等比数列2
高三数学等比数列2
3.如果 a n bn 是项数相同的等比数列,那 么 a n bn 也是等比数列．
结论：如果 a b 是项数相同的等 比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
n n
bn 的公比为 证明：设数列a n 的公比为p， q，那么数列 a n bn 的第n项与第n+1项分 n 1 n n 别为 a1p n 1 b1q n 1 与 a1p b1q ，即 a1b1 (pq) n 与 a1b1 (pq) ．
因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列．
a n 1 b n 1 a1b1 (pq) n pq, n 1 a n bn a1b1 (pq)
特别地，如果是a 等比数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc是不等 于０的常数，那么数列 c a 也是等比数列．
n
n
探究
对于例４中的等比数列 a n 与 bn ，数
1.定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0 ） an
2.中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
五、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p a q
an , 若a1 a2 a3 7, 4.已知等比数列
a1 a2 a3 8, 求an.
a1 1, q 2或a1 4, q
1 2
课后作业
P60 习题 2.4 A 组 第 3、 7、 8题
选做: P59 探究 选做: P75 第1,2,4题
等比数列(2)
【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
（1）应用等比数列的前n 项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）综合应用数列知识，解决生活中借、贷款等实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．
情感目标：
（1）经历数列的前n 项和公式的探索，增强学生的创新思维．
（2）赞赏国际象棋的发明人数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化． （3）经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣。
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】
−。
等比数列(2)
5、等比数列常用性质 (1) 若 m n p q，则 am an a p aq .
(2) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是等比数列， 且公比为 qm .
(3) 若 {an} 与{bn} 均为等比数列，
说 明：
本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换 关系.不失一般性，设c＞0，c≠1, 则：
若数列{an}是等差数列，那么数列{can }是等比数列；
反之,若{an}是等比数列且an ＞0,则数列{logc an }是等差数列.
例2：已知{an }和{bn }是项数相同的等 比数列，求证{an • bn}是等比数列。
an 0 a3 a5 5 .
(2) 在等比数列{an }中，a3a4a5 3 , a6a7a8 24 , 求 a9a10a11 的值.
解： {an} 是等比数列 ，
a3a4a5 a43 3 , a6a7a8 a73 24 , a9a10a11 a130
又 a4 , a7 , a10 成等比数列，a43 , a73 , a130成等比数列，
则数列{man
bn
}
与
{
man bn
}
(m
0
常数)
仍为等比数列.
(4) 单调性 ：由 an a1qn1 知
an1 q an
若 a1 0 q 1
或
a1 0 0 q
1
，则
{an }
是递增数列 ；
若 0a1q0 1或 qa110 ，则 {an } 是递减数列 ；
若 q 1 ，则{an } 是常数列； 若 q 0 ，则{an } 是摆动数列.
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
1.3.1等比数列(二)课件ppt(
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，_使__a_、__G_、__b_成__等__比__数__列__， 那么G叫作a与b的等比中项． 试一试：若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示 不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0， 则G2＝ab，而根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数 列；当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等 比数列．
为一
常数，判定一个数列不是等比数列只须找到一组 an ≠ am an－1 am－1
(m≠n)即可．
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q， ∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，(2分) 若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0， ∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．(4分) 若 q≠1，由于bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－aan＋n1＝qqnn＋－1－qnq－n1＝qqn－n1qq－－11 ＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．(8分) (2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0； 当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1， ∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．(12分)
课前探究学习
课堂讲练互动
【题后反思】 1.本题属于“运算数列”是否为等比数列的判 定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨 论十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是 逻辑思维严谨性的具体要求． 2．若数列{an}为等比数列，则下列结论仍能成立．
∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴aan＋n 1＝n＋n 1，即 an＋1＝n＋n 1an，
等比数列课件 2
① ②
2 将 a1＝ 代入①得 2q2－5q＋2＝0， q
1 解得 q＝2 或 q＝ . 2 a1＝4， 或 1 q＝2. 当 a1＝1，q＝2 时，an＝2n－1； 1 当 a1＝4，q＝ 时，an＝23－n. 2
a ＝1， 1 由②得 q＝2；
课堂小结 1．等比数列的判断或证明 an＋1 (1)利用定义： a ＝q (与 n 无关的常数)． n (2)利用等比中项：a2 ＋1＝anan＋2 (n∈N*)． n 2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连 续项不成等比数列来证明，即存在 an0 ，an0 1， 2 an0 2 ，使 a n0 1 ≠ an ·an0 2 ，也可以用反证法．
解 由题意可列关系式： a ＋a q＋a q2＝168 ① 1 1 1 a1q(1－q)(1＋q＋q2)＝42 ② 42 1 1 ②÷ ①得：q(1－q)＝168＝4，∴q＝2， 168×4 168 ∴a1＝ ＝ 7 ＝96. 1 12 1＋ ＋2 2 1 5 又∵a6＝a1q ＝96× 5＝3， 2 ∴a5，a7 的等比中项为 3.
