刚体平面运动
理论力学10刚体的平面运动
vB = v A + vBA
a a ？ a
VB VBA
大小 ？ 方向 a
B VA
v B = v A ctg φ且 v BA
vA = sin φ
v BA = AB ⋅ ω AB v BA vA ∴ω = = l l sin φ
φ VA
ω A x
14
[例2] 图示机构 端以速度 A沿X轴负向运动，AB=l； 例 图示机构A端以速度 端以速度V 轴负向运动， 轴负向运动 求B端的速度？ 端的速度？ 端的速度 解：1）分析AB；2）分析A,B两点的速度 在AB直线上的投影相等，可以得到： y B
行移动 刚体简单运动 平行移动 定轴转动 定轴转动 刚体复杂运动 刚体的平面运动
平动 合成？ 合成？ 转动
刚体平面运动的分解 本章分析 平面运动刚体的角速度 平面运动刚体各点的速度 平面运动刚体各点的速度
1
第十章 刚体的平面运动
§10–1 刚体平面运动的概述 §10–2 平面运动分解为平动和转动 · 刚体的平面运动方程 §10–3 平面图形内各点的速度· 速度投影定理 速度瞬心 §10–4 平面图形内各点的加速度 · 加速度瞬心的概念
20
5．几种确定速度瞬心位置的方法 ①已知图形上一点的速度v A 和图形角速度ω， 可以确定速度瞬心的位置．（P点）
AP = vA , AP⊥v A ,且Ｐ在v A 顺ω转向绕A点 ω
转90º的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心．
21
③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 v A ,v B 的方向，且 v A 不平行 v B 。 过A , B两点分别作速度 v A ,v B的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心。 ④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 v A , v B 大小,且 v A ⊥AB, vB ⊥AB v A − vB (a) v A 与vB 同向, ω = AB v A + vB (b) v A 与vB 反向, ω = AB 注意：交点可能在刚体的外部） （注意：交点转动· 刚体的平面运动方程
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
刚体的平面运动
瞬时针方向
例2： 图示椭圆规。已知 ：AB =l=20㎝， vA=20㎝/s，φ=30°， C为杆AB的中点。试求 ：vB 、ωAB 、 vC 。
解： （1）分析各刚体的 运动，选取研究对象
选取AB作为研究对 象
（2）分析与AB连接点的运 动，选取运动已知的点 为基点
选A点 —— 基点（A点 运动已知）
解
(1)分析运动，确定基点。轮I做平面 运动，O点加速度可求，选其作为 基点。
(2)基点O的速度、加速度、轮I角速度
vo L 1，ao L12
vo r
L r
1
(3)求B点的加速度
aB ao aτBo aBno
v0
aτBo 0
aBno
r 2
L2 r
12
aB
ao2
aBnO
2
L1
1
vB= vA+ vBA
大小： ？ ？ 方向： （4）由三角关系求出所求量。
vA A r 900
o
l
vA
B
vB vBA
vB
vBA
vc
vCA
vA
B vA
AB
C vA
A
y
vB
vr =vBA
y'
r'B B
ve =vA
vA S
A
x'
0
x
1、定义
第三节 速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相 等。——速度投影定理
vC vA2 vC2A 2vA vCA cos vA2 (AB l / 2)2 2vA (AB l / 2) cos
20(cm / s)
第八章刚体的平面运动
其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
14
2. 速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连
线上的投影相等。
证明：
vB =vA +vBA
vBA vB
∵(vB )AB= (vA )AB+ (vBA) AB
A
B
vA
vA
而vBA 垂直AB，在AB两点连线上的投影为零
∴ (vB )AB= (vA )AB
O
30 A 60 60 B vB 已知方向，可求出连杆CB的速度瞬
vA
心Cv2。
36
例题
刚体的平面运动
例题8
因为
CCv2 CB tan 30
3l 3
故得连杆CB角速度的大小
C
Cv2
Cv1
vC
CB
vC CCv 2
3 l
vA
它的转向沿逆时针。于是滑块B 速
度的大小为
O
30 A
vA
60 60 B vB
M3和M4各点的加速度大小。
39
例题
刚体的平面运动
例题9
解： 因在此瞬时O点的加速度是已知的，
M3
故选O点为基点，则齿轮节圆边缘上任一
点M 的加速度为：
aO vO M4
M2
RO
a O
因为任一瞬时齿轮的角速度 vO ，
R
M1
因此，可对此式求导数，从而求得齿轮
的角加速度
O
ψ
A vB
vA=u
vB
u
tan
,
vBA
u
sin
,
所以
AB
vBA l
u l
理论力学精品课程第十章刚体的平面运动
△
O1
O
O2
A
B
C
D
0
aC
aB
（5）取B点为基点，研究A点
(6) 取 A 为动点，OD 动系
ar
O1
O
O2
A
B
C
D
0
aC
aB
ar
x
在 Ax 轴投影得:
OD
综—3
vA
A
B
D
C
已知：vA=0.2m/s, aA = 0, AB=0.4m
求：当 AC=CB, =30 时杆 CD 的速度、加速度 .
相对于平移系的速度vMA－ 相对速度 ，自A点起线性分布。
A
vA
vA
N
vCA
因此 C 点的绝对速度 v C ＝0。 C 点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。
令
C
vA vA C 唯一性－某一瞬时只有一个速度瞬心； 瞬时转动特性－平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动.
