矩阵的分块求逆及解线性方程组
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
分块矩阵的逆矩阵 和原矩阵逆矩阵
标题：分块矩阵的逆矩阵与原矩阵逆矩阵1.概述分块矩阵是指将一个矩阵按行或列分割成多个子矩阵，常用于简化复杂的线性方程组的求解问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题中发挥着重要作用。
分块矩阵的逆矩阵和原矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，本文将对此进行详细的探讨。
2.分块矩阵的逆矩阵2.1分块矩阵的定义分块矩阵是将一个大矩阵按行或列分割成多个小矩阵的形式，通常用子矩阵的形式表示。
一个矩阵可以被分割成四个子矩阵的形式，即： A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为子矩阵。
2.2分块矩阵的逆矩阵对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1，有以下性质：若A可分块为A=[A11 A12; A21 A22]，且A11和A22可逆，则A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，并且存在逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
具体而言，A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，反之亦然。
并且可以通过分块矩阵的形式求得A的逆矩阵A^-1。
2.3分块矩阵逆的计算方法分块矩阵的逆矩阵的计算方法大致为：- 计算A11的逆B11和A22的逆B22；- 利用B11、B22和A12、A21计算出B12和B21；- 最终得到A的逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
3.原矩阵的逆矩阵3.1原矩阵的逆矩阵定义在矩阵运算中，矩阵A的逆矩阵表示为A^-1，它满足矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵：AA^-1=I。
若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
3.2原矩阵逆的求解方法计算原矩阵的逆矩阵可以通过多种方法，其中包括高斯消元法、伴随矩阵法、逆矩阵的初等变换法等。
这些方法都是为了求得原矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题。
4.分块矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵的关系4.1逆矩阵的性质对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1和原矩阵A的逆矩阵A^-1，它们有以下关系：- 若A可逆，则A的逆矩阵A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。
求分块矩阵的逆矩阵方法
求分块矩阵的逆矩阵方法分块矩阵（Block matrix）是指将一个大矩阵划分成若干个小矩阵，以便更方便地进行运算和分析。
在实际应用中，分块矩阵被广泛应用于求解大型线性方程组、特征值问题以及优化问题等问题。
在矩阵分块的基础上，我们需要解决的问题之一就是分块矩阵的逆矩阵。
求解分块矩阵的逆矩阵方法有很多种，下面我们将介绍其中两种常见的方法：块LU分解法和块逆矩阵法。
一、块LU分解法块LU分解法是一种直接求解分块矩阵逆的方法。
它通过将分块矩阵分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积的形式，然后再利用已知的LU分解公式求得下三角矩阵和上三角矩阵的逆矩阵，最后通过简单的矩阵运算求出原分块矩阵的逆矩阵。
具体地，假设分块矩阵为A，将其划分为n×n个块矩阵，即A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Ann]其中，Aij表示块矩阵中第i行j列的小矩阵，1≤i,j≤n。
则根据LU分解公式，A可以分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式，即A = LU其中，L和U分别为下三角矩阵和上三角矩阵，且有对于求解下三角矩阵L和上三角矩阵U的逆矩阵，我们可以利用递推方式求解。
首先，我们可以得到L的逆矩阵L-1的形式为其中，Lii^-1表示Lii的逆矩阵。
其中，-U11^-1U12(U22^-1)表示矩阵U12乘以U22^-1再乘以-U11^-1。
这里需要注意的是，在实际计算中，我们需要使用矩阵分块的方式来计算U-1的每一个分块。
最后，我们可以通过以下公式求得原分块矩阵A的逆矩阵A-1：二、块逆矩阵法另一种经典的求解分块矩阵逆的方法是块逆矩阵法。
该方法主要是通过对分块矩阵进行逆矩阵分块，并利用矩阵分块的性质来求解分块矩阵的逆矩阵。
我们首先需要计算出每一个小矩阵的逆矩阵，即Aij^-1, 1≤i,j≤n然后，我们可以利用矩阵分块的性质求解分块矩阵的逆矩阵。
具体地，假设分块矩阵的逆矩阵为A-1，将其划分成n×n个块矩阵，即则我们可以得到以下公式：Bij = - Aij^-1 ∑k=1n Bik Akj^-1, 1≤i,j≤n其中，∑k=1n Bik Akj^-1表示Bii乘以Aii的逆矩阵再乘以矩阵Aij的逆矩阵，这里需要注意的是，在实际计算中，我们需要使用矩阵分块的方式来计算∑k=1n Bik Akj^-1。
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是线性代数中的重要概念，它在解线性方程组、计算行列式和求解线性变换等问题中具有重要的应用价值。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆矩阵，因此掌握求解逆矩阵的方法对于深入理解线性代数具有重要意义。
本文将介绍几种常用的求解矩阵逆的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