三、等比数列的判断与证明 1 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ (an－1) 3 (n∈N*)． (1)求 a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列． 1 1 (1)解 由 S1＝ (a1－1)，得 a1＝ (a1－1)， 3 3 1 1 ∴a1＝－2.又 S2＝3(a2－1)， 1 1 即 a1＋a2＝3(a2－1)，得 a2＝4.
自主探究 首项为 a1，公比为 q 的等比数列在各条件下的单调性 如下表：
a1
a1>0 q>1
2等比数列求和公式
2等比数列求和公式在我们的数学世界里，等比数列求和公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多有趣问题的大门。
先来说说什么是等比数列。
比如说，有这么一个数列：1，2，4，8，16…… 每一项与前一项的比值都相等，在这里比值是 2 ，这就是等比数列。
那等比数列求和公式到底是啥呢？它是：当公比 q 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn = a1×(1 - q^n) / (1 - q) 。
这里的 a1 是数列的首项，q 是公比，n 是项数。
咱们来举个例子感受一下。
比如说有一个等比数列 2，4，8，16，32 。
首项 a1 就是 2 ，公比 q 是 2 ，咱们要算前 5 项的和。
根据公式，Sn = 2×(1 - 2^5) / (1 - 2) 。
算一下，1 - 2^5 = 1 - 32 = -31 ，1 - 2 = -1 ，所以 Sn = 2×(-31) / (-1) = 62 。
是不是还挺神奇的？我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙特别较真儿。
他一直问我：“老师，这公式咋来的呀？为啥就这么算呀？”我就给他一步一步地推导。
先从最简单的两项开始，设等比数列前两项是 a1，a2 ，和就是 a1 + a2 ，因为 a2 = a1×q ，所以和就是 a1 + a1×q = a1×(1 + q) 。
然后再加上第三项 a3 ，a3 = a2×q = a1×q×q = a1×q^2 ，那前三项的和就是 a1 + a1×q + a1×q^2 = a1×(1 + q + q^2) 。
就这样一步一步地，让他看到了公式推导的过程，最后这小家伙终于恍然大悟，那表情，别提多有成就感了。
等比数列求和公式在生活中也有不少用处呢。
比如说，你去银行存钱，利息的计算可能就会用到等比数列求和。
假设每年的利率不变，第一年存了一笔钱，第二年本金和利息一起作为新的本金计算利息，这样年复一年，最终能拿到的钱就可以用等比数列求和来算。
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等比数列(2)
教学目标
（1）进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
（2）利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质；
教学重点，难点
（1）等比数列定义及通项公式的应用；
（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．
教学过程
一．问题情境
1．情境：在等比数列{}n a 中，（1）2519a a a =是否成立？2537a a a =是否成立？
（2）211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）是否成立？222(2)n n n a a a n -+=>是否成立？
2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？
三．建构数学
1．若{}n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．
2．若{}n a 为等比数列，则m n m n
a q a -=． 四．数学运用
例1． 已知{}n a 为等比数列，且578,2a a ==，该数列的各项都为正数，求{}n a 的通项公式。
例2．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,,a a aq q
．
例3、已知111,21,n n n a a a a +==+求
例4设关于x 的一元二次方程2110n n a x a x +-+=有两根,αβ，且满足6263ααββ-+=
（1）、试用n a 表示1n a +；
（2）、求证：23n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是等比数列；
（3）、当176a =时，求数列{}n a 的通项公式。
备选练习：
1．已知{}n a 是等比数列且0n a >，569a a =，
则3132310log log log a a a +++= ．
2．已知{}n a 是等比数列，47512a a ⋅=-，38124a a +=，且公比为整数，则10a = ．
3．已知在等比数列中，34a =-，654a =，则9a = ．
4． 以一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第n 个图形的边长和周长．。