二项式定理知识点总结
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
第二节 二项式定理
第二节二项式定理考试要求1．理解二项式定理，二项式系数的性质.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识排查·微点淘金]知识点1二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k·b k＋…＋C n n b n(n∈N*)；上述公式叫做二项式定理．[微思考](a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，它表示展开式的第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n叫做二项式系数．知识点2二项式系数的性质[微提醒]易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n(k＝0，1，…，n).[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(4)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k中的a 和b 不能互换．(√) (5)(a ＋b )n 的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)2．(链接教材选修2－3 P 37A 组T 5)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是 ．答案：73．(链接教材选修2－3 P 37A 组T 8)在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ．答案：－564．(链接教材选修2－3 P 40A 组T 8)若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x n的展开式的所有二项式系数的和为128，则n ＝ .答案：75．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ．答案：－1一、基础探究点——求展开式中的特定项或特定项的系数(题组练透)1．(2020·北京卷)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10D ．10解析：选C 由二项式定理得(x －2)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r (－2)r ＝C r 5(－2)rx5－r2，令5－r2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15(－2)x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10，故选C ． 2．(2020·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选C 解法一：∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)，∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.解法二：当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.故选C ．3．(2021·北京卷)⎝⎛⎭⎫x 3－1x 4的展开式中常数项是 ． 解析：由二项式的展开式可得C 34·(x 3)1·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－4. 答案：－44．(2021·江西南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝ .解析：(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.答案：255. (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C 解法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25×C 13＝30. 解法二：(x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积，所以x 5y 2可从其中5个因式中，2个取因式中的x 2，剩余的3个因式中1个取x, 2个因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.1.求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k 的特点，一般需要先建立方 程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．2．求三项展开式中某些特定项的系数的方法：(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解；(2)两次利用二项式定理的通项公式求解；(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．二、综合探究点——二项式系数与各项系数和问题(思维拓展)[典例剖析][例](1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960B．960C．1120 D．1680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C．答案：C(2)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝()A．28－1 B．28C．38－1 D．38解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8.因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38.故选D．答案：D(3)(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝，a2＋a3＋a4＝.解析：(x－1)3的展开式的通项为T r＋1＝C r3x3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为T r＋1＝C r4x4－r1r，则a1x3＝C03x3·(－1)0＋C14x311＝5x3，所以a1＝5.同理，a2x2＝C13x2(－1)1＋C24x212＝－3x2＋6x2＝3x2，a3x＝C23x1(－1)2＋C34x113＝3x＋4x＝7x，a4＝C33x0(－1)3＋C44x014＝0，所以a2＝3，a3＝7，a4＝0，所以a2＋a3＋a4＝10.答案：5101．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，求解出正整数k 即可．[学会用活]1．(2021·安徽宣城调研)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为( )A ．1B ．2C ．129D ．2188解析：选C 令x ＝0得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128，又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1.故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 2．(2021·广西高三5月联考)若(a ＋x 2)(1＋x )n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( )A ．30B ．45C ．60D ．