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山东省济宁市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(word版,含答案)

2020-2021学年度第一学期质量检测
高一数学试题2021.02
一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡
1.已知集合A={x|-2<x<1},B={-2,- 1,0,1,2},则A ∩B=
A.{-2,-1,0}
B.{-1,0,1}
C.{-1,0}
D.{0,1} 2.已知命题p:21,40,x x ∃>-<则¬p 是
2.1,40A x x ∃>-≥ “”
2.1,40B x x ∃≤-< 2.1,40C x x ∀≤-≥
2.1,40D x x ∀>-≥
3.“2πϕ=”是“函数sin()y x ϕ=+为偶函数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 4.若0.5222,sin
,log 0.2,5a e b c π===则a ､b ､c 的大小关系为 A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a
5.函数cos(2)4y x π=+
的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos2x 的图象 A.向左平行移动4π个单位长度
B.向右平行移动
4π个单位长度 C.向左平行移动8π个单位长度 D.向右平行移动8π个单位长度 6.函数y=xcosx+sinx 在区间[-π,π]上的图象大致为
7.已知角A ､B ､C 分别是△ABC 的三个内角,且4cos 25
A =则cos(B+C)= 7.25A - 16.25
B - 7.25
C 16.25
D 8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术",即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a ､b ､c,则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---,其中p 为三角形周长的-
半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为 3.2A B.3 .7C .11D
二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡
9.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是
.A a b >
2211.B a b < 22.C ac bc > D.a-c>b-c 10.若方程220x x λ++=在区间(-1,0)上有实数根,则实数λ的取值可以是
A.-3 1.8B 1.4C D.1
11.已知1
(0,),sin cos 5
θπθθ∈+=-,则下列结论正确的是
.(,)2A πθπ∈ 3.cos 5B θ=- 3.tan 4C θ=- 7.sin cos 5
D θθ-= 12.已知实数12,x x 为函数21()()|log (1)2x f x x =--|的两个零点,则下列结论正确的是 12.(2)(2)(,0)A x x --∈-∞
12.(1)(1)(0,1)B x x --∈ 12.(1)(1)1C x x --= 12.(1)(1)(1,)D x x --∈+∞
三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡
31log 22513.39lg 2lg 22
+++=____. 14.已知函数1()2(0x a f x a x a -=++>且a ≠1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标为____.
15.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为____.
16.若实数x,y 满足x>y>0,且22log log 1,x y +=则22
x y x y
+-的最小值为____.
四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡
17.(10分)
在①A ∪B=B;②"x ∈A"是“x B ∈”的充分不必要条件;③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(II)问的横线处,求解下列问题.
问题:已知集合A={x|a-1≤x ≤a+1},B={x|-1≤x ≤3}.
(I)当a=2时,求A ∪B;
(II)若______,求实数a 的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
如图,角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,若点P 的坐标为04(,).5
y - (I)求tanθ-sin2θ的值;
(II)若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40°,得到角α,设tanα=m,求tan(θ+85°)的值.
19.(12分)
目前,"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制,但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要,某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒,药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比;当药熏过程结束,药物即释放完毕,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为
1()32
t a y -=(a 为常数).已知从药熏开始,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化 曲线如图所示.
(I)从药熏开始,求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;
(II)据测定,当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时,学生方可进入教室,那么从药熏开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
20.(12分)
已知函数1()2sin cos().62
f x x x π=-
- (I)求函数f(x)的最小正周期;
(II)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.
21.(12分)
设函数2()(2) 3.f x ax b x =+-+
(I)若不等式f(x)>0的解集为(-1,1),求实数a,b 的值;
(II)若f(1)=0,且存在x ∈R ,使f(x)>4成立,求实数a 的取值范围.
22.(12分)
已知函数()sin cos ,()sin 2().f x x x g x x f x =+=- (I)求函数y=f(x)图象的对称轴的方程;
(II)当[,0]2x π
∈-时,求函数g(x)的值域;
(III)设91()91
x x h x -=+,存在集合M,当且仅当实数m ∈M,且在x ∈(0,+∞)时,不等式()()02
x mh h x ->恒成立.若在(II)的条件下,恒有ag(x)∉M(其中a>0),求实数a 的取值范围.。

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高中试卷-专题3.3 幂函数(含答案)

高中试卷-专题3.3 幂函数(含答案)

专题3.3 幂函数1 幂函数的定义一般地，形如y =x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．注 (1)注意幂函数中x α的系数是1，底数是变量x ，指数α是常数；2正数的正分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：a mn=>0,m,n ∈N ∗,且n >1) 巧记“子内母外”(根号内的m 作分子，根号外的n 作为分母)(2)正数的正分数指数幂的意义：a−m n=1a m n>0,m,n ∈N ∗,且n >1)(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3幂函数图像及其性质(1) 幂函数y =x,y =x 2,y=x 3,y=x 12,y =x −1的图象．(2) 幂函数y =x,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x −1的性质y =xy =x 2y =x 3y =x 12y =x −1图象定义域R R R [0,+∞)x ≠0值域R [0,+∞)R [0,+∞)x ≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R 上递增在(−∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R 上递增在[0,+∞)上递增在(−∞,0)上递减在(0,+∞)上递减定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)(3)性质① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．一、单选题1．幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,¥+上单调递减，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-【答案】A【解析】因为22()(22)m f x m m x -=--是幂函数，故2221m m --=，解得3m =或1-，又因为幂函数在(0,)+¥上单调递减，所以需要20m -<，则 1.m =-故选：A2．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x =的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b c d a >>>，故选：D3．已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（ ）A ．12B ．1CD ．2【来源】辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】由题意，()()22abAB m m =-，a bCD m m =-，根据图象可知10b a >>>，当01m <<时，()()22abm m >，a b m m >，因为AB CD =，所以()()22a b a bab a b m m m m mm m m -=+-=-，因为0a b m m ->，可得1a b m m +=.故选：B4．已知幂函数()()()22421mm f x m x m R -+=-Î在()0,¥+上单调递减，设153a =，51log 3b =，5log 4c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f b f a f c <<【来源】广东省梅州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C 根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =，当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,¥+上单调递增，不合题意，当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,¥+上单调递减，所以2()f x x -=.因为10555551330log 1log 3log 4log 51=<=<<<=，，又155log 3log 3b -=-=，所以b c a -<<，因为()f x 在()0,¥+上单调递减，所以()()()f b f c f a ->>，又因为2()f x x -=为偶函数，所以()()f b f b -=，所以()()()f b f c f a >>.故选：C5．设0.3log 2a =，0.3log 3b =，0.33c =，30.3d =，则这四个数的大小关系是（ ）A ．a b c d<<<B ．b a d c<<<C ．b a c d<<<D ．d c a b<<<【来源】广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：∵0.30.30.3log 3log 2log 10<<=，∴0b a <<，又0.3003331,10.30.30>==>>，∴0c d >>，故b a d c <<<.故选：B.6．设21log 3a =，0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c<<【来源】广东省广雅中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】2log y x =Q 是增函数，221log log 103a \=<=，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 是减函数，0.5y x =在(0,)+¥上是增函数，0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫\=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb \<<故选：B7．已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+¥ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-¥ ⎪⎝⎭C ．(),3-¥D ．()3,+¥【答案】A【解析】设()()2g x f x =-，R x Î，则()()()()()()53533535g x x x x x x x g x -=-+-+-=-++=-，即()g x 为奇函数，容易判断()g x 在R 上单调递增（增+增），又()()214f a f a +->可化为，()()()()()22122112f a f a g a g a g a ->---Þ>--=-éùëû，所以a >1－2a ，∴ a >13．故选：A.8．幂函数()()22251m m f x m m x+-=--在区间()0,¥+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【来源】青海省西宁市大通回族土族自治县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】由函数()()22251mm f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()6f x x -=．因为函数()f x 在()0,¥+上是单调递增函数，故()3f x x =．又0a b +>，所以a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．9．已知函数(3),(1)()7,(1)aa x x f x x x +£ì=í->î是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,9]-¥-B ．[9,3)--C ．(,3)-¥-D ．(3,0)-【答案】B【解析】因为函数(3),(1)()7,(1)aa x x f x x x +£ì=í->î是减函数，所以幂函数7,(1)a y x x =->为减函数，一次函数(3),(1)y a x x =+£为减函数，所以30360a a a +<+³-<ìïíïî，解得：93a -£<-，所以实数a 的取值范围是[9,3)--故选：B10．设()()121,1x f x x x <<=-³ïî,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【来源】第13讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】C【解析】由1³x 时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ³,则()()1f a f a ¹+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C.11．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【来源】江西省丰城中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题【答案】C【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>\>，由()0,0,f x ax b =\+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->\<\<，故选C ．12．函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x Î+¥，且12x x ¹，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b ÎR ，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】由已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()3f x x =，当1m =-时，()3f x x -=，对任意的12,(0,)x x Î+¥，且12x x ¹，满足()()12120f x f x x x ->-，函数是单调增函数，所以2m =，此时()3f x x =，又0,0a b ab +><，可知,a b 异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则()()f a f b +恒大于0，故选A.13．已知()f x 是定义域为(,)-¥+¥的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A ．50-B ．0C ．2D ．50【来源】宁夏石嘴山市平罗中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】C【解析】：因为()f x 是定义域为(,)-¥+¥的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--\+=-+=-\=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-\=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.14．若幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()21f x f x éù--ëû的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．1-【答案】C【解析】设幂函数(),f x x R aa =Î，因为函数()f x 的图象过点(，所以3322733a a ===，所以12a =，故()f x =所以()()21f x f x x éù--=ëû.()0t t =³，所以21x t =+，则()()22131024y t t t t ⎛⎫=-+=---³ ⎪⎝⎭，所以当12t =时，max 34y =-. 故选：C.二、填空题15．已知幂函数()12m f x m x =在()0,¥+上单调递减，则()2f =______．【来源】河北省安新中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】14##0.25【解析】：由题意得112m =且0m <，则2m =-，()2f x x -=，故()124f =．故答案为：1416．已知幂函数()223()p p f x x p N --*=Î 的图像关于y 轴对称，且在()0+¥，上是减函数，实数a 满足()()233133pp a a -<+，则a 的取值范围是_____．【答案】14a <<【解析】Q 幂函数()()223*pp f x xp N --=Î在()0+¥，上是减函数，2230p p \--<，解得13p -<<，*p N ÎQ ，1p \=或2．当1p =时，()4f x x -=为偶函数满足条件，当2p =时，()3f x x -=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)p p a a -<+，即()11233(1)33a a -<+，()13f x x =Q 在R 上为增函数，2133a a \-<+，解得：14a <<.故答案为：14a <<.17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x Î+¥，12x x ¹且()()()12120f x f x x x -->éùëû．【答案】2x （答案不唯一）【解析】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,¥+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一）18．已知()y f x =是奇函数，当0x ³时，()()23f x x m m =+ÎR ，则()8f -=______．【来源】山东省济宁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】-4【解析】因为()y f x =是奇函数，当0x ³时，()()23f x x m m =+ÎR ，所以23(0)00f m =+=，得0m =，所以()23f x x =，0x ³，因为()y f x =是奇函数所以()2238(8)824f f -=-=-=-=-，故答案为：4-19．已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________.【答案】()23,1,32⎛⎫-¥- ⎪⎝⎭U 【解析】幂函数()223m m y xm N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32⎛⎫-¥- ⎪⎝⎭U 20．若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-£的实数a 的取值范围是______【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】(],2-¥【解析】由题意，不妨设()f x x a=，因为幂函数()f x 过点()2,8，则(2)28f a ==，解得3a =，故()3f x x =为定义在R 上的奇函数，且()f x 为增函数，因为()()310f a f a -+-£，则()()31(1)f a f a f a -£--=-，故31a a -£-，解得2a £，从而实数a 的取值范围是(],2-¥.-¥.故答案为：(],2。

