分块矩阵的逆矩阵
逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
求分块矩阵的逆矩阵方法
求分块矩阵的逆矩阵方法分块矩阵（Block matrix）是指将一个大矩阵划分成若干个小矩阵，以便更方便地进行运算和分析。
在实际应用中，分块矩阵被广泛应用于求解大型线性方程组、特征值问题以及优化问题等问题。
在矩阵分块的基础上，我们需要解决的问题之一就是分块矩阵的逆矩阵。
求解分块矩阵的逆矩阵方法有很多种，下面我们将介绍其中两种常见的方法：块LU分解法和块逆矩阵法。
一、块LU分解法块LU分解法是一种直接求解分块矩阵逆的方法。
它通过将分块矩阵分解成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积的形式，然后再利用已知的LU分解公式求得下三角矩阵和上三角矩阵的逆矩阵，最后通过简单的矩阵运算求出原分块矩阵的逆矩阵。
具体地，假设分块矩阵为A，将其划分为n×n个块矩阵，即A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Ann]其中，Aij表示块矩阵中第i行j列的小矩阵，1≤i,j≤n。
则根据LU分解公式，A可以分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式，即A = LU其中，L和U分别为下三角矩阵和上三角矩阵，且有对于求解下三角矩阵L和上三角矩阵U的逆矩阵，我们可以利用递推方式求解。
首先，我们可以得到L的逆矩阵L-1的形式为其中，Lii^-1表示Lii的逆矩阵。
其中，-U11^-1U12(U22^-1)表示矩阵U12乘以U22^-1再乘以-U11^-1。
这里需要注意的是，在实际计算中，我们需要使用矩阵分块的方式来计算U-1的每一个分块。
最后，我们可以通过以下公式求得原分块矩阵A的逆矩阵A-1：二、块逆矩阵法另一种经典的求解分块矩阵逆的方法是块逆矩阵法。
该方法主要是通过对分块矩阵进行逆矩阵分块，并利用矩阵分块的性质来求解分块矩阵的逆矩阵。
我们首先需要计算出每一个小矩阵的逆矩阵，即Aij^-1, 1≤i,j≤n然后，我们可以利用矩阵分块的性质求解分块矩阵的逆矩阵。
具体地，假设分块矩阵的逆矩阵为A-1，将其划分成n×n个块矩阵，即则我们可以得到以下公式：Bij = - Aij^-1 ∑k=1n Bik Akj^-1, 1≤i,j≤n其中，∑k=1n Bik Akj^-1表示Bii乘以Aii的逆矩阵再乘以矩阵Aij的逆矩阵，这里需要注意的是，在实际计算中，我们需要使用矩阵分块的方式来计算∑k=1n Bik Akj^-1。
二阶分块矩阵求逆公式
二阶分块矩阵求逆公式1.引言分块矩阵在线性代数中占据重要地位，它可以帮助我们更好地理解和处理复杂的线性方程组。
在这篇文档中，我们将介绍二阶分块矩阵的求逆公式，探讨其应用和解决实际问题的方法。
2.二阶分块矩阵的表示二阶分块矩阵可以用如下形式来表示：$$A=\b eg in{b ma tr ix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\e nd{b ma tr ix}$$其中$A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$均为$n\t im es n$的方阵。
3.二阶分块矩阵的求逆公式对于二阶分块矩阵$A$，其逆矩阵的求解公式如下：$$A^{-1}=\be gi n{bma t ri x}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\\-A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\e nd{b ma tr ix}$$这个公式为我们提供了计算二阶分块矩阵逆矩阵的方法，下面将详细解释其中的推导。
4.推导过程我们假设$A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$均存在逆矩阵，并将其表示为$A_{11}^{-1}$、$A_{12}^{-1}$、$A_{21}^{-1}$、$A_{22}^{-1}$。
首先，我们来计算逆矩阵$A^{-1}$的各个分块元素：$$\b eg in{a li gn ed}(A^{-1})_{11}&=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}\\(A^{-1})_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\\(A^{-1})_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}\\(A^{-1})_{22}&=(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\e nd{a li gn ed}$$通过计算可得以上结果，可以使用代数运算的性质和规则进行验证。
逆矩阵与分块矩阵
A A .
例：A3 A2 A1 A1 A1 AA A32 A1
（2）若 A a a 0, 则A1存在， A1 1 .
a
6
第五讲：逆矩阵与分块矩阵
4.逆矩阵的计算举例
（1）求逆矩阵 例1 求方阵
A
1 2
2 2
3）可交换性： 若 AB E（或 BA E），则B A1.
