63等比数列(2)详尽教案.doc

【课题】6. 3等比数列

【教学目标】

知识目标：

理解等比数列前n项和公式.

能力目标：

（1） 应用等比数列的前n项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能；

（2） 综合应用数列知识，解决生活中借、贷款等实际问题，培养学生处理数据技能和

分析解决问题的能力.

情感目标：

（1） 经历数列的前n项和公式的探索，增强学生的创新思维.

（2） 赞赏国际象棋的发明人数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化.

（3） 经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣。

【教学重点】

等比数列的前〃项和的公式.

【教学难点】

等比数列询5项和公式的推导.

【教学设计】

木节的主要内容是等比数列的前〃项和公式，等比数列应用举例•重点是等比数列的前

斤项和公式；难点是前料项和公式的推导、求等比数列的项数斤的问题及知识的简单实际 应用.

等比数列前兀项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并 学会应用.等比数列的通项公式与前〃项和公式中共涉及五个量：a】、q、丸、色、S”，只 要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.

教材中例6是已知®、％、S”求g、〃的例子.将等号两边化成同底数幕的形式，利用 指数相等來求解斤的方法是研究等比数列问题的常用方法.

【教学备品】

教学课件.

【课时安排】

3课吋.（135分钟）

【教学过程】

教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时

间

*揭示课题

6. 3等比数列.

*创设情境兴趣导入

【趣味数学问题】

从趣

传说国际象棋的发明人是卬度的人臣西萨•班•达依尔，舍

味小

罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏. 质疑 思考 故事 出发

国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？ ”，这位聪明的大

使得

臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1

学生

颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个榕子内放上

口热 的走

4颗麦粒，在第四个格了内放上8颗麦粒，…，依照后一格了

向知

内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的 识点

64个格了.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”.

国干-认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数

付给达依尔麦粒.

计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格

内放2粒，第二个格内放4粒，第四个格内放8粒，......，国

王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿來，也 引导 参与

兑现不了他对这位人臣的奖赏承诺. 分析 分析

这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？

各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，人

臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.

10

*动脑思考探索新知 总结 思考

下面来研究求等比数列前刃项和的方法. 归纳 归纳

等比数列｛%｝的前〃项和为

S“ = ® + ① + …+ Q“ (1)

带领

由于a,^q = ,故将(1)式的两边同时乘以g,得

学生 总结 qSn = a2+a3+aA+an + an+「 (2) 仔细

理解 问题 得到 教 学 教师 学生 教学 时

过 程 行为 行为 意图 间

用(1)式的两边分别减去⑵式的两边，得 分析

讲解 记忆 等比 数列

（1 一 g） s” = Q] - 色+1 =坷 _吗• g"=坷（1 _ g"）・（3） 关键

通项

当q H I时，由(3)式得等到数列｛%｝的前〃项和公式 词语

公式

S”/d"）（E）. （6.7）

i-g

知道了等比数列｛r/J'P的⑷、n和q(gHl),,利用公式

(6.7)町以直接计算S”.

由于

a贰=色+1 =呗

因此公式(6.7)还可以写成

Sn = 1 ”（g H1） . （6.8）

1一9

当q = l吋，等比数列的各项都相等，此时它的前/7项和为

Sn =加]. （6.9）

【想一想】

在等比数列｛色｝中，知道了⑷、q、心 色、S”五个量中 引导 参与 分析 引导 启发

的三个量，就可以求出其余的两个量•针对不同情况，应该分 分析

学生 思考 35

别采用什么样的计算方法？

求解

【注意】

在求等比数列的前粒项和时，一定耍判断公比9是否为1・

*巩固知识典型例题

例5写出等比数列 说明

强调 观察

1,-3,9,-27,…

的前«项和公式并求出数列的前8项的和.

思考 通过

教 过 学 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时

间

-3 引领 例题

解 因为 ax -\.q - - =-3,所以等比数列的前料项和

1 进一

公式为

主动 步领

讲解 求解 会

lx[l-(_3门 1 —(一3)〃 说明

— — 9

” 1 - (-3) 4

故 -1 - (-3/ _ 5 - 4 _ -1640.

