2012年考研(数学一)真题试卷(题后含答案及解析)
2012真题数一全
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析：211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线. 函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线.无斜渐近线，故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)f '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一、由导数定义知：200()(0)(1)(2)()0(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→-----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选A.方法二、22()(1)[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx f x e e e n e e e n '''=---+---L L 22[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx e e e n e e e n '=--+---L L20(0)(12)(1)(1)[(2)()]x x nx x f n e e e n =''=--+---L L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选（A ）.(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在【答案】B【考点】全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★ 【详解】 解析：若2200(,)limx y f x y x y →→+存在，且(,)f x y 在(0,0)连续，则00(0,0)lim (,)0x y f f x y →→==，所以22000(,)limx x y y f x y x y →→→→=+则必有00x y →→=因此(,)f x y 在(0,0)可微.故选（B ）.（A ）不正确，如(,)f x y x y =+满足条件，但(,)f x y 在(0,0)不存在偏导数，故不可微.（C ）不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但0limx y xx y→→+不存在.（D ）也不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但2200limx y xx y →→+不存在.(4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I ，则有( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】 解析：210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】 解析：（A ）1231123001,,011c c c c ααα=-=-不恒为零， （B ）1241124001,,011c c c c ααα-==不恒为零，（C ）13412311,,0110c c c ααα-=-=， （D ）23443342342341101111,,111100c c c c c c c c c c ααα--=-==-=-不恒为零，所以134,,ααα必线性相关.故选（C ）.(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：12100110(1)001Q P PE ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-100011001)1(112E故111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选B. (7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 【答案】A【考点】常见随机变量的分布 【难易度】★★★ 【详解】解析：依题设知X ，Y 的概率密度分别为,0,()0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 44,0,()0,0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 又X 与Y 相互独立，从而X 与Y 的联合概率密度为(4)4,0,0,(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>=⋅=⎨⎩其他 于是{}(4)(4)01(,)445x y x y x Dx yP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy +∞+∞-+-+<<====⎰⎰⎰⎰⎰⎰故选A.(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1- 【答案】D【考点】相关系数的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：设其中一段木棒长度为X ，另一段木棒长度为Y ，显然1X Y +=，即1X Y =-，Y 与X 之间有明显的线性关系，从而1XY ρ=-.故选D.二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=，则()f x =【答案】xe【考点】二阶常系数齐次线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：由()()2()0f x f x f x '''+-= 、()()2x f x f x e ''+= 得()3()2xf x f x e '-=-， 两边乘以3xe -得32[()]2xx ef x e --'=-积分得32()xx ef x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+代入()()2x f x f x e ''+=得3392x x x x xe Ce e Ce e +++=0C ⇒=，于是()xf x e =.(10)2x =⎰【答案】2π 【考点】定积分的换元积分法 【难易度】★★★ 【详解】解析：22111(x =x t x t -==-+⎰⎰⎰111022ππ--=+=+=⎰⎰，其中1-⎰是半单位圆的面积.(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=【答案】{}1,1,1 【考点】梯度 【难易度】★★★ 【详解】 解析：记zu xy y=+，则 uy x∂=∂，2u z x y y ∂=-∂，1u z y ∂=∂(2,1,1)(2,1,1)|(,,)|(1,1,1)f f fgradu x y z∂∂∂⇒==∂∂∂ 因此(2,1,1)()|(1,1,1)zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★ 【详解】解析：∑在xy 平面上的投影区域为{}(,)01,01xy D x y x y x =≤≤≤≤-由∑的方程1z x y =--1zx∂⇒=-∂，1z y ∂=-∂1122200xyxyx D D y ds y y dxdy dx y dy -∑===⎰⎰⎰⎰⎰1134001(1)[(1)]4x dx x =-=--= (13)设α为3维单位列向量，E 为3阶单位矩阵，则矩阵TE αα-的秩为 【答案】2【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：设123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有2221231T a a a αα=++=，又211121322123212232331323(,,)T a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，易见秩()1r A =.那么3222232123()E A a a a λλλλλ-=-++=-，所以矩阵A 的特征值为1，0，0，从而E A -的特征值为0，1，1.