数学建模方法 离散模型
合集下载
数学建模专题汇总-离散模型
离散模型§ 1 离散回归模型一、离散变量如果我们用0，1，2，3，4，⋯说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3 和4 等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。
本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。
、离散因变量在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0 表示。
1 yesx0 no如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。
如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。
因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。
因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。
三、线性概率模型现在约定备择对象的0 和1 两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l的因变量 y i表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量 x i 。
如果选择响应YES 的概率为 p(y i 1/ x i ) ，则经济主体选择响应NO 的概率为 1 p(y i 1/ x i)，则E(y i /x i) 1 p(y i 1/x i) 0 p(y i 0/x i)＝ p(y i 1/x i)。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型p(y i 1/ x i) E(y i / x i) x iβ0 1 x i1 L k x ik u i描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不一定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
数学建模离散问题建模方法和案例分析报告
1. 存在性问题案例---- 董事会会议安排
Mix Well For Fruitful Discussion (MCM1997-B)
一. 问题的提出 An Tostal 公司董事会由29名董事(其中9名在职)组成。
公司要召开为期一天的董事会会议。 上午分3节(sessions), 每节分成6组(groups) 下午4 节, 每节分成4组。
• 构造出购书方案总的效用函数：
wj xj
j
“尽最大可能满足学生希望”的目标就是：
max wj x j
j
综合起来，便得到原问题的数学模型：
max x j
j
min c j x j
j
max wj x j 这是一个多目标最j 优化问题。 根据本问题的特点，可以采用将次要目标改成 约束的方法，即将它改为：
required number of elementary computational steps is bounded by a polynomial in the size of the problem.
---- J.Edmonds & R.M.Karp (1960) • P --- NP --- NP-C
为让董事们充分发表意见，应如何安排各节各组的 董事名单?
二. 分析和建模 关于组合设计
1. Euler36军官问题和正交拉丁方
设 S {a1, a2,, an} 是一个n元集合。A是一个 n n 阶
矩阵,它的元素为S中的元素。如果S 中的每一个元素都 恰好在A的每一行中出现一次,同时在A的每一列中出现 一次, 那么就称A为S上的一个n阶拉丁方。
• (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)；(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9)； (1,5,9), (2,6,7), (3,4,8)；(1,6,8), (2,4,9), (3,5,7)。 组成一个9阶的Steiner三元系。
数学建模(6离散概率模型)
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
数学建模(6离散概率模型).pptx(3/3)
R2(t)
子系统2推进
可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
pptx13人的健康状况分为健康和疾病两种状态设对特定年龄段的人今年健康明年保持健康状态的概率为08而今年患病明年转为健康状态的概率为07健康与疾病人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计订保险金和理赔金的数额若某人投保时健康问10年后他仍处于健康状态的概率n1只取决于x
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
【数学建模学习】第三章 离散模型
部分可按 h(n − 2) 种方式完成。于是，得差分方程
h(n) = 2h(n −1) + 2h(n − 2) ， (n = 3,4,)
其特征方程为 特征根
λ2 − 2λ − 2 = 0
λ1 = 1+ 3 ， λ2 = 1− 3
则通解为
h(n) = c1(1+ 3)n + c2 (1− 3)n ， (n = 3,4,) 利用条件 h(1) = 3， h(2) = 8 ，求得
-182-
ci (i = 1,,2k ) 为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 yt 。若 yt 为方程（2）的通解，则非齐次方
程（1）的通解为 yt + yt 。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的 b(t)
