东南大学09-10-2医用高数期终试卷(A)
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东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）2010.01 课程名称 高等数学（五年制医） 考试学期 09-10-2 得分 适用专业 选学该课程学生 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟
一、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.设sin ,0
()1,0ax x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，在0x =处连续 ，则a = ； 2.若()sin f x x
''=，则()f x = ； 3.积分()2sin +d x x x x ππ-=⎰ ； 4.设z =d z = ； 5.改变积分次序后，2111d (,)d y y f x y x -=⎰⎰ ； 6.函数z =的间断点是 . 二、单选题(本题共4小题，每小题3分，共12分) 7. 当0→x 时，无穷小量1cos 2x -是22x 的 [ ] () A 高阶无穷小量； ()B 同阶但不等价的无穷小量； ()C 等价无穷小量； ()D 低阶无穷小量.
8.设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-,又知0a >则
)(A 2, 29a b ==-； )(
B 3, 2a b ==； [ ]
)(C 2, 3a b ==； )(D 以上都不对.
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9. 微分方程95cos 2y y x ''+=的通解是 [ ] ()A 3312e e cos2x x C C x -++； ()B 12cos2cos3sin3x C x C x ++；
()C ()312e sin 2x C C x x -++； ()D 12sin 2cos3sin3x C x C x ++.
10.设e ()()d x
x F x f t t -=⎰,则=')(x F [ ]
()A e (e )()x x f f x ----； ()B e (e )()x x f f x ---+；
()C e (e )()x x f f x ---； () D e (e )()x x f f x --+.
三、计算下列各题 (本题共3小题，每小题7分，共21分)
11. sin 2030sin d lim x x t t x →⎰
12.
设23e xy
u x y =-+，求22u x ∂∂.
13.设函数(,)z z x y =由方程23e 2x z z y -=+所确定，求3z z x y
∂∂+∂∂.
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四、计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，共21分） 14.
22e d 12e x x x x -⎰
15.101)d x ⎰
16.2
d d y D x
e x y -⎰⎰，其中D 是第一象限内由曲线224,9y x y x ==与1y =所围成的区域。
五、求下列微分方程的通解（本题共2小题，每小题7分，共14分） 17. 3
22211x x y y x x
'+=++， 18. 2331y y y x '''+-=+
共 4 页 第 4 页 六（19）（本题6分,留学生不做,其余同学做） 据统计，某医院急性腹痛病人中30%患急性阑尾炎；急性阑尾炎病人中70%体温高于37.5︒ C ，而非急性阑尾炎病人中只有40%体温高于37.5︒ C. 若某急性腹痛者体温高于37.5︒ C ，求他患急性阑尾炎的概率。
（19'）（本题6分,留学生做，其余同学不做）给定曲线2
1y x =，求（1）曲线在横坐标为0x 的点处的切线方程；（2）曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
七(20)（本题8分）设D 是由曲线e ,sin x
y y x ==与直线0,1x x ==所围成的平面图形，求（1）D 的面积；（2）该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积。
.。
东南大学高等数学(A)期末03-13试卷
f ( z) =
1 z ! 4z + 3
2
1< z < 3
Laurent
(cos x + 2 xy + 1)dx + ( x 2 ! y 2 + 3)dy
.
+! 0
"
1 dx 1 + x4
v( x, y, z) = { y3 ! z 3 , z 3 ! x3 , 2 z 3}
z = 1 + 1 ! x2 ! y 2
2
1< z ! 2 < 3
2 ydx + ( y 2 ! 6x)dy = 0
2 8 9
y!! + 4 y = 8 x " 4sin 2 x
y(0) = 0, y!(0) = 5
!
I = ## x2 dy " dz + y 2 dz " dx + ( z 3 + x)dx " dy
!
z = x2 + y 2 (0 ! z ! 1)
! n
!
"a x
k k =1
k +1
[0,1]
f ( x)
(f$ % &n'
n =1
!
