【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第一册：4-1-2+无理数指数幂及其运算性质
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
分数指数幂的意义 [填一填]
[答一答] 1． 可不可以理解为mn 个 a 相乘？它的实质是什么？
2．负数也有分数指数幂吗？
提示：在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数
指数幂，如 义．
＝4 －53就没有意
知识点二
有理数指数幂的运算性质
[填一填] (1)aras＝__a_r_＋_s___ (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝__a_r_s __ (a>0，r，s∈Q)；
＝3
解出 a 的值代入求值，则非常复杂．
[变式训练 3] 已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，求
的
值．
3 1.
6 a·
－a等于(
A
)
A．－ －a
B．－ a
C. －a
D. a
解析：由已知，得
a≤0，则3
6 a·
－a＝
故选 A.
＝－ －a，
2 ． 计 算 － 0.01 － 0.5 ＋ 0.2 －2 －(2 － 3) －1 ＋ (10 －3)0 的 结 果 为
∴原式＝19144－＋2400＝－3.
——本课须掌握的问题 根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运 算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用 由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
温馨 提 示
请 做：课时作业 27
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指数幂与常用乘法公式的综合问题 开讲啦 指数幂常与平方差、立方和(差)以及完全平方公 式相结合，达成公式变形．熟练运用公式变形，可使题目快 速巧妙地解决． [典例] 化简下列各式(x>0，y>0)：
( B) A．15
B．17
C．35
D．37
解析：原式＝ ＋1＝17.
＋15－2－(－1)－1＋1＝－10＋52＋1
解析：原式＝
＋4＝－23.
5．已知
＝4，求x2x＋＋xx－－21－＋2400的值．
解：∵
＝4，∴x＋2＋x－1＝16.
∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，
∴x2＋x－2＝194，
2一般情况下，指数的底数是大于 0 的，但具体题目要具 体对待，一定要注意底数的正负.
[变式训练 2] 计算或化简下列各式(其中式子中的字母均 为正数)．
类型三
条件因式的化简与求值
条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件 先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过
[分析] 善于根据题目特点利用平方差公式、立方差、立方 和公式化简．
[解]
[名师点评] 对于分式的化简求值，我们应着重掌握乘法公 式在分数指数幂中的应用，并能灵活运用乘法公式，熟记并灵活 使用下列常用公式：①a2－b2＝(a－b)(a＋b)；②a3－b3＝(a－b)(a2 ＋ab＋b2)；③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．
(3)(ab)r＝__a_rb_r__ (a>0，b>0，r∈Q)．
[答一答] 3．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定 a>0?
提示：(1)若 a＝0，∵0 的负数指数幂无意义， ∴(ab)r＝ar·br，当 r<0 时不成立，∴a≠0. (2)若 a<0，(ar)s＝ars 也不一定成立，
1
(x≠0)；
5 x
x22
[变式训练 1] 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
3 (1)
4 a·
a；
(2) a a a；
3 (3)
a2·
a3；
3 (4)(
a)2·
ab3.
类型二
利用有理数指数幂的性质化简与求值
[例 2] 计算下列各式：
1进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根式为 分数指数幂，化小数为分数.
∴a<0 时不成立．因此规定 a>0.
4．若 a∈R，α、β∈Q，(aα)β 一定等于(aβ)α 吗？试举例说明．
提示：不一定相等． 的．
是没有意义
知识点三
无理数指数幂
[填一填] 一般地，无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的
实数．有__理__数__指__数__幂__的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[答一答] 5．为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是 正数？
提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如 a＝－1， 则(－1)α 是 1 还是－1 就无法确定了，规定后就清楚了．
类型一
根式与分数指数幂的形式：
(1)
1 a
1a(a>0)；(2) 3
第四章
指数函数与对数函数
4．1 指数
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
[目标] 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意 义，掌握根式与分数指数幂的互化；2.掌握有理数指数幂的运算 性质．
[重点] 根式与分数指数幂的互化． [难点] 运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
新教材人教A版第四章4.1指数课件(23张)
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用
表示.两者也可以合并成
.