山东省济宁市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案

山东省济宁市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案

2023—2024学年度第二学期质量检测高一数学试题（答案在最后）2024.07本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若21iiz =-，则z =（）A.1i+ B.1i- C.1i-- D.1i-+2.已知向量()1,a m = ，()4,6b = ，()1,1c =，若()//2a b c - ，则m =（）A.2B.2- C.12D.12-3.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数N 为（）A.744B.620C.372D.1624.如图是函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则()f x =（）A.πtan 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.πtan 46x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5.在ABC 中，13BD DC = ，记AB m = ，AD n = ，则AC =（）A.32m n -B.32n m -C.43m n- D.43n m-6.对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm ）进行如下定义：积水厚度（mm ）0~1010~2525~5050~100等级小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .设BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB 为（）A.()sin tan sin s a βθβ⋅⋅+ B.()sin sin tan s a ββθ⋅+⋅C.()sin tan sin s a βθβ⋅+⋅ D.()sin sin tan s a ββθ⋅+⋅8.设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A 、ω、ϕ都是常数，0A >，0ω>），若()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且()ππ032f f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为（）A.3π2 B.πC.π2D.π4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.把函数()πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A .2πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.πsin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭C .πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.5πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙.则下列结论正确的是（）A.x x >甲乙B.x x =乙甲 C.22s s <甲乙D.22s s >甲乙11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为下底面的中心，P 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.1PO B C⊥B.直线PA 与BD 所成角的余弦值为105C.PO 与平面11ABB A 所成角为π4D.三棱锥1B PAC -的外接球的表面积为33π12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据的第75百分位数是______.13.某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面ABC 是边长为12（单位：厘米）的正三角形，DAC △，EBC ，FAB 均为正三角形，且他们所在的平面都与底面ABC 垂直，则该几何模型的体积为______立方厘米.14.已知ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，满足2AP AB AC =+，且()()()PA PB AB PA PC AC PB PC BC +⋅=+⋅=+⋅，则sin BAC ∠=______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.（1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；（2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.16.设向量()2sin ,cos a x x = ，()2cos ,sin b x x =- ，()cos ,2sin c y y =-.（1）若()3a b c -⊥，求()tan x y -的值；（2）若()f x a b =-，5π0,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.17.如图所示，AB 为圆锥PO 底面的直径，C 为圆O 上异于A 、B 的一点，D 、F 分别为AC 、PA 的中点，连接DO 并延长交圆O 于点E .（1）证明：AC ⊥平面PDE ；（2）证明：//EF 平面PBC .18.记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()2cos cos 0a c C c A -+=，且a c >.（1）证明：2B C =；（2）若12BD DC = ，763AD =，且1cos 3B =，求b ，c ；（3）若()cos sin A C B λ-+存在最小值，求实数λ的取值范围.19.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则AOB ∠叫做向量a ，b的夹角，记作,a b.定义a与b的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；（3）若M 为PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=，求λ.2023—2024学年度第二学期质量检测高一数学试题2024.07本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若21iiz =-，则z =（）A.1i + B.1i- C.1i-- D.1i-+【答案】D 【解析】【分析】由21ii z =-得出21i z i =-，利用复数的除法运算可求得复数z .【详解】由21ii z=-得出()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+.故选：D.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知向量()1,a m = ，()4,6b = ，()1,1c =，若()//2a b c - ，则m =（）A.2 B.2- C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】首先求出2b c -的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()1,a m = ，()4,6b = ，()1,1c =，所以()()()24,621,12,4b c -=-=，又()//2a b c -，所以214m =⨯，解得2m =.故选：A3.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数N 为（）A.744 B.620C.372D.162【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.【详解】依题意可得9616162026N =++，解得372N =.故选：C4.如图是函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则()f x =（）A.πtan 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.πtan 46x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】观察图象可得()f x 的最小正周期，由周期公式可计算ω，又()f x 过点(0,3)，把(0,3)代入解析式，结合π2ϕ<，即可求解.【详解】由图知()f x 的最小正周期为π2，ππ2T ω∴==，2ω∴=，又()f x 过点(0,3)，tan 3ϕ=，即tan ϕ=π2ϕ<，π3ϕ∴=，π())3f x x ∴=+.故选：B .5.在ABC 中，13BD DC = ，记AB m = ，AD n = ，则AC =（）A.32m n -B.32n m -C.43m n -D.43n m-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为13BD DC = ，所以14BD BC =，所以()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以43AD AB AC =+ ，则3434A m AD AB C n =-=- .故选：D6.对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm ）进行如下定义：积水厚度（mm ）0~1010~2525~5050~100等级小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】C 【解析】【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案.【详解】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，且下底面半径是50mm ，上底面半径是150mm ，可得圆台中雨水的上底面半径是150501002+=mm ，所以雨水的厚度为(2221π100π50150338.89π150⨯+⨯+⨯≈⨯mm ，是大雨.故选：C ．7.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .设BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB 为（）A.()sin tan sin s a βθβ⋅⋅+ B.()sin sin tan s a ββθ⋅+⋅C.()sin tan sin s a βθβ⋅+⋅ D.()sin sin tan s a ββθ⋅+⋅【答案】A 【解析】【分析】在BCD △中，运用正弦定理求得BC ，再在直角三角形ABC 中，求解AB .【详解】在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin sin sin sin(π)sin()BC CD BC s s BC BDC CBD ββαβαβ⋅=⇒=⇒=∠∠--+，在直角三角形ABC 中，sin tan tan sin()BA s ACB BA BC βθαβ⋅∠=⇒=+，故选：A8.设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A 、ω、ϕ都是常数，0A >，0ω>），若()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且()ππ032f f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为（）A.3π2 B.πC.π2D.π4【答案】B 【解析】【分析】记函数()f x 的最小正周期为T ，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.【详解】记函数()f x 的最小正周期为T ，则ππ0233T ≥-=，可得2π3T ≥．又()ππ032f f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ236-=，又π0π326+=，所以函数()f x 的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，函数()f x 的一条对称轴为ππ5π32212x +==，又5πππ121243T -=<，∴5πππ41264T =-=，解得πT =．故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.把函数()πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A.2πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.πsin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭C.πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.5πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则，求出变化后的解析式，再由诱导公式判断即可.【详解】把函数()πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π3个单位长度得到πππsin 2sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又ππππcos 2co 3s 2sin 2362x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5ππππcos 2co 3s 2sin 2362x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2πππsin 2sin 2πsin 2333x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故满足题意的有B 、C.故选：BC10.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙.则下列结论正确的是（）A.x x >甲乙B.x x =乙甲 C.22s s <甲乙D.22s s >甲乙【答案】BD 【解析】【分析】根据平均数和方差的公式计算即可.【详解】根据题意，6756438968x +++++++==甲，8467657568x +++++++==乙，所以x x =乙甲，()()()()()()()()22222222216676566646388696 5.58s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()()()()22222222218646667666567656 1.58s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙，所以22s s >甲乙.故选：BD11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为下底面的中心，P 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.1PO B C⊥B.直线PA 与BD 所成角的余弦值为5C.PO 与平面11ABB A 所成角为π4D.三棱锥1B PAC -的外接球的表面积为33π12【答案】ABD 【解析】【分析】首先说明1PO//D B ，根据线面垂直的判定定理及性质定理说明A ；取1C C 的中点E ，连接PE 、BE 、DE 、OE ，则//AP BE ，所以直线PA 与BD 所成角为DBE ∠，再由锐角三角函数判断B ；PO 与平面11ABB A 所成角为11D BA ∠，即可判断C ，求出外接球的半径，即可判断D.【详解】对于A ： O 为下底面的中心，P 为1DD 的中点，连1D B ，1//PO D B ∴，AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又1BD DD D = ，1,BD DD ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又1D B ⊂平面11BDD B ，所以1D B AC ⊥，同理可证11D B B C ⊥，1PO B C ∴⊥，故A 正确；对于B ，取1C C 的中点E ，连接PE 、BE 、DE 、OE ，则//AB DC 且AB DC =，PE DC =且//PE DC ，所以//AB PE 且AB PE =，所以四边形ABEP 为平行四边形，所以//AP BE ，∴直线PA 与BD 所成角为DBE ∠，又2DE BE ===，BD ==，122BO BD ==，O 为BD 的中点，OE BD ⊥，cos BO DBE BE ∴∠==PA 与BD 所成角的余弦值为5，故B 正确；对于C ：1//PO D B ，又11D A ⊥平面11ABB A ，PO ∴与平面11ABB A 所成角为11D BA ∠，又111D A =，1BA ==，又11tan 1D BA ∠=≠，PO ∴与平面11ABB A 所成角不为π4，故C 错误；对于D ：如图，由A 可知1AC D B ⊥，11D B B C ⊥，1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以1D B ⊥平面1AB C ，又1AB C V 2的正三角形，设11D B B O H = ，则易知H 为靠近B 的1D B 的三等分点，其H 为正三角形1AB C 的中心，112233D H D B ∴==，设三棱锥1B PAC -的外接球的球心为I ，则I 在1D B 上，设1D I t =，球的半径为R ，则PI AI R ==，11233IH D H D I t ∴=-=，又易知226332AH =⨯，112D P =，1111cos 3D D PD I D B ∠==，∴在Rt AIH 与1D PI 中，根据勾股定理和余弦定理可得：222222623()3311()2223R t R t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⎪⎩，解得43t =，∴21116R =，∴三棱锥1B PAC -的外接球的表面积为211π4π4R =，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据的第75百分位数是______.【答案】8【解析】【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为675% 4.5⨯=，所以第75百分位数是8.故答案为：813.某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面ABC 是边长为12（单位：厘米）的正三角形，DAC △，EBC ，FAB 均为正三角形，且他们所在的平面都与底面ABC 垂直，则该几何模型的体积为______立方厘米.【答案】486【解析】【分析】将几何体补全为正三棱柱，如图所示,,D E F 分别为111111,,AC B C A B 的中点，正三棱柱高为，该几何模型的体积为：11113ABC A B C A A DF V V ---.【详解】将几何体补全为正三棱柱，如图所示，,,D E F 分别为111111,,AC B C A B 的中点，底面ABC 是边长为12（单位：厘米）的正三角形，且DAC △，EBC ，FAB 均为正三角形，所以则该几何模型的体积为：111111333ABC A B C A A DF ABC A DF V V S S ---=⨯⨯⨯111212664862222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故答案为：486.14.已知ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，满足2AP AB AC =+，且()()()PA PB AB PA PC AC PB PC BC +⋅=+⋅=+⋅，则sin BAC ∠=______.【答案】4【解析】【分析】如图，以,AB AC 为邻边做平行四边形ABDC ，即AB AC AD +=，由2AP AB AC =+，可得BP AB AC =+，所以,,C D P 三点共线，再化简()()()PA PB AB PA PC AC PB PC BC +⋅=+⋅=+⋅ ，可得PA PB PC ==，设AB m =，则,2PD DC m PA PB PC m =====，利用余弦定理，可得1cos4BAP ∠=，AC =，所以6cos 4PAC ∠=，再由同角基本关系式和两角和的正弦公式可解.【详解】如图，以,AB AC 为邻边做平行四边形ABDC ，即AB AC AD +=，由2AP AB AC =+，可得AP AB AB AC -=+ ，即BP AB AC =+ ，所以AD BP = ，则AB DP = ，又AB CD =，所以CD DP = ，即,,C D P 三点共线，由()()()PA PB AB PA PC AC PB PC BC +⋅=+⋅=+⋅ ，即()()()()()()PA PB PA PB PA PC PA PC PB PC PB PC +⋅-=+⋅-=+⋅- ，即222222PA PB PA PC PB PC -=-=- ，所以PA PB PC == ，设AB m =，则,2PD DC m PA PB PC m =====，利用余弦定理，222222441cos 2224AB AP BP m m m BAP AB AP m m +-+-∠===⋅⋅，且BAP APC ∠=∠，所以1cos 4APC ∠=，则222222212cos 44864AC PA PC PA PC APC m m m m =+-⋅∠=+-⨯=，则AC =，所以222222cos24AC AP CP PAC AC AP +-∠==⋅，由等腰三角形可知,BAP PAC ∠∠都是锐角，所以sin 44BAP PAC ∠=∠=，所以()sin sin sin cos cos sin BAC BAP PAC BAP PAC BAP PAC∠=∠+∠=∠∠+∠∠144444=⨯+⨯=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：以,AB AC 为邻边做平行四边形ABDC ，即AB AC AD += ，由2AP AB AC =+，可得BP AB AC =+，所以,,C D P 三点共线，再利用余弦定理求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.（1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；（2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.【答案】（1）45（2）69.5【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据先求m ，再求等待时间不超过60秒的概率，即可得次数；（2）由频率分布直方图中平均数的公式求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0350.020.011m ⨯++++=，解得0.025m =，该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的概率为：0.025100.010.2252⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为：2000.22545⨯=.【小问2详解】该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数约为：0.1500.25600.35700.2800.19069.5.++⨯⨯+=⨯⨯⨯+16.设向量()2sin ,cos a x x = ，()2cos ,sin b x x =- ，()cos ,2sin c y y =-.（1）若()3a b c -⊥ ，求()tan x y -的值；（2）若()f x a b =-，5π0,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.【答案】（1）3（2）2⎥⎦【解析】【分析】（1）根据题意，()3a b c -⊥ ，所以()30a b c -⋅=，由三角函数恒等变形可解；（2）先求出5π()0,12f x a b x ⎛⎤=-=∈ ⎥⎝⎦，由正弦型函数在区间内的值域求解.【小问1详解】根据题意，()3a b c -⊥ ，所以()30a b c -⋅=，即()32sin cos 2cos sin 32cos cos 2sin sin 0a c b c x y x y x y x y ⋅-⋅=--+=，化简为2sin()6cos()0x y x y ---=所以()tan 3x y -=；【小问2详解】()2sin 2cos ,cos sin a b x x x x -=-+，()()222||2sin 2cos cos sin a b x x x x -=-++ 22224sin 8sin cos 4cos cos 2sin cos sin x x x x x x x x=-++++56sin cos 53sin 2x x x =-=-，所以5π()0,12f x a b x ⎛⎤=-=∈ ⎥⎝⎦，所以π6f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由5π0,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得ππ7π2,336x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以π1353sin 22,32x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围为2⎦.17.如图所示，AB 为圆锥PO 底面的直径，C 为圆O 上异于A 、B 的一点，D 、F 分别为AC 、PA 的中点，连接DO 并延长交圆O 于点E.（1）证明：AC ⊥平面PDE ；（2）证明：//EF 平面PBC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得PO AC ⊥，BC AC ⊥，而//BC DE ，所以DEAC ⊥，可证AC ⊥平面PDE ；（2）连接DF ，可证//DF 平面PBC ，//DE 平面PBC ，从而平面//DEF 平面PBC ，所以//EF 平面PBC .【小问1详解】由题意，PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PO AC ⊥，由AB 为圆锥PO 底面的直径，C 为圆O 上异于A 、B 的一点，可知BC AC ⊥，因为D 、分别为AC 的中点，所以//BC DE ，则DEAC ⊥，又因为,PO DE ⊂平面PDE ，PO DE D = ，所以AC ⊥平面PDE ；【小问2详解】连接DF ，因为D 、F 分别为AC 、PA 的中点，所以//DF PC ，又DF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//DF 平面PBC ，同理可得//DE 平面PBC ，而,,DE DF D DE DF =⊂ 平面DEF ，所以平面//DEF 平面PBC ，又EF ⊂平面DEF ，所以//EF 平面PBC .18.记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()2cos cos 0a c C c A -+=，且a c >.（1）证明：2B C =；（2）若12BD DC = ，3AD =，且1cos 3B =，求b ，c ；（3）若()cos sin A C B λ-+存在最小值，求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）b =，3c =（3）(4,--【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简得证；（2）结合二倍角公式与两角和的余弦公式，求出cos A 的值，再由2133AD AB AC =+ ，将其两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，可得关于b 和c 的方程，然后结合正弦定理，解方程组即可；（3）由ABC 为锐角三角形，推出ππ64C <<，再根据A ，B ，C 的关系，化简可得2cos()sin 2sin 2sin 21A C B C C λλ-+=+-，然后结合正弦函数的值域与二次函数的性质，求解即可．【小问1详解】因为()2cos cos 0a c C c A -+=，由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0A C C C A -+=，所以sin cos sin cos 2sin cos sin 2A C C A C C C +==，所以sin()sin sin 2A C B C +==，所以2B C =或2πB C +=，因为a c >，所以A C >，又πA B C ++=，所以2πB C +=不可能成立，所以2B C =．【小问2详解】由1cos 03B =>，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 3B ==，因为2BC =，所以21cos cos 22cos 13B C C ==-=，因为π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6cos 3C =，sin 3C ==，所以1cos cos()(cos cos sin sin )33339A B C B C B C =-+=--=-⨯⨯，因为12BD DC = ，则13BD BC = ，所以()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，将其两边平方得222414999AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以22764199981c b =++①，由正弦定理知，sin sin b c B C=，因为2B C =，所以sin sin22sin cos B C C C ==，所以2cos b C c ==②，联立①②解得b =，3c =．【小问3详解】因为ABC 为锐角三角形，且A C >，所以π02π02π02A B C A C⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪>⎩，即π0π32π022π02π3C C C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪<-⎩，解得ππ64C <<，所以ππ232C <<sin 21C <<，又2cos()sin cos(4)sin 2cos4sin 22sin 2sin 21A C B C C C C C C λπλλλ-+=-+=-+=+-，令sin 2t C =，则3,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2cos()sin 21A C B t t λλ-+=+-，其中对称轴为4t λ=-，因为cos()sin A C B λ-+存在最小值，所以(42t λ=-∈，解得4λ-<<-，故实数λ的取值范围为(4,--．19.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则AOB ∠叫做向量a ，b的夹角，记作,a b .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯ 是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅ .如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；（3）若M 为PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯= ，求λ.【答案】（1）2（2）13-（3）10【解析】【分析】（1）首先说明PBC ∠为直线AD 与PB 所成的角，即,AD BP PBC =∠ ，设()0AB x x =>，根据所给定义得到方程，解得即可；（2）在平面ABCD 内过点D 作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ，连接PF ，PFD ∠为二面角P EB D --的平面角，由锐角三角函数求出cos PFD ∠，设二面角P EB A --的平面角为θ，则πPFD θ=-∠，利用诱导公式计算可得；（3）依题意可得EM ⊥平面PBC ，在平面PDC 内过点D 作DN PC ⊥，垂足为N ，即可证明DN ⊥平面PBC ，在平面PBC 内过点N 作//MN BC 交PB 于点M ，在DA 上取点E ，使得DE MN =，连接EM ，即可得到四边形DEMN 为平行四边形，求出DN ，即可得解.【小问1详解】因为底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，所以//AD BC ，BC DC ⊥，又BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，又PD DC D ⋂=，,PD DC ⊂平面PDC ，所以BC ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，所以BC PC ⊥，所以PBC ∠为直线AD 与PB 所成的角，即,AD BP PBC =∠ ，设()0AB x x =>，则PC ==PB ==，在Rt PBC 中s n i PC PBC PB ∠==，又AD BP ⨯= ，所以=，解得2x =（负值已舍去），所以2AB =；【小问2详解】在平面ABCD 内过点D 作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ，连接PF ，因为PD ⊥底面ABCD ，BF ⊂底面ABCD ，所以PD BF ⊥，又DF PD D = ，,DF PD ⊂平面PDF ，所以BF ⊥平面PDF ，又PF ⊂平面PDF ，所以BF PF ⊥，所以PFD ∠为二面角P EB D --的平面角，因为E 为AD 的中点，所以π2sin 4DF ==PF ==，所以1cos 3DF PFD PF ∠===，设二面角P EB A --的平面角为θ，则πPFD θ=-∠，所以()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-，即二面角P EB A --的余弦值为13-；【小问3详解】依题意()AD BP AD ⨯⊥ ，()AD BP BP ⨯⊥ ，又AD BP EM λ⨯= ，所以EM AD ⊥，EM BP ⊥，又//AD BC ，所以EM BC ⊥，又PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，所以EM ⊥平面PBC ，在平面PDC 内过点D 作DN PC ⊥，垂足为N ，由BC ⊥平面PDC ，DN ⊂平面PDC ，所以BC DN ⊥，又PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，所以DN ⊥平面PBC ，在平面PBC 内过点N 作//MN BC 交PB 于点M ，在DA 上取点E ，使得DE MN =，连接EM ，所以//DE MN 且DE MN =，所以四边形DEMN 为平行四边形，所以EM DN =，又455DN == ，即455EM = ，所以105AD BP EMλ⨯==.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求DN .。

