逆阵与分块矩阵
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逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
第五讲 逆矩阵及分块矩阵
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
又因为
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
cofA转置矩阵为 的伴随矩阵，记为∗或者 A的伴随矩阵， A adjA 并称
A 11 A 12 ∗ 即： A = ⋮ A 1n A21 ⋯ An1 A22 ⋯ An2 ⋮ ⋮ A2n ⋯ Ann
A∗ = (cofA)T
A 1 阶方阵， 的伴随矩阵， 定理 ：A为n阶方阵， ∗为A的伴随矩阵，则有 AA∗ = A∗ A = A E
的逆矩阵， 判断B是否为A的逆矩阵，
只需验证AB = E和BA = E中的一个即可
证明： 都可逆， 例5：设方阵 A满足A 2 − 3 A − 10 E = 0, 证明： A, A − 4 E都可逆， 并求它们的逆矩阵
证：由A − 3 A − 10 E = 0
2
A( A − 3 E )] 10 下证： 下证： A − 4 E 由A 2 − 3 A − 10 E = 0
( A − 4 E )( A + E ) = 6 E 1 ( A − 4 E )[ ( A + E )] = E 6 1 －1 (A 故： − 4 E ) ＝[ ( A + E )] 6
− 可逆， 也可逆， 如果 A 可逆，则 A −1也可逆，且（ A −1）1 = A
可逆， 也可逆且（ 如果A可逆，数 λ ≠ 0，则λ A也可逆且（ λ A)
1.4 逆矩阵
1 0 = 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 . 0 1 5
一般地
a11 a22
0
a111 1 a22 = 1 1 ann ann
1
0
0
0
(1) 若A可逆, 则A 亦可逆, 且(A
Chapter 1
1.4 逆矩阵
Matrix and determinant
教学目的与要求:掌握逆矩阵的求法与分块矩阵的运算. 教学目的与要求:掌握逆矩阵的求法与分块矩阵的运算. 教学内容:逆阵定义,伴随矩阵, 教学内容:逆阵定义,伴随矩阵,分块矩阵的定义及运 算法则. 算法则. 重点:逆阵的求法,分块矩阵的运算. 重点:逆阵的求法,分块矩阵的运算. 难点:伴随矩阵的性质. 难点:伴随矩阵的性质. 教学方式:讲授. 教学方式:讲授.
因 A = 5! ≠ 0,
0 0 0 0 2 0 0 0 求 A 1 . 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5
故A1存在.
解Байду номын сангаас
由伴随矩阵法得 A1 = A A ,
0 0 0 0 2 3 4 5 1 3 4 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1 2 4 5 0 0 5! 0 0 1 2 3 5 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 4 2 3 (3 ) 1 1 0 X 1 1 0 = 0 1 5 . 2 1 1 3 2 1 2 1 1
解
(1)
1 5 3 2 X = 1 4 1 4
1
1 5 给方程两端左乘矩阵 , 1 4 E 1 5 1 5 1 5 3 2 X = 得 1 4 1 4 1 4 1 4 1 5 3 2 4 5 3 2 17 28 X = = = . 1 4 1 4 1 1 1 4 4 6
一般地
a11 a22
0
a111 1 a22 = 1 1 ann ann
1
0
0
0
(1) 若A可逆, 则A 亦可逆, 且(A
Chapter 1
1.4 逆矩阵
Matrix and determinant
教学目的与要求:掌握逆矩阵的求法与分块矩阵的运算. 教学目的与要求:掌握逆矩阵的求法与分块矩阵的运算. 教学内容:逆阵定义,伴随矩阵, 教学内容:逆阵定义,伴随矩阵,分块矩阵的定义及运 算法则. 算法则. 重点:逆阵的求法,分块矩阵的运算. 重点:逆阵的求法,分块矩阵的运算. 难点:伴随矩阵的性质. 难点:伴随矩阵的性质. 教学方式:讲授. 教学方式:讲授.
因 A = 5! ≠ 0,
0 0 0 0 2 0 0 0 求 A 1 . 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5
故A1存在.
