第4章--生产函数--习题
第四章 生产函数分析
一、名词解释
生产者 生产函数 生产要素
固定投入比例生产函数 一种可变要素的生产函数 短期生产 长期生产
柯布一道格拉斯生产函数 总产量 平均产量
边际产量 边际报酬递减规律 等产量线
边际技术替代率 边际技术替代率递减规律
等成本线 等斜线 生产要素最优组合 扩展线
规模报酬 规模报酬递增 规模报酬不变 规模报酬递减
二、选 择 题
1．当生产函数Q = f (L ，K)的AP L 为正且递减时，MP L 可以是( )。
A ．递减且为正
B ．为0
C ．递减且为负
D ．上述任何一种情况都有可能
2．关于生产函数Q = f (L ，K)的生产的第二阶段，即厂商要素投入的合理区域，应该是( )。
A ．开始于AP L 开始递减处，终止于MP L 为零处
E ．开始于AP L 曲线和MP L 曲线的相交处，终止于MP L 曲线和水平轴的相交处
C ．开始于AP L 的最高点，终止于MP L 为零处
D ．上述说法都对
3．根据生产的三阶段论，生产应处于的阶段是( )。
A ．边际产出递增，总产出递增阶段
B ．边际产出递增，平均产出递减阶段
C ．边际产出为正，平均产出递减阶段
D ．以上都不对
4．以K 表示资本，以L 表示劳动，则在维持产量水平不变的条件下，如果企业增加2单位的劳动投入量就可以减少4单位
的资本投入量，则有( )。
A ．2=LK
MRTS ，且
2=L K MP MP B ．21=LK MRTS ，且2=L K MP MP C ．2=LK MRTS ，且21=L K MP MP D ．21=LK MRTS ，且21=L K MP MP 5．“凡是齐次生产函数，都可以分辨其规模收益类型”这句话( )。
A ．正确
B ．不正确
C ．不一定正确
D ．视具体情况而定
6．在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，下列说法中正确的是( )。
A ．总产量最先开始下降 D ．平均产量首先开始下降
C ．边际产量首先开始下降
D ．平均产量下降速度最快
7．在以横轴L 表示劳动数量，纵轴K 表示资本数量，w 表示劳动的价格，r 表示资本的价格，相应的平面坐标中所绘出的
等成本线的斜率为( )。
A ．r w
B ．r w -
C ．w
r D ．w r -
8．边际收益递减规律发生作用的前提条件是( )。
A ．连续增加某种生产要素的投入而保持其他要素不变
B ．按比例增加各种生产要素
C ．不一定按比例增加各种生产要素
D ．以上说法都不对
9．等成本曲线向外平行移动说明了( )。
A ．成本增加了
B ．生产要素的价格上升了
C ．产量提高了
D ．以上都不对
10．等产量曲线是指这条曲线上的各点代表( )。
A ．为生产同样产量投入要素的各种组合的比例是不能变化的
B ．为生产同等产量投入要素的价格是不变的
C ．不管投入各种要素量如何，产量总是相等的
D ．投入要素的各种组合所能生产的产量都是相等的
11．对于生产函数Q = f (L ，K) 和成本方程C = w L + r K 而言，在最优的生产要素组合点上应该有( )。
A ．r
w MRTS LK =
B ．等产量曲线和等成本线相切
C ．r MP w MP K L =
D ．上述说法都对 12．如果等成本曲线在坐标平面上与等产量曲线相交，那么要生产等产量曲线所表示的产量水平，则( )。
A ．应增加成本支出
B ．不能增加成本支出
C ．应减少成本支出
D ．不能减少成本支出
13．等成本线平行向内移动，则( )。
A ．产量减少
B ．成本增加
C ．生产要素价格按相同比例提高
D ．生产要素价格按相同比例降低
14．当某厂商以最小成本生产出既定产量时，那它( )。
A ．总收益为零
B ．一定获得最大利润
C ．一定未获得最大利润
D ．无法确定是否获得最大利润
15．下列各项中，正确的是( )。
A ．只要平均产量减少，边际产量就减少
B ．只要总产量减少，边际产量就一定为负值
C ．只要边际产量减少，总产量就减少
D ．只要平均产量减少，总产量就减少
16．理性的厂商将让生产过程在( )进行。
A ．第一阶段
B ．第二阶段
C ．第三阶段
D ．不能确定
17．生产要素(投入)和产出水平的关系称为( )。
A ．生产函数
B ．生产可能性曲线
C ．总成本曲线
D ．平均成本曲线
18．劳动(L)的总产量下降时( )。
A ．AP L 是递减的
B ．AP L 为零
C ．MP L 为零
D ．MP L 为负
观察图4．1，回答第19—22题。
19．如图4．1的生产函数，不变劳动投入的是( )。
A ．L 0
B ．L 1
C L 2
D ．L 3
20．如图4．1的生产函数，下面关于劳动的边际生产率和平均生产率的说法中不正确的是( )。
A ．边际生产率是生产函数的斜率
B ．在L 3平均生产率等于边际生产率
C ．平均生产率开始先上升，然后下降
D ．边际生产在L 3处达到最大
21．如图4．1的生产函数，下列关于边际产量和平均产量的说法中，不正确的一项是( )。
A ．在L 2和L 4处平均生产率相等
B ．边际生产率在L 2处达到最大
C ．在L 2处，平均生产率等于边际生产率
D ．平均生产率在L 3处达到最大
22．如图4．1的生产函数，则下列关于边际产量和平均产量的说法中，正确的一项是( )。
A ．C 和D 之间的平均生产率下降
B ．A 和
C 之间的边际产量上升
C ．C 点的平均生产率最小
D ．B 和D 之间的平均生产率上升
23．如果是连续地增加某种生产要素，在总产量达到最大时，边际产量曲线( )。
A ．与纵轴相交
B ．经过原点
C ．与平均产量曲线相交
D ．与横轴相交
24．下列说法中正确的是( )。
A．生产要素的边际技术替代率递减是规模报酬递减规律造成的
B．生产要素的边际技术替代率递减是边际报酬递减规律造成的
C．规模报酬递减是边际报酬规律造成的
D．边际报酬递减是规模报酬递减造成的
25．在边际产量发生递减时，如果要增加同样数量的产品，应该( )。
A．增加变动生产要素的投入量B．减少变动生产要素的投入量
C．停止增加变动生产要素D．同比例增加各种生产要素
26．如果生产函数为Q = min (3L，K)，w = 5，r = 10，则劳动与资本的最优比例为( )。
A．3 : 1 B．1 : 2 C．1 : 3 D．2 : 1
27．等成本曲线围绕着它与纵轴( 纵轴表示生产要素Y，横轴代表生产要素X ) 的交点逆时针移动表明( )。
A．生产要素Y的价格上升了B．生产要素X的价格上升了
C．生产要素X的价格下降了D．生产要素Y的价格下降了
28．规模报酬递减是在下述情况下发生的( )。
A．按比例连续增加各种生产要素D．不按比例连续增加各种生产要素
C．连续地投入某种生产要素而保持其他要素不变D．上述都正确
29．对于生产函数Q = f (K，L)，如果规模报酬不变，单位时间里增加了10％的劳动使用量；但保持资本量不变，则产出将( )。
A．增加10％B．减少10％C．增加大于10％D．增加小于10％
30．经济学中短期与长期的划分取决于( )。
A．时间长短B．可否调整产量
C．可否调整产品价格D．可否调整生产规模
31．规模报酬递减是在( )的情况下发生的。
A．按比例投入生产要素
B．不按比例投入生产要素
C．连续投入某种生产要素而其余生产要素不变
D．不投入某种生产要素而增加其余生产要素的投入
32．如果仅劳动是变动投入，以边际产量等于平均产量作为划分生产三阶段的标志，则( )不是第Ⅱ阶段的特点。
A．边际报酬递减B．平均产量不断下降
C．总产量不断提高D．平均产量先上升，后下降
33．若劳动与资本的投入组合处于投入产出生产函数等产量线的垂直部分，则( )。
A．劳动与资本的边际产量都是负
B．劳动与资本的边际产量都是0
C．劳动的边际产量为0，资本的边际产量为正
D．劳动的边际产量为正，资本的边际产量为0
34．如果连续增加某种生产要素，在总产量达到最大值的时候，边际产量曲线与以下哪条线相交( )。
A．平均产量曲线B．纵轴C．横轴D．总产量曲线
35．在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，首先发生变化的是( )。
A．边际产量下降B．平均产量下降C．总产量下降D．B和C
36．在边际收益递减规律的作用下，边际产量会发生递减，在这种情况下，如果增加相同产量的产出，该( )。
A．停止增加可变的生产要素B．减少可变生产要素的投入
