人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2.同角三角函数的基本关系学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x .∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ).(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.类型一.利用同角三角函数的关系式求值命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为(..)A.125B.－125C.512D.－512 答案.D解析.∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.反思与感悟.同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解.由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2.已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.解.∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思与感悟.利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2.已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值. 解.方法一.∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0.综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二.∵tan α＝sin αcos α，∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋513·1cos α)＝13sin α[1＋513×(－135)]＝0.类型二.利用同角三角函数关系化简 例3.已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解.原式＝ (1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－ (1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|.∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号).反思与感悟.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3.化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).解.(1)原式＝ cos 36°－ sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 则原式＝1cos 2α 1＋sin 2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 类型三.利用同角三角函数关系证明例4.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立.反思与感悟.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4.求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x .证明.方法一.(比较法——作差)∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x ＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法二.(比较法——作商)∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin x cos x ＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )＝cos 2x 1－sin 2x ＝cos 2x cos 2x ＝1. ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法三.(综合法)∵(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝cos x ·cos x ， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.类型四.齐次式求值问题例5.已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解.(1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思与感悟.(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.解.由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于(..)A.－43B.34C.±34D.±43答案.A解析.∵α为第二象限角，sin α＝45，∴cos α＝－35，tan α＝－43.2.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于(..)A.74 B.－916 C.－932 D.932答案.C解析.由题得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.故选C.3.化简1－sin23π5的结果是(..) A.cos 3π5B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5答案.C 解析.1－sin23π5＝ cos23π5＝|cos 3π5|， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π5<0， ∴|cos 3π5|＝－cos 3π5，即1－sin23π5＝－cos 3π5，故选C. 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ . 答案.－25解析.sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝－25. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.解.∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝1－125＝265， tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业一、选择题1.已知cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β为第三象限角，则sin α·tan β等于(..) A.－4825B.4825 C.13 D.－13答案.B解析.∵cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β是第三象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝45，cos β＝－1－sin 2β＝－513，即tan β＝125，则sin α·tan β＝4825.故选B.2.已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于(..)A.－55B.－15C.－255D.－45答案.C解析.∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.3.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是(..)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案.B解析.∵sin A ＋cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518＜0，又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0， ∴cos A ＜0，即A 为钝角.故选B.4.函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2xsin x 的值域是(..)A.{0,2}B.{－2,0}C.{－2,0,2}D.{－2,2}答案.C解析.y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |sin x .当x 为第一象限角时，y ＝2；当x 为第三象限角时，y ＝－2； 当x 为第二、四象限角时，y ＝0. 5.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为(..) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案.C解析.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 6.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于(..) A.－43B.54C.－34D.45答案.D解析.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.7.已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin xcos x 等于(..)A.12B.－12C.2D.－2答案.B解析.利用1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12.二、填空题8.已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第 象限.答案.二或四解析.sin α＋2cos αcos α＝tan α＋2＝1，tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限.9.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝ . 答案. 3或－13解析.因为sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或3. 10.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝ .答案.π3解析.由题意知cos A >0，即A 为锐角. 将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 11.若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝ . 答案.－22 12.已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝ . 答案.－32解析.因为π<α<5π4， 所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线知，cos α<sin α，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－ 1－2×18＝－32. 三、解答题13.已知tan α＝－12，求1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值. 解.原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 四、探究与拓展14.若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z )的值为 .答案.1解析.∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值.解.(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .② 将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π6.。