偏微分方程的三类边界条件-Read

偏微分方程的三类边界条件：第一类边界条件(Drichlet 条件)：在边界上指定场函数的分布形式，即φφ=S第二类边界条件（Neumann 条件）：在边界上指定场函数沿边界外法线方向的偏导数，即：q nS=∂∂φ 或 q n z n y n x Sz y x =∂∂+∂∂+∂∂)(φφφ 其中x n 、y n 、z n 为边界外法向的方向余弦，q 为定义在边界上的已知函数。

第三类边界条件（Robbin 条件/混合边界条件）：在边界上指定场函数本身以及场函数沿边界外法线方向的偏导数的线性组合，即f n k h Sn=∂∂+)(φφ 其中022≠+n k h ，当h=0，n k q f =，为第二类边界条件；当0=n k 时，φh f =,为第一类边界条件。

有限元法主要用于求解偏微分方程。

由于偏微分方程在实际应用中很难获得解析解（用一个算式来表示的解），因而通常使用其得数值解（某些离散节点上的解）代替有限元分析的步骤：（详见《有限元方法概论》第三章）1． 将给定求解域（在我们的应用中可以将其认为是个空间区域）离散为一个预先设计的有限个单元（二维的单元通常为矩形或三角形，三维为立方体或四面体）的集合： 用有限元在给定域中划分有限元网格（网格由单元的顶点和边构成）；将结点（顶点）与单元编号；形成解此问题所需的几何性质。

2． 推导网格中所有典型单元的单元方程式：对典型单元建立给定微分方程的变分方程式；假定因变量u 具有以下形式：∑==ni ii a u 1ϕ，并将其代入前面的变分方程式，获得如下单元方程式：[]{}{}eeeF u k=；推导单元插值函数，并计算单元矩阵。

其中单元近似函数的推导是先假设)()()(x c x u e iii ϕ∑=，然后将此式代入单元边界条件中（假设场函数满足结点上的场函数/场函数梯度值），求出i c 用边界结点的场函数/场函数的梯度表示的表达式，再将i c 的表达式代回u(x)的表达式，对节点上场函数的系数进行归并，获得以节点上场函数)(e i u /梯度值)(e i p 为未知系数，)(e iu的系数为)(e iϕ的一个方程，此方程即为单元方程。

)(e i ϕ为单元插值函数，∑=M i e i e i u1)()(ϕ为单元内场函数的近似表达式。

3． 将单元方程式集合起来，获得整个问题的方程式：法1：通过建立单元节点与整体节点之间的关系，将单元方程中的单元节点全部用整体节点表示，并通过补0的方式，将单位方程扩充为整体形式（扩充到系统方程的维数）。

最后将经过扩充的单位方程的整体形式相加，最终获得整体方程。

法2：[]{})(1)()(e i Ne e i eu u Iδδ∑=＝0， （1）其中{}[]{}{}{})()()()()()(21)(e Tii e Ti e i e F u u K u u I e e e -=（2）将（2）式代入（1）式得：0)(111)()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑∑===e i ne Mi M j e i e i ij u F u k δ 利用单元节点与整体节点的关系将单元节点写为整体节点以及i U δ的系数应全为0（因为变分可是任意值）即可推出系统方程。

4． 引入问题的边界条件：系统方程中的未知数一般有两种：一种是节点处的场函数值（即i U ），另一类是节点处场函数的梯度值（即e i p ）。

如不通过某种方法消去一些未知数，则系统方程不可解。

第一类未知数可通过边界条件消去几个，第二类未知数一般只有边界节点处未知，中间节点处一般可由物理意义推出），如此系统方程可解。

5． 解系统方程。

6． 结果的后处理：当已经通过系统方程解出了各节点处场函数的值与场函数的梯度值之后，我们可通过单元内场函数的近似函数推出单元内任意一点的场函数表达式。

梯度定理Fdsn z n j n i Fds n dxdydz z F z y F j x F i Fdxdydz dxdydz F grad z y x )()()(++==∂∂+∂∂+∂∂=∇=⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΩΩΩ散度定理dsG n G n G n Gds n dxdydz z G y G x G Gdxdydz dxdydz G div z z y y x x z y x )()()(++=⋅=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΩΩΩ 其中n 表示区域Ω的外表面Γ上的外法向单位矢量，),cos(n x n x ＝，),cos(n y n y＝，),cos(n z n z ＝推论⎰⎰⎰ΩΩΓ+∇-=∇FGds n Fdxdydz G Gdxdydz F)(）（Gds nFGdxdydz F Gdxdydz F ⎰⎰⎰ΩΩΓ∂∂-∇⋅∇=∇-)(2其中zn y n x n n n z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅=∂∂关于二次二维偏微分方程的解研究对象：0)()(0022211211=-+∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂∂∂f u a yu a x u a y y u a x u a x －变分公式推导：利用梯度定理以及等效积分法则可将上式化为：0)()()()(0021211211=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎰⎰ΓΩds vq dxdy vf vu a y ua x u a y v y u a x u a x v e e n(3)其中)()(21211211yua x u a n y u a x u a n q y x n ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=，y x n n 、为边界Γ上的法向量在x 、y 轴上的分量。