解Байду номын сангаас
由伴随矩阵法得 A1 = A A ,
0 0 0 0 2 3 4 5 1 3 4 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1 2 4 5 0 0 5! 0 0 1 2 3 5 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 4 2 3 (3 ) 1 1 0 X 1 1 0 = 0 1 5 . 2 1 1 3 2 1 2 1 1
解
(1)
1 5 3 2 X = 1 4 1 4
1
1 5 给方程两端左乘矩阵 , 1 4 E 1 5 1 5 1 5 3 2 X = 得 1 4 1 4 1 4 1 4 1 5 3 2 4 5 3 2 17 28 X = = = . 1 4 1 4 1 1 1 4 4 6
逆矩阵与分块矩阵
A A .
例：A3 A2 A1 A1 A1 AA A32 A1
（2）若 A a a 0, 则A1存在， A1 1 .
a
6
第五讲：逆矩阵与分块矩阵
4.逆矩阵的计算举例
（1）求逆矩阵 例1 求方阵
A
1 2
2 2
3）可交换性： 若 AB E（或 BA E），则B A1.
证 A B E 1, 所以 A 0, 因而 A1存在，于是
B EB A1 A B A1AB A1E A1.
3.逆矩阵的运算规律： 方阵的逆矩阵满足下述运算规律
（i）若 A 可逆，则 A1 也可逆，且 A1 1 A.
证 AT A1 T A1 A T E T E, 所以有 AT 1 A1 T .
注（1）：方阵的幂的拓展
当 A 0时，还可定义 A0 E, Ak A1 k ,
这样，当 A 0 ，λ，μ均为整数时，有
A A A ,
x2
a2n
x
n
yn an1x1 an2 x2 ann xn
（1）
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A , 若记
则线性变换（1）可记作Y AX.源自 x1 X
xxn2 ,
（2）
y1
Y
yyn2 ,
3 1
逆矩阵.
教材例11
3 4 3
根据求逆矩阵的定理，由 此可见，求逆矩阵的运算 量是很大的。这在后面还 有更好的办法可以解决。
123
解 A 2 2 1 2 0, 则 A1 存在.
线性代数课件—对称矩阵、分块矩阵、逆矩阵
的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)都是方阵, 称为对角分块矩阵.同结构的对角分块矩阵的和, 积, 仍是对角分块矩阵.
形如
或的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)是方阵, 分别称为上三角形分块矩阵或下三角形分块矩阵.同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和, 积,
仍是同结构的分块矩阵.
定理2.1
n阶矩阵A=(aij)为可逆的充分必
要条件是A非奇异, 而且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.
证: 必要性设A可逆
AA-1=I|AA-1|=|I|
由有则 所以
|A| |A-1|=1|A| 0, 即A为非奇异.
充分性
设A非奇异, 存在矩阵
有
同理可证
BA=I
由此可知A可逆, 且
那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.
如果A可逆, A的逆矩阵是唯一的.因为, 如果B和B1都是A的逆矩阵, 则有AB=BA=I, AB1=B1A=I那么 B=BI=B(AB1)=(BA)B1=IB1=B1即 B=B1所以逆矩阵是唯一的. 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A-1.
0, 则称
定义2.8 若n阶矩阵A的行列式|A|A为非奇异的.
BT=B.如果AB=BA, 则有 (AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是对称的.反之, 如果AB是对称的, 即(AB)T=AB, 则有AB=(AB)T=BTAT=BA即A与B可交换.
对任意矩阵A,
ATA和AAT都是对称矩阵.
§2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中, 有时需要将一个矩阵分成若干个"子块"(子矩阵), 使原矩阵显得结构简单而清晰.例如:
然后分别计算kI, kC, I+D, D+CF, 代入上面3式, 得
形如
或的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)是方阵, 分别称为上三角形分块矩阵或下三角形分块矩阵.同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和, 积,
仍是同结构的分块矩阵.
定理2.1
n阶矩阵A=(aij)为可逆的充分必
要条件是A非奇异, 而且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.
证: 必要性设A可逆
AA-1=I|AA-1|=|I|
由有则 所以
|A| |A-1|=1|A| 0, 即A为非奇异.
充分性
设A非奇异, 存在矩阵
有
同理可证
BA=I
由此可知A可逆, 且
那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.
如果A可逆, A的逆矩阵是唯一的.因为, 如果B和B1都是A的逆矩阵, 则有AB=BA=I, AB1=B1A=I那么 B=BI=B(AB1)=(BA)B1=IB1=B1即 B=B1所以逆矩阵是唯一的. 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A-1.
0, 则称
定义2.8 若n阶矩阵A的行列式|A|A为非奇异的.
