第九单元 数和因数
第九单元倍数和因数
一、单元知识体系
本单元教学倍数和因数，包括认识倍数和因数，２、５、３的倍数的特征，以及偶数和奇数、素数和合数。这是在整数乘除法的基础上安排的。通过本单元的学习，一方面可以进一步丰富学生对整数的认识，增强根据数的特征灵活进行计算和解决问题的自觉性；另一方面，也为学生进一步学习公倍数和公因数，以及分数的约分、通分和四则运算奠定基础。内容分三段安排：例1～例3教学认识倍数和因数；例4、例5教学2、5、
3 的倍数的特征，同时认识偶数和奇数；例6教学素数和合数。
二、思想方法渗透
1．使学生在探索数的特征的活动中，进一步形成观察、比较、分析和归纳等能力，学会从不同角度验证猜想，并对结论的合理性作出必要的说明，发展数感。
2．充分利用“百数表”培养直观感知、思维能力，并通过“百数表”中数的自身排列规律发展推理、想象能力。
三、教材练习安排
1．重建知识体系，通过操作并依据乘法算式认识倍数和因数
◆摆出图形，通过乘法算式认识倍数和因数
以前的教材把这些内容归结为数的整除，因此根据大纲要求，要先建立整除的概念，由整除引出约数和倍数，再用能否被２整除定义奇数和偶数，以一个数的约数的个数定义质数和合数，由质数引入质因数，学会分解质因数，并用分解质因数的方法求最大公约数和最小公倍数等等，概念较多并且集中，学生学习困难较大。数学课程标准没有提出认识整除的要求，但要求能找10以内某个数的倍数、100以内某个数的所有因数，并降低要求，只要知道奇数、偶数、素数、合数，不要求分解质因数和用求质因数的方法求最大公约数、最小公倍数等。因此，苏教版小学数学教材对这部分内容重建知识体系，依据学生熟悉的乘法算式中积与因数的关系认识倍数和因数。教材的具体安排是：用乘法算式表示拼成图形里正方形的个数
教材P70例题，先让学生用12个正方形拼一个长方形，观察长方形的摆法，用乘法算式表示自己的摆法，组织交流出现积是12的不同的乘法式子。
根据乘法算式说明倍数和因数，初步体会其意义
在得出这些乘法算式以后，教材先根据4×3 = 12说明12是3和4的倍数，3和4都是12的因数，使学生初步体会倍数和因数的含义。
让学生在交流中进一步体会倍数和因数的意义和关系
在学生有了倍数、因数的初步感受后，再要求学生根据其他式子说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数，进一步感受在乘法算式里，积是各个因数的倍数，每一个因数都是积的因数，并在叙述中体会倍数与因数的依存关系，及相应的倍数、因数的叙述方法。教学时要使学生认识两者之间的依存关系，掌握正确的叙述方法。
◆利用乘法算式找一个数的倍数或因数
对于学生来说，由乘法算式引入倍数和因数，那么找一个数的倍数或因数可以借助乘法算式进行。P71例一找３的倍数，启发学生用乘法算式逐个找出它的倍数，体验找倍数的方法；到“试一试”就引导学生想乘法直接依次写出一个数的倍数，并讨论获得找一个数倍数的方法：可以用这个数依次乘１、２、３……找出它所有的倍数。例二找36的所有因数，让学生自己思考用哪两个数相乘得36依次找它的因数，促进学生一对一对地依次填写出所有的因数，体验找所有因数的方法；到“试一试”就让学生直接写一个数的因数，同样观察讨论，获得找一个数的因数的方法：哪两个数相乘的积是这个数，这两个数就都是它的因数，这样可以一对一对地找出一个数的因数。
◆通过解决问题加深体验倍数与因数关系和理解找倍数和因数的方法
教材P72第2题让学生解决实际问题在表里填数，把４依次乘１、２、３……得出“应付元数”，然后思考下面的问题，可以使学生进一步认识把一个数依次乘１、２、３……所得的积，就是这个数的倍数，进一步理解找倍数的方法。第3题也是解决实际问题填写表里的数，并提出问题让学生思考，使学生明确两个相乘的数都是它们积的因数，求一个数的所有因数，可以想乘法一对一对地找出来，理解找一个数的因数的方法。
2．让学生自己观察、思考，发现2、5的倍数的特征
◆找出 2、5 的倍数分别观察、分析，发现相应的特征并在交流中确认
课程标准提出的具体目标中，提出让学生知道２、３、５的倍数的特征，而不是掌握特征。教材主要让学生观察、发现它们的特征，如P74例题认识２、５的倍数的特征，让学生先分别找出100以内２、５的倍数，再分别观察、分析它们的特点，组织交流，获得结论。