也可使用待定系数法。例如，当 b(t) = bt pk (t) ， pk (t) 为 t 的 k 次多项式时可以证明： 若 b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如 bt qk (t) 的特解， qk (t) 也是 t 的 k 次多项 式；若 b 是 r 重特征根，则方程（1）有形如 btt r qk (t) 的特解。进而可利用待定系数法 求出 qk (t) ，从而得到方程（1）的一个特解 yt 。
a0 yn+t + a1 yn+t−1 + + an yt = 0
（2）
容易证明，若序列 yt(1) 与 yt(2) 均为（2）的解，则 yt = c1 yt(1) + c2 yt(2) 也是方程（2）的
解，其中
c1, c2
为任意常数。若
yt(1) 是方程（2）的解，
y
( t
2)
h(n) = 2h(n −1) + 2h(n − 2) ， (n = 3,4,)
其特征方程为 特征根
λ2 − 2λ − 2 = 0
λ1 = 1+ 3 ， λ2 = 1− 3
则通解为
h(n) = c1(1+ 3)n + c2 (1− 3)n ， (n = 3,4,) 利用条件 h(1) = 3， h(2) = 8 ，求得
-182-
ci (i = 1,,2k ) 为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 yt 。若 yt 为方程（2）的通解，则非齐次方
程（1）的通解为 yt + yt 。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的 b(t)
也可使用待定系数法。例如，当 b(t) = bt pk (t) ， pk (t) 为 t 的 k 次多项式时可以证明： 若 b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如 bt qk (t) 的特解， qk (t) 也是 t 的 k 次多项 式；若 b 是 r 重特征根，则方程（1）有形如 btt r qk (t) 的特解。进而可利用待定系数法 求出 qk (t) ，从而得到方程（1）的一个特解 yt 。
a0 yn+t + a1 yn+t−1 + + an yt = 0
（2）
容易证明，若序列 yt(1) 与 yt(2) 均为（2）的解，则 yt = c1 yt(1) + c2 yt(2) 也是方程（2）的
解，其中
c1, c2
为任意常数。若
yt(1) 是方程（2）的解，
y
( t
2)
数学建模简明教程课件：离散模型
①最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题 的预定目标或理想结果，因此也称为目标层.
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
数学建模离散优化模型与算法设计PPT课件
实例均可用贪婪算法求出最优解，则称M为一拟阵。（注：γ被称为独立系 统）。
现以矩阵拟阵为例，对定义9.1作一说明。 对矩阵拟阵的每一实例，E={e1,…en}为矩阵列向量的集合，γ为E的线性无 关子集构成的系统，称为独立系统，其元素被称为独立子集。由于E的任一 线性无关子集的子集也是E的线性无关子集，故独立系统γ是封闭的。又由 于这一离散优化问题的任一实例都可用贪婪法求解，故构成一拟阵，被称 为矩阵拟阵。例9.1被称为图拟阵，例9.3被称为划分拟阵。
现在可以看出，找最大匹配的关键在于找增广路。读者不难用顶点标号 的办法（由未盖点出发），作出一个求解两分图匹配的增广路算法。此 算法稍加改动，还可以用于非两分图的情况。
三、网络流问题
网络流问题是又一类具有广泛应用前景的P问题，本节将介绍一些有关 网络流问题的基本理论与算法。
1、最大流问题（MFP）
得如下的约束条件，i ，有
v 若 is
(i,j) (i,j) 0 若 is.t
(i,j)Ai
(i,j)Ai
v 若 it
其(９中.1是)式A表i 指示As发中出以流顶为点i为，起t点收的入孤的集流，为
A
i
是指A中以 i为终点的孤集, ，其余各点只起中转作用，
既不增加也不消耗流量。根据边容量限止，还应有
（注：| ·|表示元素个数）
（条件2） AE 若I、I‘均为A的两个极大独立集，则|I|=|I’|。
二、两分图匹配问题与增广路算法
在上一小节中我们已经看到，有些P问题可以用极为简单的贪婪法求解。 但对绝大多数的P问题来说，这一结果并不成立，只能根据其本身的结构， 去寻找求解它的独特算法。下面，我们将介绍几个这样的P问题。
拟阵问题（或称拟阵结构）有一个明显而又本质的特性，其任一极大独立 子集中包含着相同个数的元素，从而可以引入基的概念。例如，矩阵列向 量的所有线性无关极大组均具有相同的向量个数，这就导出了基——即矩 阵列秩的概念。对于图拟阵，每一极大独立集均为一生成树，其边数均为 |V|-1。对于划分拟阵，孤集被划分成个|V|个子集，每一子集由指向同一 顶点的孤组成。显然，任一极大独立集应在每一子集中取一条孤，故其基 数为顶点个数。
现以矩阵拟阵为例，对定义9.1作一说明。 对矩阵拟阵的每一实例，E={e1,…en}为矩阵列向量的集合，γ为E的线性无 关子集构成的系统，称为独立系统，其元素被称为独立子集。由于E的任一 线性无关子集的子集也是E的线性无关子集，故独立系统γ是封闭的。又由 于这一离散优化问题的任一实例都可用贪婪法求解，故构成一拟阵，被称 为矩阵拟阵。例9.1被称为图拟阵，例9.3被称为划分拟阵。
现在可以看出，找最大匹配的关键在于找增广路。读者不难用顶点标号 的办法（由未盖点出发），作出一个求解两分图匹配的增广路算法。此 算法稍加改动，还可以用于非两分图的情况。
三、网络流问题
网络流问题是又一类具有广泛应用前景的P问题，本节将介绍一些有关 网络流问题的基本理论与算法。
1、最大流问题（MFP）
得如下的约束条件，i ，有
v 若 is
(i,j) (i,j) 0 若 is.t
(i,j)Ai
(i,j)Ai
v 若 it
其(９中.1是)式A表i 指示As发中出以流顶为点i为，起t点收的入孤的集流，为
A
i