BT=B.如果AB=BA, 则有 (AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是对称的.反之, 如果AB是对称的, 即(AB)T=AB, 则有AB=(AB)T=BTAT=BA即A与B可交换.
对任意矩阵A,
ATA和AAT都是对称矩阵.
§2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中, 有时需要将一个矩阵分成若干个"子块"(子矩阵), 使原矩阵显得结构简单而清晰.例如:
然后分别计算kI, kC, I+D, D+CF, 代入上面3式, 得
矩阵的逆及分块
逆矩阵的定义对于n阶矩阵a如果存在n阶矩阵b使得abbae则称矩阵a是可逆的并称b为a的逆矩阵简称逆阵3若ab为同型可逆矩阵则ab可逆且ab逆矩阵的性质4若a可逆矩阵分块法对于行数和列数较高的矩阵a运算时常采用分块法大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵a用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵每一个小矩阵称为a的子块元素的形式上的矩阵称为分块矩阵例如1设a和b是同型矩阵采用相同的分块法其中aijij的行数相同列数相同那么srsr1111b为ln矩阵分块成其中ai1的列数分别等于b1jtj的行数那么kjikijab乘积左边的a的列分组数与b的行分组数要相等且a的每组的列数和b的每组的行数相等211111222111ab提示222111211121112111211111222111ab下页ab二分块对角矩阵及其性质形如的分块矩阵称为分块对角矩阵都是方阵在上述分块对角矩阵中如果a可逆则三矩阵的两种特殊分块法下页矩阵aaij的每一行称为矩阵a的行向量若矩阵a的第i行记为a矩阵bbij的每一列称为矩阵b的列向量若矩阵b的第j列记为b从而ai12221121122211211abababa按行分块b按列分块kjik而对作列分块此时常对5
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
2-2可逆矩阵和分块矩阵
1 0
2 1
使得
AB
1 0
10
BA
因而A可逆. A1 B
注: 逆矩阵唯一.
事实上,若B,C均为A的逆矩阵, 则有
BA AB I; CA AC I. 因而 B BI BAC IC C.
定义2.2: 若n阶方阵A的行列式满足|A|0, 则称A 是非奇异的, 否则称为奇异的.
注: 可逆矩阵必是非奇异矩阵 因为,若A可逆,则存在B使得AB I 从而
定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件是A非奇异, 即 |A|0. 此时 A1 1 A*
| A|
证明:只需要证明充分条件. 此时 | A | 0, 因此
1 A* A I 1 AA* A( 1 A* ).
| A|
| A|
| A|
因此A可逆且A1
1 |A|
A*
.
即|
A|
A1
A*
推论2.2 若方阵AB=I, 则A, B均可逆且A-1=B, B-1=A.
A
5 0 0
0 3 2
110
A1 O
O A2
,
其中
A1 5,
A2
3 2
11,
由
A11
1 5
;
A21
1 2
31 可知
A1
Btr
,
其中Ai1 , Ai2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Btj
的行数, 那末 AB
C11
C s1
C1r
C sr
其中Cij
t
Aik Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
k 1
例2.9
设A
逆矩阵与分块矩阵谷风教育
a21 x1
a22
x2
a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 的系数行列式不等于零，即 D a21 a22
a1n a2n 0
软件网络
an1 an2
ann
32
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
x1
D1 D
,
x2
D2 D
amn
T m
软件网络
, n .
23
于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵，
若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
C
(cij
)mn
AB
1T
T 2
1, 2,
T m
, n
1T
T 2
1 1
1T
T 2
2 2
T m
1
T m
2
1T
T 2
n n
T m
n
cij
T i
j
ai1, ai2 ,
b
a
软件网络
6
2 2 1
例：求3阶方阵
A
3
1
5
的逆矩阵.
3 2 3
解：| A | = 1， M11 7, M12 6, M13 3, M21 4, M22 3, M23 2, M31 9, M32 7, M33 4,
则
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
即 A= O．
a1 j
, amj
a2
j
a1 j 2
a2 j2
amj2 0
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AB1 B1 A1.
四. 例题分析 解题常用公式：
(1)矩阵A可逆 A 0; (2)若AB E,则A1 B, B1 A; (3) A1 1 A*;
A (4) AA* A* A A E.
ex1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 Solution. A 2 2 1 2 0, A1存在.