2021-2022学年山东省济宁市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年山东省济宁市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年山东省济宁市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|0≤x ≤3}，B ={x|1<x <4}，则A ∪B =( )A. {x|1<x ≤3}B. {x|0≤x <4}C. {x|1≤x ≤3}D. {x|0<x <4}2. “x >2”是“x 2−2x >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0，则f[f(−2)]=( )A. −1B. 0C. 1D. 24. 函数f(x)=√x −(12)x−2的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 设a =log 20.5，b =log 0.50.2，c =212，则a ，b ，c 三个数的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a6. 函数f(x)=x 3⋅ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.7. 2021年，我国先后发射天河核心舱、问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站——“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设．“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为( )千米．(参考数据：π≈3.14)A. 471.70B. 450.67C. 235.85D. 225.338.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0成立，则不等式mf(m)−(2m−1)f(2m−1)>0的解集为()A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (−1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列命题为真命题的是()A. 若a>b，c<d，则a−c>b−dB. 若ab>0且a>b，则1a <1bC. 若a>b>0，c<d<0，则ac<bdD. 若a<b<0，则a2<ab<b210.下列说法正确的是()A. 函数y=sinx+1sinx的最小值为2B. 若正实数a，b满足a+b=1，则12a +2b的最小值为92C. 关于x的不等式ax2+bx+1<0的解集是(1,2)，则a+b=−1D. 函数f(x)=log a(x2+mx+1)(a>0且a≠1)的定义域为R，则实数m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)11.已知θ∈(0,π)且满足sinθ⋅cosθ=−1225，|sinθ|>|cosθ|，则下列说法正确的是()A. θ∈(π2,π) B. tanθ=−43C. tanθ=43D. sinθ+cosθ=1512.函数y=[x]的函数值表示不超过x的最大整数．例如[1.1]=1，[2.3]=2，设函数f(x)={1−x 2,x<0,x−[x],x≥0,则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的值域为(−∞,0]B. 若x≥0，则[f(x)]=0C. 方程f(x)=1有无数个实数根D. 若方程f(x)=−x+a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是[0,+∞)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∃x ∈R ，x 2−x +1>0”的否定是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P(−1,2)，则sinθ=______．15. 已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23+m(m ∈R)，则f(−8)=______． 16. 已知函数f(x)=x +kx 具有以下性质：如果常数k >0，那么函数f(x)在区间(0,√k)上单调递减，在区间[√k,+∞)上单调递增．若函数y =x +a−1x(x ≥1)的值域为[a,+∞)，则实数a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集为R ，集合A ={x|1≤x ≤2}，B ={x|x <m 或x >2m +1，m >0}．(1)当m =2时，求A ∩B ；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．18. 已知f(α)=sin(π2+α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2−α)cos(2π−α)tan(π−α)．(1)化简f(α)；(2)若f(π3−α)=13，求cos 2(π6+α)+cos(2π3+α)的值．19.已知函数f(x)=ax2−x+a2+1(a∈R且a≠1))．(1)若函数f(x)在区间[0,1]内为单调函数，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)>a(a+1)x(a>0)．20.已知函数f(x)=e x+e−x．(1)证明：函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增；(2)若x∈[−1,t](t>−1)时，记函数f(x)的最大值为g(t)，求g(t)．21.某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元且开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为km2，二月底测得该水生植物的面积为24m2，三月底测得该水生植物的面积为40m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的y= ka x(k>0,a>1)；另一个是同学乙提出的y=px12+k(p>0,k>0)，记2021年元旦最初测量时间x的值为0．(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)22.已知函数f(x)=kx+log3(3x+1)(k∈R)为偶函数．(1)求实数k的值；x+log3(a⋅3x−a)(a∈R)有且仅有一个实数根，求实数a的取(2)若方程f(x)=12值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A ={x|0≤x ≤3}，B ={x|1<x <4}， 则A ∪B ={x|0≤x <4}． 故选：B ．利用集合并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由题，解不等式x 2−2x >0，可得x >2或x <0， 因为{x|x >2}是{x|x >2或x <0}的子集，所以“x >2”是“x 2−2x >0”的充分不必要条件， 故选：A ．可先求解不等式“x 2−2x >0”，再由充要条件的定义进行判断即可． 本题考查了充分条件，必要条件，充要条件，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0，∴f(−2)=2−2=14，f[f(−2)]=f(14)=log 1214=2．故选：D ．推导出f(−2)=2−2=14，从而f[f(−2)]=f(14)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为[0,+∞)，易知函数在[0,+∞)上单调递增，∵f(1)=1−2<0，f(2)=√2−1>0，∴函数f(x)的零点一定在区间(1,2)，故选：B．确定函数的定义域为[0,+∞)与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵log20.5<log21=0，∴a<0，∵log0.50.2>log0.50.25=2，∴b>2，又∵c=212=√2，且1<√2<2，∴a<c<b，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x3⋅ln|x|的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(−x)=−x3⋅ln|x|=−f(x)，可得f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故排除选项A、C；当x>1时，f(x)>0，故排除选项B．故选：D．首先判断f(x)的奇偶性，再讨论x>1时，f(x)的符号，由排除法可得结论．本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为2×(388.6+6371.4)π90≈2×6760×3.1490=471.7千米．故选：A．以(388.6+6371.4)千米为轨道半径，计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：令g(x)=xf(x)，因为f(x)为R上的偶函数，即f(−x)=f(x)，所以g(−x)=−xf(−x)=−xf(x)=−g(x)，所以g(x)为R上的奇函数，因为对任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0成立，即对任意的x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，都有g(x1)−g(x2)x1−x2<0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，根据奇函数的对称性可知g(x)在(−∞,0)单调递减，即在R上单调递减，则不等式mf(m)−(2m−1)f(2m−1)>0可转化为g(m)>g(2m−1)，所以m<2m−1，解得，m>1．故选：C．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.【答案】ABC【解析】解：对于A，a>b，c<d⇒a>b，−c>−d⇒a−c>b−d，故A正确；对于B，因为ab>0，所以a>b⇒aab >bab⇒1b>1a，故B正确；对于C，a>b>0，c<d<0⇒−c>−d>0⇒−ac>−bd>0⇒ac<bd，故C正确；对于D ，取a =−2，b =−1，代入结论，显然错误，故D 错误． 故选：ABC ．根据不等式的基本性质，逐项判断即可．本题考查不等式的基本性质及其应用，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A ，当sinx =−1时，函数y =sinx +1sinx 的值为−2，故A 错误； 对于B ，若正实数a ，b 满足a +b =1， 则12a+2b =(12a+2b )(a +b)=2a b+b 2a+52≥2√2a b⋅b 2a+52=92，当且仅当2ab =b2a 时，12a +2b 的最小值为92，故B 正确； 对于C ，关于x 的不等式ax 2+bx +1<0的解集是(1,2)， 则{a >01,2是方程ax 2+bx +1=0的两个根， ∴{1+2=−ba 1×2=1a，解得a =12，b =−32，∴a +b =−1，故C 正确；对于D ，函数f(x)=log a (x 2+mx +1)(a >0且a ≠1)的定义域为R ， ∴x 2+mx +1>0的解集为R ， ∴Δ=m 2−4<0，解得−2<m <2， 实数m 的取值范围是(−2,2)，故D 错误． 故选：BC ．当sinx =−1时，函数y =sinx +1sinx 的值为−2，由此判断A ；对于B ，利用均值不等式判断B ；对于C ，利用一元二次不等式的性质判断C ；利用对数函数的性质判断D ． 本题考查命题真假的判断，考查正弦函数的性质、均值不等式、一元二次不等式的性质、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：θ∈(0,π)且满足sinθ⋅cosθ=−1225，| ∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈(π2,π)，∵|sinθ|>|cosθ|， ∴sinθ>−cosθ， ∴sinθ+cosθ>0，∵sin 2θ+cos 2θ=1，sinθ⋅cosθ=−1225， ∴sin 2θ+cos 2θ+2sinθ⋅cosθ=125，∴sinθ+cosθ=15，由{ sinθ+cosθ=15sinθcosθ=−1225，解得sinθ=45，cosθ=−35， ∴tanθ=−43． 故选：ABD ．根据同角的三角函数的关系，即可求出sinθ=45，cosθ=−35，可得答案． 本题考查了同角的三角形函数的关系，考查了运算求解能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：当x ∈[0,1)时，[x]=0，所以f(x)=x −[x]=x ； 当x ∈[1,2)时，[x]=1，所以f(x)=x −[x]=x −1； 当x ∈[2,3)时，[x]=2，所以f(x)=x −[x]=x −2； 当x ∈[3,4)时，[x]=3，所以f(x)=x −[x]=x −3； ……当x ∈[n,n +1)，n ∈N 时，[x]=n ，所以f(x)=x −[x]=x −n ； 作出函数f(x)={1−x 2,x <0,x −[x],x ≥0,的图象，如下图所示：由图象可知，函数f(x)的值域为(−∞,1)，故A错误；由图象可知，若x≥0，则f(x)∈[0,1)，所以[f(x)]=0，故B正确；由图象可知，函数f(x)与y=1没有交点，所以方程f(x)=1无实数根，故C错误；在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=−x+a的图象，如下图所示：由图象可知，若方程f(x)=−x+a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是[0,+∞)，故D正确．故选：BD．由题意可知，当x∈[n,n+1)，n∈N时，[x]=n，所以f(x)=x−[x]=x−n，作出函数f(x)和y=1的图象，由图象即可判断A，B，C是否正确；在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=−x+a的图象，由图象即可判断D是否正确．本题属新概念题，考查了数形结合思想和分类讨论思想，理解新概念的定义是解答本题的关键，作出图象是难点，属于中档题．13.【答案】∀x∈R，x2−x+1≤0【解析】解：根据题意，命题“∃x∈R，x2−x+1>0”是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2−x+1≤0，故答案为：∀x∈R，x2−x+1≤0．根据题意，由特称命题的否定方法分析可得答案．本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．14.【答案】2√55【解析】解：因为在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(−1,2)，所以sinθ=√(−1)2+22=2√55．故答案为：2√55．直接根据任意角三角函数的定义求解即可．本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题．15.【答案】−4【解析】解：由y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23+m(m∈R)，可得f(0)=0，即0+m=0，解得m=0，则f(−8)=−f(8)=−823=−4，故答案为：−4．由奇函数的性质可得f(0)=0，求得m，再由奇函数的定义计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】(−∞,2]【解析】解：当a−1≤0，即a≤1时，y=x+a−1x在[1,+∞)上单调递增，故y|x=1=a，满足题设；当a−1>0，即a>1，若a−1≥1，即a≥2时，函数在[1,√a−1)上单调递减，在(√a−1,+∞)上单调递增，故y|x=√a−1=2√a−1=a，可得a−2；若a−1<1，即1<a<2时，函数在[1,+∞)上单调递增，故y|x=1=a，满足题设．综上，a∈(−∞,2]．故答案为：(−∞,2]．当a≤1判断单调性，进而确定最值即可求范围，当a>1再讨论√a−1和1的大小关系，结合f(x)=x+kx的性质，判断[1,+∞)上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围．本题主要考查函数的单调性，函数的值域，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当m=2时，B={x|x<2或x>5}，且A={x|1≤x≤2}，∴A∩B={x|1≤x<2}；(2)∵∁R B={x|m≤x≤2m+1,m>0}，且A⊆∁R B，∴{m>0m≤12m+1≥2，解得12≤m≤1，∴实数m的取值范围是[12,1]．【解析】(1)得出集合B，然后进行交集的运算即可；(2)可求出∁R B，然后根据A⊆∁R B即可得出m的范围．本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意得，f(α)=cosα⋅(−cosα)⋅(−sinα)−cosα⋅cosα⋅(−tanα)=cosα；(2)若f(π3−α)=13，则cos(π3−α)=13，∴cos2(π6+α)=cos2(π2−(π3−α))=sin2(π3−α)=1−cos2(π3−α)=1−19=89，cos(2π3+α)=cos(π−(π3−α))=−cos(π3−α)=−13，则cos2(π6+α)+cos(2π3+α)=89−13=59．【解析】(1)直接利用三角函数的诱导公式化简；(2)利用诱导公式及三角函数的恒等变换化简求值．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)①当a=0时，则f(x)=−x+1在区间[0,1]内为单调减函数，当a≠0时，函数f(x)=ax2−x+a2+1的图象对称轴为x=12a，②当a>0时，若函数f(x)在区间[0,1]内为单调函数，则12a ≥1，即0<a≤12，③当a<0时，12a<0，∴函数f(x)在区间[0,1]内为单调减函数，∴实数a的取值范围为(−∞,12].(2)因为f(x)>a(a+1)x，即ax2−x+a2+1>a(a+1)x，整理得，ax2−(a2+a+1)x+a2+1>0，即(x−1)[ax−(a2+1)]>0，即(x−1)[x−(a+1a)]>0，因为当a>0时，a+1a>1，所以关于x的不等式f(x)>a(a+1)x的解集为{x|x<1或x>a+1a}．【解析】(1)分类讨论a的值，再利用二次函数的单调性求解即可．(1)利用一元二次不等式的解法求出解集即可．本题考查二次函数的性质，含有字母系数的一元二次不等式的解法，是中档题．20.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1<x2，则f(x2)−f(x1)=(e x2+e−x2)−(e x1+e−x1)=e x2−e x1+1e x2−1e x1=(e x2−e x1)(1−1e x2e x1)=(e x2−e x1)e x2e x1−1e x2e x1，因为0≤x1<x2，所以e x2>e x1，e x2e x1>1，所以ex 2−ex 1>0，e x 2e x 1−1e x 2e x 1>0，所以(e x 2−e x 1)e x 2e x 1−1e x 2e x 1>0，所以f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增．(2)解：因为f(−x)=e −x +e x =e x +e −x =f(x)， 所以函数f(x)为偶函数，因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，所以当−1<t <1时，x =−1时函数f(x)取得最大值，即g(t)=f(−1)=e +e −1， 当t ≥1时，x =t 时函数f(x)取得最大值，g(t)=f(t)=e t +e −t ， 所以g(t)={e +e −1,−1<t <1e t +e −t ,t ≥1．【解析】(1)利用单调性的定义证明即可，(2)先判断函数为偶函数，则结合(1)可得f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，然后根据偶函数图象的对称性和函数的单调性可求出f(x)的最大值．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)由三月底面积增量几乎是二月的一倍，根据幂函数，指数函数，对数函数增长快慢的比较，选择y =ka x 比较合适；由题意可得{24=ka 240=ka3，∴{a =53k =21625， ∴y =21625×(53)x ；(2)由(1)知，一月底时水生植物的面积为21625×(53)1=21615；假设x 月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即21625×(53)x ≥10×21615，∴(53)x ≥503，∴xlg 53≥1+lg 53，因lg 53>0，即x ≥1+1lg 53=1+11−lg2−lg3≈5.5，即6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．【解析】(1)根据幂函数，指数函数，对数函数增长快慢的比较，易判断出选择哪个模型；(2)利用(1)得出的函数模型，即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，指数与对数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴−kx +log 3(3−x +1)=kx +log 3(3x +1)， ∴2kx =log 3(3−x +1)−log 3(3x +1)=log 33−x +13x +1=log 313x =log 33−x =−x ，∴k =−12．(2)方程f(x)=12x +log 3(a ⋅3x −a)(a ∈R)有且仅有一个实数根，∴方程−12x +log 3(3x +1)=12x +log 3(a ⋅3x −a)(a ∈R)有且仅有一个实数根， 即方程x =log 33x +1a(3x −1)(a ∈R)有且仅有一个实数根，即方程3x =3x +1a(3x −1)(a ∈R)有且仅有一个实数根， 令t =3x ，则t >0，∴方程at 2−(a +1)t −1=0只有一个正根， ①当a =0时，t =−1<0，不符合题意； ②当a >0时，Δ=(a +1)2+4a >0，∴方程at 2−(a +1)t −1=0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2， 则t 1⋅t 2=−1a <0，∴t 1，t 2异号，即一正一负，符合题意； ③当a <0时，设f(t)=at 2−(a +1)t −1，注意到f(0)=−1，要使方程at 2−(a +1)t −1=0只有一个正根，则{−−(a+1)2a>0Δ=(a +1)2+4a =0，解得a =−3−2√2，综上所述，实数a 的取值范围为{a|a >0}∪{−3−2√2}.【解析】(1)利用f(−x)=f(x)，结合对数的运算性质即可求出k 的值．(2)方程f(x)=12x +log 3(a ⋅3x −a)(a ∈R)有且仅有一个实数根，等价于方程−12x +log3(3x+1)=1x+log3(a⋅3x−a)(a∈R)有且仅有一个实数根，即方程3x=23x+1(a∈R)有且仅有一个实数根，令t=3x，则t>0，所以方程at2−(a+1)t−1=0 a(3x−1)只有一个正根，再对a分三种情况讨论，结合二次函数的图象和性质分别求出a的取值范围，最后取并集即可．本题主要考查了偶函数的性质，考查了对数的运算性质，以及一元二次方程根的分别，属于中档题．。