设j jj u u ϕ∑=其中i ϕ满足：ij j j i y x δϕ=),(1),(=∑j jii y xϕ将u 的表达式代入（3）式并将（3）式中的v 用i ϕ代替，得：)()()()()(10021211211=--⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎰⎰∑⎰ΓΩ=Ωds q dxdy f u dxdy f a y a x a y y a x a x i n i j nj i j i j j i j j i e e e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ或)()(1)(e i e j nj e ijF u K=∑= （4）其中⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=)(0021211211)()()(e dxdy f a y a x a y y a x a x Ki j i j j ij j i e ijϕϕϕϕϕϕϕϕϕ （5）ds q dxdy f F i n i e i e e ϕϕ⎰⎰ΓΩ+=)()()( （6）插值函数：插值函数与单元的性质有关，二维有限元分析中主要使用三角形单元或矩形单元。

三节点三角形单元的差值函数：设y c x c c y x u 321),(++=，则u 的表达式必须满足 i i i i i y c x c c y x u u 321),(++== （5） 其中i u 代表三角形的三个顶点，节点逆时针编号。

则可解出：[])()()(211221331132233211y x y x u y x y x u y x y x u A c e-+-+-=[])()()(212131323212y y u y y u y y u A c e-+-+-= [])()()(211233122311x x u x x u x x u A c e-+-+-=其中e A 为三角形的面积)()()(2122131132332y x y x y x y x y x y x A e -+-+-=将i c 的表达式代入（5）式，可得三节点三角形得插值函数为：)(21)(y x A i i i ee i γβαϕ++=i=1,2,3 （6） j k k j i y x y x -=α k j i y y -=β j k i x x -=γ k j i ≠≠三节点三角形单元的单元矩阵的计算： 可将（5）式写成四个基本矩阵[]αβS与矩阵[]S 之和：[][][][][][]S a S a S a S a S a K Te 002222122112121111)(++++=其中dxdy xx s j i ij∂∂∂∂=⎰Ωϕϕ11 d x d y y x s j i ij ∂∂∂∂=⎰Ωϕϕ12 d x d y y y s j i ij ∂∂∂∂=⎰Ωϕϕ22dxdy s j i ij ϕϕ⎰Ω=令dxdy f f e i e i⎰Ω=)()(ϕ ds q Q e i n e i ⎰Γ=)()(ϕ利用（6）式可计算出：j i ij A s ββ4111=j i ij A s γβ4112= j i ij A s γγ4122= []{y x As i j j i i j j i j i ij )()(41γαγαβαβααα++++= ⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∑∑∑===3131312222)(12))(9(12)9(121i i i j i i i j j i i i j i i y y A y x y x A x x A A γγβγβγββ 因为32A y x i i i =++γβα 则3)(fA f e i = 从而由三角形三顶点坐标可获得单元方程边界积分的计算：ds s q Q e i e n e i e )()()()()(ϕ⎰Γ= 当)(e Γ的一部分不与域的边界重合时，此积分为0。

当)(e Γ的一部分与域的边界重合时，在这部分)(e Γ上一般)(e n q 和)()(s e i ϕ为已知，此积分能够计算。

单位矩阵的组装：系统系数矩阵[]K 的元素∑=ee nmij kk )(（当i ，j 对应的系统节点处于同一个单元内时，n 、m 为系统节点i 、j 在单元e 内对应的单位节点。

）；0=ij k （当i 、j 不在一个单元内时） 系统方程的[]F 向量的第i 个分量∑=ee ni FF )((其中i 为第i 个系统节点，n 为第i 个系统节点在单元e 内所对应的单元节点号。

)漫射方程有限元求解的过程稳态漫射方程：()()()()()z y x S z z y x y z y x x z y x D z y x a ,,,,,,,,,,222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂-Φμ ()'31s a D μμ+=()g s s -=1'μμ边界条件：()()()()()0,,,,,,,,2,,=Φ∇⋅'+Φz y x z y x v D n n z y x A z y x ()Ω∂∈z y x ,,()()()R R n n z y x A -+='11,,,, n n n R 0636.06681.07099.04399.112+++-≈--测量方程：()()()()n n z y x A z y x z y x z y x v D z y x Q 'Φ=Φ∇⋅-=,,,,2,,,,),,(),,( ()Ω∂∈z y x ,,)(2∇-=D B a μ对漫射方程进行变分：()()()()()()()()⎰⎰ΩΩψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂ψ-Φψdxdydzz y x S z y x dxdydz z z y x y z y x x z y x z y x D z y x z y x a ,,,,,,,,,,,,,,,,222222μ))(21(∇⋅+=V AD G对上式分步积分得：()()()()()()()()()()()()()()⎰⎰⎰ΩΩ∂Ωψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂+∂Φ∂+∂Φ∂ψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+Φψdxdydzz y x S z y x dsn z z y x n y z y x n x z y x z y x D z z y x z z y x y z y x y z y x x z y x x z y x D z y x z y x z y x a ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,μ将边界条件带入上式得：()()()()()()()()()()()()()⎰⎰⎰ΩΩ∂Ωψ='Φψ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+∂Φ∂∂ψ∂+Φψdxdydzz y x S z y x dsn n z y x A z y x z y x dxdydz z z y x z z y x y z y x y z y x x z y x x z y x D z y x z y x a ,,,,,,,,2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,μ将上式写为()()()()[]()()()()()⎰⎰⎰ΩΩ∂Ωψ='Φψ+Φ∇⋅ψ∇+Φψdxdydzz y x S z y x dsn n z y x A z y x z y x dxdydz z y x z y x D z y x z y x a ,,,,,,,,2,,,,,,,,,,,,μ在一个单元中令()()∑=≈ΦTk k k z y x z y x 1,,,,ϕφ ()Ω∈z y x ,, 其中kφ为在单元的第k个节点上的Φ值，k ϕ为单元的第k 个插值函数。