C．增加更多可变要素投入的数量D．减少固定生产要素
37．等产量曲线( )。
A．说明为了生产一个给定的产量两种投入要素各种可能的组合
B．除非得到所有要素的价格，否则不能画出这条曲线
C．表明了投入与产出的关系
D．表明了无论投入的数量如何变化，产出量都是一定的
38．如果一种投入要素的边际产量为正值，随着投入的增加，边际产量递减，则( )。
A ．总的产量已经达到了最高点，正在不断下降
B ．总的产量不断增加，但是增加的速度越来越慢
C ．平均产量一定下降
D ．厂商应当减少产出
39．如果一种投入要素的平均产量高于其边际产量，则( )。
A ．随着投入的增加，边际产量增加
B ．边际产量将向平均产量趋近
C ．随着投入的增加，平均产量一定增加
D ．平均产量将随投人的增加而降低
40．在生产的有效区域内，等产量曲线( )。
A ．凸向原点
B ．不能相交
C ．负向倾斜
D ．上述说法都对
41．如果确定了最优的生产要素组合，则( )。
A ．在生产函数已知时可以确定一条总成本曲线
B ．就可以确定一条总成本曲线
C ．在生产要素价格已知时可以确定一条总成本曲线
D ．在生产函数和生产要素价格已知时可以确定总成本曲线上的一个点
42．下面情形表示生产仍有潜力可挖的是( )。
A ．生产可能性边界上的任意一点
B ．生产可能性边界外的任意一点
C ．生产可能性边界内的任意一点
D ．以上都有可能
43．已知某企业的生产函数LK Q 10 (Q 为产量，L 和K 分别为劳动和资本)，则 (
)。 A ．生产函数是规模报酬不变 B ．生产函数是规模报酬递增
C ．生产函数是规模报酬递减
D ．企业处于内部经济阶段
44．在两生产要素X 、Y 的坐标轴中，等成本曲线绕着它与纵轴Y 的交点向外移动表明(
)。
A ．生产要素Y 的价格下降了
B ．生产要素X 的价格上升了
C ．生产要素X 的价格下降了
D ．生产要素Y 的价格上升了
45．利润最大化原则P ＝MC 意味着，要取得最大利润，厂商应该( )。
A ．逐渐增加产量，直到价格下降到与边际成本相等为止
B ．逐渐增加产量，直到边际成本下降到与价格相等为止
C ．逐渐增加产量，直到边际成本上升到与价格相等为止
D ．以上都不对
46．当生产函数为Y ＝X 1+2X 2+5时，有( )。
A ．规模报酬递增
B ．规模报酬不变
C ．规模报酬递减
D ．劳动的边际产量递减
47．如果边际生产力递减规律起作用，下列条件( )必须得到满足产量才能增加。
A ．必须来自所有投入成比例增加
B ．必须来自一些投入的增加，而且至少一些投入的数量不变
C ．必然来自仅有一个投入的增加，而其它投入的数量不变
D ．必然由于后来增加投入的能力或技术下降而减少
48．当某厂商以最小成本生产出既定产量时，那它 ( )。
A ．总收益为零
B ．一定获得最大利润
C ．一定不能获得最大利润
D ．无法确定能否获得最大利润
49．下列有关生产厂家的利润、收益和成本的关系描述正确的是( )。
A ．同等成本的情况下收益越大，利润越小
B ．成本既定无法确定收益
C ．同等收益的情况下成本越小，利润越大
D ．同等收益的情况下成本越小，利润越小
50．当MPP L 为负时，我们处于( )。
A ．对L 的第一阶段
B ．对K 的第三阶段
C ．对L 的第二阶段
D ．上述都不是
51．总产量最大，边际产量( )。
A ．为零
B ．最大
C ．最小
D ．无法确定
52．若厂商增加使用一个单位的劳动，减少三个单位的资本，仍能生产相同产出，则MRTS LK 是( )。
A ．1/3
B ．3
C ．1
D ．6
53．报酬递减规律( )。
A ．仅适用于少数国家或少数行业
B ．伴随在生产过程中的每个阶段
C ．仅仅适用于市场经济
D ．在知识经济时代将不会发挥作用
54．假定生产某一产品的最小成本是200单位劳动和100单位资本，则可以知道( )。
A ．每单位资本的价格一定是每单位劳动价格的2倍
B ．每单位劳动的价格一定是每单位资本价格的2倍
C ．资本对劳动的边际技术替代率等于2
D ．上述说法均不正确
55．能够表示固定的产量水平和变化的要素投入比例的线，最可能是( )。
A ．射线
B ．等产量线
C ．脊线
D ．等成本线
56．如果以横轴L 表示劳动，纵轴K 表示资本，则等成本曲线的斜率是( )。
A ．K L
P P B ．一K L P P C ．L K P P D ．一L K P P
57．等成本线的斜率表示的是：( )。
A ．纵轴上的要素价格对横轴上要素价格的比率
B ．横轴上的要素价格对纵轴上要素价格的比率
C ．在既定成本下所能生产的各种产量
D ．生产既定产量的总成本
58．生产理论中的扩展线和消费者理论中的( )类似。
A ．价格一消费曲线
B ．恩格尔曲线 C. 收入一消费曲线 D. 预算线
59．如果厂商A 的劳动L 对资本K 的边际替代率是1／3，厂商B 的是2／3，那么，( )。
A ．只有厂商A 的生产成本是递减的
B ．只有厂商B 的生产成本是递减的
C ．厂商A 的资本投入是厂商B 的2倍
D ．如果厂商A 用3单位的劳动与厂商B 的2单位资本相交换，厂商A 的产量将增加
60．等产量线上某一点的切线的斜率等于( )。
A ．边际替代率
B ．等成本线的斜率
C ．边际技术替代率
D ．预算线的斜率
61．生产函数表示( )。
A ．一定数量的投入，至少能生产多少产品
B ．生产一定数量的产品，最多要投入多少生产要素
C ．投入与产出的关系
D ．以上都对
62．边际收益递减规律发生作用的前提条件是( )。
A ．连续地投入某种生产要素而保持其他生产要素不变
B ．生产技术既定不变
C ．按比例同时增加各种生产要素
D ．A 和B
63．当且AP L 为正但递减时，MP L 是( )
A ．递减
B ．AP L 为零
C ．零
D ．MP L 为负
64．如图4—2所示，厂商的理性决策应是( )。
A ．3 B ．4.5 C ．3 D ．0 65．下列说法中错误的是( )。 A ．只要总产量减少，边际产量一定是负数 B ．只要边际产量减少，总产量一定也减少 C ．随着某种生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量增加到一定程度将趋于下降；其中边际产量的下降一定先于平均产量 D ．边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交 66．对于图4-3所示的等产量曲线， 下列说法中错误的是 ( ) A ．规模报酬不变 B ．固定比例生产函数 C ．L 与K 之间完全可以替代 D ．L 与K 的边际技术替代率为零 67．等成本曲线绕着它与纵轴(K)的交点向外移动 意味着( )。 A ．生产要素K 的价格下降了 B ．生产要素X 的价格上升了 C ．生产要素L 的价格下降了 D ．上述说法都不正确 68．在以横轴表示生产要素L ，纵轴表示生产要素K 的坐标系中，等成本曲线的斜率等于2表明( )。 A ．2=r w B ．2=K L Q Q C ．2=w r D ．上述任意一项 69．已知在等产量曲线的某一点上，以生产要素L 替代K 的边际替代率是2，这意味着( )。 A ．2=L K MP MP B ．2=K L MP MP C ．2=L K AP AP D ．2=L K Q Q 70．在生产者均衡点上( ) A ．等产量曲线与等成本曲线相切 B ．K L LK P P MRTS = C ．K K L L P MP P MP = D ．上述情况都正确 71．已知等成本曲线与等产量曲线既不相交也不相切，此时，要达到等产量曲线所表示的产出水平，应该( ) A ．增加投入 B ．保持原投入不变 C ．减少投入 D ．或A 或B 72-75题见图4-4。 图4-4 E ’ E A B C D 0 4 8 12 15 X 3 4.5 6 9 Y 10 Q=300 Q=200 Q=20 0 1 2 L Q=10 2 4 K 图4-3 72．假设AB线代表的总成本为24元，则由等成本曲线AB可知生产要素X和Y的价格分别为( )。 A．4元和3元B．3元和4元C．8元和6元D．6元和8元 73．生产200单位产量的最低成本是( )。 A．24元B．48元C．12元D．36元 74．生产200单位产量的最优生产要素组合是( )。 A．3单位X和4单位Y B．4单位X和3单位Y C．8单位X和6单位Y D．6单位X和8单位Y 75．等成本曲线从AB平行移至CD，表明总成本从24元增至（）。 A．32元B．36元C．