山东省济宁市曲阜师范大学附属中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析

山东省济宁市曲阜师范大学附属中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析

山东省济宁市曲阜师范大学附属中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若曲线在点（0,处的切线方程是，则A． B. C. D.参考答案：D2. sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（3π+）=﹣sin（π+）=sin=．故选：A．3. 三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有A.１条B.２条C.３条D.１或２条参考答案：C4. （5分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，] B．（，+∞）C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）参考答案：A考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．解答：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．5. 设数列的前n项和，则的值为（）A．15 B．16 C．49 D． 64参考答案：A略6. 下列集合的表示法正确的是（）A．实数集可表示为R；B．第二、四象限内的点集可表示为；C．集合；D．不等式的解集为参考答案：A7. 已知角的顶点是坐标原点，始边是x轴的非负半轴，其终边上有一点P的坐标是，则，的值分别是(A)，(B)，(C)，(D)，参考答案：D8. 设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则A． B． C． D．参考答案：B略9. 在下列各对应关系中，是从A到B的映射的有（）A．⑴⑶⑷ B．⑵⑶⑸C．⑴⑵⑷⑸D．⑵⑷⑸参考答案：D略10. 已知三角形的三点顶点的及平面内一点满足,则与的面积比为（）A． B.C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果且，那么＝参考答案：12. 若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则a+b表示．参考答案：向东北方向走8km【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用平行四边形法则求向量的和．【解答】解：｜a+b｜==8（km）．故答案为：向东北方向走8km．【点评】本题考查向量的加减运算法则，是一道基础题．13. 已知函数f （x）的定义域为[0，2]，则f （2x﹣1）的定义域．参考答案：[，]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意得不等式0≤2x﹣1≤2，解出即可．【解答】解：∵0≤2x﹣1≤2，∴≤x≤，故答案为：[，]．14. 给出下列命题：①函数的最小值为5；②若直线y=kx+1与曲线y=|x|有两个交点，则k的取值范围是﹣1≤k≤1；③若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15°或75°④设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列⑤设△ABC的内角A．B．C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA则sinA：sinB：sinC为6：5：4其中所有正确命题的序号是．参考答案：①③④⑤略15. 如图，己知,为锐角，平分，点为线段的中点，，若点在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于的式子中，满足题设条件的为（写出所有正确式子的序号）．①；②；③；④；⑤．参考答案：16. lg+2lg2﹣（）﹣1= ．参考答案：﹣1【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1．17. 若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为．参考答案：﹣1【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，分别令x=2和x=，利用加减消元法，可得答案．【解答】解：∵f（x）+2f（）=3x，∴f（2）+2f（）=6，…①；f（）+2f（2）=，…②；②×2﹣①得：3f（2）=﹣3，故f（2）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高一上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)