81解析：选B 令x ＝0，得a ＝2，所以(a ＋x 2)(1＋x )n ＝(2＋x 2)(1＋x )n .令x ＝1，得3×2n＝192，所以n ＝6.故该展开式中x 4的系数为2C 46＋C 26＝45.故选B ．3．已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.限时规范训练 基础夯实练1．(2021·河北唐山二模)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( ) A ．20 B ．－20 C ．160D ．－160解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－1)k 2k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，所常数项T 3＋1＝(－1)323C 36＝－160，故选D ．2．(2021·北京东城区二模)已知(2x ＋a )5的展开式中x 2的系数为－40，那么a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B (2x ＋a )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·a r ＝C r 5·25－r a r x 5－r ，令5－r ＝2，可得r ＝3，所以，C 35·22a 3＝40a 3＝－40，解得a ＝－1.故选B ． 3．(2021·四川乐至中学月考)(1＋2x )5的展开式中，各项二项式系数的和是( ) A ．1 B ．－1 C ．25D ．35解析：选C 由题得各项二项式系数和为C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25.故选C ．4．(2021·陕西西安模拟)若(2－x )10展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝( )A ．4095B ．4097C ．－4095D ．－4097解析：选C 由(2－x )10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·210－r ·(－x )r ＝(－1)r ·210－r C r 10·x r ，所以一次项系数C ＝(－1)1·29·C 110＝－5120，二项式系数和A ＝210＝1024，令x ＝1，则所有项的系数和B ＝(2－1)10＝1，所以A ＋B ＋C ＝－4095.故选C ．5.⎝⎛⎭⎫x －x2y (x ＋2y )5的展开式中x 2y 4的系数为( )A ．24B ．36C ．48D ．72解析：选C 因为⎝⎛⎭⎫x －x 2y (x ＋2y )5＝x (x ＋2y )5－x2y(x ＋2y )5，可得(x ＋2y )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r (2y )r ＝2r C r 5x5－r y r， 令r ＝4可得x 2y 4的系数为24C 45＝80，令r ＝5，可得x 2y 4的系数为－25C 55＝－32，故展开式中x 2y 4的系数为80－32＝48.故选C ．6．(2021·福建福州二模)在(x ＋y ＋z )6的展开式中，xyz 4的系数是( ) A ．15 B ．30 C ．36D ．60解析：选B 因为(x ＋y ＋z )6＝[(x ＋y )＋z ]6，所以[(x ＋y )＋z ]6的通项公式为C r 6·(x ＋y )6－r·z r ，令r ＝4，所以C 46·(x ＋y )2·z 4＝15(x 2＋2xy ＋y 2)z 4，因此xyz 4的系数是15×2＝30，故选B ． 7．(2021·广东韶关一模)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(2＋x )＋a 2(2＋x )2＋…＋a 10(2＋x )10，则a 9＝( )A ．－10B ．10C ．－45D ．45解析：选A (1＋x )10＝[1－(2＋x )]10＝a 0＋a 1(2＋x )＋a 2(2＋x )2＋…＋a 10(2＋x )10，T r ＋1＝C r 10[－(2＋x )]r ，a 9＝C 910(－1)9＝－10.故选A ．8．(2021·山东潍坊二模)已知正整数n ≥7，若⎝⎛⎭⎫x －1x (1－x )n 的展开式中不含x 5的项，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D (1－x )n 的二项展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k n (－1)k x k，又因为⎝⎛⎭⎫x －1x (1－x )n ＝x (1－x )n －1x (1－x )n 的展开式不含x 5的项，所以x C 4n (－1)4x 4－1x C 6n(－1)6x 6＝0，C 4n x 5－C 6n x 5＝0，即C 4n ＝C 6n，所以n ＝10，故选D ． 9．(2021·湖南岳阳二模)若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8的值为 ．解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，令x ＝0，得a 0＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2－1＝－3.答案：－3综合提升练10．“杨辉三角”是我国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是一个三角形数阵，记a n 为图中第n 行各数之和，则a 5＋a 11的值为( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1……A ．528B ．1020C ．1038D ．1040解析：选D a 5＝C 04＋C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24＝16，a 11＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024，所以a 5＋a 11＝1040.故选D ．11．(2021·河北饶阳中学模拟)(x ＋x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．72B ．60C ．48D ．36解析：选C ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r ·C r 6·x 3－r (r ＝0,1,2,3,4,5,6)．令3－r ＝1，得r ＝2；令3－r ＝32，得r ＝32∉Z ，舍去；令3－r ＝2，得r ＝1.故(x ＋x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 2的系数为(－2)2·C 26＋(－2)1·C 16＝60－12＝48.故选C ．12．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87解析：选B 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.13．(2021·广东梅州模拟)记(1－x )6＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋a 3(1＋x )3＋a 4(1＋x )4＋a 5(1＋x )5＋a 6(1＋x )6，则a 4＝ .解析：(1－x )6＝(－1＋x )6＝[－2＋(1＋x )]6，展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(－2)6－r(1＋x )r ，令r ＝4 即可，a 4＝C 46(－2)2＝4C 26＝60.答案：6014．(2021·黑龙江哈尔滨三模)在⎝⎛⎭⎫x ＋ax n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x 6项的系数为 ．