特征值与特征向量、二次型

任给实二次型f X AX , 总有正交变换X TY , 使f 化为标准形
2 f 1 y1 2 y2 2
n y n,
2
其中 1, 2,
, n是f 的矩阵A (a ij )的特征值.
第一步 写出f 的矩阵A 第二步 求A的特征值
第三步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 并将属于λi的特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 得单位正交特征向量组1 ,2 ,
(3)当A可逆时, 1
a m m, 1 A 是 A的特征值.
4.对角阵 D diag（1，2， ，n） 的特征值是1 , 2 , 5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

是 A 的特征值;
1

, n .
一、矩阵的相似
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使P1 AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.
[br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
1 r 2 r
[b , a ] [b , a ]
那么b1 ,, br 两两正交, 且b1 ,, br 与a1 ,ar 等价.
1. 若A与B相似, 则Am与Bm相似 m为正整数 . A的多项式 ( A)与B的多项式 ( B)相似。 2、 相似矩阵的特征多项式相同, 从而特征值亦相同. 3、 若 n阶方阵A与对角阵 D diag（1，2， ，n） 相似，
则1 , 2 , , n即是A的n个特征值.
4, 若可逆矩阵P使P1 AP D=diag(1,2 , ,n ), k k 1 k k k 1 则 A PD P Pdiag (1 , 2 , , n )P ,
正定性的相关结论 n X R , 若X 0,则X AX 0 1)实二次型X AX 正定 2）(定理2) n元实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 正定 秩 f ＝ n＝ p （ f 的正惯性指数）.
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
4）正定二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的标准形为 d1 y12 d 2 y2 2 d n yn 2 , i 0, i 1,2, , n
,n
第五步
得到正交变换X=TY
T =(1 ,2 ,
,n )
正定二次型
定义 设有实二次型f ( x ) x T Ax, 如果对任何x 0,
都有f ( x ) 0(显然f (0) 0), 则称f为正定二次型, 并 称对称矩阵A是正定的 ; 如果对任何x 0, 都有f ( x ) 0, 则称f为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
相 似 实对称阵隐含的信息
一、特征值与特征向量
1. A E 0
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n 0
称未知数的一元n次方程 A E 0 为A的特征方程.
a nn
记f A E , 是的n次多项式, 称为方阵A的特征多项式. 2. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 , , n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann ;
2 2 z z 规范形为 1 2
zn 2 .
等价描述： 实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
5）实二次型X´AX正定的充分必要条件是实对称 阵A的特征值都是正数 。 6）正定矩阵A的行列式大于0. n 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) aij xij 是正定的充分 7） i , j 1 必要条件是实对称矩阵 A (a ) 的各阶顺序主子 ij nn 式都大于0。 n 8） 二次型 X AX aij xij 是负定的充分必要条件 是实对称矩阵 A (aij )nn的奇数阶顺序主子式都小 于0，而偶数阶顺序主子式都大于0。
g ( A)的所有特征值为g (1), g ( 2), g ( 3), A 5 E g( A) g(1) g( 1) g( 2) 72.
（2）单位化，取 b1 b2 br 1 , 2 , , r , b1 b2 br
那么 1 , 2 ,, r为一个正交单位向量组 .
上述由线性无关向量组 a1 ,, a r 构造出正交 向量组b1 ,, br的过程, 称为施密特正交化过程 .
四、实对称矩阵隐含的信息
(1)实对称矩阵的特征值为 实数.
（2）n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量. （3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交. （4）n阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量.
（5）对于n阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得 T 1 AT T AT D
其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化;
4. 将特征向量单位化.
5. 构造正交阵T.
n元二次型
T T 二次型可记作 f Ax , 其中 1、 x A A. A称为二次型f 的矩阵, f 称为对称阵A的二次型,
定义1 设有 n 维向量x ( x , x , 1 2
, xn ),
y ( y1, y2 ,
, yn ),
令 （x, y） x1 y1 x2 y2 xn yn
称 （x, y）列向量,内积可表示为（ : x, y） xT y.
对称阵A的秩称为二次型f 的秩.
二次型与它的矩阵是一一对应的．
2 只含平方项的二次型 f k 1 y1 k 2 y2 2 称为二次型的标准形. A与B合同： B C AC ，其中C可逆。
k r y2 r
定理 二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY A与B合同.
正交变换法化二次型为标准形
三、方阵对角化 1、 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量. 2、 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 如果是A的r重特征根，则有r线性无关的特征向量.
3、如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似． 4、 如果A的特征方程有r重根λ ，而λ 没有r个线性无关的特征向 量，则矩阵A不能对角化. 5、 实对称阵一定能对角化.
特征值、特征向量、 二次型
定义
求 法
定义 特征值 特征多项式 特征向量 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
特 征 值
性 质
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
概念 矩阵对角化 应用
i , j 1
例1 设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1, 3 2, 设B A3 5 A2, 求 B ; A 5E .
解 利用 A 1 2 n来计算 A . , 令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 所以f ( i)(1 i 3)是f ( A) A3 5 A2 B的全部特征值故 . B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 ) ( 4)( 6)( 12) 288. 同理，令g ( x) x 5,
( 2) 12 n A .
显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.
3. 设 是A (a ij ) nn的特征值, 则 (1)也是 AT的特征值; (2) k是 Ak的特征值( k 为任意自然数); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a 0 a1 ( A) a 0E a1A a m Am.
2. 如果x, y都是行向量,内积可表示为（ : x, y） xyT . 定义2 当（x, y） 0时, 称向量x与y 正交.
正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。
定理1
正交的非零向量组一定线性无关。
三、Schmidt正交化规范化过程 （1）正交化，取 b1 a1 ， b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1 [b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
一、正交矩阵
定义1 如果矩阵A满足 : A1 A, 则A叫做正交矩阵。 1、n阶方阵A是正交阵的充要条件是 AA AA E;
2、单位阵E是正交阵; 3、两个n阶正交阵A，B的积AB是正交阵;
4、 A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交 的单位向量．
二、向量的内积