2.2逆矩阵与分块矩阵
逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块矩阵的逆矩阵 和原矩阵逆矩阵
标题：分块矩阵的逆矩阵与原矩阵逆矩阵1.概述分块矩阵是指将一个矩阵按行或列分割成多个子矩阵，常用于简化复杂的线性方程组的求解问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题中发挥着重要作用。
分块矩阵的逆矩阵和原矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，本文将对此进行详细的探讨。
2.分块矩阵的逆矩阵2.1分块矩阵的定义分块矩阵是将一个大矩阵按行或列分割成多个小矩阵的形式，通常用子矩阵的形式表示。
一个矩阵可以被分割成四个子矩阵的形式，即： A = [A11 A12][A21 A22]其中，A11、A12、A21、A22为子矩阵。
2.2分块矩阵的逆矩阵对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1，有以下性质：若A可分块为A=[A11 A12; A21 A22]，且A11和A22可逆，则A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，并且存在逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
具体而言，A可逆的充要条件是A11和A22都可逆，反之亦然。
并且可以通过分块矩阵的形式求得A的逆矩阵A^-1。
2.3分块矩阵逆的计算方法分块矩阵的逆矩阵的计算方法大致为：- 计算A11的逆B11和A22的逆B22；- 利用B11、B22和A12、A21计算出B12和B21；- 最终得到A的逆矩阵A^-1=[B11 B12; B21 B22]。
3.原矩阵的逆矩阵3.1原矩阵的逆矩阵定义在矩阵运算中，矩阵A的逆矩阵表示为A^-1，它满足矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵：AA^-1=I。
若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
3.2原矩阵逆的求解方法计算原矩阵的逆矩阵可以通过多种方法，其中包括高斯消元法、伴随矩阵法、逆矩阵的初等变换法等。
这些方法都是为了求得原矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组、矩阵方程和求解特征值等问题。
4.分块矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵的关系4.1逆矩阵的性质对于分块矩阵A的逆矩阵A^-1和原矩阵A的逆矩阵A^-1，它们有以下关系：- 若A可逆，则A的逆矩阵A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。
第五讲 逆矩阵及分块矩阵
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
又因为
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
cofA转置矩阵为 的伴随矩阵，记为∗或者 A的伴随矩阵， A adjA 并称
A 11 A 12 ∗ 即： A = ⋮ A 1n A21 ⋯ An1 A22 ⋯ An2 ⋮ ⋮ A2n ⋯ Ann
A∗ = (cofA)T
A 1 阶方阵， 的伴随矩阵， 定理 ：A为n阶方阵， ∗为A的伴随矩阵，则有 AA∗ = A∗ A = A E
的逆矩阵， 判断B是否为A的逆矩阵，
只需验证AB = E和BA = E中的一个即可
证明： 都可逆， 例5：设方阵 A满足A 2 − 3 A − 10 E = 0, 证明： A, A − 4 E都可逆， 并求它们的逆矩阵
证：由A − 3 A − 10 E = 0
2
A( A − 3 E )] 10 下证： 下证： A − 4 E 由A 2 − 3 A − 10 E = 0
( A − 4 E )( A + E ) = 6 E 1 ( A − 4 E )[ ( A + E )] = E 6 1 －1 (A 故： − 4 E ) ＝[ ( A + E )] 6
− 可逆， 也可逆， 如果 A 可逆，则 A −1也可逆，且（ A −1）1 = A
可逆， 也可逆且（ 如果A可逆，数 λ ≠ 0，则λ A也可逆且（ λ A)
矩阵典型习题解析
2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAa m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等设 A （a ij ）mn; B （b ij ）mn若a ij b ij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称A与B相等，记为A=B。
2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij )mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ；②( A+B ) +C=A+( B+C )③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2) 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② ( K+L) A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 nAB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)ABA CA3)方阵的幂①定义：A(a ij )n，则 A k A KA ②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
逆矩阵与分块矩阵
A A .
例：A3 A2 A1 A1 A1 AA A32 A1
（2）若 A a a 0, 则A1存在， A1 1 .
a
6
第五讲：逆矩阵与分块矩阵
4.逆矩阵的计算举例
（1）求逆矩阵 例1 求方阵
A
1 2
2 2
3）可交换性： 若 AB E（或 BA E），则B A1.