方法一，代数余子式法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式|A|不等于0，则矩阵A是可逆的，即存在逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过代数余子式的方法来求解矩阵的逆矩阵。
首先，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)，然后利用公式A^(-1) = adj(A)/|A|来求解逆矩阵。
这种方法在理论上是可行的，但在实际计算中可能会比较复杂，尤其是对于高阶矩阵来说，计算量会非常大。
方法二，初等变换法。
初等变换法是一种比较直观和简单的方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等行变换变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较方便，并且适用于各种情况，但是需要进行大量的计算，对于高阶矩阵来说，计算量也会比较大。
方法三，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较灵活和高效的方法，它将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后通过一定的变换将原矩阵变换为单位矩阵，再将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在理论上和实际计算中都比较方便，尤其适用于特殊结构的矩阵，如对称矩阵、三对角矩阵等。
但是对于一般的矩阵来说，可能会比较繁琐。
方法四，Gauss-Jordan消元法。
Gauss-Jordan消元法是一种经典的求解逆矩阵的方法，它通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较高效和方便，尤其适用于计算机程序实现。
但是对于特殊结构的矩阵，可能会存在一些特殊情况需要处理。
综上所述，求解矩阵的逆矩阵有多种方法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来求解逆矩阵，以达到高效、准确地计算的目的。
矩阵求逆和线性方程组
1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
所以方程组的通解为
1
1
1
1 1
2
~ 0 1 1 2
0
1
1 2
1
2
1 1
~ 0 1 1
2
2
0
0
2 2
1
2
3
1 1
0 1
1
2
1
0
0
1 2
1
1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
RA RB 3,方程组有无穷多解.
bij
ms
,
其中A可逆。
A B r E A1B , 得解 X A1B .
伴随矩阵
⑴ 定义 A aij n , A Aji n .
⑵ 讨论伴随矩阵的永恒出发点
AA A E , A可逆时，A A A1.
⑶ 性质
a. AB B A ; b. AT A T ; c. A1 A 1 ;
a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n aam2nn ,
A 1 2 n
x1
X
xxn2 ,
b1
b
b2 bn
线性方程组
一 . 主要结论
A ai j mn , A A b , A 1 2 n .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组一、 问题化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。
二、 实验目的学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。
三、 预备知识1． 线性代数知识：（1） 向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112222121111n n n n n n x x x x x x x x x（2）分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式： 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222112111B B B B A，则221211112112111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 111211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B（3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；21112||||||⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==n i n j ij F a A2． 本实验所用Matlab 命令提示：（1）输入语句：input('输入提示')；（2）循环语句：for 循环变量=初始值 ：步长 ：终值 循环语句组 end（3）条件语句： if(条件式1)条件块语句组1elseif(条件式2)条件块语句组2 else条件块语句组3 end（4）矩阵和向量的范数：norm(A)； （5）求矩阵A 的秩：rank （A ）；（6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。
四、 实验内容及要求1． 在建立的sy31.m 文件中编程将任意给定的n 阶方阵B1，化为上三角矩阵B1；调用时输入：B1=A ，n=6；其A 为实验1[矩阵的基本运算]中的矩阵A 矩阵；2． 在建立的sy32.m 文件中编程用1~6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B2； 3． 在建立的sy33.m 文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆；（1）调用sy33.m 文件时输入：B3=A^2 ，输入n1=2求出B3的逆C2 ； （2）调用sy33.m 文件时输入同上的B3，输入n1=4求出B3的逆C4 ； （3）调用sy33.m 文件时输入同上的B3，输入n1=6求出B3的逆C6 ；（4）用norm()函数对上面三种方法所求的逆作误差分析[即作(B3*Ci －E)的范数]； 4． 建立sy34.m 文件，求下列非齐次线性方程组的通解。