解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋ax n 的展开式中，只有第六项的二项式系数C 5n 最大，∴n ＝10，再令x ＝1，可得所有项的系数和为(1＋a )10＝0，∴a ＝－1.故二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·x 10－2r ，令10－2r ＝6，求得r ＝2，可得含x 6项的系数为C 210＝45.答案：4515．(2021·浙江绍兴模拟)二项展开式(2x ＋4)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＝ ；a 0＋a 2＋a 4＝ (可采用指数的形式或数字的方式作答).解析：因为(2x ＋4)5的展开式的通项为C r 5(2x )5－r 4r ＝C r 5·25－r ·4r ·x 5－r ， 令r ＝4，则a 1＝C 45×21×44＝2560，令r ＝5，则a 0＝C 55×20×45＝1024，令r ＝3，则a 2＝C 35×22×43＝2560，令r ＝1，则a 4＝C 15×24×41＝320，故a 0＋a 2＋a 4＝1024＋2560＋320＝3904.答案：2560 390416．已知⎝⎛⎭⎫mx 2－4＋x 25的展开式中所有项的系数和为1，则x 4的系数为 ． 解析：令x ＝1，则(m －3)5＝1，解得m ＝4，∴⎝⎛⎭⎫m x 2－4＋x 25＝⎝⎛⎭⎫4x 2－4＋x 25，⎝⎛⎭⎫4x 2－4＋x 25展开式的通项公式为C r 5⎝⎛⎭⎫4x 2－45－r (x 2)r ；∵⎝⎛⎭⎫4x 2－45－r 展开式通项公式为C k 5－r ⎝⎛⎭⎫4x 25－r －k (－4)k ，∴当k ＝1，r ＝3时，展开式中的项为 －320x 4；当k ＝3，r ＝2时，展开式中的项为－640x 4；∴x 4的系数为－320－640＝－960.答案：－960创新应用练17．(2021·湖北黄冈月考)若(x ＋2)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，则a 1－2a 2－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＝ (用数字作答)．解析：∵(x ＋2)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，∴等式两边求导得8(x＋2)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7.令x＝－1，有8×(－1＋2)7＝a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8，即a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8＝8.又a3＝C5825＝1792，故所求值为8－1792×3＝－5368.答案：－5368。
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
《二项式定理》 知识清单
《二项式定理》知识清单一、二项式定理的定义对于任意正整数 n，有\（（a ＋ b)＾n ＝ C_{n}＾0 a^n ＋ C_{n}＾1 a^｛n 1}b ＋ C_{n}＾2 a^｛n 2}b^2 ＋＼cdots ＋ C_{n}＾r a^｛nr}b^r ＋＼cdots ＋ C_{n}＾n b^n\）这就是二项式定理。
其中，各项的系数\（C_{n}＾r\）（＼（r ＝ 0, 1, 2, ＼cdots, n\））叫做二项式系数，通项公式为\（T_{r ＋ 1} ＝ C_{n}＾r a^｛n r}b^r\）。
二、二项式系数的性质1、对称性与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即\（C_{n}＾r ＝C_{n}＾｛n r}＼）。
2、增减性与最大值当\（n\）是偶数时，中间一项\（C_{n}＾｛＼frac{n}｛2}｝＼）取得最大值；当\（n\）是奇数时，中间两项\（C_{n}＾｛＼frac{n 1}｛2}｝＼）和\（C_{n}＾｛＼frac{n ＋ 1}｛2}｝＼）相等且同时取得最大值。
从函数角度看，二项式系数先单调递增，然后单调递减。
3、各二项式系数的和＼（（1 ＋ 1)＾n ＝ 2^n ＝ C_{n}＾0 ＋ C_{n}＾1 ＋ C_{n}＾2 ＋＼cdots ＋ C_{n}＾n\）＼（C_{n}＾0 ＋ C_{n}＾2 ＋ C_{n}＾4 ＋＼cdots ＝ C_{n}＾1 ＋C_{n}＾3 ＋ C_{n}＾5 ＋＼cdots ＝ 2^｛n 1}＼）三、二项展开式的通项公式通项公式\（T_{r ＋ 1} ＝ C_{n}＾r a^｛n r}b^r\）（＼（r ＝ 0, 1, 2, ＼cdots, n\））在求特定项、系数等问题中具有重要作用。
例如，求\（（x ＋ 2)＾6\）展开式中\（x^3\）的系数。
首先，通项公式为\（T_{r ＋ 1} ＝ C_{6}＾r x^｛6 r} ＼times 2^r\）令\（6 r ＝ 3\），解得\（r ＝ 3\）所以\（x^3\）的系数为\（C_{6}＾3 ＼times 2^3 ＝ 20 ＼times 8 ＝160\）四、二项式定理的应用1、近似计算当\（n\）较大且\（｜x|＼）较小时，＼（（1 ＋ x)＾n ＼approx 1＋ nx\）例如，计算\（（1002)＾｛10}＼），可近似看作\（（1 ＋ 0002)＾｛10} ＼approx 1 ＋ 10 ＼times 0002 ＝ 102\）2、整除与余数问题通过二项式定理将式子展开，分析各项系数来解决整除和余数问题。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理的陈述：对于任意正整数nnn和非负整数kkk，二项式(a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式中的第k+1k+1k+1项可以表示为Tk+1=Cnk⋅an−k⋅bkT_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdotb^kTk+1=Cnk⋅an−k⋅bk其中CnkC_n^kCnk表示从nnn个不同项中选取kkk个的组合数，即Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=k!(n−k)!n!2. 二项式展开的通项公式：二项式(a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr⋅an−r⋅br,r=0,1,2,…,nT_{r+1} = C_n^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r, \quad r=0,1,2,\ldots,nTr+1=Cnr⋅an−r⋅br,r=0,1,2,…,n3. 二项式系数的性质：* 对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$* 最大值：当$n$为偶数时，二项式系数在$k = \frac{n}{2}$时取得最大值；当$n$为奇数时，二项式系数在$k = \frac{n-1}{2}$和$k = \frac{n+1}{2}$时取得最大值。
* 帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）：二项式系数可以排列成一个三角形，称为帕斯卡三角形，每一行的数字是上一行相邻两个数字的和。
二项式定理的应用：二项式定理广泛应用于代数、组合数学、概率论和统计学等领域。
它常被用于计算二项式幂的展开式、求解组合问题、推导数列的通项公式等。
通过掌握二项式定理的知识点，可以更好地理解和应用二项式展开的相关概念和方法。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
二项式定理八份