"1#
2005
1+ 1! x2 x
A
"
1
0
dx "
f ( x, y)dy =
e z + z + xy = 3
M (2,1, 0) (2,1,1)
divA =
A = 3x 2 yz 2i + 4 xy 2 z 2 j + 2 xyz 3k
东南大学期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = x^3D. f(x) = -x2. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(x)的对称轴为：A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 33. 已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/5D. 1/74. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (x^2 + 1) / x = 1B. lim(x→0) (sinx) / x = 1C. lim(x→0) (1 - cosx) / x = 0D. lim(x→0) (e^x - 1) / x = 15. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，矩阵B = [[5, 6], [7, 8]]，则矩阵A与矩阵B的乘积为：A. [[19, 22], [27, 30]]B. [[15, 18], [21, 24]]C. [[23, 26], [31, 34]]D. [[25, 28], [33, 36]]二、填空题（每题5分，共25分）6. 设函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(x) = _______。
7. 设向量a = (2, 3, 4)，向量b = (1, -2, 3)，则向量a与向量b的叉积为_______。
8. 设函数f(x) = e^x，则f'(x) = _______。
9. 设矩阵A = [[2, 1], [3, 4]], 则矩阵A的行列式为 _______。
10. 设数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n =_______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
《医用高等数学》药学期终试卷A
徐 州 医 学 院2006-2007学年第一学期 2006级药学专业《医用高等数学》期终考试试卷（2006年12月19日）一、选择：（共8题，每题3分，总分共24分）1．下列极限运算正确的是：( )A ．e X Xx =+∞→1)1(lim B ．1sin lim=∞→x x x C ．11sin lim =⋅∞→x x x D ．e x xx =+→)11(lim 02．已知0x x =是()x f y =的一个拐点，则下列说法正确的是： ( ) A ．()00"=x fB ．()0'=x fC ．()x f " 在0x 点左右两侧符号相反D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内的一阶导数(),0'>x f 二阶导数(),0">x f 则()x f 在此曲间内( )A ．单调减小，曲线为凹的；B ．单调减小，曲线为凸的；C ．单调增大，曲线为凹的；D ．单调增大，曲线为凸的 4．若f(x)的一个原函数为-cosx，则⎰dx x f )('( )A ．cosx ＋cB ．—cosx ＋cC ．—sinx ＋cD ．sinx ＋c5．22a x ＋122=by ()0≥y 绕y 轴旋转所得的旋转体的体积V ：（ ）A ．b a 234π B ．234ab π C ．b a 232π D ．232ab π6．设c c b b a a 321321321c b a D =，则下面四个等式中正确的是 ( )A ．212133131232321c c bb ac c b b a c c b b a D ++= B ．212133131232321c c a ab c c a ab c c a a b D ++=C ．212133131232321c c a a b c c a a b c c a a b D +-= D ．212133131232321b b a ac b b a a c b b a a c D +-=7．微分方程y xy y =-'的通解为( )A ．xCxe y = B ．xx C y 1-+= C ．C x y +-=2ln D ．x x Ce y 1-=8．下列微分方程中阶数最高的是：（ ）A ．0'2''=-y y B ．()()0100"2050'100=-+y y y C ．()()2223=-+u u uD ．0"2'3=+-y y y y y二、填空题：（共6题，每题3分，总分18分）9．积分dx xα11⎰∞+是收敛的，则α的取值范围_____________ 10．函数f(x)=(x-2)5+4（x+1）的拐点是______________________11．z=eyx cos +在(0，2π)处的全微分，dz=______________ 12．dx dy ＋ycotx= cscx 满足y(2π)=1的特解：______________13．微分方程y "+203'=-y y ,则满足y(0)=4,'y (0)=0的特解为____________________14．y=3229x -在[-3,3]上的平均值为：_________________三、解答题：15．设)0()0()0()1ln(sin )(>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x x bx ax x x f ， 在定义域连续，求a 及b 的值。
09-10高数(二)期终考试A卷答案
上海应用技术学院2009—2010学年第二学期 《高等数学（工）2》期（终）试卷A 答案及评分标准一、单项选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分） 1、D ；2、A ；3、C ；4、A ；5、B ；6、C ；7、B 。