高一上学期数学人教B版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)

高一上学期数学人教B 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数a 取值集合的真子集的个数为( )A.2B.3C.7D.82.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上单调递增，若关于x 的不等式，则不等式的解集为( )A. B.C. D.3.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )A.4.若函数，在上单调递增，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知函数的定义域为R ，对任意的，且，都有成立.若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.6.“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分281{50}A x x x =-+={10}B x ax =-=B A ⊆()f x [)0,+∞()f x ][),22,-∞-+∞ ()232f x x >()(),22,-∞-+∞ ()2,2-()(),44,-∞-+∞ ()4,4-()()212e 1b x f x a x -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0f x ≤ab ()2log 1,13(),3x x f x ax x x ⎧+-<≤⎪=⎨+>⎪⎩(1,)-+∞[]3,9-[)3,-+∞[]0,9(],9-∞()f x 1x 2x 12x x ≠()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()()22326f x x a f x a a -+>--x ∈R ()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,4,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,10别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是( )A.该组数据的中位数为7B.该组数据的平均数为7.5C.该组数据的第60百分位数为7.5D.该组数据的极差为57.口袋中有2个红球和2个白球（形状和大小完全相同），从中随机不放回地依次摸出2个球，设事件“第1次摸出的是红球”，“第2次摸出的是红球”，“摸出的两个球均为红球”，“摸出的两个球颜色不同”则下列说法正确的是( )A.A 与B 互斥B.C 与D 互为对立C.D.A 与D 相互独立8.已知，若A.-2B.-1C.二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若非空实数集M 满足任意，都有， ，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是( )A.是优集B.是优集C.若是优集，则或D.若是优集，则是优集10.已知函数是定义域为R 的偶函数，满足，当时，，则( )A.的最小值是的周期为4C. D.11.已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，.则( )A.任意交换，，的顺序，不影响X 的取值A =B =C =D =B C⊆0a ≠20212021()20a b a a b ++++=,x y M ∈x y M +∈x y M -∈A B A B A B A B ⊆B A⊆A B A B ()f x (2)(2)f x f x +=-02x ≤≤2()f x x x =-()f x ()f x (2025)2f =20271()1014i f i ==∑1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =1x 2x 3xB.满足及的排列有20个C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.13.已知函数，若恒成立，则实数k 的取值范围为__________.14.已知不等式对于恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.（1）求实数a 的值：（2）探究的单调性，并证明你的结论；（3）解关于x 的不等式.17.（15分）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.123x x x <<456x x x <<X =X >4:3:3(01)p p <<p ()()221f x x x kx x =-+-∈R ()0f x ≥4220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞()f x ()()42322x xf f +-⨯>(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差..记两组，则总体样本方差）18.（17分）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为，2023年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型（，）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？（参考数据：，）.19.（17分）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；lg30.48≈[)60,70[)60,80[)70,80122()()222221122m ns s x w s x wm n m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++236m248m2m xy ka=0k>1a> 2(0)y mx n m=+>220m2810mlg20.30≈否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.答案以及解析1.答案：C解析：由，得，解得或，所以.当时，，满足；当时，，因为，解得，所以实数a 取值集合的真子集的个数为，故选C.2.答案：B解析：令为偶函数，且在上递增，，结合题设知，在上，在上，令上递增，，若上，则有，在上，则有，综上，结合题设的性质，不等式的解集为.故选：B 3.答案：C解析：由，解得，令，解得，则，，不符合题意；当，则，，不符合题意；所以，则当时等号成立，4.答案：A解析：当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，28150x x -+=(3)(5)0x x --=3x =5x ={3,5}A =0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=5=a ==110,,35⎫⎬⎭3217-=()3||g x x =()0,+∞(2)6g =(2)6f =(,2)(2,)-∞-+∞ ()()g x f x >()2,2-()()g x f x <3()2h x =)0,+∞(2)(2)(2)6h g f ===23()()3||3||2y h x g x x x x =-=-=(,2)(2,)-∞-+∞ 0y >()()()h x g x f x >>()2,2-0y <()()()h x g x f x <<()f x ()232f x x >()2,2-120a x --=12x a =-2e10bx --=x =2a ->,122b x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x -->2e 10b x -->12a -<12,2b a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭120a x --<2e10bx --<12a -=24a =-()21124444ab a a a ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭a =1=13x -<≤2log (1)y x =+(,2]-∞()f x (1,)-+∞在，即；综上，.故选：A5.答案：C解析：不妨设，又，所以，即，所以在R上单调递增，所以对任意恒成立，即，即对任意恒成立，所以，解得或，故选：C.6.答案：B解析：首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确；，因此B说法不正确；，因此C说法正确；又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确；故选：B.7.答案：D解析：令2个红球和2个白球分别为从中随机不放回地依次摸出2个球有：，共12种，事件A对应事件为，有6种，事件B对应事件为，有6种，23aa+≥⇒≥-)+∞ay xx=+309a<≤39a-≤≤12x x<()()()1212f x f x x x-->⎡⎤⎣⎦()()12f x f x-<()()12f x f x<()f x()()22326f x x a f x a a-+>--x∈R 22326x x a x a a-+>--224270x x a a-++>x∈R()()2244270a a∆=--+<4a<-a>()1,4,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭7.5=945-=1,2,1,2R R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),(1,2),R R R W R W R R R W R W W R W R W W(2,1),(2,2),(2,1)W R W R W W(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)R R R W R W R R R W R W(1,2),(2,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R R R R W R W R W R W R事件C对应事件为，有2种，事件D对应事件为，有8种，综上，A与B不互斥，C与D互斥但不对立，，且事件对应事件为，有4种故故A、B、C错，D对故选：D8.答案：A，则，所以由，得，即，亦即.当且，即时，等式显然成立.当时，则有，所以.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则.这与矛盾，所以不成立.当时，有，即.因为函数是实数集上的增函数，所以由，得，则，这与矛盾，所以不成立.综上可知，.故选A.9.答案：ACD解析：对于A中，任取，，因为集合A，B是优集，则，，则，，，则，所以A正确；对于B中，取，，则或，令，，则，所以B不正确；对于C中，任取，，可得，因为是优集，则，，若，则，此时；若，则(1,2),(2,1)R R R R(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,1),(1,2),R W R W R W R W W R W R(2,1),(2,2)W R W RC B⊆1(),2P A P=AD(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)R W R W R W R W()P AD=()()()P A P D P AD=k=b ak=20212021()20a b a a b++++=20212021()20a ak a a ak++++=20212021[(1)1](2)0a k a k++++=20202021(1)1(2)0a k k⎡⎤++++=⎣⎦2021(1)10k++=20k+=2k=-2021(1)10k++≠2020a=0≠202020212(1)1kak+=->++20k+<2021(1)10k++>20212021(1)(1)k+>-2021y x=20212021(1)(1)k+>-11k+>-20k+>20k+<2021(1)10k++> 20k+>2021(1)10k++<20212021(1)(1)k+<-2021y x=20212021(1)(1)k+<-11k+<-20k+<20k+>2021(1)10k++<2k=-x A B∈ y A B∈ x y A+∈x y B+∈x y A B+∈ x y A-∈x y B-∈x y A B-∈{|2,}A x x k k==∈Z{|3,}B x x m m==∈Z{|2A B x x k==3,}x k k=∈Z 3x=2y=5x y A B+=∉x A∈y B∈,x y A B∈ A Bx y A B+∈x y A B-∈ x y B+∈()x x y y B=+-∈A B⊆x y A+∈，此时，所以C 正确；对于D 中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D 正确.故选：ACD.10.答案：ABD解析：由于，所以的图象关于直线对称，由于是定义在R 上的偶函数，所以的图象关于y 轴对称，所以是周期为4的周期函数，故B 正确.当时，的图象开口向上，对称轴为直线，，，，的周期性、图象的对称性可知，的最小值是，故C 错误.因为，，，，所以，所以，故D 正确.故选ABD.11.答案：ABD解析：对于A ，注意到当，，被确定后，，，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的，，的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即.注意到任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换，，的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及.注意到，整体交换，，和，，也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，，将满足以上条件的排列列举如下：()y x y x A =+-∈B A ⊆A B A B ⊆A B A = B A ⊆A B B = A B (2)(2)f x f x +=-()f x 2x =()f x ()f x ()f x 02x ≤≤2()f x x x =-12x =(0)0f =(2)2f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭max ()(2)2f x f ==min 1()2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x ()f x 2(2025)(50641(1)110)f f f =⨯+==-=(1)0f =(2)2f =(3)(1)(1)0f f f =-==(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)2f f f f +++=202712024()2(1)(2)(3)101202010144i f i f f f ==⨯+++=+++=∑1x 2x 3x 4x 5x 6x 1x 2x 3x 36C 20=1x 2x 3x 4x 5x 6x 123x x x <<456x x x <<1x 2x 3x 4x 5x 6x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =12.答案：解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故p 的取值范围是.13.答案：解析：由题意得，当时，由恒成立，得，解得；当时，由上单调递增，所以，解得；当时，由恒成立，得，即，所以.综上，实数k 的取值范围是.故答案为：14.答案：解析：不等式对于恒成立，即不等式对于恒成立，令，则，所以不等式对于恒成立，所以恒成立，令，函数在上单调递减，所以，即[0.2,0.26]4330.20.250.1550.30.233433433433p p ⨯+⨯+⨯=+≤++++++0.26p ≤0.2p ≥[]0.2,0.26[]1,1-()221,111,11x kx x x f x kx x ⎧--≥≤-=⎨-+-<<⎩或1x ≥()2210x f x kx --≥=2k x ≤-2y =11x x-≥1k ≤1x ≤-()2210x f x kx --≥=],1-∞-121x x -≤-1k ≥-11x -<<()0f x ≥()()1010f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩1010k k +≥⎧⎨-+≥⎩11k -≤≤[]1,1-[]1,1-()1,-+∞4220xxa ⋅-+>(],0x ∈-∞()22220x x a ⋅-+>(],0x ∈-∞2x t =(]0,1t ∈220at t -+>(]0,1t ∈22212t a t t -⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭(]0,1∈m =[)1,∈+∞221224y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭[)1,+∞()2max21m m-+=-，所以，即实数a 的取值范围是.故答案：为2max 1121t t ⎡⎤⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a >-()1,-+∞()1,-+∞16.答案：（1）（2）增函数，证明见解析（3）解析：（1）因为函数的图像关于点中心对称，所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，即函数的图像关于点中心对称，因此函数是奇函数，于是有，即因为，所以符合题意；（2）因为设，是任意两个实数，且，因为，所以，因此，所以函数（3）因为函数的图像关于点中心对称，所以，即，所以由，因为函数所以，或，解得，或，因此原不等式的解集为.2a =()(),01,-∞+∞ ()f x a =-x ∈R ()0,1()0,0()2121x g x a =--+()0,0()2121x g x a =--+()2010211g a a =--=⇒=+()1g x =()()222221*********x x x x g x g x -⨯+-+=-+-=-=+++()1g x =a =1x 2x 12x x <()()121222222121x x f x f x -=--+=++12x x <1222x x <()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()2f x =(f x ()0,1()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-()()()()()4232242232232x x x x x f f f f f ⎡⎤+-⨯>⇒>--⨯=--⨯⎣⎦()2f x =()()()42322122022x x x x x --⨯⇒-->⇒>>21x <1x >0x <()(),01,-∞+∞17.答案：(1)平均数为71，众数为75；(2)88；(3)平均数为76，方差为12.解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均数.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x ，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为88分.（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，的频率与的频率之依题意有，，解得，所以内的平均成绩为76，方差为12.18.答案：（1）；（2）至少到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到解析：（1）若选择模型（，），则解得.若选择模型，则解得，450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.100.150.150.300.700.90+++=<0.700.250.950.90+=>90%()0.70800.0250.90x +-⨯=88x =[60,70[70,80=)70,80[)60,8012736733=⨯+76=()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦2212s =[)70,8081443xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭21213255y x =+2810m x y ka =0k >1a >2336,48,ka ka ⎧=⎨=⎩a ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭2(0)y mx n m =+>436,948,m n m n +=⎧⎨+=⎩1205m =>n =故函数模型为（2）把代入，可得，把代入，因为26.4与20相差比较大，故选择模型更合适.，可得，两边取对数可得，即，所以，至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到.解析：(1)甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确选项只有一个，样本空间，共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为(2)由题意得乙得0分的概率为乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件B ：乙得10分，丙得5分，则事件C ：乙得7分，丙得2分，则AB AC AD 2125y x =+0x =81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭8120.254y ==0x =2125y x =+13226.45y ==81443x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭48103x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4403x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭4lg lg 403x ≥lg 402lg 2120.3113.3342lg 2lg 320.30.48lg 3x +⨯+≥=≈≈-⨯-14x ≥2810m BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD {},,,,,,,,,,AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD ABD ABCD Ω=P =11124--=1162--=()111111226336P B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()1111111124422323P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭事件D ：乙得5分，丙得0分，则所以乙比丙总分刚好多得5分的概率()111111244233P D ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()111361236P P B C D =++=++=。