*例 9 4

6 一个等比数列的首项为末项为一，各项的和 45

211 4 9

观察 注意

为， 36 求数列的公比并判断数列是由儿项组成. 引领

观察

a 4 分析 学生

解 设该数列由八项纽成, 其公比为q,则q = — , a =二,

4 9

思考 是否

c 211 理解

一 :: • 强调 求解

36 知识

含义

于是 占

9 4

211_4~9^

36 \-q '

领会

即

/9 4 )

211(l — g) = 36 —— -q，

14 9丿

解得 2 q = - •

3

9⑴心

所以数列的通项公式为仏二

4(3丿

于是 4_9(2厂

9 4厉丿

4

即 _ — ____ 9

(3丿(3丿

解得 n = 5 •

9

故数列的公比为兰，该数列共冇5项.

3 教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时

间

【注意】

例6中求项数n时，将等号两边化成同底数拆的形式，利

思考 反复

用指数相等来求解.这种方法是研究等比数列问题的常用方 说明 强调

法.

50

现在我们看一看本节趣味数学内容屮，国王为什么不能兑

现他对大臣的奖赏承诺？

国干-承诺奖赏的麦粒数为

Sg -唱一刃）_ 2“ 1 〜1.84 x 10® ,

64 1-2

据测量，一般麦子的千粒重约为40g ,则这些麦子的总质

量约为7.36xl01?g,约合7360多亿吨.这是大的让人无法想

彖的数.若把这些麦粒排成4m高、10m宽的麦墙，它将冇3X

10s km长，这是地球到太阳距离的80倍.，国王怎么能兑现他

对大臣的奖赏承诺呢！

*运用知识强化练习

练习6.3.3 启发 思考 可以

引导 了解 交给

[ 7 4 R

1.求等比数列丄,…的前10项的和•

学生

9 9 9 9 提问 动手 自我

2.已知等比数列｛an｝的公比为2, 54 = 1 ,求凡・ 巡视 求解 发现 60

3.已知等比数列仏讣的公比为1 , S4 = 20 ,求坷・ 指导

归纳

★巩固知识典型例题

说明 观察 通过

【趣味问题】 强调

例题

设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚

进一

度是多少？能否对折50次，为什么？ 引领 思考 步领

会

【小知识】

复利计息法：将前一期的木金与利息的和（简称本利和） 讲解 主动 教 学 教师 学生 教学 时

过 程 行为 行为 意图 间

作为后一期的本金来计算利息的方法.俗称“利滚利”.

例7银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小 说明 求解 注意

观察

学生

王从银行货款20万元,贷款期限为5年，年利率为5.76%.

是否

（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少

钱？（精确到0.0000（）1万元）; 引领

分析 观察 理解

知识

占 45

（2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额

度平均偿还本息），那么小王每年偿还银行多少钱.

解 （1）货款第一年后的木利和为 强调 含义 思考

求解

反复

20 + 20 X5.76% = 20(1 + 0.0576) = 1.0576 x 20, 强调

第二年后的本利和为

说明 领会

1.0576x20+1.0576x20x5.76% = 1.05762 x20,

依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比

数列

思考

求解

1.0576x20, 1.05762X20, 1.05763 x20, ••・

其通项公式为

an = 1.0576 x 20 x 1.0576"T = 1.0045" x 20

故5年后一•次性还款小王应还款数为

a5 = 1.05765 x 20 = 26.482886 (万元).

50

（2）设小王每次应偿还银行。万元，则

第1次还款d万元，己还款数为d （万元）；

第2次还款d万元，已还款数为d + a（l + 5.76%）（万元）；

第 3 次还款 a 万元，已还款数为

a + a(l + 5.76%) + a(l+5.76%)2 (万元)；

笫 4 次还款 a 万元，已还款数为