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1、0,⎛- ⎝；2、-0.2；3、34π；4、1xe y +；5、43120x y z -+-=；6、0。
三、计算题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1、求原点)0,0,0(O 在直线L ：471352-=-=+z y x 上的投影。
解：过点)0,0,0(O 作垂直于已知直线的平面π：045=++z y x ……………………（2分） 将直线的参数方程25-=t x ，3+=t y ，74+=t z 代入平面方程得0)74(4)3()25(5=++++-t t t ，解得21-=t ，………………………………………（4分）直线与平面的交点⎪⎭⎫⎝⎛-5,25,29即为原点在直线上的投影点，……………………………（6分） 2、设(,)z z x y =是由方程x z xyz =所确定的隐函数，求dz 。
解：设(,,)xF x y z z xyz =-，…………………………….…………………..……….（1分）ln x x F z z yz =-，y F xz =-， 1x z F xz xy -=-，1ln xx z yz z z xxzxy-∂-=∂-，…..………..（3分）1x z xz yxzxy-∂=∂-，…..………..………..………..………..………..………..………..……（5分）11ln xx x yz z z xz dz dx dy xzxyxzxy---=+--…………………………….…………………...……（6分）3、设(,)(,)z f x y g u v =+，22u x y =-，v xy =，其中,f g 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂。
东南大学高等数学期中期末试卷
共19 页第1 页共 19 页 第 2 页4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x tt t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x xx . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .xln共 19 页 第 3 页04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=共 19 页 第 4 页四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分共 19 页 第 5 页()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f共 19 页 第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟4.下列结论正确的是 [ ]3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x共 19 页 第 7 页(A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()((D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx xx 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx x x5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。
东南大学数模200920102A卷附答案分析
共10页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期 09-10-2得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是： 。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正) 。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ( )A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； B.1.1 1.230.20000.40⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是 （ )A. 0.1CR <B. 0.1CI <C. 0.1CR >D.0.01CR <3. 模28倒数表中可能出现的数是 ( ) A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为 （ ）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有 （ ）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B. 泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=；C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D. A,B,C均正确三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
2010级医用高等数学期终试题(A卷)参考答案及评分标准
∆x →0
f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) =( B ∆x
C． [ f ( x0 )]′
D． − [ f ( x0 )]′
5. 设 y = e ax , A． e 6.
ax
则 y (n) = （ C
B． ae
ax
）
C． a e
n ax
D． nae
ax
设 F ( x) =
∫
0
- x2
f (t )dt , 则F ′( x) = D （
4.
π
∫
π
2 0
x.cos xdx
π
解： ∫