又因E A -为对称矩阵，从而011E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦:，故()2T r E αα-=.(14)设A ,B ,C 是随机事件，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 【答案】34【考点】条件概率 【难易度】★★ 【详解】解析：由于A 与C 互不相容，所以()0P ABC =.于是1()()()()32()11()1()4()13P ABC P AB P ABC P AB P AB C P C P C P C -=====---.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】证明：令()21ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，()211112lnsin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x ++⎛⎫'=++--=+-- ⎪-+---⎝⎭， 222222222(1)44()cos 1cos 11(1)(1)x x f x x x x x x -+''=+--=-----，因为)1,1(-∈x ，故2211(1)x >-，又21cos <+x ，所以()0f x ''>，)(x f '单调递增；又0)0(='f ，所以当)0,1(-∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单点递减；当)1,0(∈x ，0)(>'x f ，)(x f 单点递增； 所以)1,1(-∈x 时0)0()(=≥f x f ，即不等式21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-成立.(16)求函数222(,)x y f x y xe+-=的极值.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★★ 【详解】解析：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y f x y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数. 【考点】幂级数的收敛域、和函数【难易度】★★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）收敛域22(1)122222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n x a x n n n n R x x n n a x n n n xn ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。
2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析-推荐下载
（D）若
（4）设 Ik
（A） I1 I2 I3
（5）设 1
f
(x,
则线性相关的向量组为
（A）1,2 ,3
y)
在 (0, 0)
存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
存在，则
处可微，则极限 lim x0 y0
k ex2 sin xdx(k 1, 2, 3) ，则有 ______
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
（A）0
y
x2 x x2 1
渐进线的条数 ________
（B）1
（2）设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f (0) ________
（16）（本题满分 10 分）
f (x, y) xe
求
1 x
x2 y2
2
的极值
（17）（本题满分 10 分）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域及和函数
n0 2n 1
（18）（本题满分 10 分）
已知曲线
L
:
x f (t)
y
cos
t
(0 t
P 1
AP
2 0 0
0 0
1 0
2
（C）
5
0 2
（C） 1 2
P( AB)
1
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。
2012考研数一真题解析
【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
8 第 8 页，共 21 页
梦想不会辜负每一个努力的人
曲面积分公式：
x 1
的间断点只有
x
1 .
由于 lim y ，故 x 1是垂直渐近线. x1
（而 lim y lim x(x 1) 1 ，故 x 1不是渐近线）. x1 x1 (x 1)(x 1) 2
1 1
又 lim y lim x 1，故 y 1是水平渐近线.（无斜渐近线）
x
x 1
1 x2
综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.
lim
x0
f (x, y) x2 y2
lim x0
f
(x, y) f (0, 0) x2 y2
A
y0
y0
由极限与无穷小的关系
f (x, y) f (0, 0) x2 y2
A
o(1)
x y
0 0
，
其中 o(1) 为无穷小. f (x, y) f (0, 0) A(x2 y2) (x2 y2)o(1)
【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
b
c
b
设 a c b ，则 f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a
a
c
在本题中，
I1
0
ex2
sin
xdx
，
I2
2 0
ex2
sin
xdx ，
I3
3 ex2 sin xdx
0
I2 I1
y0
可微，但 lim x0
2012年考研高数一真题及解析
4n 2 4n 3 2 n x 2n 2n . x ( 2 n 1 ) x 2 2n 1 n 0 n 0 n 0 2n 1
由于
1 x2 x 2n 2 n 1 (1 x 1) = ( 2 n 1 ) x ( x ) ( ) (1 x 2 ) 2 1 x2 n 0 n 0
向量组线性相关的为 (A) 1 , 2 , 3 (B) （C）
1,2 ,4
(C) 1 , 3 , 4
1
(D)
2 ,3 ,4
1 0 0 (6) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为三阶可逆矩阵，且 P AP 0 1 0 ， P (1,2 ,3 ) ， 0 0 2
1 2
y( x 1)e ， B f xy
2
x2 y2 2
x( y 1)e ，C f yy
2
1 2
x2 y 2 2
……6 分
2 1 在点（1,0）处，由于 B AC 2e 0 ， A 2e
0，
……8 分
1 2
故 f (1,0) e
sin 2 tdt
0 2 0
……9 分 ……10 分
1 4
(19) （本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点 (0, 0) 沿圆周 x2 y2 2x 到点 (2, 0) ，再沿圆周 x2 y 2 4 到点 (0, 2) 的曲线段，计算曲线积分 I
3x
(A)
（B）
0 0 2
2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
与参数为 4 的指数分布，则 （A） (D)
2012考研数学一真题精心整理打印试卷版
2012考研数学一真题(精心整理打印试卷版)2012年考研数学一真题是考研数学中最具代表性的一年，以下是我为您整理的2012年考研数学一真题（含答案）。
一、选择题部分1.设函数f(x)连续，f(1)=0，f(2)=1。