48元D．60元 三、判断题 1．生产要素的边际技术替代率递减是规模报酬递减造成的。( ) 2．在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，边际产量最终会呈现递减的特征。( ) 3．假定生产某种产品要用两种要素，如果这两种要素的价格相等，则该厂商最好就是要用同等数量的这两种要素投入。 ( ) 4．规模报酬递增的厂商不可能会面临报酬递减的现象。( ) 5．如果生产函数具有规模报酬不变特性，那么要素在生产上的边际替代率是不变的。( ) 6．只要边际产量为正，总产量总是增加的。( ) 7．只要边际产量为负，总产量总是减少的。( ) 8．只要边际产量大于平均产量，平均产量递减。( ) 9．只要边际产量小于平均产量，平均产量递减。( ) 10．边际技术替代率等于两要素的边际产量之比。( ) 11．脊线以外的区域的等产量曲线的斜率都为负值，脊线以内的区域的等产量曲线的斜率都为正值。( ) 12．等成本线的斜率即为两种生产要素的价格之比。( ) 13．边际技术替代率是正的，并且呈递减趋势。( ) 14．任何生产函数都以一定时期内的生产技术水平作为前提条件，一旦生产技术水平发生变化，原有的生产函数就会发生变化，从而形成新的生产函数。( ) 15．微观经济学的生产理论分为短期生产理论和长期生产理论。相应地，无论是短期还是长期，生产要素投入都可以分为不变要素投入和可变要素投入。( ) 16．微观经济学的生产理论分为短期生产理论和长期生产理论。短期和长期的划分是以时间长短为标准的。( ) 17．连结总产量曲线上任何一点和坐标原点的线段的斜率都可以表示为该点上的劳动的平均产量的值。( ) 18．过总产量曲线上任何一点的切线的斜率都可以表示为该点上的劳动的边际产量的值。( ) 19．当总产量在开始时随着劳动投入量的增加而增加时，总产量曲线的斜率为负。当总产量在以后随着劳动投入量的增加而减少时，总产量曲线的斜率为正。( ) 20．平均产量曲线和边际产量曲线的关系表现为：两条曲线相交于平均产量曲线的最高点，在此点之前，边际产量曲线高于平均产量曲线，在此点之后。边际产量曲线低于平均产量曲线。( ) 21．等产量曲线上某一点的边际技术替代率就是等产量曲线在该点的斜率。( ) 22．边际技术替代率递减规律使得向右下方倾斜的等产量曲线必然凸向原点。 ( ) 23．生产的经济区域指两条脊线以外的区域，因此，理性的厂商不可能在脊线以内进行生产。 ( ) 24．脊线是生产的经济区域与不经济区域的分界线。 ( ) 25．在生产函数中，只要有一种投入不变，便是短期生产函数。 ( ) 26．如果平均变动成本等于边际成本，则边际产量等于平均产量。 ( ) 27．当平均产量最高时，平均成本最低。 ( ) 28．当SMC ＝LMC ，并且小于LAC 时，LAC 曲线处于下降阶段。 ( ) 29．若生产函数K L Q 94?=，且L ，K 价格相同，则为实现利润最大化，企业应投入较多的劳动和较少的资本。 ( ) 30．拥有范围经济的企业，必定存在规模经济。 ( ) 32．可变要素的报酬总是递减的。( ) 33．边际产量可由总产量线上的任一点的切线的斜率来表示。( ) 34．边际产量总是小于平均产量。( ) 35．边际技术替代率为两种投入要素的边际产量之比，其值为负。( ) 36．如果连续地增加某种生产要素的投入量，总产出将不断递增，边际产量在开始时递增然后趋于递减。( ) 37．只要边际产量减少，总产量一定也在减少。( ) 38．随着某生产要素投入量的增加，边际产量和平均产量增加到一定程度将同时趋于下降。( ) 39．边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与它相交。( ) 40．边际产量曲线与平均产量曲线的交点，一定在边际产量曲线向右下方倾斜的部分。( ) 41．利用两条等产量线的交点所表示的生产要素组合，可以生产出数量不同的产品。( ) 42．利用等产量曲线上任意一点所表示的生产要素组合，都可以生产出同一数量的产品。( ) 43．生产要素的价格一旦确定，等成本曲线的斜率也随之确定。( ) 44．假如以生产要素L 代替K 的边际技术替代率等于3，这意味着这时增加1个单位L 所增加的产量，等于减少3个单位K 所减少的产量。( ) 45．生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的。( ) 46．可变投入是指其价格和数量都可以发生变化的投入。( ) 47．不变投入是指在短期内不会随产出数量变化的投入。( ) 48．生产阶段Ⅱ开始于边际产量递减点。( ) 49．等成本线平行向外移动说明可用于生产的成本预算增加了。( ) 50．等产量线与等成本线既不相交，又不相切，那么要达到等产量线的产出水平就必须提高投入的价格。( ) 51．为实现一定量产出的成本最低的原则是要使每一种投入的边际产品彼此相等。( ) 52．扩展线类似于恩格尔曲线。( ) 53．边际产出是指增加一个产出单位所要增加的投入的数量。( ) 54．如果可变投入出现递减报酬说明总产出一定是下降的。( ) 55．生产函数与投入的价格变化没有直接的关系。( ) 56．由于边际收益递减规律的作用，边际产品总是会小于平均产品。( ) 57．只要总产出是下降的，那么边际产品必然是负数。( ) 58．如果边际技术替代率是常数，说明投入的替代比例是不变的。( ) 59．只要边际产品上升，平均产品也一定上升。( ) 60．如果总产出达到极大值，那么边际产品曲线就会与平均产品曲线相交。( ) 四、简 答 题 1．简述边际报酬递减规律的内容。 2．比较消费者行为理论和生产者行为理论。 3．运用生产理论分析说明理性的厂商应如何确定生产要素的投入量? 4．简述规模报酬变动规律及其成因。 5．等产量曲线有哪些特征? 这些特征的经济含义是什么? 6．请说明为什么厂商要沿着扩展线来扩大生产规模? 7．为了实现既定成本条件下的最大产量或既定产量条件下的最小成本，如果企业处 于r w MRTS LK > 或者r w MRTS LK < 时，企业应该分别如何调整劳动和资本的投入量，以达到最优的要素组合? 8．试论下列各种均衡条件之间的联系与区别：Y Y X X P MU P MU =，r MP w MP K L =，B B A A P MR P MR =。 9．与业主制企业和合伙制企业相比，公司制企业具有明显的优越性。按照“优胜劣汰”法则，市场上最终留存下来的只能 是公司制企业。为什么各国仍然有大量非公司制企业存在? 10．分析判断“如果生产函数具有规模不变的特征，那么要素在生产上的边际替代率不变”。 11．生产的三阶段是如何划分的? 为什么厂商通常会在第二阶段进行生产? ====================================================================== 12．是平均产量还是边际产量决定雇主增加雇佣工人的情况? 为什么? 13．为什么边际技术替代率递减 (或为什么等产量曲线凸向原点)? 14．利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。 15．固定比例生产函数和规模报酬不变是一回事吗? 请简要说明。 五、计 算 题 1．判断下列生产函数的规模收益各是什么类型的。 (1) 6.03.05K L Q = (2) K L Q 73+= (3) 3142)6.0(K L Q = (4) []ρρραα1)1(----+=K L A Q 2．某企业在短期生产中的生产函数为L L L Q 2402423++-=，计算企业在下列情况下的L 的取值范围： (1) 在第I 阶段； (2) 在第II 阶段； (3) 在第III 阶段。 3．已知生产函数为2232.05.0),(K L KL K L f Q --==，其中Q 表示产量，K 表示资本，L 表示劳动。令上式的K ＝10。试： (1) 写出劳动的平均产量函数和边际产量函数； (2) 分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到最大时，厂商雇佣的劳动数量。 4．已知某企业的生产函数为3231 K L Q =，劳动的价格w = 2，资本的价格r = 1。求： (1) 当成本C = 3 000时，企业实现最大产量时的L 、K 和Q 的均衡值。 (2) 当产量Q = 800时，企业实现最小成本时的L 、K 和C 的均衡值。 5．