1 dx x + 3x + 2 1 dx (1分 ) =∫ ( x + 1)( x + 2 )
2
解：2 x ⋅ cos xdx = ∫ 2 xd sin x (1分 ) ∫
0 0
π
π
= =
x sin x
π
2 − 1(1分 )
2 0
+ cos x
2 0
(1分 )
一
二
三
四
五
六
七
八
总分 复核
阅卷人
----------------------------------密----------------------------------封--------------------------------线-----------------------------------
π
因此, 原方程的特解为： y = − cos x (1分 )
2. 求微分方程 y′ = e x+ y 的通解。
解 : 原方程可变形为， y′ = e x ⋅ e y 即: dy = e x ⋅ e y (1分 ) dx 1 分离变量有， y dy = e x dx (1分 ) e 1 两端积分： y dy = ∫ e x dx ∫e 即，-e− y = e x + c (1分 ) 两边同时取自然对数， 故原方程的通解为：y = − ln ( −e x − c ) (1分 )
09-10-2医用高数期中试卷
共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A A 卷）卷）2009.11课程名称 医用高等数学医用高等数学期中期中考试 考试学期 09-10-2得分 适用专业 43A 43A，，435435，，421选学该课程学生考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号 一 二 三 四 五 六 七得分一、单选题(本题共4小题，每小题3分，共12分)1. 设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则方程()0f x ¢=的实根个数为的实根个数为 【 】】()0A ； ()B 1； ()C 2； ()D 3. 2.设21()e d btx F x t =ò,则=¢)(x F 【【 】】 2121()e x A x ；21() e x B ； 2121 ()e x C x -； 21 () e x D -. 3. 当0®x 时，无穷小量11x +-是x 的 【【 】】 () A 高阶无穷小量；高阶无穷小量； ()B 同阶但不等价的无穷小量；同阶但不等价的无穷小量； ()C 等价无穷小量；等价无穷小量； ()D 低阶无穷小量.4. 曲线(1)e xy x -=-的拐点是的拐点是 【【 】】2()(2,e )A -； 3()(3,2e )B -； 2()(1,2e )C ---； )1,0)((-D .二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 5．极限21lim sinx x x®= ；6．函数xx xx y sin 12--=的间断点为的间断点为 ；；7．设()1sin xy x =+，则d x yp== ；； 8．曲线2()e x f x -=的凸区间是的凸区间是 ；；9．积分2sin d cos x xx x xpp-+=+ò ；10．积分11(1)d x x x -+=ò.共 4 页 第 2 页三、计算下列极限(本题共3小题，每题7分，共21分)11. .x x x x --+®11lim 0, 12.xx x x ÷÷øöççèæ-¥®313lim13．21cos(sin )lim 3x x x®-四、计算下列导数和微分(本题共3小题，每题7分，共21分) 14.设,11arctan -+=x xy ，求d d y x.pa aqa。
东南大学2009-2010学年高等数学A(期末)考试试题及答案
共 8 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学A 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分 ；2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ；3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ；4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==；5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ；6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 8 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y xz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂. 11．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12n nn x n∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 8 页 第 3 页三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。
东南大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷A卷
