u
n =1
∞
n
( x ) 的收敛点, 否则称为发散点.
练习:求下列幂级数的收敛域及和函数.
∑ (2n + 1) x
n =0
∞
n
2 n +1 x n −1 ( − 1) ) ∑ 2n + 1 n =0 ∞
xn ∑ n =0 n + 1
∞
2 n ( n + 1) x ∑ n =0
∞
四、小结
1.函数项级数的概念: 2 幂级数的收敛性: 收敛半径R 2. 收敛域内的绝对收敛性 和函数的连续性 3.幂级数的运算: 幂级数的加减运算 幂级数的积分运算 幂级数的求导运算
x x
∞
0
0
n= 0
= ∑∫
n= 0
∞
x
0
a n n +1 x . a n x dx = ∑ n= 0 n + 1
n
∞
(收敛半径不变)
(3) 幂级数
n a x ∑ n 的和函数 s( x )在收敛区间 n= 0
∞
( − R , R ) 内可导, 并可逐项求导任意次.
n ′ 即 s ( x ) = ( ∑ a n x )′ n= 0
∑a
n= 0
∞
n
x 不是仅在 x = 0 一点收敛 点收敛,
n
也不是在整个数轴上都收敛 则必存在正数 R : 也不是在整个数轴上都收敛,则必存在正数
当 x < R 时,幂级数绝对收敛; 时 幂级数绝对收敛