设某国有企业的生产函数为25.075.030K L Q =，劳动年工资为0.5万元，资本(万元)年利率为10％，问： (1) 当总成本为5 000万元时，企业能够达到的最大产量及其劳动、资本雇用量； (2) 当总产量为1 000单位时，企业必须投入的最低总成本及其劳动、资本雇用量； (3) 当总成本为5 000万元时，若劳动年工资从0.5万元下降到0.4万元，其总效应、替代效应、产量效应各多少? 6．已知某企业的生产函数为Q ＝L 2/3K 1/3，劳动的价格W ＝2，资本的价格r ＝1。求： (1) 当成本C ＝3000时，企业实现最大产值时的L ，K 和Q 的均衡值。 (2) 当产量Q ＝800时，企业实现最小成本时L ，K 和Q 的均衡值。 7．已知生产函数为：Q = min ( L , 2K )，试求： (1) 如果产量Q = 20，则L 和K 分别为多少? (2) 如果L 和K 的价格均为1，则生产10个单位产量的最小成本为多少? 8．已知生产函数Q ＝min (L, 4K)。求： (1) 当产量Q ＝32时，L 与K 值分别为多少? (2) 如果生产要素的价格分别为P L ＝2，P K ＝5，则生产100单位产量时的最小成本是多少? 9．已知生产函数为 L K KL L K F Q +==10),( ， (1) 求出劳动的边际产量及平均产量函数； (2) 考虑该生产函数的边际技术替代率的增减性； (3) 考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性； (4) 求出长期扩展线函数。 10．已知生产函数为：(a) KL Q 4=，(b) L K Q 2=，(c) )4,3min(L K Q =。请分别求上述生产函数的 (1) 厂商的长期生产扩展线函数； (2) 当w = 1，r = 4，Q = 10时使成本最小的投入的组合。 11．对于规模报酬不变的生产函数),(L K F Q =来说，若其满足欧拉定理，则有：L MP K MP Q L K ?+?=。 (1) 运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果L L AP MP >，则K MP 必为负数。这意味着生产应在何处进行呢? 一 个企业能够在 L AP 递增的点进行生产吗? (2) 再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入),(L K 的一个规模报酬不变的生产函数，KL F 必定为正。解释这一结 论 (注：LK KL F K L L K F L K L K F F =???=???=),(),(22)。 12．对于生产函数3221 10)(),(ββββ+++=KL L K F ，其中10< (1) 当满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬固定的特征； (2) 证明在规模报酬固定的情况下，该生产函数呈现出边际生产力递减而且边际生产力函数是零次齐次的。 ====================================================================== 13．已知某企业的生产函数为： Q ＝5L+12K 一2L 2一K 2 L 的价格P L ＝3，K 的价格P K ＝6，总成本TC ＝160， 试求该企业的最佳要素组合。 14．设厂商生产一定量的某种产品需要的劳动和资本数量的组合如下图： (1) ? (2) 若劳动价格不变，每单位资本价格涨到8美元，则该厂为使成本最低应采取那种生产方法? 15．设某食品企业的生产函数为Q ＝4L 0.4 K 0.2，请问： (1) 该生产函数是否为齐次生产函数?如果是齐次生产函数，次数是多少? (2) 该生产函数的规模报酬情况如何? (3) 加入L 与K 均按其边际产量取得报酬，当L 与K 取得报酬后，有剩余价值吗? 有的话为多少? 2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.4.2 解三角形 及其综合应用撬题 文 1．钝角三角形ABC 的面积是1 2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B 解析 由题意知S △ABC ＝1 2AB ·BC ·sin B ， 即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC ·cos B ＝12 ＋(2)2 －2×1×2×2 2 ＝1. 此时AC 2 ＋AB 2 ＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC ·cos B ＝12 ＋(2)2 －2×1×2×? ?? ?? －22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1 2，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A ．bc (b ＋c )>8 B ．ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12 D．12≤abc ≤24 答案 A 解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1 2得，sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A ＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝1 2，所以 2sin A [cos(π－(B ＋C ))＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝1 2 ， 即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝1 2 ab sin C ，① S ＝12ac sin B ，② S ＝12 bc sin A ，③ 因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3 ＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即 64≤a 2b 2c 2 ≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三 复变函数复习题（2012-4-10） 第一章自测题 (一)填空题（每题3分，共15分） 1．复数10 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3)i z i θθθθ+=-的复指数表示式为__________________; 2．设11i z i += -，则1005025____________________;z z z ++= 3．设35,arg(),4 z z i π =-=则______________;z = 4．不等式225z z -++<所表示的区域是_____________________; 5．方程232z i +-=所代表的曲线是__________________________. （二）选择题（每题3分，共15分） 1．设34,z i =-+则幅角的主值arg ( )z 4 4 .arctan .arctan 33 4 4 .arctan .arctan 3 3 A B C D π π π +-+- 2．41( )-= 22222 2 2 2 .cos sin .cos sin 4 4 4 4 33222222 2 2 .cos sin .cos sin 44 4 4 k k k k A i B i k k k k C i D i π π π π πππππππ π ππ ππ++- +- +++++-+- ++- (0,1,2,3)k = 3．设(i z t t t =+为参数)，则其表示( )图形。 .A 直线； .B 双曲线； .C 圆； . D 抛物线。 4．一个向量顺时针旋转 ,3 π 向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为13i -， 第四章 三角函数 §4-1 任意角的三角函数 一、选择题： 1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在（ ） （Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限 ２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。