◆依据倍数概念认识偶数和奇数
认识了２的倍数的特征，教材以此定义偶数和奇数，让学生知道。
◆通过自己的活动发展数学思考
教材还注意让学生通过一些有趣的练习，进一步认识２、５的倍数的特征，发展分析、简单的推理等思维能力。P75第3、４题，让学生选数字组成符合条件的数，这就需要依据２、５的倍数的特征，思考选哪些数字组成怎样的数。第5题让学生先涂色再观察、讨论，体会因为４是２的倍数，４的倍数也都是２的倍数。
3．采用合适的方法帮助学生发现 3 的倍数的特征
◆通过观察3的倍数产生认知冲突
３的倍数的特征，学生开始可能会产生看个位的想法。教材P76例题首先让学生找出100以内3的倍数,观察它们的个位，思考是否具有２、５的倍数的类似特征，使学生产生认知的冲突，激发探究结论的愿望。
◆在计数器上表示和观察3的倍数，获得初步结论
接着要求学生在计数器上分别表示出几个3的倍数，看看每个数所用算珠的颗数是多少；再找几个比较大的３的倍数在计数器上表示出来，看每个数用了多少颗算珠，分析每个数所用算珠颗数有什么共同点并进行交流，获得３的倍数，各数位上的数相加的和一定是３的倍数的认识。
◆通过验证确认结论的正确性
３的倍数各数上的和一定是３的倍数，但有没有一个数不是３的倍数，但各数位上数的和也是３的倍数呢？P77“试一试”要求学生找几个不是３的倍数的数算一算，验证不是３的倍数的数，各数位上数的和不可能是３的倍数，确认前面获得结论的正确性。这样做实际上说明了例题里结论的条件是充分的而且是必要的，学生可以从中感受获得结论的过程是严密的。
4．通过学生的活动和思考，认识素数和合数
◆让学生自己找出一个数的因数并引导分类
素数（质数）和合数，是以一个数的因数的个数定义的。教材为了让学生感知、体验各自的本质属性，理解和获得素数与合数的概念，在P78例题中让学生自己先找一些数的因数，按照因数的个数把这些数分成两类。
◆研究同类数的因数的特征，概括素数和合数的意义
要形成概念，还得获得同类事物的本质属性的认识。因此教材引导学生自己分析、研究两类数各自因数的特点，认识每类数的因数个数方面的特征，充分感知一类数里每个数都只有１和它本身两个因数，另一类数里每个数除了１和它本身还有别的因数。在此基础上，教材抽象概括出素数和合数的概念使学生认识。同时还通过学生思考、分析，认识１既不是素数也不是合数。
◆安排试一试，加深对素数、合数的认识
例题之后，教材还安排“试一试”，让学生写出几个数的所有因数，判断是素数还是合数，学生经历这样的过程，可以进一步加深对素数和合数内涵的认识，掌握概念。
◆注意让学生体验数学方法的奇妙
教材P79第2题，让学生都参与筛法活动，发现剩下的数都是素数，体验这个方法的奇妙，对数学产生好奇心。
5．通过综合性练习加深学生的认识和激发学生兴趣
◆综合考虑 2、5 和 3 的倍数的特征
教材P80第2题，有些数同时是两个或三个数的倍数，学生联系２、３、５的倍数各自的特征进行判断，可以加深认识。第３题，要综合考虑75是哪些数的倍数。第４题更要综合考虑２、３、５的倍数的特征来填数，有利于进一步认识所学知识，发展学生综合应用知识的能力。
◆进一步体会一个数的倍数一定是它的因数的倍数
教材Ｐ80第５题，与前面Ｐ77第４题类似，让学生通过练习认识因为６是２和３的倍数，６的倍数也都是２和３的倍数，由此进一步体会一个数的倍数一定是它的因数的倍数。
◆使学生加深对素数与合数、奇数与偶数的认识
教材P81第6题可以让学生进一步认识素数与奇数、偶数与合数，清晰地掌握概念，防止概念的混淆；第8题三组都是奇数，但不都是素数，有许多数都是合数，学生可以进一步认识和掌握素数、合数的概念。
◆用倍数和因数、素数和合数说明实际问题
教材P80第3题，要应用倍数与因数的关系说明和解释结论；P81第9题，要应用素数和倍数的意义进行解释和说明。这样的问题一方面可以让学生进一步熟悉相应的概念，另一方面可以让学生感受知识的应用，发展学习数学的兴趣。
◆把偶数写成两个素数之和体验数学的奇妙
教材Ｐ80第10题，学生可以感受这些偶数都可以写成两个素数之和，体验数学的奇妙，还可以为阅读下一页“你知道吗”有一点感性体验。
四、典型案例分析
张齐华老师执教的《因数和倍数》
教学过程：
一、认识倍数和因数
师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?