证 A B E 1, 所以 A 0, 因而 A1存在，于是
B EB A1 A B A1AB A1E A1.
3.逆矩阵的运算规律： 方阵的逆矩阵满足下述运算规律
（i）若 A 可逆，则 A1 也可逆，且 A1 1 A.
证 AT A1 T A1 A T E T E, 所以有 AT 1 A1 T .
注（1）：方阵的幂的拓展
当 A 0时，还可定义 A0 E, Ak A1 k ,
这样，当 A 0 ，λ，μ均为整数时，有
A A A ,
x2
a2n
x
n
yn an1x1 an2 x2 ann xn
（1）
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A , 若记
则线性变换（1）可记作Y AX.源自 x1 X
xxn2 ,
（2）
y1
Y
yyn2 ,
3 1
逆矩阵.
教材例11
3 4 3
根据求逆矩阵的定理，由 此可见，求逆矩阵的运算 量是很大的。这在后面还 有更好的办法可以解决。
123
解 A 2 2 1 2 0, 则 A1 存在.
矩阵的逆及分块
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
矩阵分块法求逆矩阵的公式
矩阵分块法求逆矩阵的公式矩阵分块法在处理大型矩阵运算时可是个超级实用的技巧，尤其是在求逆矩阵的时候。
咱先来说说啥是矩阵分块法。
想象一下，一个大大的矩阵就像一个大操场，我们把它分成几块小区域，每一块就像是操场上的不同活动区域，比如足球场、篮球场、跑道啥的。
这样分块之后，处理起来就方便多啦。
比如说，有一个大矩阵 A ，咱把它分成四块 A11、A12、A21、A22 。
然后呢，要是这个分块后的矩阵满足一定的条件，咱们就能用一些特别的公式来求它的逆矩阵啦。
那求逆矩阵的公式是啥呢？假设分块矩阵 M 是这样的：\[M = \begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\]如果 A 是可逆矩阵，并且 A 的逆矩阵 A^(-1) 存在，同时满足一个特定的条件（这个条件是啥呢？就是矩阵 AD - BC 可逆），那么 M 的逆矩阵 M^(-1) 就可以表示为：\[M^{-1} = \begin{pmatrix}(A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\-(D - CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}\]这公式看起来有点复杂，是吧？但咱别害怕，多做几道题，多练习练习，就能慢慢掌握啦。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生小周，一开始怎么都理解不了。
我就给他举了个特别形象的例子。
假设咱们有一个学校，学校里有不同的班级。
A 班级的同学成绩都很好，B 班级的同学成绩稍微差一点，C 班级的同学体育特别强，D 班级的同学艺术方面很出色。
我们把这四个班级看作是矩阵的四块。
然后呢，要计算整个学校在某次综合评比中的“逆表现”（就相当于求逆矩阵），就得考虑每个班级的特点以及它们之间的关系。
小周一开始听得云里雾里的，后来我让他把每个班级想象成一个具体的数字或者分数，再去套公式，慢慢地他就开窍啦。
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则有
分块矩阵的乘法
m1 m2 m s m l1 l2 lt l n1 n2 nr n
一般地，设 A为m×l 矩阵，B为l ×n矩阵 ，把 A、B 分块如下： l1 l2 lt n1 n2 nr
m1 A11 m2 A21 A m s As1 A12 A1t l1 B11 A22 A2 t l2 B21 , B As 2 Ast lt Bt 1 B12 B1r B22 B2 r , Bt 2 Btr
若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即
A11 A1r B11 B1r A , B A A B B sr sr s1 s1 A11 B11 A1r B1r A B A B A B s1 sr sr s1
a11 A a21 a 例如： 31 a12 a22 a1 T A AT AT sr 1r
a14 a24 1 , 2 , 3 , 4 分块矩阵不仅形 式上进行转置， a34 而且每一个子块
a11 b11 a12 b12 A11 B11 A B a21 b21 a22 b22 a A B 32 31 b31 21 a 21 b32
a13 b13 a14 b14 A12 B12 a23 b23 a24 b24 a33 A b22 a b B 33 34 34 22
形式上看成 是普通矩阵 的加法！
则有
分块矩阵的数乘
a11 a12 A11 A a21 a22 a A a 31 21 32 a13 a14 A12 a23 a24 A22 a34 a33
a11 a12 A11 A a21 a22 a A a 31 21 32
则上述线性变换可记作 Y = AX ． 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵.