则 （Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ （Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ） （Ａ）tan cot 2 2 θ θ （Ｂ）tan cot 2 2 θ θ （Ｃ）sin cos 2 2 θ θ （Ｄ）sin cos 2 2 θ θ ４．若4 sin cos 3 θθ+=-，则θ只可能是（ ） （Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ）第四象限角 ５．若tan sin 0θθ 且0sin cos 1θθ+ ，则θ的终边在（ ） (A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题： 6．已知α是第二象限角且4sin 5α= 则2α是第▁▁▁▁象限角，2 α 是第▁▁▁象限角。 7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3）,则α角弧度数为▁▁▁▁。 8．设1 sin ,(,)sin y x x k k Z x π=+ ≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 9．已知cosx-sinx<-1，则x 是第▁▁▁象限角。 三、解答题： 10．已知角α的终边在直线y =上，求sin α及cot α的值。 11．已知Cos(α+β)+1=0, 求证：sin(2α+β)+sin β=0。 12．已知()()cos ,5n f n n N π +=∈，求?（1）+?（2）+?（3）+……+?（2000）的值。 §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、选择题： 1．()sin 2cos 22ππ?? --- ??? 化简结果是（ ） （A ）0 （B ）1- （C ）2sin 2 ()2s i n 2 D - 2．若1 sin cos 5 αα+= ，且0απ ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34 - 3. 已知1sin cos 8αα=，且42 ππ α ，则cos sin αα-的值为（ ） 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 第一章复习题 1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（ ） A. -2 B. 1 C. 8 D. 14 2. z=2-2i ，|z 2 |=（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 8 3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（ ） A.x 2-y 2+2xy B.x 2-y 2-2xy C.x 2+y 2+2xy D.x 2+y 2-2xy 5. arg(2-2i)=（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.4 3π 6．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3 arg π = w B ．6 arg π = w C ．6 arg π - =w D ．3 arg π - =w 7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1 D ．大于1 8．设1 1z i = -+，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ ） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（ ） A. e 2x B. e y C. e 2x cosy D. e 2x siny 11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 13 .下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D.π<<π2z arg 2 3 14.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是（ ） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D. π≤<πargz 2 1 16．下列集合为有界闭区域的是（ ） A ．0< arg (z+3)≤ 2 π B ．Re (z-i)<1 C ．1≤Imz ≤2 D ． 1≤||z i -≤4 2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角 函数的图像与性质教师用书 文 北师大版 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2， －1)，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，(π 2，0)，(π，－1)， ( 3π 2 ，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图像 定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π 2 ＋ k π，k ∈Z } 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－π2＋2k π，π2 ＋ 2k π](k ∈Z )上是增加的； 在[π2＋2k π，3π 2＋ 2k π](k ∈Z )上是减少的 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上是增加 的； 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上是减少的 在(－π2＋k π，π 2 ＋ k π)(k ∈Z )上是增加 的 最值 当x ＝π 2＋2k π(k ∈Z )时， y max ＝1； 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； 当x ＝π＋2k π(k ∈Z ) 【知识拓展】 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4 个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x > 22，则x >π 4 .( × ) 习题四 1. 复级数1 n n a ∞=∑与1 n n b ∞=∑都发散,则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑和 1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立?为什 么? 答.不一定．反例: 2211111111 i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞ =====+=-+∑∑∑∑发散 但2 1 1 2()i n n n n a b n ∞ ∞ ==+=? ∑∑收敛 112()n n n n a b n ∞ ∞ ==-=∑∑发散 2411 11 [()]n n n n a b n n ∞∞ ===-+∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)2111i n n n +∞ =+∑ (2)115i ( )2n n ∞=+∑ (3) π 1 e i n n n ∞=∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) 0 cosi 2n n n ∞=∑ 解 (1) 21111 1i 1(1)i 1(1)i n n n n n n n n n n +∞ ∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n ∞ =∑发散,所以21 1 1i n n n +∞ =+∑发散 (2)11 15i (22n n n n ∞ ∞ ==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222 n n n n →∞ →∞+=+≠ 所以1 15i ()2n n ∞ =+∑发散 (3) πi 1 1e 1 n n n n n ∞ ∞===∑ ∑发散,又因为π11 1 ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. 