生：1×12
师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？
生：12个，摆了一排。
师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？
生：三四十二
师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？
生齐：2×6
师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。
师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。
同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。
师板书：因数和倍数
师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？
师：谁先来？
生说略
师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？
生：12是12的因数，12是12的倍数。
师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？
生：自然数
师：而且谁得除外。
生：0
师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。
3、5、18、20、36
生说略。
二、探索找因数倍数的方法
师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？
生1：3、18
师：还有谁？
生2：36
师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？
生1：1
生2：4
生3：6
师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。
学生填写时师巡视搜集作业。
师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。
A：2、4、13、12、18、36
B：1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。
生1：都对的
师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。
生2：写全了
生大声说：没有！
师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？
生：没有写全，少了3、6、9。
师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？
生：36÷4，只写了4，没写9
师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？
生齐：两个两个找。
生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。
师：张老师提炼出两个字："顺序"，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。
师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。
生：他应该把4、3调换一下。
师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？
师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？
生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。
师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。
生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。
师：你看你那个舒服吗？
生：舒服
师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？
生：乘法口诀
师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。
师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？
生1：找到开始重复就不找了
生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。
师：体会体会1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。
生：
生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。
师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20
生齐：1、2、4、5、10、20
再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报
师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。
生：21、300
师：你能把3的倍数全部写下来吗？
生：不能。太多太多了。
师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。
学生练习纸上完成，汇报。
师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？
生1：3×1、3×2
师：能理解吗？
生1：3＋3=6、6＋3＝9
师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。
生：略
师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数
学生练习纸上完成：50以内7的倍数。
师：谁来说说这一次你找了哪几个？
生：7、14、21、28
师：为什么不加省略号？
生：因为给了一个限制。
师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？
生：略
三、感受倍数和因数的神奇奥秘
师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？
生1：27
生2：36
师：把你知道的两位数跟同桌说一说。
学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排
数，是这样吗？屏幕展示：
18、27、36、45、54、63、72、81
仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？