例如
【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作：
因为在实数的定义里，两个数的 偶次方根结果是非负数，即任意实数 的偶次方是非负数.
高中数学 必修第一册 RJ·A
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谢 谢！
类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根.
一般地，如果
，
那么 叫做 的n次方根，
正数有两个平方根，一个算术平 方根；0有一个平方根，一个算术平
其中， n＞1，且n∈N*
方根；负数没有平方根.
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n次方根的性质
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号 表示.例如
如
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的
量，只是形式不同
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了
，而
在实数范围内无意义.
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分数指数幂的运算性质
时运算 法则不一定成立. 研究的一般性要求：
， 此时法则一定成立.
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即时巩固
【1】求下列各式的值.
(1)
(2)
【解】(1) (2)
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即时巩固
【2】求用分数指数幂表示下列式子(
).
(1)
(2)
【解】(1) (2)
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
高中数学必修第一册人教A版4.1.2《无理指数幂及实数指数幂的运算》名师课件
039
174
928
765
705
736
探究新知
2的过剩近似值
1.5
1.42
1.415
1.414 3
1.414 22
1.414 214
1.414 213 6
1.414 213 57
1.414 213 563
5
2
的过剩近似值
11.180 339 89
9.829 635 328
9.750 851 808
2
1
3
+ 2
1
3
=
1
3
1
3
, =
+
， 2
1
1
+
+
1
3
= .
1
3
1
2 3
1
3
, =
1
3
=
1
1
3
1
3
1
，3
1
3
1
3
1
3
= = = ，
.
，∴
1
3
1
3
1
+ 3
1
3
= + + .
1
+ 3
=
1
3
+
1
3
+
1
3
方法归纳
指数幂等式的证明问题的解题思路与常用技巧
1
2
32
1
−2
所以 +
高中数学必修一课件：第四章无理数指数幂及其运算性质
课后巩固
1.212×3136等于( D ) A．8 C．17
B．9 D．72
2．化简[(－ 3)2]－12的值等于( C )
A．－
3 3
B. 3
3 C. 3
D．－ 3
3．(3－2x)－34中的x的取值范围是( C )
A．(－∞，＋∞)
B.－∞，32∪32，＋∞
C.－∞，32
D.32，＋∞
2
2)3－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
3 (3)2
a÷46
ab·3
b3.
【解析】 (1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13 ＋1＝64175.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－3ac. (3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a13－16b－16·3b32＝32a16b43.
例2 化简： (1)(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)； (2)(x－2－y－2)÷(x2－y2)． 【解析】 (1)原式＝（a－（a－a1）－·a（－1a）＋2 a－1）＝aa－＋aa－－11＝aa22－ ＋11. (2)原式＝x12－y12÷(x2－y2)＝y2x－2y2x2÷(x2－y2)＝－x21y2＝－x－2y－2.
1．实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同吗？ 答：相同．
2．下列运算是否正确？ (1)(3 2) 2＝9；
πππ (2)a 3 ·a 6 ＝a 2 ； (3)(－2)2 2＝(－2)2·(－2) 2. 答：(1)(2)正确，(3)不正确．
新教材高中数学必修第一册第4章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4．1.2无理数指数幂及其运算性质学习目标1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义．知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点二实数指数幂的运算性质1．a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈R)．预习小测自我检验1．计算(1 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝________.答案 22．下列等式一定成立的是________．(填序号)①⋅a;②1122a a-⋅＝0；③(a3)2＝a9;④11 136 2.a a a÷=答案④3．若100x＝25，则10－x＝________.答案1 5解析∵100x＝25，∴(10x)2＝52，∴10x＝5,10－x＝(10x)－1＝5－1＝1 5.4．计算：π0＋2－2×12124⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 答案 118一、运用指数幂运算公式化简求值 例1 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)()10.52332770.0272;1259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1;2⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦()1.a +解 (1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09. (2)原式＝⎛ ⎪ ⎪⎝⎭＝322⎛==⎪⎪⎝⎭(3)＋1＝1＋1＝2.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母都是正数)：(1)1318-⎛⎫⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6；(2)23a2÷(46a·b)·3b3.