第一章练习题 1、已知方程i e z 31+=，则z Im 为 （ ） A. ln2 B. 32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23 ±=+k k ππ 2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （ ） A.0 B. i C.－i D.1 3、设iy x z +=，则z w 1 =将圆周222=+y x 映射为 （ ） A ．通过0=w 的直线 B ．圆周2 1= w C ．圆周22=-w D ．圆周2=w 4、已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( ) A. 2+i B. -2+i C. 2-i D. -2-i 5、复数)3sin 3(cos z π πi +-=的三角形式是 ( ) A. 32sin 32cos ππi + B. 3sin 3cos ππi + C. 32sin 32cos ππ-+i D. 3sin 3cos ππ-+-i 6、方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为 （ ） A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表示的曲线为 A. 直线 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表示的图形是（ ） A.半平面 B.圆域 C.直线 D.点 9、下列集合为有界单连通区域的是（ ） A. 10< 高三数学巩固练习题（四） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中） 1．已知4 (,0),cos ,tan 225 x x x π∈-==则 A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 2．函数R x y 是)0)(sin(π??≤≤+=上的偶函数，则?= A ．0 B ． 4 π C ． 2 π D ．π 3．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，方程()0f x =的解集为M ，且M 中有有限个元素，则 A ．M 可能是? B ．M 中元素个数是偶数 C.M 中元素个数是奇数 D.M 中元素个数可以是偶数，也可以是奇数 4．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是 A ．甲是图①，乙是图② B ．甲是图①，乙是图④ C ．甲是图③，乙是图② D ．甲是图③，乙是图④ 5．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若 32 31 510=S S ，则公比q 等于 A ． 12 B ．1 2 - C ．2 D ．2- 6．=++++++++∞→)(lim 11413122242322n n n C C C C n C C C C A ．3 B ．3 1 C ． 6 1 D ．6 7．数列{}n a 的通项公式是32(1)(32) 2 n n n n n n a ----++--=()n N *∈，则 12lim()n n a a a →∞ +++ 等于 第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题： 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 第四章级数 复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。 根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要，在本章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数，通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数，通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数． 本章，我们主要介绍以下内容： 首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论． 其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）．第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双 <-<（0r≤，边幂级数）的概念及其性质，并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a R R≤+∞）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类． 一、学习的基本要求 1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件和充要条件，特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（比如：利用复级数的和求实级数的和的问题等）． 2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质（比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；二次求和的可交换性，即在 ,1 1 ()n m n m A ∞∞ ==∑∑，,1 1 ()n m m n A ∞∞ ==∑∑以及 ,,1 n m n m A ∞ =∑ 都收敛的条件下，有 ,,1 1 1 1 ()()n m n m n m m n A A ∞∞ ∞∞ =====∑∑∑∑ 成立）． 3．了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义，掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛，掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性． 4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法： 记00()()n n n f z a z z ∞ ==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点， 九年级上数学第四章锐角三角函数测试题 一、 选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分) 1、 sin30°的值等于（）。 A 、2 1B 、22C 、23D 、1 2、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值、余弦值都（）。 A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定 3、已知sin α= 2 3 ，且α为锐角，则α=（）。 A 、75°B 、60°C 、45°D 、30° 4、有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（）。 A 、41cm B 、2 1C 、43D 、23 5.