高考数学 第二章 第八节 函数与方程课件 文 北师大版

(3)设 f（x） x3（ 则12x） 0x是2， 函数f（x）的零点，在同一坐标 系下画出函数y=x3与y （ 1 ）的x2图像如图所示.
2
f 1 1 (1)1 1＜0,
2
f 2 8 (1)0 7＞0,
2
∴f(1)f(2)＜0,∴x0∈(1,2).
答案：（1，2）
【互动探究】把本例题（3）改为“方程log3x+x=3的解为x0, 若x0∈（n，n+1），n∈N，试判断其解所在的区间”. 【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令
1.二次函数y=a2x2+ax在（0，1）上有零点，则实数a的取值范
围是( )
(A)a＞0
(B)a＜-1
(C)a＞0或a＜-1
(D)a∈R
【解析】选B.由a2x2+ax=0得x=0x或 1 ,
a 由 0＜1＜ 1，得a＜1.
a
2.设x0是方程ln x+x=4的解，则x0属于区间( )
(A)（0，1）
【规范解答】（1）选B.因为f′(x)=2xln 2+3x2＞0,x∈(0,1), 所以函数f（x）=2x+x3-2在（0，1）上是增加的，且f（0） =1+0-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，所以有1个零点. (2)Δ=(b2+c2-a2)2-4b2c2 =(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc) =［(b+c)2-a2］［(b-c)2-a2］ =（b+c+a）(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)＜0， ∴函数y=f(x)没有零点. 答案:0
f(x)=log3x+x-3,则f2log3223 f(lo 3g )3 =2 3 log0,33+3-
3=1>0,又因为函数f(x)在（0，+∞）上是连续且增加的，所 以
方程log3x+x=3的解所在的区间为（2，3）.
【拓展提升】确定函数f(x)在给定区间上是否有零点的方法 （1）解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再 看求得的根是否落在给定区间上. （2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间 ［a,b］上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则 函数y=f(x)在区间（a，b）内必有零点. （3）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与横轴在给定 区间上是否有交点来判断.
()
(A)（ 1 ，0 ）
4
(B)（ 0 ， 1 ）
4
(C)（ 1 ， 1 ）
42
(D)（ 1 ， 3 ）
24
【解析】选C.显然f（x）=ex+4x-3的图像连续不断，
又 f（ 1 ） e 1 ＞ 0 ， f（ 1 ） 4e 2 ＜ 0 .
2
4
∴由零点存在性定理知，f（x）在（ 1 ，内1 ）存在零点.
42
4.若函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2-
ax（0）的零点是( )
(A)0，2
(B) 0 ， 1
2
(C) 0 ， 1
2
(D) 2 ， 1
2
【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g（x）=bx2-
ax=0 x a 1 .
b2
得x=0或
考向 1 函数零点的求解与判断 【典例1】（1）（2012·天津高考）函数f（x）=2x+x3-2在区 间（0，1）内的零点个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 （2）（2013·汉中模拟）若△ABC的三边为a,b,c，且 f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2，则y=f(x)的零点个数为_____个.
第八节 函数与方程
1.函数的零点 （1）定义：函数y=f(x)的图像与_横__轴__的__交__点__的__横__坐__标__称为这 个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_连__续__曲__线__，并且 _f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0_，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零 点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
【变式备选】(1)函数 f（ x） xcosx在［0，+∞）内( )
(A)没有零点
(B)有且仅有一个零点
(C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点
【解析】选B.令 f（ x） xc 则osx0 ， 设函x数cos x， y 和x y=cos x，它们在［0，+∞）的图像如图所示，显然两 函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 f（ x） xcosx 在［0，+∞）内有且仅有一个零点.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( ) （2）函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图像是连 续曲线），则f（a）·f（b）＜0.( ) （3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在b2-4ac＜0时没有零 点.( ) （4）若方程ax2+2x+1=0只有一个实根，则a=1.( )
(B)（1，2）
(C)（2，3）
(D)（3，4）
【解析】选C.令f(x)=ln x+x-4，则f(1)=ln 1+1-4=-3＜
0,f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2＜0，f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1＞0,
∴x0∈(2,3).
3.在下列区间中，函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为
【解析】（1）错误.函数的零点是函数的图像与横轴交点的横 坐标. (2)错误.函数f（x）=x2-x，在（-1，2）上有两个零点，但 f（-1）·f（2）＞0. (3)正确.当b2-4ac＜0时，二次函数图像与横轴无交点，从而 二次函数没有零点. (4)错误.当a=0时，方程也只有一个实根. 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y （ 1 ）x2 的图像的交
2
点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)判断Δ=（b2+c2-a2）2-4b2c2与0的关系. (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.