是指A中以 i为终点的孤集, ，其余各点只起中转作用，
既不增加也不消耗流量。根据边容量限止，还应有
（注：| ·|表示元素个数）
（条件2） AE 若I、I‘均为A的两个极大独立集，则|I|=|I’|。
二、两分图匹配问题与增广路算法
在上一小节中我们已经看到，有些P问题可以用极为简单的贪婪法求解。 但对绝大多数的P问题来说，这一结果并不成立，只能根据其本身的结构， 去寻找求解它的独特算法。下面，我们将介绍几个这样的P问题。
拟阵问题（或称拟阵结构）有一个明显而又本质的特性，其任一极大独立 子集中包含着相同个数的元素，从而可以引入基的概念。例如，矩阵列向 量的所有线性无关极大组均具有相同的向量个数，这就导出了基——即矩 阵列秩的概念。对于图拟阵，每一极大独立集均为一生成树，其边数均为 |V|-1。对于划分拟阵，孤集被划分成个|V|个子集，每一子集由指向同一 顶点的孤组成。显然，任一极大独立集应在每一子集中取一条孤，故其基 数为顶点个数。
数学建模课件—离散模型
第八章 离散模型
8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次 8.3 社会经济系统的冲量过程 8.4 效益的合理分配
离散模型
• 离散模型：差分方程（第7章）、 整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、…
• 分析社会经济系统的有力工具
• 只用到代数、集合及图论（少许） 的知识
8.1 层次分析模型
C11
C1
0
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡江 河、海峡方 案的抉择
经济代价 B1
过河的代价 A
社会代价 B2
环境代价 B3
投 操 冲冲 交 居 汽 对 对
入 作 击击 通 民 车 水 生
资 维 渡生 拥 搬 排 的 态
金 护 船活 挤 迁 放 污 的
C1 C2 .633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
3.009 3
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
CI k 0.003 0.001 0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
w W w (3)
(3) (2)
第s层对第1层的组合权向量
w W W W w (s)
( s ) ( s1)
(3) (2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次 8.3 社会经济系统的冲量过程 8.4 效益的合理分配
离散模型
• 离散模型：差分方程（第7章）、 整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、…
• 分析社会经济系统的有力工具
• 只用到代数、集合及图论（少许） 的知识
8.1 层次分析模型
C11
C1
0
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡江 河、海峡方 案的抉择
经济代价 B1
过河的代价 A
社会代价 B2
环境代价 B3
投 操 冲冲 交 居 汽 对 对
入 作 击击 通 民 车 水 生
资 维 渡生 拥 搬 排 的 态
金 护 船活 挤 迁 放 污 的
C1 C2 .633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
3.009 3
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
CI k 0.003 0.001 0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
w W w (3)
(3) (2)
第s层对第1层的组合权向量
w W W W w (s)
( s ) ( s1)
(3) (2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
数学模型之离散模型
离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
1 2
决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
03
分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一致性检验
对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 定义一致性指标: CI
n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI ，取平均即得RI。 Saaty的结果如下
准则层对目标的成对比较阵
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
~ 2) 计算 w( k 1) Aw( k )
3）归一化 w
( k 1)
~ ( k 1) / w( k 1) ~ w i
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2,…,1/9
~ Ci : C j 的重要性与上面相反
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
一致性指标 CI
n
n 1
定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
• 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均
2 1 例 A 1 / 2 1 1 / 6 1 / 4
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1 / 3 8 3 1
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵
1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
6 列向量 4 归一化 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.587 0.3 0.308 0.364 平均 0.324 w 0.089 0.1 0.077 0.091
1.769 Aw 0.974 0.286
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 3 4 5 6 7 8 9
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根=5.073
方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
第1层O
第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm
w (w ,, w )
( 2) ( 2) 1
( 2) T n
第3层对第2层各元素的权向量
(3 wk( 3) (wk( 3) ,, wkm) )T , k 1,2,, n 1
Aw w
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
简化 计算
根法——取列向量的几何平均
幂法——迭代算法
1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
对 水 的 污 染 C8
对 生 态 的 破 坏 C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价
水平C2
规模C3
直接 经济
间接 经济 效益 C12
社会 效益
学识
学术 创新
技术 水平
层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,…, Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
选 择 旅 游 地
1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应 Ak e 正特征向量w，且 lim T k w, e (1,1,,1)T k e A e 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 ≥ n ,
= n是A为一致阵的充要条件。
…Cn
…Bn … n
最大特征根 1
2
w2(3)
权向量
w1(3)
… wn(3)
组合权向量
k 1
第3层对第2层的计算结果 2 3 4 5
w
( 3) k
0.595 0.277 0.129
3.005 0.003
0.082 0.236 0.682
3.002 0.001
0.429 0.429 0.142
第八章
离散模型
8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次
8.3 社会经济系统的冲量过程
8.4 效益的合理分配
y
离散模型
• 离散模型：差分方程（第7章）、
整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、… … • 分析社会经济系统的有力工具
• 只用到代数、集合及图论（少许）
的知识
层次分析模型
背 景
• 日常工作、生活中的决策问题
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
成对比较阵和权向量 比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,…,9及其互反数1,1/2, …, 1/9
• 便于定性到定量的转化：
尺度
a ij
1 相同
2
3 稍强
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
• 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
1 A 2
1/ 2 1
4 7
一致比较
不一致
a23 8 (C2 : C3 )
w1 w 1 w2 A w1 wn w1 w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn
构造矩阵
W
( 3)
[ w ,, w ]
( 3) 1 ( 3) n
则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量
w W w
( 3) ( 3)
( 2)
w W W
(s) (s)
( s 1)
W w
( 3)
( 2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
技术 创新
效益
C11
水平
C21
C13
C22
C23
C24
待评价的科技成果
三. 层次分析法的若干问题
• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？
• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？ • 为什么用特征向量作为权向量？ • 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标） ( 2) ( 2) ( 2) T 的权向量为 w ( w1 ,, wn )
3 0
0.633 0.193 0.175
3.009 0.005
0.166 0.166 0.668
3 0
k
CI k
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验
方பைடு நூலகம்P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300
0
收 岸 入 间 C2 商 业 C3
自 豪 感 C8
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构