生：都是9的倍数
师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）
师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。
师：张老师问一个问题，好不好？1-100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？
生1：1
生2：99
师：还有谁要发表的？
生3：9
师问生2：为什么认为99的因数最多？
生：9是最大的。
师：张老师公布一下答案： 60
师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60 秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。
师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的 1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律
师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为"完美数"。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？
生：1、2、3、6
师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？
学生试这四个数。
师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。
师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第
5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？
生：好奇心
师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子[评析：1、课堂充满了丰富多彩的文化信息。
关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。"计数器'九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。
2、老师善于引导，让学生学会思考
张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了"教育的引导者。"如："看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？"、"他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？"……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。]
（该文章转自[小学课堂在线]：https://www.360docs.net/doc/7e10019923.html,/shuxue/2008/29666.html）
第十单元用计算器探索规律
一、单元知识体系
本单元主要引导学生利用计算器，探索积的变化规律和商不变的规律，以及运用这些规律进行简单计算和解决一些简单的实际问题。这是在学生已经掌握整数四则运算及一些运算规律，学会用计算器计算的基础上安排的。而掌握这些规律，不仅能使学生进一步加深对乘、除法运算的理解，增强自主探索规律的自觉意识，而且也为今后自主探索和理解小数乘、除法的计算方法作好准备。内容分三段安排：先通过例1探索积的变化规律，再通过例2探索商不变的规律，最后通过例3教学商不变的规律在除法计算中的应用。
二、思想方法渗透
1．让学生在猜想规律、枚举验证、应用规律的过程中，体验探索数学规律的过程和方法，发展数学思维能力。
2．让学生经历探索规律、发现规律的一般过程，体验小学数学学习中常用的不完全归纳的一般方法，以助于学生进一步去发现其他数学规律，逐步形成发现规律的敏锐眼光。
三、教材练习安排
1．引导学生经历探索、发现积、商变化规律的过程
◆在计算中初步感受因数变化与积的变化的联系
教材首先安排积的变化规律的认识，P83例题先出示表格，要求学生用计算器根据一个因数不变，另一个因数乘一个数，计算出因数变化后的积，并算出这个积就是原来的积乘的几，初步感受和认识在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘几时，积就等于原来的积乘几。
◆自己举例计算并比较、综合，发现和概括积的变化规律
在学生初步总结这个规律以后，教材进一步引导学生再举出一些例子，用计算器计算并把这些例子里因数和积的变化进行比较，从同类例子里抽象和概括出相应的规律。
◆让学生经历类似的过程发现和概括商不变的规律
教材P84例题探索商不变的规律，让学生经历探索和发现规律的过程。与积的变化规律一样，先提出一个除法算式，要求学生把被除数和除数同时乘几或同时除以几，观察并初步感受商有什么变化；接着由学生自己举例用计算器计算、比较，从同类例子里发现和概括出商不变的规律。
2．逐步提高学习要求，发展学生学习水平
◆积的变化规律引导学生逐步发现
在教材的具体安排上，注意逐步提高学生的学习水平，以提高学生的学习能力。在探索积的变化规律时，先列表让学生计算并引导比较因数和积的变化，思考积有什么变化。再让学生举出类似例子计算、比较，引导学生发现规律。
◆商不变的规律给学生更多的探索空间
有了学习积的变化规律的经历，学生就有了一定的学习经验和方法，学习P84例题探索商不变的规律时，给予学生更多的探索空间，学习要求有了一些提高。这种提高体现在两个方面：
一是把被除数和除数同时乘或除放在一起探索
探索商不变的规律，可以先看被除数和除数同时乘一个数，再看被除数和除数同时除以一个数，然后综合概括规律。但本单元的例题直接把被除数和除数同时乘或者除以一个数放在一起提出问题，这样的要求就比前面探索积的变化规律高一些。
二是让学生自己选择数据和举例计算，发现商不变的规律
在探索商不变的规律时，不再像积的变化规律那样给定一些数据，完全让学生自己选择相乘的数和相除的除数，探索感受规律，再通过举例计算发现商不变的规律。
◆让学生通过计算发现一些新的规律
在例题里探索积的变化规律和商不变的规律的基础上，教材P87第2、3题还安排练习，让学生通过计算器计算主动探索积的变化的新的规律，即两个因数同时变化引起积的变化的规律，P88第6题引导学生自己用计算器计算探索商的变化规律，即被除数变化、除数不变引起商的变化规律。这样做就有利于发展学生的学习水平。
3．注意应用规律，加深有关知识的认识与理解
◆在应用积的变化和商不变规律中加深认识
要使学生巩固和熟悉积、商变化的规律，还要注意让学生联系规律思考问题。教材P83第1、2题让学生观察因数的变化直接写出积是多少，P85第1、２题是同样类型的练习，这些练习有利于学生熟悉积的变化规律，加深认识。
◆联系实际问题的背景理解积的变化规律和商不变的规律