知识点一：二项式定理二项式定理：，其中：①公式右边的多项式叫做的二项展开式；②展开式中各项的系数叫做二项式系数；③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为. 知识点二：二项展开式的特性①项数：有n+1项；②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；④系数：依次为.知识点三：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③二项式系数之和为，即其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即例1．求的展开式中分别符号下列条件的各项:（1）常数项（2）有理项（3）二项式系数最大项（4）系数绝对值最大的项例2．求的常数项.例3．求(x+2)10(x2-1)2的展开式中含x4的项.例4．已知.求（1）a0；（2）a20+a19+……+a1+a0；（3）a20+a18+a16+……+a2+a0．例5．试证:32n+2-8n-9(n∈N)能被64整除.例6．求0.9886的近似值，使误差小于0.001.课外练习:1．求(1-x)9展开式中系数最小的项.2．求(x+y+z)6的展开式中，含x3y2z项的系数值.3．化简.4．求(1+x)6(1-x)4的展开式中，x3的系数.5．若(63x+10y)73展开式中各项系数之和为A，(63x-10y)53展开式中各项项数之和为B，求A+B除以10所得余数.。
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二项式定理知识点总结
一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。
对二项式定理的理解：（1）二项展开式有项（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设，则（）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式
二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1）字母的次数和组合数的上标相同（2）与的次数之和为（3）在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例
1、等于（）
A、 B。
C 。
D 、例
2、（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和
4、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。
例题：求多项式的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。
例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（2）求的展开式的常数项。
【思维点拨】
求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定
五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知，求：（1）；（2）；（3）、六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。
如证明：取的展开式中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当n 不是很大，||比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。
例题：的计算结果精确到0、01的近似值是（）
A、1、23
B、1、24
C、1、33
D、1、34（2）整除性问题或求余数的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，若为其他数，则需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）
一、二项就可以了③要注意余数的范围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求除以7所得的余数例题：
若为奇数，则被9除得的余数是（）
A、0 B。
2 C。
7
D、8例题：当且>1，求证
【思维点拨】
这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、在的展开式中，的系数为（）
A、
B、
C、
D、2、已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）
A、4
B、9
C、10
D、1
13、已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）
A、10
B、11
D、1
34、5310被8除的余数是（）
A、1
B、2
C、3
D、
75、 (
1、05)6的计算结果精确到0、01的近似值是（）
A、1、23
B、1、24
C、1、33
D、1、3
46、二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是
（）
A、1
B、2
C、3
D、
47、设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是（）
B、1
C、2
D、
38、在的展开式中的系数为（）
A、4
B、5
C、6
D、7
9、展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）
A、330
B、462
C、680
D、790
10、的展开式中，的系数为（）
A、－40
B、10
C、40
D、45
11、二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为（）
B、或
C、或
D、或
12、在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的（）
A、第2项
B、第11项
C、第20项
D、第24项
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果、
13、展开式中的系数是、
14、若，则的值为__________、
15、若的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是、
16、对于二项式(1-x)，有下列四个命题：①展开式中T= －Cx；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是
1、其中正确命题的序号是__________、（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题满分74分、
17、（12分）若展开式中第二、
三、四项的二项式系数成等差数列、（１）求n的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
18、（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数、
19、（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由、
20、（12分）某地现有耕地亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？2
1、（12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值、
22、（14分）规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广、(1)
求的值；(2)
设x>０，当x为何值时，取得最小值？(3)
组合数的两个性质；①、
②、是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由、。