解 (1)原式＝()6611111(1)333424812223⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝314422++＋22×33＝112.(2)原式＝21133662243a a b b ⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133662132a b b --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 41323.2a b = 二、分数指数幂运算的综合应用 例2 (1)已知a m ＝4，a n ＝3，求a m －2n的值；(2)已知1122a a-+＝3，求下列各式的值．①a ＋a －1；②a 2＋a －2；③3322.a a -+解 (1)am －2n＝()()121222m mn n a a aa -⎡⎤⎢⎥⋅=⎢⎥⎣⎦12243⎛⎫= ⎪⎝⎭＝23. (2)①∵11223,a a-+=∴211229,a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭即a ＋2＋a －1＝9，∴a ＋a －1＝7. ②∵a ＋a －1＝7，∴(a ＋a －1)2＝49，即a 2＋2＋a －2＝49. ∴a 2＋a －2＝47. ③3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122(1)a a a a --⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＝3×(7－1)＝18.延伸探究在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值．解设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.所以y＝±215，即a2－a－2＝±21 5.反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．跟踪训练2已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求11221122x yx y-+的值．解211221122111111222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭12()2(),x y xyx y+-=-①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 又∵x<y，∴x－y＝－6 3.③将②③代入①，得111222112293 x yx y-==-+1．化简34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 答案 B解析33214432(5)5⎡⎤⎤=-==⎢⎥⎣⎦2．计算2332a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭·(－3a －1b )÷5434a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．7332b - D.7332b答案 A解析 原式＝143254363.24a b b a b----=-3．若10x ＝183-，10y ＝427，则102x －y ＝________. 答案 13解析 102x －y ＝(10x )2÷10y ＝2183-⎛⎫ ⎪⎝⎭÷427＝1344133.3-÷=4．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14152解析 由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.5．化简m π·4m π·3π4m- (m >0)＝________.答案 1解析 原式＝ππ3ππ3ππ244244m m mm-+-⋅⋅=＝m 0＝1.1．知识清单：(1)有理数指数幂的性质． (2)无理数指数幂的性质．2．方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．1．下列等式能够成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝17n ·m 7(m ≠n ，m ≠0) B.12(－3)4＝()133-C.4x 3＋y 3＝()34x y +(x ≥0，y ≥0)D.39＝133答案 D解析 因为⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m 7＝n 7·m －7，所以A 错； 因为12(－3)4＝1234＝133≠()133-，所以B 错；因为4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y )34，所以C 错； 因为39＝69＝133，所以D 正确．2．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5C ．2262n n －＋D.⎝⎛⎭⎫122n －7答案 D解析 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 3．2327＋1216-－⎝⎛⎭⎫12－2－23827-⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．3B ．6 C.14 D ．15答案 A解析 原式＝233(3)＋()1224-－(2－1)－2－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23323- ＝9＋4－1－4－⎝⎛⎭⎫23－2＝9＋14－4－94 ＝9－6＝3.4．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22yx a+等于( )A ．9＋ 5 B.452 C ．9 5 D ．6 5答案 C 解析 22y x a+＝(a x )2·(a y )12＝32·512＝9 5.5．设12a －12a -＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 C解析 将12a －12a -＝m 两边平方，得21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2， 即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a＝m 2＋2.6．设α，β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝________. 答案 8解析 由根与系数的关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫1432-＝(2－2)32-＝23＝8. 7________.答案 1解析＝1.8．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 答案 16解析 因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m ＝24＝16.9．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(－31134a b-)(42132a b -)÷(－21134a b -)；(3)(14x ＋14y )(14x －14y )(x ＋y )．