解: (1) AB 杆瞬心为 P 点
vA A vCe AB
01
取 CD杆上C 为动点，AB杆为动系
B
02
vB
vCr
03
vCa
C
04
D
P
vA
A
B
D
C
(2) 取 A为基点，研究B点
AB
aB
vA
A
B
D
C
AB
(3) 取 A为基点，研究杆上C点
(4) 取 CD杆上C 为动点，AB杆为动系
E
O2C
C
O2 vB vC △
O1
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第四章 刚体的平面运动
vB = vA cot ϕ
vA vBA = sin ϕ
vBA vA ωAB = = l l sin ϕ
例2 如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解：1 、 BD作平面运动
2 2 vC = vB − vCB ≈1.299m s
方向沿BD杆向右
2、速度投影定理
由
r r r vB = vA + vBA
沿AB连线方向上投影
r r ( vB ) AB = ( vA ) AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。
例5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm， 以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖 动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置 时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
由速度投影定理得
vB sin β = vC cos β
vC = vB tan β = rω0 tan β
圆轮瞬心在E 圆轮瞬心在E点
vA = vB = rω0
vC rω0 ωC = = tan β R R
§4-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
A ：基点
Ax ' y '
：平移坐标系
r r rt rn aB = ae + ar + ar r r rt rn aB = aA + aBA + aBA
va= vB
ve= vA
vr= vAB
r r r v =v +v
B A
BA
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.曲柄OA以角速度=3rad/s转动。
在图示位置,,而O1B正好与OO1的延长线重合,求在此瞬时杆AB和O1B的角速度。
2.已知: 曲柄OA= r , 匀角速度w转动,连杆AB的中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O、A、O1三点在同一水平线上, OA^AB, ÐAO1C= q=30。
求:该瞬时O1D的角速度。
3.如图所示曲柄OA以等角速度绕O轴转动时,连杆AB使BO1绕Ol轴摆动又通过连杆BC带动滑块C上下运动。
已知OA=r,AB=L,BO1=BC=l,试求在图示位置时滑块C的速度。
4.如图所示筛动机构中,筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。
已知曲柄的转速n=40r/min,OA=30cm,当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时,∠BAO=90o。
求此瞬时筛子BC的速度。
5.直径为0.63m的滚子在水平面上作纯滚动,杆BC一端与滚子铰接,另一端与滑块C铰接。
已知图示位置滚子的角速度
=12rad/s,,BC=0.27m,试求该瞬时BC杆的角速度和C点的速度。
6.在如图所示的机构中,已知OA=r=0.2m,O1B=lm,AB=l=1.2m,BC=lm,OA以等角加速度=5rad/s2转动,并在此瞬时角速度=l0rad/s。
求当OA与O1B为铅垂时,B点与C点的速度与加速度。
第一套4
7.如图所示的机构中,长为0.2m的曲柄OA以匀角速度=2rad/s转动,连杆AB长l=0.4m,半径r=0.1m的圆盘绕O1轴转动,求图示位置B点的速度和加速度。
8.在如图所示的外啮合行星齿轮的机构中,系杆O1O=l以不变的角速度绕定轴O1转动。
在系杆销钉O上装一可自由转动的齿轮I,半径为r,该齿轮沿另一半径为R=l-r的固定齿轮Ⅱ作纯滚动。
A、B为轮缘上的两点,点A在OlO的延长线上,点B在垂直于OlO的半径上。
试求A、B点的加速度。
最后一套6
9.如图所示,曲柄0.4长50mm,以匀角速度=10rad/s绕O轴转动,通过连杆AD和滑块B、D使摆杆O、C绕Ol轴转动。
在图示位置,曲柄OA垂直于水平线OBO1,摆杆O1C与水平线成60o角,且OlD=70mm。
试求此瞬时摆杆OlC 的角速度及滑块D的速度。
无答案
10.如图所示的四连杆机构中,曲柄以匀角速度绕O轴转动,且OA=O1B=r,某瞬时∠AOO1=90o,∠BAO=∠
BO1O=45o。
求此时B点的加速度和O1B杆的角加速度。
11.水平滚动而不滑动,如图所示。
在轮上有圆柱部分,其半径为r。
将线绕于圆柱上,线的B 端以速度v和加速度a沿水平方向运动。
求轮的轴心O的速度和加速度。
12.图示曲柄OA以匀角速度=2rad/s绕轴O转动,并借助连杆AB驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中做纯滚动。
设OA=AB=R=2r=1m,求图示瞬时点B、C的速度和加速度。
13.在图示曲柄连杆机构中,曲柄OA绕O轴转动,角速度为,角加速度为,在某瞬时曲柄与水平间成60o角,而连杆AB与曲柄OA垂直。
滑块B在圆形槽内滑动,此时半径O1B与连杆AB间成30o角。
设OA=a,AB=,O1B=2a,求在该瞬时,滑块B的切向加速度和法向加速度。
14.图示机构中,曲柄OA=r,绕O轴以等角速度转动,。
求机构在图示位置时,滑块C的速度和加速度。
15.平面机构的曲柄OA长为2l,以角速度绕O轴转动。
在图示位置时,AB=BO,∠OAD=90o,求此时套筒D相对于杆BC的速度和加速度。