第11章 稳定分析与稳定性设计
第11章 结构稳定性计算
l/2
两类稳定问题概述
稳定问题分类
1. 定义 结构中凡受压的杆件均为理想中心受压杆，这类结构体 系称为完善体系。图示的结构,在不考虑轴向变形时，均为完 善体系。
结构中受压的杆件或有初曲率，或荷载有偏心（例如为 压弯联合受力状态），这类结构体系称为非完善体系。
分支点失稳 分支点处既可在原始位置平衡，也可在偏 离后的新位置平衡，即平衡具有二重性。
7
Pe
极值点失稳的特点：非完善体系出现极值点失 具有初曲率的压杆 稳。平衡形式不出现分支现象，P-Δ曲线具有极值 5、极值点失稳：非完善体系： 点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构 承受偏心荷载的压杆 P 的变形过大,结构将不能正常使用. 对于工程结构两种失稳形式都是不允许的 P .因为 P (小挠度理论 ) 它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧 失承载能力,导致结构破坏.
对称问题可利用对称性做。
(静力法线性与非线性理论分析分支点失稳的步骤均为：
(1)令结构偏离初始平衡位置，产生可能的变形状态； (2)分析结构在可能变形状态下的受力，作隔离体受力 FUZHOU UNIVERSITY 图； (3)由平衡条件建立稳定分析的特征方程； (4)由特征方程在平衡两重性条件下求解临界荷载。 P96 11.2
极值点失稳 失稳前后变形性质 没有变化，力-位移 关系曲线存在极值 FUZHOU UNIVERSITY 点，其对应的荷载 即为临界荷载FPcr， FP达临界荷载FPcr 变形将迅速增长， 很快结构即告破坏。
2004年8月
§11.2
有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解） 确定体系变形形式(新的平衡形式)的 P P 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度. B 1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的 B´ λ 二重性，在原始平衡路径之外寻 找新的平衡 路径，确定分支点， EI=∞ 由此求临界荷载。
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
11电力系统的稳定性---陈立新
降低了线路电抗的标幺值
在电力网稳定工程中，此法经常使用。 例如：荆门电厂三期工程（2×600MW），电厂出线 端最高电压由200kV提高到500kV，从多方面提高系 统的稳定性！（工程44亿，申请近十年，如下图： 三期工程）
第六节 提高静态稳定性的措施
荆门电厂三期工程
（3）提高线路的额定电压等级
原理：线路UN 提高，线路折算到发电机侧的阻 抗降低。
G
G
T1
L
T2
.U=常
数
若UG=11kV,线路额定电压UN＝110kV,线路阻抗 100Ω 则折算到发电机侧的线路电抗值为1Ω ；
第六节 提高静态稳定性的措施
若提高输线路的额定电压到220KV，则折算到发电机侧 的线路电抗值为0.25Ω。
E
(b)
X
' d
X
T1
XL
XL
XT2
E
(c)
X d'
X T1
XL
XL
XT2
V
11-8 电力系统暂态稳定
1 X I X XT1 X L XT 2 2
' d
E
(b)
X
' d
X
T1
XL
XL
XT2
1 ' ( X d X T 1 )( X L X T 2 ) 2 X II X I X
V
E
(c)
X d'
X T1
XL
XL
XT2
' X III X d X T 1 X L X T 2
11-8 电力系统暂态稳定
三角形的稳定性
《三角形的稳定性》教材分析本节教材是初中数学八年级第11章第1节的内容，是初中数学的重要内容之一。
本节课是三角形有关概念后的一节独立内容，与前后知识联系不大，但在实际生活中应用广泛。
所以采用对比的方法使学生在亲身操作体验中认识“三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性以及生活中既要用到三角形稳定性，也要用到四边形的不稳定性”。
另外使学生获得如何把不稳定的四边形转化为稳定的方法，从而感受数学的价值。
教学目标1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
2.培养实事求是的学习作风和学习习惯。
3.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性。
4.实物演示，激发学习兴趣，活跃课堂气氛。
探究质疑，总结结果。
和学生共同探究三角形稳定性的实例，回答课前提出的疑惑。
5.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力。
通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力。