解 (1)83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(14m )8(38n -)8＝m 2n －3＝m 2n3.(2)原式＝[－3×4÷(－2)]·121111333424a b-+--+＝6a 0b 0＝6.(3)原式＝[(14x)2－(14y )2](x ＋y )＝(12x －12y )(x ＋y ) ＝(x －y )(x ＋y ) ＝(x )2－(y )2＝x －y . 10．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)0.008 114-－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤81－0.25＋⎝⎛⎭⎫33813-12-－10×0.02713.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 (1)原式＝7×133－3×133×2－6×233-＋(3×133)14＝133－6×233-＋133＝2×133－2×3×233-＝2×133－2×133＝0.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫310414-－(3×1)－1×⎣⎡⎦⎤3－1＋⎝⎛⎭⎫32－112-－10×(0.33)13 ＝⎝⎛⎭⎫310－1－13×⎝⎛⎭⎫13＋2312-－10×0.3＝103－13－3＝0.11．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．50 B ．12 C ．20 D ．1 答案 D解析 ∵100a ＝5，∴102a ＝5，∴102a ＋b ＝102a ·10b ＝5×2＝10， ∴2a ＋b ＝1，故选D.12．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 D解析 a >1，b >0，∴a b >1，∴a －b ＝1a b ，∴a －b ∈(0,1)，∴a b －a －b >0， ∵a b ＋a －b ＝22，∴a 2b ＋a －2b ＝6， (a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4， ∴a b －a －b ＝2.故选D.13．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝(23)y ＋1＝23y ＋3， ∴x ＝3y ＋3，①又∵9y ＝3x －9＝(32)y ＝32y ， ∴x －9＝2y ，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.14．化简a23b a12-·3b÷⎝⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a 23- (a >0，b >0)的值为________．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 1566a b-解析 原式＝1321132a b a b 2-⋅⋅÷2131212a bb a ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭＝21321132a ba b-⋅⋅÷21131122a b-----⎛⎫⎪⎝⎭＝21113223a b+-÷233322a b---⎛⎫⎪⎝⎭＝7166a b÷(ab)＝7111 66 a b--＝15 66 a b-.15．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．a<b<c 答案 D解析ab＝424312＝(23×3)14(22×3)13＝314421332323⨯⨯＝3243113423--＝11211223＝⎝⎛⎭⎫23112<1，又a>0，b>0，∴a<b，b c ＝3126＝(22×3)13(2×3)12＝213311222323⨯⨯ ＝2132112323--＝161623＝1623⎛⎫⎪⎝⎭<1， 又b >0，c >0，∴b <c ， 综上有a <b <c ，故选D. 16．已知a ＝3，求1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a的值． 解1411a+＋1411a-＋1221a+＋41＋a＝1144211a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋1221a +＋41＋a ＝1221a-＋1221a+＋41＋a＝1122411a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件高一上学期数学人教A版
内容索引
活动二 实数指数幂的运算性质
思考3►►► 整数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂吗？
【解析】 整数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂． 实数指数幂的运算性质： (1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
内容索引
思考 2►►► 参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 2 3，说明它也是 一个确定的实数吗？ 【解析】无理数指数幂 2 3的含义：一串以 3的不足近似值为指数、 以 2 为底数的有理数指数幂和另一串同样以 3的过剩近似值为指数、以 2 为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故 2 3是一个确定的实数．
A.
－1a＝－
a a
B. π－e2＝π－e
C. (m13n－14)24＝mn68
D. (x ) ＝x
【解析】 对于 A，因为－1a>0，所以 a<0，则 －1a＝－ －a a，故 A
错误；对于 B，因为 π－e>0，所以 π－e2＝π－e，故 B 正确；对于 C，
(m13n－14)24＝(m13)24(n－13)24＝mn68，故 C 正确；对于 D，(x3－2 故 D 正确．故选 BCD.
内容索引
(1) 求值：12531＋295－21－287
2
3
－164；
【解析】 12513＋295－21－287
2
3
－164
＝5＋35－1－233
2
－23
＝5＋53－23－8＝－2.
4.1.2无理数指数幂课件高一数学人教A版必修第一册
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据 2 的不足近似值x和过剩近似值y，利用就计算工具相应的5x，5y的近
似值并填入表中，视察它们的变化趋势，你有什么发现？
2 的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.414 2 ...
5x的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2
已知
1
a2
1
a 2
5 (a>0),求下列各式的值:
(1) a a1; (2) a2 a2; (3) a2 a2.