则方程f(x)=0在[1,2]上至少有（）A. 0个解B. 1个解C. 2个解D. 3个解答案：B2.设数列{an}的通项公式为an = 2n + 3，则数列{an}的前n项和Sn = （）A. n(n + 1)B. n(n + 3)C. n(n + 5)D. n(n + 7)答案：B3.设函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值为（） A.0 B. 1 C. 3 D. 5答案：D4.设集合A = {x | x^2 - 4x + 3 > 0}，则A = （） A. (1,3) B. (-∞,1)∪(3,+∞) C. (1,3) D. (-∞,3)答案：A5.设a，b，c为非零实数且2a + b + c = 0，则方程ax^2 + bx + c = 0的一个根为（） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2答案：C二、填空题部分6.已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数。
若f(1) =1，f(2) = 2，f(3) = 3，则函数f(x)的最小值为______。
答案：-27.设集合A = {x | x^2 - x - 2 > 0}，则A = ______。
答案：(-∞, -1)∪(2, +∞)8.设集合A = {x | x^2 + 3x - 4 ≤ 0}，则A = ______。
答案：[-4, 1]9.设数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3，n为正整数。
则数列{an}的前n项和Sn = ______。
答案：2^(n+1) - 110.设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数。
2012年全国考研数学一真题
lim
f ( x, y) M ，可得 f (0, 0) 0 ， 1 | x|| y|
z f (x, y) ，则 f x'(0, 0) lim
在，
x 0
f (x, 0) f (0, 0) f (x, 0) | x | lim lim M 1不存 x 0 x 0 x | x | 0 x
（22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 X 、 Y 的概率分布为
X 0 1 2 （Ⅰ）求 PX 2Y （Ⅱ）求 Cov( X Y ,Y ) Y 0 1 0 2
1 4
0
1 4
0
1 3
0
1 12
1 12
第 5 页 共 17 页
（23）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立分别服从正态分布 N (,2) 与 N (,22) ，其中 是未知参数且
（15）（本题满分 10 分） 证明 x ln
1 x cos x 1 x 2 ， (1 x 1) 1 x 2
第 2 页 共 17 页
（16）（本题满分 10 分）
求函数 f (x, y) xe
x2 y2 2
的极值
（17）（本题满分 10 分） 求幂级数
4n2 4n 3 2 n 2n 1 x 的收敛域及和函数 n0
f y' (0, 0) 0 B ，
则
lim
0
z Ax By
lim
0
f (x ,y )
lim
0
f (x ,y ) (x ) 2 (y ) 2 lim M 20 0 2 2 (x) (y) 0 ( x)2 ( y)2
2012年考研数一真题及答案解析(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
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2012年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线渐近线的条数为( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：C
2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．
A．(－1)n－1(n－1)!
B．(－1)n(n－1)!
C．(－1)n－1n!
D．(－1)nn!
正确答案：A
3．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．
A． 
B． 
C． 
D． 
正确答案：B
4．设(k＝1，2，3)，则有( )．
A．I1＜I2＜13
B．I3＜I2＜I1
C．I2＜I3＜I1
D．I2＜I1＜I3
正确答案：D
5．设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3
B．α1，α2，α4
C．α1，α3，α4
D．α2，α3，α4
正确答案：C
6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．
A． 
B． 
C． 
D． 
正确答案：B
7．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P｜x＜y｜＝( )．
A．1／5
B．1／3
C．2／5
D．4／5
正确答案：A
8．将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )．A．1
B．1／2
C．﹣1／2
D．﹣1
正确答案：D
填空题
9．若函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2ex，则f(x)＝__________．
正确答案：齐次方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0的特征方程为r2＋r－2＝0，得特征根为r1＝1，r2＝－2，则有通解f(x)＝c1ex＋c2e－2x，代人方程fˊ(x)＋f(x)＝2ex得2c1ex－c2e－2x＝2ex，则c1＝1，c2＝0．因此f(x)＝ex．
10．
正确答案：根据题意，令t＝x－1，则本题用到奇函数在对称区间上积为零的结论．
11．
正确答案：根据题意，令将点(2，1，1)代入，上式＝(1，1，1)．
12．设∑＝｛(x，y，z)｜x＋y＋z＝1，x≥0，y≥0，z≥0｝，则y2dx＝________．
正确答案：其中D为∑投影在xOy平面上的区域，D＝｛(x，y)｜x≥0，y ≥0，x＋y≤1｝
13．设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E－XXT的秩为_________．
正确答案：根据题意设X＝(1，0，0)T，
14．设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝1／2，P（C）＝1／3，则P(AB｜C￣)＝________．
正确答案：
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．
正确答案：
16．
正确答案：
17．
正确答案：
18．已知曲线，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)＝0，fˊ(t)＞0，(0＜t ＜π／2)，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离值恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积．
正确答案：
19．已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2＋y2＝2x到点(2，0)，再沿圆周x2＋y2＝4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分
正确答案：
20．已知(1)计算行列式｜A｜．(2)当实数α为何值时，方程组Ax＝β有无穷多解，并求其通解．
正确答案：
21．已知，二次型f(x1，x2，x3)＝xT(ATA)x的秩为2．(1)求实数a的值；
(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
正确答案：
22．设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为(I)求P｛X＝2Y｝；(Ⅱ)求Cov(X－Y，Y)与ρXY．
正确答案：
23．设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，δ2)与N(μ，2δ2)，其中δ是未知参数且δ＞0．设Z＝X－Y (1)求x的概率密度fZ(z)；
(2)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体z的简单随机样本，求δ2的最大似然估计量；
(3)证明为δ2的无偏估计量．
正确答案：。