教学重难点：【教学重点】了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用【教学难点】准确使用三角形稳定性与生产生活之中教学过程：一、回顾旧知提出问题（设计说明：通过问题对已学知识进行回顾，以此来巩固基础知识的运用，并引入新课。
）问题1：如图，在4ABC中，AD±BC, BE=CE, AF是三角形的角平分线。
那么三角形的三边有什么关系?根据上述条件，你还能得到什么结论? 学生回答：三角形两边之和大于条三边，还可以得到AD是三角形BC 边问题2：在上的高，AE是BC边上的中线，NBAF=NCAF, S△ABE=S△ACEO我们的生产和生活中哪里用到了三角形?学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三角架等。
（教学说明：教师在利用问题让学生回顾所学知识的时候，不仅要让学生说出结论，还要说明得到结论的根据。
问题2的设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导而思考为什么要在这些地方用三角形。
第十一章 压杆稳定
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
人教版数学八年级上册11 三角形的稳定性(第三课时)课件
17
• 解：如图所示．
18
• 15．如图，是一个用六根竹条连接而成的六边形风筝骨架，考虑到骨 架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点相连， 设计出两种不同的连接方案．
4
• 分析：原门框是四边形，不具有稳定性，钉上斜拉的木条后，构成三 角形，三角形具有稳定性，所以门框也就固定了．
• 答案：三角形具有稳定性 • 点评：解决此类需要固定物体、不使物体变形的问题，通常是构造三
角形，运用三角形具有稳定性的原理来说明．
5
• 知识点2 三角形稳定性在实际生活中的应用 • 三角形的稳定性在生产生活中有着广泛的应用，如房屋的“人”字梁，
大桥的钢架都做成三角形． • 【典例2】如图所示，屋顶钢架常做成三角形状，这是利用了
____________.
• 分析：屋顶的钢架做成三角形结构，是因为屋顶要保持比较好的稳定 性，才能使房屋牢固，这利用了三角形的稳定性．
• 答案：三角形的稳定性
基础过关
• 1．【教材P8习题11.1T5变式】下列图形中具有稳定性的是
()
• A．A、F
D
• B．C、E• C．C、A• D．E、F10
• 6．如图，要使由五根木条钉成的五边形木框稳固， 至少还需钉几根木条？试画出示意图．
• 解：至少还需钉2根木条，如图所示．(画法不唯一)
能力提升
• 7．下列图形中不具有稳定性的是
()
11
C
12
• 8．下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是 ( )
第十一章 三角形
第11章 稳定分析与稳定性设计
第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
第11章 岩基应力及稳定性分析
v P
F
a
2
总荷载引起M点处表面的沉降量：
s 4P
(1 )
2
2
E
0
a R sin d
2 2
圆形基础底面中心(R=0)的沉降量s0：
s0 2 (1 E
2
)
pa
2 (1
2
)
Ea
P
圆形基础底面边缘(R=a)的沉降量sa：
sa
s0 sa
式中：a圆形荷载面的半径
arctan
a z
二
岩基上基础的沉降
岩基上基础的沉降主要是由于岩基内岩层承 载后出现的变形引起的。对于一般的中小工程 来说，沉降变形较小。但是，对于重型结构或 巨大结构来说，则产生较大变形。岩基的变形 有两方面的影响： （1）在绝对位移或下沉量直接使基础沉降， 改变了原设计水准的要求； （2）因岩基变形各点不一，造成了结构上各 点间的相对位移。
•计算沉降的基本公式
计算基础的沉降可用弹性理论解法。对于几何形状、材 料性质和荷载分布都是不均匀的基础，则用有限元法分 析其沉降量是比较准确的 。 按弹性理论求解各种基础的沉降，仍采用布辛涅斯 克的解来求。当半无限体表面上被作用有一垂直的集中 力P时，则在半无限体表面处(z=0)的沉降量s为
s P (1 )
上式没有考虑坝基与岩面间的粘结力，当考虑坝基与岩 面间的粘结力时，其安全系数可改写成：
Fs C 0 A f 0V H
C0 ——接触面上的粘结力或混凝土与岩石间的粘结力； A——底面积。 C0 与 f0 一般采用现场试验确定。
上述的安全系数分析方法只是一个粗略的分析。近年 来，考虑到坝基剪应力的变化幅度较大，因而将上式 改写为
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第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。