1
1
解：（1）将 a2 a 2
5 的两边平方，得 a a1 2 5,
即 a a1 3.
（2）由 a a1 3 的两边平方，得 a2 a2 2 9,
ar s ars a 0, r, s R,
abr arbr a 0,b 0, r R.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 计算下列各式：
2
（1）(2 2 m 3 )3 2
解：（1）原式=
2
2 3
m 2
2 3 3
2
64m2
1
（2）0.0273
(6
1
)
1 2
3
256 4
(2
2
2)3 31 0= 2a3 (4a6b6 ) (3b2 )
3
14
a6b3
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳 指数幂运算的常用技能 1.有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； 2.负指数幂化为正指数幂的倒数； 3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要 尽可能用幂的情势表示，便于用指数幂的运算性质.
数学人教A版必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质共14张ppt
(1)(3 23 2 2)3 2；
(2)aπ6 a23π . aπ
((11))原原式式＝＝＝((33(3222×2×2×2232322332)23)32)3322＝22＝＝＝33636××6×22222 2＝2 916.
a a ＝＝22991166..
(2)原式＝aπ6
6π＋23+π (223－π)π原-＝式πa－＝π6 aπ6.-
3．计算： 20
1
2
2
1
86
___________．若10x
2
，10 y
3 ，则
3x y
10 2
________________．
解：原式=1+ 2 1 2 =0
3x-y
10 2
3x-y
=(10 )
1 2
=
10 3x
10y =
8
3
2
=
6
3
4．已知
a
1
23
，b
1 42
，求
a
1 2
b
ab2 (
， 又 x－y＝6，xy＝又16x，－y＝6，xy＝16， y＝1∴6，(x ＋y)2＝(x －∴y)2(＋x ＋4xyy)2＝＝6(2x －y)2＋4x
y
＝
62
∴(x ＋y)2＝(x＋－4y×)21＋6＝4x1y0＝0.62＋4×16＝100.
＋4当×∴1xx6＋＝＋y1y＝＝0011.00时或，x原＋∴式y＝x值＋－为y1＝100.1－062或×x4＋∴＝yx3＝＋，－y＝101.0 或 x＋y＝－10.
思考 1：2 2一定是实数吗？
提示：根据无理指数幂的定义 2 2是实数．
知识点二 实数指数幂的运算性质
人教A版高中数学必修14.1.2无理数指数幂及其运算性质课件
1
又x>0，故 x3
1
x3
7.
1234
9 4.若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝__4__.
∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝11002yx＝94.
1234
课时对点练
基础巩固
1.已知集合A＝{0,1,2， 3 }，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B等于
A.{0,1,2}
由题意，得第 n 次操作后溶液的浓度为1－12n，令12n<110，验证可得 n≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
反思感悟
指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算， 用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
跟踪训练2 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成 2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成__6_4_个.
3
所以 x 2
3
x2
2
5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
a3x＋a－3x 10.已知 a2x＝3，求 ax＋a－x 的值.
原式＝ax＋a－xaax2＋x－aa－xxa－x＋a－2x＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋13＝73.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2
π2
= π
2
2 2 2 2
=
π
2 2
2 2
1
= π2
=
π.
反思感悟
关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同. (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中 的根式可以保留直接运算.
高中数学(新人教A版)必修第一册：无理指数幂及其运算【精品课件】
…
指数幂的运算法则
由上可以看出：5 2 可以由 2 的不足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
2.指数幂的运算法则是：
(1) ar as ars (a 0, r, s R);
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
探究新知
无理数指数幂
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无
理数指数幂．
无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一 个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂
当堂达标
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
[答案]A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若成立， 需要满足 a≠1，故选 A.]
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
＝－1ac－1＝－ a .
3
3c
(3)原式＝2a
1 3
÷(4a
1 6
b
1 6
)·(3b
3 2
)＝1a
1 -1 36
-1
b6
3
·3b 2
＝3a
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
4
b3
)
[答案] (1)× (2)× (3)×
2
2．45等于( )