高等代数试题

向量空间

一 判断题

(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈

作成实数域

R

上的向量空间.

( ) .

(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈

作成实数域R 上 的向

量

空

间

.

( ).

(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间.

( ).

(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间.

( ).

(5)

121

{(,,

,)|1,}

n

n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间.

( ).

(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间.

( ).

(7)

11{(,0,

,0,)|,}

n n x x x x R ∈为n R 的子空间.

( ).

(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么

122334,,,αααααα++

是V

的一组基.

( ).

(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基.

( ).

(10)设12,,

,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由

12,,,n ααα

线性表示, 则12,,,n

ααα是

V

的一组基.

( ).

(11) 设12,,

,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ及

12,,

,n ααα等价, 则 12,,

,n

βββ也是

V

的一个基.

( ).

(12)

3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0).

( ).

(13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若

12dim dim dim s V V V n

++

+=, 则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(14)设12,,

,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++

+. 若121230,()0,

V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -++

+= 则12s V V V ++

+为直

和.

( ).

(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若

(){0},

i

j j i

V V ≠=∑ 则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若

(){0},,

i

j V V i j =≠则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(17) 设12,,

,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++

+. 零向量

表法是唯一的, 则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(18) 设12,,

,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映

射, 则

W

的一个基是

12(),(),,()

n f f f ααα.

( ).

(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 及W 同构, 那么

W

也是数域

F

上的

n

维向量空间.

( ).

(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类.

( ).

答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确

(8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)

正确 (16)错误 (17)正确

(18)正确 (19)正确 (20)错误

二 填空题

(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的

向量空间.

(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成

R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.

(3) 全体正集合R +,对加实数的法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成

R 上的向量空间.

则a R +∈的负向量为________.

(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

2

(,)(,)(,),

(1)(,)(,),2

a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+

构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.

(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

2

(,)(,)(,),

(1)(,)(,),2

a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+

构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.

(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____.

(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量

个数是________.

(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一

个基为_______.

(9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一

个基为_______.

(10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法

作成向量空间, 它的维数等于_____.

(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===

4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.

(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为

__________.

(13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=

在此基下的坐标为 _______.

(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件

__________________________________________, 就叫做一个同构映射.

(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都及向量空间______同构.

(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++

________直和. 答案

(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)

1

a

(4)(0,0) (5)2(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)

2

n n + (11)(1,0,1,0)-

(12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)- (14)f 是V 到W 的双射; 对任意

,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F

(16)不一定是

三 简答题

(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么? 1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ; 2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;

(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈

定义

()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈

对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么?

1) 所有连续函数的集合1W ; 2) 所有奇函数的集合2W ;

3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=

(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域. 1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈;

2) 21212

{(,,

,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈;

3) 312{(,,,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};

(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ???矩阵, 问AX b =的所有解向

量是F 上的向量空间吗? 说明理由.

(5) 下列子空间的维数是几?

1) 3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --?; 2)22(1,1,)[]L x x x x F x ---?

(6) 实数域R 上m n ?矩阵所成的向量空间()m n M R ?的维数等于多少?

写出它的一个基.

(7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？ (8) 若12,,

,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,

,,n n n αααααααα-++++ 也是V 的一个基吗？

(9) 1,2,(1)(2)x x x x -+-+是向量空间2[]F x 的一个基吗？

(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-.求4R 的一个含12,αα的

基.

(11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==-=-到基

123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===-的过渡矩阵.

(12)

在中4F 求向量

(1,2,1,1)

ξ=关于基

123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==--=--

4(1,1,1,1)α=--的坐标.

(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的

子空间, 2W 为过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则

12W W 及12W W +是什么? 12W W +能不能是直和?

(14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中

123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--

(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们

维数相等.

(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ??

=∈=∈ ???

都是实数域R 的向量空

间.问V 及W 是否同构? 说明理由.

(17)

设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令

12,1,2,

,i i i n βααα=++

+=且

()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕

⊕.

答案

(1)

1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不

封闭.

2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A -≠, 但|()|0A A +-=,

对加法不封闭.

(2)

1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为

连续函数.

2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函

数.

3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有 ()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);

(0)((0))((1))()(1),

f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+===

故3,.f g f W λ+∈

(3)

1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x ++

+=的全体解向量.

2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.

3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.

(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维

零向量不是

AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量

空间.

(5)

1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)-线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)-=-+. 2) 维数是2. 因易证21,1x x --线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x -+-+-=. (6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ?矩阵. 那么易

证ij E 这m n ?个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ?的一个基, 故

()m n M R ?的维数是m n ?.

(7) ,,,1,2,3,

,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空

间的一个基,其中共有12(1)n n ++++-个向量, 故此向量空间的维数

(1)

2

n n +. (8) 解 由

121112(,,,)(,,,)n n n n A ααααααααα-+++=.

得1||1(1)n A +=+-. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.

(9) 解 在基21,,x x 之下有

2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x --??

?

-+-+= ? ???

. 因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x -+-+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.

(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于

1100010010,12100

01

-=-≠

因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.

(11) 解 由

123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε== 推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα-= 因此所求过渡矩阵为

10113201001

10002111221021111112

2A B -??

?

???? ? ? ?

?=-= ? ? ? ? ?-- ????? ?-- ?

??

.

(12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩

阵为

1111111111111111A ?? ?--

?= ?-- ? ?--??

于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为

1541124114114A -??

?

??? ? ? ? ?=

?

? ?- ? ? ???

? -???

.

(13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合.

若1W 及2W 重合, 则

121121,W W W W W W =+=. 若1W 及2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直

线, 而

12W W V +=, 但12W W +不能是直和.

(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.

由

11223311220,k k k t t αααββ++--= 得齐次线性方程组

123121212

123121231232025206702530

k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +--+=??+--=??

-++++=??-++--=? 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为

122232424896

,,,7777

k t k t k t k t =-=-=-=-因此维12()1W W =, 维12()4W W +=.

取27t =,令1267ξββ=-+便有12()W W L ξ=, 另外显然

121231(,,,)W W L αααβ+=.

(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 及W 的维数均为n , 因,n n V F W F ??所以V W ?.

反之, 若V W ?, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基

12,,

,n ααα, 易证12(),(),

,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.

(16) V 及W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 及W 的维数不相等.

(17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=++

+, 那么

12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ--=---+---+-+

因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故

12n V W W W =⊕⊕⊕ 四 计算题

(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=-=--=--, 生成4R 的子空间

.W 试从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)

ββββ==-=--=-中找出W 的生成元.

(1) 解 以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等

变换.

112323123111472020024

21533161510011/20201001/21100111/21000

0040

0A B -??

?---

?=→ ?-- ? ?---?

??? ?-- ?= ? ? ?-?

?

由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,

113323412,,2βααβααβαα=+=-+=+从而134(,,).L W βββ?但由B 还知134,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.

(2)

在向量空间4R 中, 求由向量

123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=-=-=--

4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.

(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换