使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷，用F Pcr 表示。
11.2.3三种类型的压杆的不同临界状态不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。
理论分析与试验结果都表明，根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。
● 细长杆—发生弹性屈曲，当外加载荷Pcr P F F ≤时，不发出屈曲；当Pcr P F F >时，发生弹性屈曲，即当载荷除去后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。
细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-2 三类压杆不同的临界状态图11-2a 所示。
● 中长杆—发生弹塑性屈曲。
当外加载荷Pcr P F F >时，中长杆也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为这时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。
中长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系如图11-2b 所示。
● 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服。
粗短杆承受压缩载荷时，载荷与轴向变形关系曲线如图11-2c 所示。
显然，上述三种压杆的失效形式不同，临界载荷当然也各不相同。
11.2.4细长压杆的临界载荷一欧拉临界力公式1. 两端铰链支座的压杆临界载荷的一般表达式222Pcr πl EI n F = 当其中n =1时，所得到的就是具有实际意义的、最小的临界载荷计算公式22Pcr πl EI F = 上述二式中，E 为压杆材料的弹性模量；I 为压杆横截面的形心主惯性矩：如果两端在各个方向上的约束都相同， I 则为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式。
1. 不同刚性支承条件下的压杆不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。
对于细长杆，这些公式可以写成通用形式22Pcr )(πl EI F μ= 这一表达式称为欧拉公式。
其中μl 为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度图11-3不同支承条件下压杆的屈曲波形（图11-3）称为有效长度；μ为反映不同支承影响的系数，称为长度系数，可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。
例如，一端固定另一端自由的压杆，其微弯屈曲波形如图11-3a 所示，屈曲波形的正弦半波长度等于2l 。
这表明，一端固定、另一端自由、杆长为l 的压杆，其临界载荷相当于两端铰支、杆长为2l 压杆的临界载荷。
所以长度系数μ＝2。
又如，图11-3c 所示一端铰支、另一端固定压杆的屈曲波形，其正弦半波长度等于0.7l ，因而，临界载荷与两端铰支、长度为0.7l 的压杆相同。
再如，图11-3d 所示两端固定压杆的屈曲波形，其正弦半波长度等于0.5l ，因而，临界载荷与两端铰支、长度为0.5l 的压杆相同。
需要注意的是,上述临界载荷公式，只有在微弯曲状态下压杆仍然处于弹性状态时才是成立的。
11.2.5长细比的概念 三类不同压杆的判断1. 长细比的定义与概念前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。
这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即Pcr cr p F Aσσ=≤ 式中，cr σ称为临界应力；p σ为材料的比例极限。
对于某一压杆，当临界载荷F Pcr 尚未算出时，不能判断上式是否满足；当临界载荷算出后，如果上式不满足，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式，重新计算。
这些都会给实际设计带来不便。
能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲还是发生超过比例极限的非弹性屈曲？或者不发生屈曲而只发生强度失效？为了回答这一问题，需要引进长细比的概念。
长细比用λ表示，由下式确定iμl ＝λ 其中，i 为压杆横截面的惯性半径：AI i = 上述二式中：μ为反映不同支承影响的长度系数；l 为压杆的长度；i 是全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。
所以，长细比是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。