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}2|4,{|1}M x x N x x =>=>，则()R M N =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{}|2x x ≥-C ．{|1}x x >D ．{}2|x x ≤【答案】B【分析】解一元二次不等式求M ，应用集合的并、补运算求集合. 【详解】由题设{|2M x x =<-或2}x >，则R {|22}M x x =-≤≤， 而{|1}N x x =>，故()R {|2}M N x x ⋃=≥-. 故选：B 2．若2i12iz +=-，则z =（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】D【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出z 即可. 【详解】2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====--+，故i z =-. 故选：D3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 2,03,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用给定函数可得()()20231f f =，结合解析式及对数运算求函数值即可.【详解】由题设，当0x >时，()(3)f x f x =-，即当0x >时，函数()f x 的值每隔3个单位重复出现， 则()()()()()2220233674112log 22log 42f f f f ⎡⎤=⨯+==-=--==⎣⎦. 故选：C4．已知函数()22x f x x =-在点()()22f ,处的切线与直线10x ay ++=垂直，则=a （ ）A ．()6ln21-B ．()4ln21-C ．()2ln21-D ．0【答案】B【分析】求出()2f '后可求a 的值.【详解】()2ln 22xf x x '=-，故()24ln 24f '=-，故图象在点()()22f ,处的切线的斜率为4ln 24-， 所以()14ln 241a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭即4ln 24a =-，故选：B5．在梯形ABCD 中，1,3AB DC BE EC ==，且AE xAB y AD =+，则x y +=（ ）A ．16B ．12C ．52D ．72【答案】C【分析】由向量在几何图形中位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用,AB AD 表示出AE ，进而求x y +.【详解】由AE AB BE AD DE =+=+，故2AE AB BE AD DE =+++，又BE CE =-，则3DE DC CE DC BE AB BE =+=-=-， 所以24AE AB AD =+，即122AE AB AD =+， 由AE xAB y AD =+，故152,,22x y x y ==+=.故选：C6．已知数列{}n a 的前n 项和1(0,1)nn S q q q =->≠.则“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】应用,n n a S 求{}n a 通项公式，结合等比数列定义确定{}n a 的性质，再由等比数列性质及充分、必要性定义判断推出关系即可.【详解】由题设111a S q ==-，且112(1),n n n n a S S q q n --==-≥-，显然11a q =-满足上式，则11n n a a q -=，即{}n a 是首项为1q -，公比为q 的等比数列，当01q <<时，10q ->，则{}n a 为递减数列； 当1q >时，10q -<，则{}n a 为递减数列.若{}n a 为递减数列，则1001q q ->⎧⎨<<⎩或101q q -<⎧⎨>⎩，即01q <<或1q >，所以“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的充分不必要条件. 故选：A7．已知圆22:430C x y y +-+=，点()7,12M ，直线:l y x =.点P 是圆C 上的动点，点Q 是l 上的动点，则PQ QM +的最小值为（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】找到M 关于:l y x =的对称点(12,7)M '，由||PQ QM PM '+≥且min ||||1PM CM ''=-，即可求最小值.【详解】由题设22:(2)1C x y +-=，即是圆心为(0,2)C ，半径为1的圆， 又227(122)1491+-=>，在圆外同时不在直线:l y x =上，如下图示：若M '为M 关于:l y x =的对称点，则(12,7)M '，则||PQ QM PQ QM PM ''+=+≥，而min ||||1PM CM ''=-，所以||112PQ QM CM '+≥-=，仅当,,,C P Q M '共线且P 在,C Q 之间时等号成立， 故PQ QM +的最小值为12. 故选：B8．设0.16e ,ln 5a b c === ）A ．b<c<aB ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A【分析】根据b c -、a c -的形式分别构造1()2ln f x x x x=+-、e ()x g x =，注意给定定义域范围，利用导数研究单调性，进而判断定义域上函数值符号，即可判断大小关系.【详解】由6ln 5b c -=+1()2ln f x x x x =+-，且1x >，所以22211()1(1)0f x x x x'=--=--<，即()f x 在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0f x f <=在(1,)+∞上恒成立，故21ln x x x+<在(1,)+∞上恒成立，有b c <，由0.1e a c -=e ()x g x =，且102x <<， 所以()exg x '=1(0,)2上递增，则()(0)0g x g ''>=，即()g x 在1(0,)2上递增，所以0()(0)e 10g x g -==>在1(0,)2上恒成立，故e x >1(0,)2上恒成立，有a c >.综上，b<c<a . 故选：A二、多选题9．设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A ．若,a b a c ⊥⊥，则//b c B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ D ．若//a b ，//a α，则//b α 【答案】BC【分析】由线面、线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A ：,a b a c ⊥⊥，则,b c 可能异面、相交或平行，错误； B ：,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两条直线平行知：//a b ，正确；C ：若,αβ不平行，则,αβ必相交，令d αβ⋂=，假设,a a αβ⊥⊥垂足分别是,A B ，在d 上找一点C ，连接,AC BC ， 故AC α⊂，BC β⊂，则,a AC a BC ⊥⊥，故90CAB CBA ∠=∠=︒， 在△ABC 中内角和大于180︒，显然矛盾，故//αβ，正确；D ：//a b ，//a α，则//b α或b α⊂，错误. 故选：BC10．已知函数()cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在[],ππ-上有4个零点C ．()f x 2D ．()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AC【分析】根据偶函数的定义可判断A 的正误，求出函数在[]0,π上的零点和最值后后可判断BC 的正误，利用辅助角公式结合正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()()cos sin f x x x f x -=-+-=，故()f x 为偶函数， 故A 正确.当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，令()0f x =，则cos sin 00πx x x +=⎧⎨≤≤⎩，解得3π4x =，故()f x 在[],ππ-上有2个零点，故B 错误. 又当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ3π444x <+<且sin y t =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.当0x ≥时，()cos sin f x x x =+；当0x <时，()()cos sin cos sin f x x x x x =-+=+；故()cos sin f x x x =+，而()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+++=+， 故()f x 是周期函数且周期为2π.而当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，故()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时ππ5π444x ≤+≤，故πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故()1f x -≤()max π4f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭由()f x 为偶函数可得()f x 在[],ππ-由()f x 的周期性可得()f x 在R 故选：AC.11．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，则（ ）A ．直线l 过定点()3,2B ．当点F 到直线l 的距离最大时，1m =-C ．动点N 的轨迹为椭圆D ．MF MN +的最小值为3 【答案】ABD【分析】根据题意求出直线l 的定点即可判断选项A ；利用点到直线的距离公式，将式子整理化简即可判断选项B ；根据垂直即可判断选项C ；作出图象，借助抛物线的定义即可判断选项D.【详解】直线:320l mx y m --+=可化为(3)(2)0m x y ---=，令3020x y -=⎧⎨-=⎩，解得：32x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()3,2，故选项A 正确；由题意可知：(1,0)F ，则点F 到直线l 的距离d == 当0m =时，2d =；当0m ≠时，222324(21)24(1)111m m m m d m m m m-+-+===-+++， 因为1(,2][2,)m m+∈-∞-+∞，所以当1m =-时，d 取最大值222>，也即点F 到直线l 的距离最大时，1m =-，故选项B 正确；因为过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，直线l 过定点(3,2)P ，则FN NP ⊥，所以点N 在以PF （PF 的长度为定值）为直径的圆上，也即动点N 的轨迹为圆，故选项C 错误； 过点M 作MD 与准线垂直并交准线于点D ，连接PF ，取PF 的中点E ，则E 的坐标为(2,1)，2EP =，因为FN l ⊥，则点N 在以PF 为直径的圆上，其方程为22(2)(1)2x y -+-=，又由MF MD =，得MF MN MD MN +=+，如图所示：MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -+-=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线=1x -垂直并交于点D ，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M '，则D N ''即为MD MN +的最小值，即min ()32MD MN D N ED EN ''''+==-=故选项D 正确， 故选：ABD .12．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列.在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N .则下列结论正确的是（ ） A ．87a = B ．819S =C ．2023a 是偶数D ．()32224n n n S S a n --=++≥【答案】BCD【分析】根据递推关系依次写出前8项，再求8S ，判断A 、B ；根据已知判断数列{}n a 中奇偶数出现的规律，找出其周期，即可判断C ；根据递推关系，应用累加法得到2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，两边都加上前3项即可判断D.【详解】由题设4212,a a a =+=5322a a a =+=，6433a a a =+=，7544a a a =+=，8655a a a =+=，A 错误；由上分析，12388...19a a S a a ++=++=，B 正确；由()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N 知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数，而20237289=⨯，故2023a 是偶数，C 正确；由421a a a =+，532a a a =+，643a a a =+，…，23n n n a a a --=+，且4n ≥， 所以2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，又123...nn S a a a a =++++，故()1233223322...22n n n n n S a a a a a a a S a ----=+++++++=++，D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________. 【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-， 则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++， 故答案为：25-14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若55678915,35S a a a a a =++++=，则14S =__________. 【答案】105【分析】利用等差数列前n 项和公式、等差中项的性质求得33a =、77a =，进而确定公差以及通项公式，最后求14S 即可. 【详解】由题设15355()521522a a a S +⨯===，则33a =， 567897535a a a a a a ++==++，则77a =，若公差为d ，则7314a a d -==，故3(3)n a a n d n =+-=， 故1141414()7151052a a S ⨯+==⨯=.故答案为：10515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且213PF PF =，若122cos 3F PF ∠=，则该双曲线的离心率是__________.【分析】根据双曲线的定义求出1PF ，2PF ，再在12PF F △中利用余弦定理得到2246c a =，即可得解.【详解】解：因为213PF PF =，122PF PF a -=，故13PF a =，2PF a =，在12PF F △中，利用余弦定理得到122224923cos c a a a a F PF ∠=+-⨯⨯，化简整理得到2246c a =，即2c =， 所以离心率62c e a.故答案为：16．三棱锥-P ABC 中，2π,,,3PA PB CA CB ACB PC CA ∠===⊥，若2CA CP +=，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积的最小值为__________. 【答案】16π5【分析】先确定三棱锥-P ABC 的球心在底面外接圆圆心作底面垂线上，与线段PC 中垂线的交点上，底面外接圆半径用CA 的长来表示，求出外接球半径也用CA 的长来表示，然后球最值即可. 【详解】如图所示，因为,,PA PB CA CB PC PC === 所以PCA PCB ≅所以PCA PCB ∠≅∠，又因为PC CA ⊥ 所以PC CB ⊥ 又因为CA CB C ⋂= ,CA CB ⊂平面CAB所以PC ⊥平面ABC ，设H 为ABC 的外心，过H 作平面ABC 的垂线，过P 作CH 的平行线，两线交于点D ，取DH 的中点O ，连接OC ，则O 为三棱锥-P ABC外接球的球心； 设,2,CA x PC x AB ==-=设三棱锥-P ABC 的外接球半径为R ，外接圆半径为r ， 则222πsin3ABr x ==， 所以222222552441244555x R x x x x -⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积的最小值为16π5.故答案为：16π5四、解答题17．如图所示，,,A B C 为脚两侧共线的三点，现计划沿直线AC 开通穿山隧道，在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===，在地面测得5AD =千米，1BE =千米，()1033BC =-千米.求隧道DE 的长度.【答案】(43+千米【分析】在PBC 中，由正弦定理可得求出PC 的长，在R t PAC 中求出AC 的长. 【详解】解：由在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===得： 30,15,135,60,90C BPC PBC PAC APC ︒︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=在PBC 中，由正弦定理可得：sin sin BC PCBPC PBC=∠∠即：(1033sin15sin135PC ︒︒=解得：3PC =在R t PAC 中，由sin PCPAC AC∠= 得：sin PCAC PAC=∠即：203403AC =所以DE AC AD BE BC =---即：(40511034DE =---=+所以隧道DE的长度约为(4+千米.18．数列{}n a 是正项等比数列，已知12a =且324,3,a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2122log ,n nn n n n nb b b ac b b +-==+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1)2n n a = (2)(2)1n n n n S +=+【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出{}n a 的通项公式； （2）由（1）、题设可得1111n c n n =+-+，应用裂项相消法求n S . 【详解】（1）由题设2346a a a =+，令{}n a 公比为0q >，则12n n a q -=，所以231222q q q +=，即26(3)(2)0q q q q +-=+-=，则2q ，故2n n a =.（2）由（1）知：2log n n b a n ==，则2222(1)111111(1)1n n n n n c n n n n n n n n +-++===+=+-++++，所以1111111(2)...(1...)1223111n n n n c c n n n S n n n +=++=+-+-++-=+-=+++. 19．已知函数()sin f x x x mx =+.(1)若函数()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 在()0,2π内有两个极值点,αβ，讨论αβ+的值. 【答案】(1)m 1≥ (2)2π3αβ+=或8π3【分析】（1）由题设π()2sin()3f x x mx =-+，可得π()2cos()3f x x m '=-+，根据()0f x '≥在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求范围即可；（2）将问题转化为π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，数形结合法判断,αβ的对称轴，即可得结果.【详解】（1）由π()sin 3cos 2sin()3f x x x mx x mx =-+=-+，所以π()2cos()3f x x m '=-+，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π[,]363x -∈-，故()[1,2]f x m m '∈-+，又()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即10m -≥，所以m 1≥.（2）由()0,2πx ∈，令π()2cos()03f x x m '=-+=，则π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，而π()2cos(),3g x x y m =--=图象如下，由图知：要使(),g x y m =有两个交点，则交点横坐标关于π3x =或4π3x =对称， 所以2π3αβ+=或8π3. 20．如图所示，在高为2的三棱锥-P ABC 中（ABC 为底面），,2AB BC AB ⊥=，22,PA PC D==为AC 的中点.若三棱锥-P ABC 的体积为43.(1)证明：平面ABC ⊥平面PBD ； (2)求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 63【分析】（1）由棱锥体积公式求得2BC =，根据等腰三角形的性质有BD AC ⊥、PD AC ⊥，利用线面、面面垂直的判定证结论；（2）由（1）P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，进而可得DH BD =，讨论H 与B 在AC 两侧、H 与B 重合两种情况，并构建空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【详解】（1）由题设11243633P ABC ABCV Sh AB BC h BC -=⋅⋅=⋅⋅⋅==且-P ABC 的高2h =，故2BC =， 由2AB =且D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，又22PA PC ==，则PD AC ⊥， 由BD PD D =，,BD PD ⊂面PBD ，故AC ⊥面PBD ， 又AC ⊂面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBD ；（2）由（1）知：P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，且2222AC AB C P B PA C =+===， 所以362PD PA ==，则222DH PD h =-=，即DH BD =， 当H 与B 在AC 两侧，则D 为AC 、BH 的中点，且AB BC ⊥，故ABCH 为正方形且PH ⊥面ABCH ， 构建以H 为原点，,,HA HC HP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C P ，故(2,0,2),(0,2,2),(2,0,0)AP CP CB =-=-=， 令(,,)m x y z =为面PBC 的一个法向量，则22020CP m y z CB m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，(0,1,1)m =满足；令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n b c AP n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时26cos ||3||||23m n m n θ⋅===⨯；当H 与B 重合，且AB BC ⊥，又PH ⊥面ABCH ，,AB BC ⊂面ABCH ， 所以,PH AB PH BC ⊥⊥，构建以H 为原点，,,BC BA BP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A C P ，故(0,2,2),(2,0,2)AP CP =-=-， 易知：(0,1,0)m =为面PBC 的一个法向量，令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n a c AP n b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时13cos ||3||||3m n m n θ⋅===；综上，二面角A PC B --的余弦值为63或33. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21//l l 且2l 与椭圆C 交于,A B 两点. （i ）求直线1l 的方程； （ii ）求PAB 面积的最大值. 【答案】(1)22:14x C y +=(2)（i ）13240l x y -+=；（ii 33【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得2241a b ⎧=⎨=⎩，即可得椭圆方程；（2）（i）切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立椭圆方程并整理，结合Δ0=求参数k ，即可得直线方程； （ii ）令直线:AB y m +，联立椭圆方程，注意0∆>求参数m 范围，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求||AB 、P 到直线AB 的距离，进而得到PAB 面积关于m 的函数，利用导数求最大值即可.【详解】（1）由题设223114c a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎨=⎩，故22:14x C y +=；（2）（i）由题设，切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立2214x y +=，整理得：222(41)41)1230k x k x k +++++-=，所以2222161)4(41)(123)0k k k ∆=+-++-=，即222241)(41)(123)k k k +=++-，整理为2243(20k k -+==，所以k11:2l y x -=，则1240l y -+=；（ii ）由（i ），令直线:AB y m +，联立22:14x C y +=，整理得：2210x m +-=，且22234(1)40m m m ∆=--=->，即22m -<<，所以2,1A B A B x x x x m +==-，则||AB = 又P到:AB y m +的距离d ==，所以1||2PABSAB d =⋅= 令2(0,4)t m =-∈，且33(2)(2)(4)y m m t t =-+=-，则24(3)y t t '=-， 当03t <<时，0'>y ，即y 递增；当34t <<时，0'<y ，即y 递减； 所以max 3|27(43)27t y y ===⨯-=，故PAB面积的最大值为PABS=22．已知函数()e ln xf x ax x x =--，若()1f x ≥恒成立，(1)求实数a 的取值范围；(2)当0x >时，证明：1e 12sin x x x x >-+.【答案】(1)1a ≥ (2)证明见解析【分析】（1）问题转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围；（2）由（1）知e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，应用分析法，将问题化为证1ln 2sin x x x x++>恒成立，讨论1x ≥、01x <<，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设()e ln 1x f x ax x x =--≥在(0,)+∞上恒成立， 所以ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()e xx x g x x ++=，则2(1)(ln )()e xx x x g x x ++'=-， 令()ln h x x x =+，则1()10h x x'=+>在(0,)+∞上恒成立， 所以()h x 在(0,)+∞上递增，显然111()ln 0222h =+=，(1)10h =>，故01(,1)2x ∃∈使0()0h x =，则0(0,)x 上()0h x <，0(,)x +∞上()0h x >， 所以0(0,)x 上()0g x '>，()g x 递增；0(,)x +∞上()0g x '<，()g x 递减；又00ln x x =-，即00xx e -=，则000max 00ln 1()()1e x x x g x g x x ++===，综上，1a ≥.（2）由（1）知：e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，所以e ln 1x x x x ≥++且,()0x ∈+∞，要使1e 12sin xx x x >-+恒成立，只需证1ln 2sin x x x x +>-恒成立，只需证1ln 2sin x x x x ++>恒成立，当1x ≥时，若1y x x =+，则2110y x'=-≥，即y 递增，又ln y x =也递增， 所以1ln y x x x=++在[1,)+∞上递增，故1|22sin x y y x =≥=>恒成立， 当01x <<时，令sin y x x =-且(0,1)x ∈，则1cos 0y x '=->，即y 递增，故0|0x y y =>=， 所以sin x x >在(0,1)上恒成立，故11ln 2sin ln x x x x x x x++->-+，令1()ln k x x x x =-+，则22213()1124()10x k x x x x -+'=--=-<， 所以()k x 在(0,1)上递减，故()(1)0k x k >=，即11ln 2sin ln 0x x x x x x x++->-+>， 综上，1ln 2sin x x x x++>在,()0x ∈+∞上恒成立， 所以，0x >时1e 12sin xx x x >-+得证.【点睛】关键点点睛：第一问转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，第二问化为证明1ln 2sin x x x x++>恒成立，再构造函数并利用导数研究单调性即可.。