证 A B E 1, 所以 A 0, 因而 A1存在，于是
B EB A1 A B A1AB A1E A1.
3.逆矩阵的运算规律： 方阵的逆矩阵满足下述运算规律
（i）若 A 可逆，则 A1 也可逆，且 A1 1 A.
证 AT A1 T A1 A T E T E, 所以有 AT 1 A1 T .
注（1）：方阵的幂的拓展
当 A 0时，还可定义 A0 E, Ak A1 k ,
这样，当 A 0 ，λ，μ均为整数时，有
A A A ,
x2
a2n
x
n
yn an1x1 an2 x2 ann xn
（1）
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A , 若记
则线性变换（1）可记作Y AX.源自 x1 X
xxn2 ,
（2）
y1
Y
yyn2 ,
3 1
逆矩阵.
教材例11
3 4 3
根据求逆矩阵的定理，由 此可见，求逆矩阵的运算 量是很大的。这在后面还 有更好的办法可以解决。
123
解 A 2 2 1 2 0, 则 A1 存在.
分块矩阵 求逆
分块矩阵求逆
一、分块矩阵求逆
1.定义
分块矩阵是将一个矩阵分割为若干个子矩阵组成的矩阵，如果一个矩阵分割成M×N块，每块非零元素的个数相等，则称为M×N块矩阵。
2.原理
分块矩阵求逆的原理是用逆矩阵的性质对子矩阵进行求逆，然后组合分块矩阵的逆矩阵。
逆矩阵的性质有：
（1）可逆矩阵A的逆矩阵A-1满足：A·A-1=A-1·A=I。
（2）如果矩阵B是A的一个子矩阵，那么B的逆矩阵B-1是A 的一个子矩阵，满足：A·B-1=B-1·A=B。
因此，对分块矩阵的求逆的方法就是：
1）用逆矩阵的性质求每个子矩阵的逆矩阵；
2）组合分块矩阵的逆矩阵。
3.计算步骤
（1）求每个子矩阵的逆矩阵。
首先使用GOF例子求4×4分块矩阵的逆矩阵：
已知
A=a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44 ，希望求A的逆矩阵A-1。
（2）对A求转置矩阵
A-T =a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44 （3）分块矩阵的逆矩阵的第一行各元素记为A11-1，A12-1，A13-1，A14-1；第二行各元素记为A21-1，A22-1，A23-1，A24-1；第三行各元素记为A31-1，A32-1，A33-1，A34-1；第四行各元素记为A41-1，A42-1，A43-1，A44-1。
矩阵的逆及分块
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
[理学]逆矩阵和分块矩阵_OK
![[理学]逆矩阵和分块矩阵_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/507b9906f61fb7360a4c65b5.png)
于是 X A1CB1 E
1 3 2
1
3 3 1
2 1 5 2 2 1 3
03 1
3 5
1 2
1 1
2 1
0
0
2 2
3 5
曲2线1积分与曲面积1分100
4. 4
19
例5 设A为n阶方阵，适合
A4 3A3 6A2 11A 2E 0 求证：A为可逆矩阵，且求出A1
8
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
证明 A B E 1, 故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1A B A1AB
A1 E A1
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
曲线积分与曲面积分
9
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1A1.
曲线积分与曲面积分
10
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1A T E T E,
故 A A1 E 1, 所以A 0. 当 A 0时,
曲线积分与曲面积分
6
当 A 0时,
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
逆矩阵和分块矩阵
A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 ,
A B 1 1 B 1 A
证明
ABB1 A1 ABB1 A1
1 AEA 1 AA E ,
2 1 5 3
1 0,
3 4 3
A , B 都存在.
1
1
3 2 1 3 1 1 1 , 且 A 3 2 3 5 2 , B 5 2 1 1 1 A1 AXBB 1 A1CB 1 X A1CB 1 . 又由 AXB C E 于是 X A1CB 1 3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1 1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
A
1
1 3 3 2 11 A A 3A E. 2 2 2
设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 : A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .
例6
证明
由A A 2 E 0, 得A A E 2 E 1 A A E A E 1 A E A 2 2
2
A 0,
1
故A可逆 .
1 A A E . 2
又由A2 A 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0
1 A 2 E A 3 E E 4 1 A 2 E A 3 E 1, 4