2. 三类不同压杆的区分根据长细比的大小可以将压杆分成三类，并且可以判断和预测三类压杆将发生不同形式的失效。
三类压杆是：细长杆当压杆的长细比λ大于或等于某个极限值λp 时P λλ≥压杆将发生弹性屈曲。
这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。
中长杆当压杆的长细比λ小于λp ，但大于或等于另一个极限值λs 时s P λλλ≥>压杆也会发生屈曲。
这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。
这种屈曲称为非弹性屈曲。
这类压杆称为中长杆。
粗短杆长细比λ小于极限值λs 时s λλ<压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。
这类压杆称为粗短杆。
3. 三类压杆的临界应力公式对于细长杆，根据临界应力公式和欧拉公式，有22cr πλσE=对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用的是直线公式λσb a －＝cr其中a 和b 为与材料有关的常数，单位为MPa 。
对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力，亦即s cr σσ＝将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类压杆的临界载荷。
几种常见材料a 、b 值4. 临界应力总图与s P λλ、值的确定根据三种压杆的临界应力表达式，在λσcr O 坐标系中可以作出λσ－cr 关系曲线，称为临界应力总图，如图11-4所示。
根据临界应力总图中所示之λσ－cr 关系，可以确定区分不同材料三类压杆的长细比极限值s P λλ、。
令细长杆的临界应力等于材料的比例极限(图11-4中的B 点)，得到 P 2P πσλE＝对于不同的材料，由于E 、σP 各不相同，λP 的数值亦不相同。
一旦给定E 、σP ，即可算得λP 。
例如，对于Q235钢，E ＝206 GPa 、σP ＝200 MPa ，由上式算得λP ＝101。
若令中长杆的临界应力等于屈服强度(图11-4中的A 点)，得到 ba s s σλ－＝ 例如，对于Q235钢，σs ＝235 MPa ， a ＝304 MPa ，b ＝1.12 MPa ，由上式可以算得λs ＝61.6。
图11-4 临界应力总图11.2.6压杆的稳定性设计1. 压杆稳定性设计内容稳定性设计一般包括：¢ 确定临界载荷当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，确定压杆的临界载荷。
¢ 稳定性安全校核当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。
2. 安全因素法与稳定性设计准则为了保证压杆具有足够的稳定性，设计中，必须使杆件所承受的实际压缩载荷（又称为工作载荷）小于杆件的临界载荷，并且具有一定的安全裕度。
压杆的稳定性设计一般采用安全因数法与稳定系数法。
本书只介绍安全因素法。
采用安全因数法时，稳定性设计准则一般可表示为[]st w n n ≥式中w n 为工作安全因数，由下式确定FA F F n cr Pcr w σ== 式中，F 为压杆的工作载荷；A 为压杆的横截面面积；[]st n 为规定的稳定安全因数。
在静载荷作用下，稳定安全因数应略高于强度安全因数。
这是因为实际压杆不可能是理想直杆，而是具有一定的初始缺陷（例如初曲率），压缩载荷也可能具有一定的偏心度。
这些因素都会使压杆的临界载荷降低。
对于钢材，取[]st n ＝1.8～3.0；对于铸铁，取[]st n ＝5.0～5.5；对于木材，取[]st n =2.8～3.2 。
3. 压杆稳定性设计过程根据上述设计准则，进行压杆的稳定性的设计，首先必须根据材料的弹性模量与比例极限E 、σP ，确定长细比的极限值s P λλ、；再根据压杆的长度l 、横截面的惯性矩I 和面积A ，以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λ；然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一类压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷；最后，计算压杆的工作安全因素，并验算是否满足稳定性设计准则。
对于简单结构，则需应用受力分析方法，首先确定哪些杆件承受压缩载荷，然后再按上述过程进行稳定性计算与设计。
11.3 学 习 建 议1. 正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性计算或稳定性设计。
例如，图11-5所示之某种仪器中的微型钢制圆轴，在室温下安装，这时轴既不沿轴向移动，也不承受轴向载荷，当温度升高时，轴和机架将同时因热膨胀而伸长，但二者材料的线膨胀系数不同，而且轴的线膨胀系数大于机架的线膨胀系数。