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）课 程 名 称 高等数学 A 期末 考试学期 06 - 0 7 - 3 得分 适 用 专 业 选学 A 的各专业 考试形 式 闭卷 考试时间长度 150 分钟(10330)1．已知曲面z xy 上一点M0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的法线垂直于平面x 3y z 9 0 ，则x 0， y 0，z 0；22 交换积分次序 1d xf ( x , y ) d y ；3 设r x , y , z , r ，则 d i v ； r 2 2C5.设幂级数 a n x n 的收敛半径为3 ，则幂级数 na n (x 1) n 1 的收敛区间为 ；n 0 n 16 设 f ( x ) e x，则 f ( 2 n )( 0 ) ；7. 设 f ( x ) ，其以2 为周期的F o u rie r 级数的和函数记为S ( x ) ， 则1 x , 0 xS ( 3 ) ；8.设正向圆周C : z 1 ，则 d z ；C9．函数 f ( z ) z c o s 的孤立奇点z 0 的类型是 （如为极点， 应指明是几级极z 点）， R e s f ( z ) , 0 ； 10 使二重积分 4 4 x2y2d 的值达到最大的平面闭区域D 为 .D( 2 8 16)n4 22 2 2x y z 0 , x 0c o s z 1 1 xzr3132n 1判断级数 n n 的敛散性.4 设正向闭曲线C ： x y 1 ，则曲线积分 x y d x xy d y ；．求幂级数 x n 1的收敛域与和函数.n 1将函数 f ( x ) x x 在( 1, 1] 上展开为以 2 为周期的F o u rie r 级数. 14 将函数 f ( z ) z 4 z 3在圆环域 1 3 内展开为L a u r e n t 级数.15(9)验证表达式 (c o s x 2 xy 1) d x ( x2y23) d y 为某一函数的全微分， 并求其原函数.16( 9 )利用留数计算反常积分0 4d x .17(10)已知流体的流速函数 v ( x , y , z ) y 3 z 3 , z 3 x 3 , 2 z 3 ，求该2 2 2 218( 8 ) 设函数 f C ( [ 0 , 1] ) ，且 0 f ( x ) 1 ，利用二重积分证明不等11f ( x ) 0f ( x ) d x1 f ( x ) 1 0f ( x ) d xz 式： d x 12 n n n 111 x12流体流过由上半球面z 1与锥面 z 所围立体表面的外侧的流量.06 - 07 - 3 AA(10330)1 、x 03 ， y 01 ， z 031 1 x 02 、 1 d xf ( x , y ) d y 1d y1f ( x , y ) d x 0d y1 y1 yf ( x , y ) d xr 2 2 ( 2 n )( 2 n ) !r n !7、S ( 3 ) 8、 d z 2 i 9、R e s f ( z ) , 0 10、 ( x , y ) x y 12 C z2 4 ( 2 8 16 )n na 3 n，b 4 2 4 n b n n 1 n 1 4 2n12 、记 a n， n 1lim n 1 2 ，R ，收敛区间为 , ，在收敛区间的 na n 2 2 2两端点处， 级数都发散， 故收敛域为 , 2 2(2)2 n n 1 1 2x 21 n1 n 1 n 12 n 1 n 1 1 2x 2P ( t )tn1 ，P (2 x ) ln (1 2 x ) 2 x ，S ( x )( 2 9 18 )ln (1 2 x ) (3 )1 2 x 213 、 a 0 2 0x d x 1 , a n 2 0x c o s n x d x 2 ( ( 1) n 1) ，(1+3)n 1b n2 0x s i n n x d x , n 1, 2 , (3 )2 2 c o s ( 2 n 1) x s in n x (2 )14 、2 z 63 1 1z 3C1 c o s z 12 121 4 12 ( 1)n 1f ( x ) , 1 x 1 2 n 1 ( 2 n 1) n 1 n 1 , x 1a 1 1 11 121 1 1 z n12 ( 1)n 11 t3 3 1 11 x 1( n )2 nn1 y222n 1nz24 z 3 2 z 3 z 1 2 z 1 6 zn 0 n 0 S ( x )x n 1 x ( 2 x ) n ( 2 x ) n 1P ( 2 x ) (3 )11、记 a n n n n n，则 li m n1 ，而 b n 收敛， 故 n n 收敛.(8 )3 、d i v 3 04 、 x y d x xy d y 05 、( 2 , 4 )6 、 f ( 0 )1 y92 22x ，所验证的表达式确是某一函数的全微分.x y(3采用凑微分法2 2 2 2= d ( s in x x x 2 y y 3 3 y ) d u ,故原函数为u s i n x x x 2 y y 3 3 y C .3 39110 1 x4d x211, e 4 R e s1 z4, e 4 (2+2)11i2 2 ( i 1) 2 2 (1 i ) 2 2 410V d S( y3 z3 ) d y d z( z3 x3 ) d z d x 2 z3 d x d y(2)S S6 z2 d v 6d4 c o s 2 s in d4 d 9 (3+3+2)8所证不等式等价于不等式：d x(1 f( x ) ) d xf( x ) d x，(2)而0 1 f( x ) 0 0 1 f( x ) 0d y (1 f( x ) ) d x d1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))4f(x)f(y)2D(1 f( x) ) (1 f( y ) )12122dd(f(x)f(y))d f(x)d x其中D [ 0 , 1] [ 0 , 1] (4)1 f( x )1 f( x ) 1 1 f( x ) 11f(y)11f(x)f(x)f(y)f(y)f(x)f(y)D(1 f( x) ) (1 f( y ) ) 2D( f( x) f( y ) ) (1 f( x) ) (1 f( y ) ) 1 1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))(f(x)f(y))D(1 f( x) ) (1 f( y ) )111 f( x ) 1 1i1i32 2 c o sd(2)0 1 f( y ) 0 2D1 f( x) 1 f( y )d x (1 f( x ) ) d x d x (1 f( y ) ) d yi i (2+2)+(1)(c o s x 2 xy 1) d x( x y3) d y (c o s x 1) d x( y3) d y 2 xy d x x d y( x y 3 ) (c o s x 2 xy1)。