山东省济宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题

山东省济宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题1．设集合{}220A x x x =--≤∣，(){}ln 1B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A ．(]1,2B ．(]0,2C ．(]2,+∞D ．[)2,+∞ 2．若复数32a i i++（i 为虚数单位）为纯虚数，则是数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．323．若tan 2α=，则2sin 21cos αα=+（ ） A ．16 B ．13 C ．23D ．1 4．“1a =”是“直线()2130ax a y +-+=与直线()210a x ay -+-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种6．函数()2ln 1x f x x e =--的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线()2:20C y px p =>的交点为F ，过F l 交抛物线C 与A 、B 两点，若线段AB C 的方程是（ ）A ．23y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =、 8．已知函数()()f x x ∈R 的导函数是()f x '，且满足x ∀∈R ，()()11f x f x +=--，当1x >时，()()()1ln 101f x x f x x '+-⋅>-，则使得()()20x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()0,12,⋃+∞B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．()()2,11,2--⋃D ．()(),12,-∞⋃+∞ 二、选择题9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则c c a b >B ．若a b >，c d >，则a d b c ->-C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若1a b +=，则444a b +≥10．直线l 过点()1,2P 且与直线30x ay +-=平行，若直线l 被圆224x y +=截得的弦长为则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．34C ．43D ．43- 11．已知函数()()sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为B ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．点5,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函()f x 图象的一个对称中心 D ．将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，可得到()sin 2g x x =的图象 12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60ABC ∠=︒，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，连接1B C 和1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）A ．1AMBC ⊥B ．CN 的长为定值C ．1AB 与CN 的夹角为6π D ．当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是8π三、填空题13．已知函数()22,1,ln ,1,x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩则()()f f e ________． 14．二项式63x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是________． 15．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，P 是矩形ABCD 内的动点，且点P 到点A 距离为1，则PC PD ⋅ 的最小值为________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，两渐近线分别为1:b l y x a =，2:b l y x a=-，过F 作1l 的垂线，垂足为M ，该垂线交2l 于点N ，O 为坐标原点，若OF FN =，则双曲线C 的离心率为________．四、解答题17．在①sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②2cos cos cos c A a B b A =+；③222b c a bc +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知3b =，ABC S =△______，求a 的值．18．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是正项等比数列，且111a b ==，328a b +=，53a b =．（1）求数列{}n a 、数列{}n b 的通项公式；（2）若()11n n n n c b n a a *+=+∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 19．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，E 是1BB 的中点，F 是1AC 与1A C 的交点．（1）求证：//EF 地面ABC ；（2）求BC 与平面1A AB 所成角θ的正弦值．20．某市为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好为圆心O ．设COB θ∠=，健身广场的面积为S ．（1）求出S 关于θ的函数解析式；（2）当角θ取何值时，健身广场的面积最大？21．已知函数()()1ln 11f x x a a x ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x >在()1,+∞上恒成立，求整数a 的最大值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3，点在椭圆C 上．A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，满足AP AQ ⊥，AH PQ ⊥，垂足为H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求ABH △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期高三质量检测数学试题参考答案及评分标准说明：（1）此评分标准仅供参考；（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分．一、选择题1-8：A B C A C D C D二、选择题9．BD 10．AD 11．AC 12．ABD三、填空题13．-3 14．-540 15．2- 16．3 四、解答题17．若选①：因为sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以sin sin sin sin 3A C C A π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以1sin sin sin cos 322A A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即1sin 2A A =所以tan A =0A π<<，所以3A π=．所以11sin 322ABC S bc A c ==⨯==△4c =，所以2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 若选②：因为2cos cos cos c A a B b A =+，所以2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+， 所以()()2sin cos sin sin sin C A A B C C π=+=-=因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为0A π<<，所以3A π=，所以11sin 322ABC S bc A c ==⨯==△4c =，所以2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 若选③：因为222b c a bc +=+，所以222b c a bc +-=， 所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=，所以11sin 32224ABC S bc A c c ==⨯⨯==△4c =，所以2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则由已知可得212814,d q d q ++=⎧⎨+=⎩ 解得23d q =⎧⎨=⎩或615d =⎧⎨=-⎩（舍）， 所以21n a n =-，()n *∈N ()13n n b n -*=∈N（2）由（1）知11111133(21)(21)22121n n n c n n n n --⎛⎫-+--+ ⎪-+-+⎝⎭， 所以1111111311311123352121132212n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()213142n n n +-=+ 19．证明：（1）方法一：取1CC 的中点M ，连接EM ，FMF 是1AC 与1A C 的交点，且侧面11ACC A 为菱形F ∴是1AC 的中点//FM AC ∴FM ⊄底面ABC ，ACC 底面ABC//FM ∴底面ABC11//BB CC ，11BB CC =，E 为1BB 中点//BE CM ∴，BE CM =∴四边形BCME 为平行四边形//EM BC ∴又EM ⊄底面ABC ，BC ⊂底面ABC//EM ∴底面ABCEM FM M ⋂=，EM ⊂平面EFM ，FM ⊂平面EFM∴平面//EFM 底面ABCEF ⊂平面EFM//EF ∴底面ABC证法二：取AC 中点O ，练就OB ，OF F 是1AC 与1A C 的交点，且侧面11ACC A 为菱形F ∴是1A C 的中点1//OF AA ∴，112OF AA = 又E 是1BB 的中点，11//AA BB ，11AA BB =//OF BE ∴，OF BE =∴四边形OBEF 为平行四边形，故//EF OB又EF ⊄底面ABC ，OB ⊂底面ABC//EF ∴底面ABC（2）解：连接1OA ，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒1A AC ∴△为正三角形1A O AC ∴⊥侧面底面11ACC A ⊥底面ABC ，侧面11ACC A ⋂底面ABC ABC AC =，1AO ⊂侧面11ACC A 1A O ∴⊥底面ABC底面ABC 为正三角形，O 为AC 的中点BO AC ∴⊥以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．底面ABC 是边长为2的正三角形()0,1,0A ∴-，)B ，()0,1,0C，(1A ()3,1,0AB ∴=，(1AA=，()BC =-200sin BC θ=设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =由100n AB n AA ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=得00y y +=+=⎪⎩，令y =11x z =⎧⎨=⎩ ()1,3,1n ∴=-3sin cos ,2BC nBC n BC n θ--⋅∴====⨯⨯ 20．解：（1）由已知得，200cos OB θ=，等腰PCD △底边CD 上的高为200200sin θ-，所以()12200cos 200sin 400cos 200200sin 2S θθθθ=⨯⨯+⨯- ()()80000sin cos 40000cos cos sin 400002sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ=+-=+-()40000sin cos cos θθθ=+所以()40000sin cos cos 02S πθθθθ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭． （2）()sin cos cos f θθθθ=+，则()()2221cos sin sin 2sin sin 12sin sin 12f θθθθθθθθ⎛⎫=--=--+=--+ ⎪⎝⎭'，由()0f θ'>得06πθ<<，()0f θ'<得62ππθ<<， 所以()f θ在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以 6πθ=时，()max 6424f f πθ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以max 400004S ==即6πθ=时，健身广场的面积最大，最大值为2．21．解：函数()f x 的定义域为()0,+∞．（1）因为()1ln 11f x x a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以()221a x a f x x x x='-=-． 当0a ≤时，()0f x '>对()0,x ∈+∞恒成立；当0a >时，由()0f x '>得x a >，()0f x '<得0x a <<．综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（2）由()0f x >得1ln 110x a x ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，所以()1ln 1a x x x -<+， 即ln 1x x x a x +<-对()1,x ∈+∞恒成立． 令()ln 1x x x g x x +=-，则()()()()()22ln 111(ln )ln 211x x x x x x x g x x x ++--+--==--'， 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x '-=-=，因为1x >，所以()0h x '>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增，因为()31ln30h =-<，()42ln 40h =->，所以存在()03,4x ∈满足00ln 20x x --=当01x x <<时，()0h x <，()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()()00000min 021x x x g x g x x x -+===-， 所以0a x <，因为03x <<4，a ∈Z ，所以a 的最大值为3．22．解：（1）由题意知222223321c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=． （2）由题意知PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，其中2m ≠ 由22164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223263120k x kmx m +++-=， ()()()22222236123242464k m k m k m =-+-=+-△，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122632km x x k -+=+，212231232m x x k -=+， 因为AP AQ ⊥所以，()()()()121212122222AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+- ()()()2212121(2)20k x x k m x x m =++-++-=， 所以()()()22222312612203232m km k k m m k k --++-+-=++，即()()()()()222221312622320k m k m m m k +---+-+= 因为2m ≠，所以()()()2221(36)62320k m k m m k ++-+-+= 所以222223636632640k m k m k m k m m k +++-++--=， 所以25m =-，满足0>△． 所以直线PQ 的方程为25y kx =-，即直线PQ 的定点20,5⎛⎫- ⎪⎝⎭． （解法一）因为ABH △存在，所以0k ≠，所以AH 的斜率为1k -，方程为12y x k=-+， 联立2512y kx y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1215H x k k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（H x 为H 点的横坐标）， 所以1112241242251155ABH H S AB x k k k k =⨯=⨯⨯=≤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1k k =即1k =±时等号取得，即ABH △面积的最大值为125． （解法二）设PQ 所过定点为D ，因为AH PQ ⊥， 所以点H 在以AD 为直径的圆上，所以() max 2211125422225МВH AD S AB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⨯=⨯⨯=△， 即ABH △面积的最大值为125．。