A1 B, B1 A. 证明 A B E 1, 故 A 0, B 0,
因而A, B可逆;且 A1 A1E A1( AB) ( A1 A)B EB B. B1 EB1 ( AB)B1 A( B1B) AE A.
定理3. 设n阶方阵A, B可逆,则 (1) A1可逆, 且( A1 )1 A; (2) A1 A 1;
(3) AA1 E, ( AA1) E,即( A1 )A E,
( A)1 ( A1 ).
(4) AA1 E,
A A1 E,
(A)1 A1 .
注 : ( A B)1 A1 B1
(5) AB A B 0, AB可逆,
且AB B1A1 A BB1 A1 AEA1 AA1 E,
(2) 若A的逆矩阵存在, 则必唯一;
设B1, B2是A的逆矩阵, 则AB1 B1 A E, AB2 B2 A E, 而 B1 B1E B1( AB2 ) ( B1 A)B2 EB2 B2 .
(3) 若A的逆矩阵存在,则记为A1.从而AA1 E;
(4) A1 1 , AA1 1; A
(3) ( A)1 ( A1 );
(4) 0时, (A)1 1 A1;
(5) AB可逆, 且( AB)1 B1 A1.
证明 A可逆, AA1 E, (1)故 A A1 AA1 E 1 0, 从而 A1 0, A1可逆, 且( A1 )1 A.
(2) A A1 1, A1 1 A 1. A
(5) A与B是互逆的.
3. 伴随矩阵
设Aij是矩阵A的行列式 A中aij的代数余子式,
A11
矩阵A*
A12
A1n
A21 A22
A2n
An1
An2
称为A的伴随矩阵.
Ann
注意：
a11 a12 AA* a21 a22
an1 an2
a1n A11
a2n
A12
ann A1n
Chapter 1(3) 逆阵与分块矩阵
教学要求：
1. 了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可 逆的充要条件;
2. 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆;
3. 了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.
一. 逆阵的引入 二. 逆阵的定义 三. 逆阵的性质 四. 例题分析 五. 分块矩阵的讨论
证明 若 A 可逆，即有A1使AA1 E .
故 AA1 A A1 E 1, 所以 A 0. 若 A 0, AA A A A E A A A A E,
AA 按逆矩阵的定义得A可逆,且 A1 A .
A
注意：A可逆 A为非奇异矩阵. 定理2. 设A, B是n阶方阵, 若AB E,则A, B都可逆, 且
343
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
2 5 2,
B1 3
1,
1 1 1
5 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1 X A1CB1. E
于是 X A1CB1
x1 b11 y1 b12 y2 b1n yn
b11
x2 b21 y1 b22 y2 b2n yn
B
b21
xn bn1 y1 bn2 y2 bnn yn
bn1
b1i b1n
b2i
b2n
bni bnn
则 X BY (**)
(**)称为(*)的逆变换.
一. 逆阵的引入
y1 a11x1 a12x2 a1n xn
设有线性变换
y2 a21
x1
a22x2
a2n xn
yn an1x1 an2 x2 ann xn
a11 记A a21
an1
a1i a1n
x1
y1
a2i
a2n
,
X
x2
,
Y
y2
,
ani ann
xn
yn
则 Y AX (*)
当A
0时, x1
A1 A
,
x2
A2 A
,
x3
A3 A
,
, xn
An A
.
其中Aj ( j 1,2, , n)为 A中第j列元素被y1, y2, , yn 代换而成; 把 A1 , A2 , An 按1,2, , n列展开得
A21 A22
A2n
An1
An2
Ann
A 0 0
0
A
0
AE
0
0
A
同理A*A A E
(1) AA* A*A A E
(2)ac
b* d
d c
b a
三. 逆阵的性质 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
Y AX ABY ( AB)Y , X BY BAX (BA)X , 从而可知 AB E BA, 正如数一样, 若ab ba 1,则a b1, b a1, 记B A1, 称其为逆矩阵.
二. 逆阵的定义 1. 定义 设A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B使得AB BA E, 则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵; B是A的逆矩阵, 记为 A1 B. 2. 几点说明 (1) A,B必须是方阵;
2
3 3 1
2 5 2. 1
ex
2.
设A
1 2
3
2 2 4
3 1, 3
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
Solution. 1 2 3
21
A 2 2 1 2 0, B
1 0,
53
343
A1, B1都存在.
且
A1
1 3
2
3 3