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++-+-=+++--=+++-=-+++=-++-+=+-+++246635554254843219526335544242364265432165432642165321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x五、思考与练习1． 求下列齐次线性方程组的基础解系⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++-+=+++--=+++=-+++=-++-+=+-+++046635504254043209526305544202364265432165432642165321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2．用任意输入的8维行向量构造一个8阶范德蒙矩阵。
六、操作提示1．计算过程（1）sy31.m 文件B1=input('B1=') N=input('N=') for j=1:Nfor i=j+1:NB1(i,:)=-B1(i,j)/B1(j,j)*B1(j,:)+B1(i,:) end end B1调用时输入：Load sy1 A B1=A ，n=6（2）sy32.m文件t=input('t=');tn=input('n=');for i=1:nB2(i,:)=t.^(i-1);endB2调用时输入：T=1:6 ，n=6（3）sy33.m文件B3=input('B3=');[n,m]=size(B3);n1=input('n1=');if(n1>n)disp('n1>n')elseif(n1==n)C1=inv(B3)elseb11=B3(1:n1,1:n1);b12=B3(1:n1,n1+1:n);b21=B3(n1+1:n,1:n1);b22=B3(n1+1:n,n1+1:n);ib11=inv(b11);c22=inv(b22-b21*ib11*b12);c12=-ib11*b12*c22;c21=-c22*b21*ib11;c11=ib11-c12*b21*ib11;C=[c11 c12;c21 c22]End（1）调用时输入：B3=A^2 ，n1=4；转换C4=C；（2）调用时输入：同上的B3 ，n1=2；转换C2=C；（3）调用时输入：同上的B3 ，n1=6；转换C6=C；（4）E=eye(size(B3));norm(B3*C2-E);norm(B3*C4-E);norm(B3*C6-E);（4）sy34.m文件A34=[1 2 4 6 -3 2 4;2 4 -4 5 1 -5 3;3 6 2 0 5 -9 -1;...2 3 0 4 0 1 8;0 -4 -5 2 1 4 -5;5 5 -3 6 6 -4 2]rank(A34)A35=rref(A34)2．计算结果>> sy31B1=AB1 =3 4 -1 1 -9 106 5 07 4 -161 -4 7 -1 6 -82 -4 5 -6 12 -8-3 6 -7 8 -1 18 -4 9 1 3 0N=6N =6B1 =3 4 -1 1 -9 100 -3 2 5 22 -361 -4 7 -1 6 -82 -4 5 -6 12 -8-3 6 -7 8 -1 18 -4 9 1 3 0B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 -5.3333 7.3333 -1.3333 9.0000 -11.33332.0000 -4.0000 5.0000 -6.0000 12.0000 -8.0000-3.0000 6.0000 -7.0000 8.0000 -1.0000 1.00008.0000 -4.0000 9.0000 1.0000 3.0000 0 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 -5.3333 7.3333 -1.3333 9.0000 -11.33330 -6.6667 5.6667 -6.6667 18.0000 -14.6667-3.0000 6.0000 -7.0000 8.0000 -1.0000 1.00008.0000 -4.0000 9.0000 1.0000 3.0000 0 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 -5.3333 7.3333 -1.3333 9.0000 -11.33330 -6.6667 5.6667 -6.6667 18.0000 -14.66670 10.0000 -8.0000 9.0000 -10.0000 11.00008.0000 -4.0000 9.0000 1.0000 3.0000 0 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 -5.3333 7.3333 -1.3333 9.0000 -11.33330 -6.6667 5.6667 -6.6667 18.0000 -14.66670 10.0000 -8.0000 9.0000 -10.0000 11.00000 -14.6667 11.6667 -1.6667 27.0000 -26.6667 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 -6.6667 5.6667 -6.6667 18.0000 -14.66670 10.0000 -8.0000 9.0000 -10.0000 11.00000 -14.6667 11.6667 -1.6667 27.0000 -26.6667 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 1.2222 -17.7778 -30.8889 65.33330 10.0000 -8.0000 9.0000 -10.0000 11.00000 -14.6667 11.6667 -1.6667 27.0000 -26.6667 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 1.2222 -17.7778 -30.8889 65.33330 0 -1.3333 25.6667 63.3333 -109.00000 -14.6667 11.6667 -1.6667 27.0000 -26.6667 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 1.2222 -17.7778 -30.8889 65.33330 0 -1.3333 25.6667 63.3333 -109.00000 -0.0000 1.8889 -26.1111 -80.5556 149.3333 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 -1.3333 25.6667 63.3333 -109.00000 -0.0000 1.8889 -26.1111 -80.5556 149.3333 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 0 22.0588 52.7059 -90.41180 -0.0000 1.8889 -26.1111 -80.5556 149.3333B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 0 22.0588 52.7059 -90.41180 -0.0000 0 -21.0000 -65.5000 123.0000 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 0 0 20.4695 -16.79270 -0.0000 0 -21.0000 -65.5000 123.0000 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 0 0 20.4695 -16.79270 -0.0000 0 0 -34.8110 52.9146 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 0 0 20.4695 -16.79270 -0.0000 0 0 0 24.3566 B1 =3.00004.0000 -1.0000 1.0000 -9.0000 10.00000 -3.0000 2.0000 5.0000 22.0000 -36.00000 0 3.7778 -10.2222 -30.1111 52.66670 0 0 -14.4706 -21.1471 48.29410 0 0 0 20.4695 -16.79270 -0.0000 0 0 0 24.3566t=1:6t =1 2 3 4 5 6n=6B2 =1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 4 9 16 25 361 8 27 64 125 2161 16 81 256 625 12961 32 243 1024 3125 7776 >> sy33B3=A^2n1=2C =-0.0215 0.0020 -0.0408 -0.0039 -0.0064 0.00100.0115 0.0108 0.0057 0.0065 0.0111 0.02870.0339 0.0003 0.0415 0.0100 0.0115 0.00990.0148 -0.0116 0.0159 0.0167 0.0142 -0.0080-0.0215 -0.0054 -0.0172 -0.0011 0.0158 0.0221-0.0230 -0.0025 -0.0259 -0.0024 0.0034 0.0203>> C2=C;>> sy33B3=A^2n1=4C =-0.0215 0.0020 -0.0408 -0.0039 -0.0064 0.00100.0115 0.0108 0.0057 0.0065 0.0111 0.02870.0339 0.0003 0.0415 0.0100 0.0115 0.00990.0148 -0.0116 0.0159 0.0167 0.0142 -0.0080-0.0215 -0.0054 -0.0172 -0.0011 0.0158 0.0221-0.0230 -0.0025 -0.0259 -0.0024 0.0034 0.0203>> C4=CC4 =-0.0215 0.0020 -0.0408 -0.0039 -0.0064 0.00100.0115 0.0108 0.0057 0.0065 0.0111 0.02870.0339 0.0003 0.0415 0.0100 0.0115 0.00990.0148 -0.0116 0.0159 0.0167 0.0142 -0.0080-0.0215 -0.0054 -0.0172 -0.0011 0.0158 0.0221-0.0230 -0.0025 -0.0259 -0.0024 0.0034 0.0203>> sy33n1=6C1 =-0.0215 0.0020 -0.0408 -0.0039 -0.0064 0.00100.0115 0.0108 0.0057 0.0065 0.0111 0.02870.0339 0.0003 0.0415 0.0100 0.0115 0.00990.0148 -0.0116 0.0159 0.0167 0.0142 -0.0080-0.0215 -0.0054 -0.0172 -0.0011 0.0158 0.0221-0.0230 -0.0025 -0.0259 -0.0024 0.0034 0.0203>> C6=C;>> E=eye(size(B3));>> norm(B3*C2-E)ans =5.1671e-015>> norm(B3*C4-E)ans =4.9230e-015>> norm(B3*C6-E)ans =4.9230e-015>> sy34A34 =1 2 4 6 -3 2 42 4 -4 5 1 -5 33 6 2 0 5 -9 -12 3 0 4 0 1 80 -4 -5 2 1 4 -55 5 -36 6 -4 2ans =5A35 =1.0000 0 0 0 0 6.8068 11.09720 1.0000 0 0 0 -2.2520 -0.41920 0 1.0000 0 0 -0.2041 -1.13840 0 0 1.0000 0 -1.4644 -3.23420 0 0 0 1.0000 -3.1000 -5.90000 0 0 0 0 0 0y=k(－6.8068 2.2520 0.2401 1.4644 3.1000 1)’+(11.0972 －0.4192 －1.1384 －3.2342 －5.9000 0)’。