2024届山东省济宁市数学高一上期末检测试题含解析

2024届山东省济宁市数学高一上期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC =AB =2，则原平面图形的面积为（）A.322B.32C.122D.622．函数cos y x =的定义域为[],a b ，值域为3[1,]2-，则b a -的取值范围是（） A.5[,]6ππ B.55[,]63ππ C.[]6,ππD.11[,]6ππ 3．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α=π4，则点P 的坐标为 ( ) A.(1，2) B.(2，1) C.(22，)D.(1，1)4．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是 A.400 B.40 C.4 D.6005．若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.图象的一条对称轴为直线D.图象的一个对称中心为6．若点()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则=a （） A.0 B.1 C.2D.1-7．已知集合{|43}M x x =-<<，{|5N x x =<-或3}x ≥，则M N ⋃=（） A.{|5x x <-或}4x >- B.{|53}x x -<< C.{|54}x x -<<-D.{|5x x <-或3}x >8．命题“∀x >0，x 2-x ≤ 0 ”的否定是（） A.∃x >0，x 2-x ≤ 0 B.∃x > 0，x 2-x >0 C.∀x > 0，x 2-x > 0 D.∀x ≤0，x 2-x > 09．已知0.23a =，13log 0.4b =，2log 0.2c =，则()A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.b a c >>10．已知,,R a b c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A.22a b > B.11a b< C.||||a c b c >D.c a c b -<-二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1．设123456t AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++ ①当1234561,1λλλλλλ===-===时，t =___________； ②若{}1,1,1,2,3,4,5,6i i λ∈-=，则t 的最大值是___________ 12．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =.（1）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数()f x 在[]0,π的图象. x 0 πy13．若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________14．过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为_______________. 15．已知点(1,1),(1,5)A B -，若12AC AB =，则点C 的坐标为_________. 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为(01)<<x x ，设n 年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a 倍. （1）请用a ，n 表示x .（2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？ 参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈. 17．已知向量()2,6a =-，10b =.（1）若a 与b 共线且方向相反，求向量b 的坐标. （2）若a b +与b 垂直，求向量a ，b 夹角θ的大小. 18．若函数f (x )满足f (log a x )＝21a a -·(x －1x)(其中a ＞0且a ≠1). (1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围 19．已知函数()2=-a f x x x，且()922f =.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并证明.20．已知3sin()cos cos 22()3sin()cos(2)sin tan()2f ππθπθθθππθπθθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭. （1）化简()fθ；（2）若()3f πθ-=-，求3sin 2cos 5cos 2sin θθθθ-+的值；（3）解关于θ的不等式：2f πθ⎛⎫≥⎪⎝⎭21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型(01)xy ka k a =>>，与12(00)y px k p k =+>>，可供选择（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg30.4711≈≈）参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】先求出直观图中，∠ADC =45°，AB =BC =2，AD =DC =4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.【详解】直观图中，∠ADC =45°，AB =BC =2，DC ⊥BC，∴AD =DC =4，∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为42的直角梯形， ∴该平面图形的面积为()124421222+⨯⨯=. 故选：C 2、B【解析】观察cos y x =在[]0,2π上的图象，从而得到b a -的取值范围. 【详解】解：观察cos y x =在[]0,2π上的图象，当32y =时，6x π=或116π，当1y =-时，x π=， ∴b a -的最小值为：566πππ-=，b a -的最大值为：111056663ππππ-==，∴b a -的取值范围是55[,]63ππ故选：B【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题 3、D【解析】设出P 点坐标（x ，y ），利用正弦函数和余弦函数的定义结合4π的三角函数值求得x ，y 值得答案 【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，则由三角函数的定义得π42π42sin cos ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即π214π2 1.4x cos y sin ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故点P 的坐标为(1，1).故选D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题 4、A【解析】频数为10000.4400⨯= 考点：频率频数的关系 5、D【解析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案. 【详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A 错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D 正确.故选：D. 6、A【解析】利用AB AC k k =结合斜率公式可求得实数a 的值.【详解】因为()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则AB AC k k =，即3132131a ++=++，解得0a =. 故选：A. 7、A【解析】应用集合的并运算求M N ⋃即可.【详解】由题设，M N ⋃={|43}x x -<<⋃{|5x x <-或3}{|5x x x ≥=<-或}4x >-. 故选：A 8、B【解析】根据含有一个量词命题否定的定义，即可得答案. 【详解】命题“∀x >0，x 2-x ≤ 0 ”的否定是：“∃x > 0，x 2-x >0 ”. 故选：B 9、A【解析】比较a 、b 、c 与中间值0和1的大小即可﹒【详解】0.20331a ＝＞＝，()1113331log 0.4log 1log 013b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝，＝，，22log 0.2log 10c ＝＜＝，∴a b c >>﹒ 故选：A ﹒ 10、D【解析】对A ，B ，C ，利用特殊值即可判断，对D ，利用不等式的性质即可判断. 【详解】解：对A ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但22a b <，故A 错； 对B ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但11a b>，故B 错； 对C ，若0c ，a b >，则||||a c b c =，故C 错；对D ，a b >a b ∴-<-，则c a c b -<-，故D 正确. 故选：D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、 ①.0 ②.【解析】利用坐标法可得t =.【详解】由题可建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,2,1,0,1A B C D ，∴()()()()()()()123456135624562,00,12,00,12,12,12222,λλλλλλλλλλλλλλ++-+-++-=-+--++， ∴()()22135624564t λλλλλλλλ=-+-+-++∴当1234561,1λλλλλλ===-===时，()()221356245640t λλλλλλλλ=-+-+-++=，因为{}1,1,1,2,3,4,5,6i i λ∈-=，要使t 最大，可取1234561,1,1,1,1,1λλλλλλ===-=-==-，即135624564,2λλλλλλλλ-+-=-++=时， t 取得最大值是17故答案为：0；21712、（1）,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x 的集合, ( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可. 【小问1详解】21131()cos 3cos cos 22sin(2),2262x x x x x x f x =+=+=++π 令2262x k πππ+=+，函数()f x 取得最大值，解得,6=+∈x k k Z ππ，所以此时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【小问2详解】 表格如下：x 06π 512π 23π 1112ππ26x π+6π 2π π32π 2π136πy1321212-121作图如下，13、[]0,1【解析】根据题意显然可知0k ≥，整理不等式得：102k x x <-，令()102f x x x=-，求出()f x 在()0,2x ∈的范围即可求出答案.【详解】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得：233210kx x x x <+--， 即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立，令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,1 14、4360x y --=【解析】联立两直线方程求得交点坐标，求出平行于直线4x-3y-7=0的直线的斜率，由点斜式的直线方程，并化为一般式【详解】联立280210x y x y ＝＝+-⎧⎨-+⎩ ，解得32x y ⎧⎨⎩＝＝∴两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为（3，2）， ∵直线4x-3y-7=0的斜率为43， ∴过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线的方程为y-2=43（x-3） 即为4x-3y-6=0 故答案为4x-3y-6=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了二元一次方程组的解法，是基础题 15、（0,3）【解析】设点C 的坐标，利用12AC AB =，求解即可 【详解】解：点(1,1)A ，(1,5)B -，(2,4)AB =-， 设(,)C a b ，(1)1,AC a b =--，12AC AB =， (1a ∴-，11)(2,4)2b -=-，解得0a =，3b =点C 的坐标为(0,3)， 故答案为：(0,3)【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）*1)x n N =∈（2）2033【解析】（1）每年的产量比上一年减少的百分比为(01)<<x x ，那么n 年后的产量为2019年的(1)nx -，即得；（2）将 10%x =代入（1）中得到式子，解n ，n 取正整数。

山东省济宁市2020-2021学年高一上学期期末考试英语Word版含解析

conditions are OK, less if conditions are windy. The balloon will stay al that altitude for about 10 minutes. Prices areC.She shows no interest in sports.17至第20四个小题。

What did the speaker do at last?42.5分）12小题；每小题2.5分，满分30分）A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

AActivities For Families with ChildrenThere are plenty of things to do and see around Cusco, Peru that children will enjoy.Horse ridingMany children will enjoy the opportunity to ride a horse. The Happy Ranch horse farm organizes horse ridesCooking classIf you enjoy local food, taking a cooking class could be fun. Several restaurants offer classes, which start with（原料）.Wearing a cook's hat, children can help washing andcutting. Prices for a 3 hours class start at US $ 13 per person.格应该是：20x2+10=50 (美元)。

故选C 。

4. 推理判断题。

结合第一段中"There are plenty of things to do and see around Cusco, Peru that children will enjoy.”可知，在秘鲁的库斯科有很多事情可以做，孩子们会喜欢的。

人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)

故选：B.
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
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