7 4 9 已知 A1 6 3 7 ，于是 X A1Y ，即 3 2 4
x1 7 y1 4 y2 9 y3 , x2 6 y1 3 y2 7 y3 , x 3y 2y 4y . 1 2 3 3
矩阵分块法
前言
由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文 件无法上传的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次 上传. 家具的拆卸与装配
问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？
问题一：什么是矩阵分块法？
定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个 小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵. 这是2阶
a13 a14 A12 a23 a24 A a a 33 22 34
A11 A1r 若 是数，且 A A A sr s1 A11 A1r A A A sr s1
mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作
iT (ai 1 , ai 2 , , ain )
a1 j a2 j j , a mj
若将第 j 列记作
a11 a21 A 则 am 1 a12 a22 am 2
第二章
矩阵及其运算
逆矩阵
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.
•矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？
•这就是本节所要讨论的问题.
•这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
An En En An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以
容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果
AB E ,
那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.
AT 、 A( 0) 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 A1、 与AB也可逆，且
( A1 )1 A, ( AT )1 ( A1 )T ,
( A)
1
1
A 1 ,
也进行转置．
a11 a12 T A a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 1T T a32 2 a33 3T T a34 4
分块对角矩阵
定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 2. 其余子块都为零矩阵， 3. 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵．
元素 aij 的代数 余子式 Aij 位于 第 j 行第 i 列
1 推论：若| A | 0 ，则 | A | . | A|
1
a b 例：求二阶矩阵 A 的逆矩阵. c d 1 d b A ad bc c a
1
2 2 例：求3阶方阵 A 3 1 3 2 解：| A | = 1， M 11 7,
( AB )1 B 1 A1 .
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x 21 1 22 2 2n n 线性变换 2 yn an1 x1 an 2 x2 ann xn
C11 C12 C1r t C 21 C 22 C 2 r C ij Aik Bkj C AB , k 1 ( i 1, , s; j 1, , r ) C s1 C s 2 C sr
按行分块以及按列分块
方阵吗？
a11 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 A11 a24 A21 a34
A12 A22
思考题
伴随矩阵是分块矩阵吗？
A11 A12 A A1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入
定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得
AB BA E
这里 E 是 n 阶单位矩阵. 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.
1 5 的逆矩阵. 3 M 12 6, M 13 3,
M 21 4, M 22 3, M 23 2, M 31 9, M 32 7, M 33 4,
则
A11 1 * 1 * A A A A12 | A| A 13 M 11 M 12 M 13 M 21 M 22 M 23
定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 .
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
* * 结论：AA A A | A | E ，其中
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
b1 j s b2 j T cij i j ai 1 , ai 2 , , ais aik bkj . k 1 b sj
分块矩阵的转置
A11 A1r 若A A A sr s1
C (cij )mn
T T T 1 1 1 1 2 1T n T T T T 2 2 1 2 2 2 n AB 1 , 2 , , n T T T T m n m m 1 m 2
T a1n 1 T a2 n 2 1 , 2 , , n . T amn m
于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式 （一个数），而不是矩阵．
问题二：为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时 采用分块法， 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想.
分块矩阵的加法
a11 a12 A11 A a21 a22 a Aa 31 21 32 a13 a14 b11 b12 A12 B11 a23 a24 , B b21 b22 b B b a33A22a34 31 21 32 b13 b14 B12 b23 b24 b33B22b34
A21 A22 A23
A31 A32 A33
M 31 7 4 9 M 32 6 3 7 3 M 33 2 4
| A | 0
此时，称矩阵A 为非奇异矩阵
方阵A可逆
1 * A A | A|
1
定理：若方阵A可逆，则 | A | 0 ．
的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记
x1 y1 x2 y2 X , Y xn yn
则上述线性变换可记作 Y = AX .