三角形在方格纸中的位置如图所示，则αcos 的值是（） 43345354 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（） A ． 55B ．25 5C ．12 D ．2 7.在Rt ABC ?中，∠C=90°，若12 5 tan = A ，则 B sin 的值是（） 135******** 12 如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比（指 坡面的铅直高度BC 与水平宽度CA 的比）是1：3，堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是（） A ．10m B ．103m C ．15m D ．53m 9、等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，则底角的正弦值为（）。 A 、 185B 、165C 、1513D 、13 12 10.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，3AB =，折叠后，点C 落在AD 边上的 C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（） 3.2 C.3D.23 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分) A B C D E C B F 提高测试（二） （一）选择题（每题3分，共30分） 1．“a ＝1”是“函数y ＝cos 2 ax －sin 2 ax 的最小正周期为 π ”的（ ）． （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【提示】 由于y ＝cos 2 ax －sin 2 ax ＝cos 2ax ，当a ＝1时，函数的最小正周期为π ，当a ＝－1时，函数的最小正周期也是π ，所以 a ＝1是函数的最小正周期为π 的充分而不必要条件． 【答案】（A ）． 【点评】本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识． 2．函数f （x ）＝M sin （ωx ＋?）（ω ＞0）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ， f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝M cos （ω x ＋?）在[a ，b ]上（ ）． （A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M 【提示】 利用特殊值法，令M ＝ω ＝1，? ＝0，则有 f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，同时a ＝－2π，b ＝2π，可见，g （x ）在[a ，b ]（即[－2π，2 π]）上既不是增函数，也不是减函数，但可以取得最大值1，故排除（A ）、（B ）、（D ）．本题也可以用作图法求解． 【答案】（C ）． 【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力． 3．已知α 、β 是锐角三角形的两个内角，则下列各式中成立的是（ ）． （A ）cos α ＞sin β ，cos β ＞sin α （B ）cos α ＜sin β ，cos β ＜sin α （C ）cos α ＞sin β ，cos β ＜ sin α 第四章习题详解 1．下列数列a是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： n 1)a n 1 1 ni mi ； 2) a n n i 1； 2 3)a i n n1； n1 4) ni 2 a n e； 1ni a n e。 n 5)2 0,a1 2．证明：lim n a n 1 , , a a1 1 不存在，a1,a1 3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：n i 1) ；n n1 n i 2) ；ln n n2 3) 65i n 08 n； 4) n cos 02 n in 。 4．下列说法是否正确？为什么？ 1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 1 2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3)每一个在z连续的函数一定可以在z 0的邻域内展开成泰勒级数。 5．幂级数 n c能否在z0收敛而在z3发散？ n z2 n0 6．求下列幂级数的收敛半径： 1) n1 n z p n （p为正整数）； 2 n! n 2)z ； n nn1 3) 1 n n iz； n0 4) i n ez； n n1 5) n1 i n chz1； n nz 6) 。ln in n1 7．如果 n c n z的收敛半径为R，证明 n Re的收敛半径R。[提示： c n z n n Re c n zcz] n n0n0 8．证明：如果 c n1 lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径 nc n n c n z； c n1z n1 n1 ； n1 nc n z。 2 9．设级数c收敛，而 n c发散，证明 n n c n z的收敛半径为1。 n0n0n0 10．如果级数 n c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0 敛。 11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1) 11 3 z ； 2) 11 z 22 ； 3) 2 cos z； 4)shz； 5)chz； 6)e 2 z sin； 2 z z 7) z1 e； 8) 1 sin。 1z 12．求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半 径： 1) z z 1 1 ，z1； 2) z z 1z2 ，z2； 3 高中数学第四章三角函数复习教案2 复习已知三角函数值求角1 第二教时 教材：复习已知三角函数值求角 目的：要求学生对反正弦、反余弦、反正切函数的认识更加深，并且能较正确的 根据三角函数值求角。 过程： 一、复习：反正弦、反余弦、反正切函数 已知三角函数值求角的步骤 二、例题： 例一、1?用反三角函数表示)2 3,(,65sin ππ∈-=x x 中的角x 2?用反三角函数表示)2 7,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x 解：1?∵23π5)sin(-=-πx ∴)65arcsin(-=-πx ∴)6 5a r c s i n (--π=x 2?∵273π30π∴5arctan 3=π-x ∴5a r c t a n 3+π=x 例二、已知2 1)32cos(-=π+x ，求角x 的集合。解：∵21)32cos(-=π+x ∴)(3 2232Z k k x ∈π±π=π+ 由32232π+π=π+k x 得)(3 24Z k k x ∈π+π= 由3 2232π-π=π+k x 得)(24Z k k x ∈π-π= 故角x 的集合为},243 24|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或例三、求3arctan 2arctan 1arctan ++的值。 解：arctan2 = α, arctan3 = β则tan α= 2，tan β= 3 且24π4π2132t a n t a n 1t a n t a n )t a n (-=?-+=βα-β+α=β+α而π3π 又arctan1 = 4 π∴3arctan 2arctan 1arctan ++= π例四、求y = arccos(sin x ), (3 23π≤≤π-x )的值域解：设u = sin x ∵3 23π≤≤π-x ∴123≤≤-u ∴65)a r c c o s (s i n 0π≤≤x ∴所求函数的值域为]6 第4章 锐角三角函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 1．如图1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是( ) 图1 A.23 B.32 C.34 D.43 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A 的度数不断增大时，cos A 的值的变化情况是( ) A ．不断变大 B ．不断减小 C ．不变 D ．不能确定 3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3 5，则tan B 的值为( ) A.43 B.45 C.54 D.34 4．若角α，β是直角三角形的两个锐角，则sin αcos β－tan α＋β2的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－ 2 D. 2 2 －1 5．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值为( ) A. 33 B.2 33 C.5 33 D ．5 3 图2 图3 6．如图3，无人机在A 处测得正前方河流两岸B ，C 的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h ，则河流的宽度BC 为( ) A ．h ( 1tan50°－1 tan20° ) B ．h (tan50°＋tan20°) C ．h ????1tan40°－1tan70° D ．h ??? ?1tan70°＋1 tan40° 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 7．已知α是锐角，且sin α＝5 13，那么cos(90°－α)＝________，tan α＝________． 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝3 4，则cos B ＝________． 9．计算：sin 230°＋tan44°tan46°＋sin 260°＝________． 10．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，P 是第二象限内一点，连接OP .若OP 与x 轴的负半轴之间的夹角α＝50°，OP ＝13.5，则点P 到x 轴的距离约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.01) 11．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是________米． 图4 图5 12．河堤横断面如图5所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡度为1∶3，则AB 的长为________． 13．如图6，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km ，从A 处测得船C 在北偏东45°的方向上，从B 处测得船C 在北偏东22.5°的方向上，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为________km. 图6 14．因为cos30°＝ 32，cos210°＝－3 2 ， 第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于 0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个 邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么 p178第四章习题(一)[ 3, 4, 6, 7(4), 10, 12, 13, 14 ] 3. 如果lim n (c n + 1/c n )存在( )，试证下列三个幂级数有相同的收敛半径： (1) n 0 c n z n ；(2) n 0 (c n /(n + 1)) z n + 1；(3) n 0 (n c n ) z n – 1． 【解】事实上，我们只要证明下面的命题： 若 n 0 c n z n 的收敛半径为R ，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为R ． 从这个命题，就可以得到幂级数(1)的收敛半径与幂级数(2)的收敛半径相同，幂级数(3)的收敛半径与幂级数(1)的收敛半径相同． step 1. 当R 是正实数或+时．若| z | < R ，则存在r 使得| z | < r < R ． 因 n 0 c n z n 的收敛半径为R ，根据收敛半径定义及Abel 定理， 知 n 0 | c n r n |收敛． 因| (n c n ) z n – 1 | = ( | n /r | · ( | z | /r )n – 1 ) · | c n r n |； 而lim n ( | n /r | · ( | z | /r )n – 1 ) = 0，故M > 0使得0 | n /r | · ( | z | /r )n – 1 M ． 所以| (n c n ) z n – 1 | M · | c n r n |． 由Weierstrass 判别法知 n 0 | (n c n ) z n – 1 |收敛，所以 n 0 (n c n ) z n – 1收敛． 因此 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径R 1 R ． 特别地，若 n 0 c n z n 的收敛半径为+，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为 +． step 2. 当R 是非负实数时．对任意的满足R < r < | z |的实数r ， 根据收敛半径定义， n 0 c n r n 发散．从而 n 0 | c n r n |发散． 当n > r + 1时，| c n r n | = | r /n | · | (n c n ) r n – 1 | | (n c n ) r n – 1 |； 因此， n 0 | (n c n ) r n – 1 |发散． 由Abel 定理， n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径R 1 r ． 由r 的任意性，得R 1 R ． 特别地，若 n 0 c n z n 的收敛半径为0，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为0． step 3. 综合step 1和step 2的结论，当R 为正实数时，也有R 1 = R ． 即若 n 0 c n z n 的收敛半径为R ，则 n 0 (n c n ) z n – 1的收敛半径也为R ． [这个证明中，我们没有用到条件lim n (c n + 1/c n )存在( )，说明该条件是 可以去掉的．因为一般的幂级数并不一定满足这个条件，因此去掉这个条件来证明结论是有意义的．] 4. 设 n 0 c n z n 的收敛半径为R (0 < R < +)，并且在收敛圆周上一点绝对收 敛，试证明这个级数对所有的点z : | z | R 为绝对收敛且一致收敛． 【解】设z 0在收敛圆周上，且 n 0 | c n z 0 n |绝对收敛． 那么对于点z : | z | R ，都有| z | | z 0 |． 因此级数 n 0 | c n z n |收敛，即 n 0 c n z n 绝对收敛． 而由Weierstrass 判别法知知级数 n 0 c n z n 对所有的在闭圆| z | R 上一致收 敛． 6. 写出e z ln(1 + z )的幂级数展式至含z 5项为止，其中ln(1 + z )|z = 0 = 0． 【解】在割去射线L = { z | Im(z ) = 0，Re(z ) 1}的z 平面上，能分出 Ln(1 + z )的无穷多个单值解析分支(Ln(1 + z ))k = ln| (1 + z ) | + i arg(1 + z ) + 2k i ，k ．高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题文
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