教材P84第3题让学生解决自己熟悉的实际问题，以单价不变数量变化引起总价变化为背景，可以帮助学生进一步理解积的变化规律；P85第3题以商品的总价和数量同时变化而单价不变为题材，有利于学生理解商不变的规律。
◆应用商不变的规律学会简便计算
应用商不变的规律，可以使被除数和除数末尾都有０的除法笔算简便一些，教材在P85安排例题教学这一内容，通过被除数和除数同时除以10使学生学会依据商不变的规律用简便方法笔算。例题重视两点，使学生掌握应用商不变的规律用简便方法笔算时要注意的问题：
强调被除数和除数除以相同的数
例题里提出问题，引导学生思考为什么被除数末尾只划去一个０，使学生联系商不变的规律分析交流，可以进一步认识被除数和除数除以相同的数时，商才不变，以防计算中去末尾０时发生错误。
注意被除数的变化带来余数的变化
例题在86页的计算，注意了在应用商不变的规律时余数的变化。题里在计算后直接看到的余数为“２”，其实这个余下的数本身也缩小了，即也是除以10以后的数，或者说应用规律时是用90个十作为被除数计算的，所以余数就是２个十，即应该是20。这里还可以通过验算使学生确信余数不是２而是20。
四、典型案例分析
“用计算器探索规律”教学片断
师：我想继续和大家玩一个游戏，愿意吗？这个游戏叫“我的特异功能”。我需要
师：（对一生）这是一张表格，你的任务就是根据老师的要求来填表、回答问题。（对另一生）你的任务是帮她拿着话筒，帮忙看大屏幕。其他同学注意看、注意听。
师：（背朝学生及屏幕）小助手，请在表格第一行任写一个乘法算式，如果因数比较大，可以用计算器计算积。小助手，请告诉我，积是多少？
（小助手回答）
师：小助手，第二行的第一个因数不变，第二个因数任意乘一个数，告诉我，第二个因数乘了几？
（小助手回答）
师：同学们，虽然我不知道原来的两个因数是多少，但我知道现在的积是多少，是××。不相信，你们算算看。
师：相信老师有特异功能吗？（不相信）那你们猜猜老师是怎么算出现在的积的？
生：我也能算出来，用上一行的积去乘6。
师：是吗？大家算算看。
（学生计算，表示同意）
师：我想采访一下这位同学，你怎么想到用上一行的积乘这个数的？（指第二个因数乘的数）
生：因为这个算式中一个因数不变，另一个因数乘6，所以积也同时乘6。
师：那如果乘7呢？
生：积也乘7。
师：如果乘99呢？
生：积也乘99。
师：这个同学提出了一个很有意思的想法，他认为一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几（板书）。大家同意他的说法吗？（同意）我可有点半信半疑。这个说法我们
可以称之为猜想，究竟对不对需要进一步来验证。思考一下，如何验证？
生：可以把这个猜想用到实际中。
师：对，事实胜于雄辩，咱们可以举些例子。
（学生举例。一组学生用因数乘因数算出积是多少，另一组学生用猜想的方法算出
师：同学们，咱们任意举了几个例子，请大家仔细观察整张表格，你发现了什么？
生：刚才那位同学说的猜想是正确的。一个因数不变，另一个因数乘几，积也同样乘几。
师：看来在29 × 46 = 1 334这个乘法算式中，这个猜想是成立的，那么在其他乘法算式中，这个猜想是否还成立呢？
生：是成立的。
师：口说无凭，咱们还是得用事实说话。
（学生自主举例，并在小组里交流）
师：有没有哪位同学举的例子不符合猜想的，请举手！（无人举手）看来，在所有的乘法算式里，这个猜想都是成立的。其实老师在开始的游戏中说有特异功能，只不过想考考大家。你们真不简单，我提议大家为自己的表现鼓鼓掌。
师：在所有的乘法算式里，其实都存在这样一个规律，这个规律是什么？
（学生齐答）
[评析]
教材在引导学生探索“积的变化规律”时，主要的意图是让学生通过具体丰富的实例，运用不完全归纳法，总结“一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几”的规律。虽然教材在此前的教学内容中为“积的变化规律”进行了大量的铺垫和准备，但学生对规律的感知和认识仍然要经历逐步清晰的过程。为此，教师设计了教师有“特异功能”的游戏情境，调动学生的积极性，在具体情境中唤起学生已有的经验，从而作出猜想。在此基础上的验证环节，努力体现研究的科学性和严谨性。教师先引导学生重点研究在29 ×46 = 1 334这道乘法算式中猜想成立，再在其他的乘法算式中进行验证，这样的设计凸显了不完全归纳法的要求。另外，在这一过程中，教师的主导作用和学生的主体作用都得到了恰到好处的发挥。
(金城中心陈淑芳整理推荐)
五年级下册数学教案第九单元 9.1 因数和倍数_人教新课标
第九单元总复习 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提 高。单元教学总述 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料
等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。单元内容简析 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。本单元包括三部分内容：一是成长小档案；二是数学活动；三是针对全册所学知识的综合练习。本单元是对本册书所学的图形的运动、因数和倍数、长方体和正方体、分数的意义和性质、分数的加法和减法、折线统计图等知识进行全面、系统的复习，帮助学生梳理知识、理清脉络。 总复习的内容在编排上，一方面突出知识间的内在联系，帮助学生建立清晰的知识体系；另一方面，便于学生在复习时进行整理和比较，巩固所学的知识。 通过总复习，把本学期所学习的知识进行系统整理，帮助学生更好地理解和掌握所学的概念、计算法则、规律性知识，使学生的计算能力和解决问题的能力得到进一步提高，综合运用知识的能力和应用意识也得到增强。 单元学习目标 1.通过总复习，使学生对本学期所学的图形的运动、因数和倍数、长方体和正方体、分数的意义和性质、分数的加法和减法、折线统计图等知识进行梳理、归纳，做到进一步理解和掌握。
求几个数的最大公因数的方法-答案
. 求几个数的最大公因数的方法答案 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1．数A、3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，A、B、C三个数的最大公约数是15 ，最小公倍数是． 考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法． 专题：压轴题；数的整除． 分析：求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；对于三个数：三个数公有质因数的乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可． 解答：解：数A=3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5， 所以A、B、C三个数的最大公约数是：3×5=15， 最小公倍数是：3×5×2×3×2=； 故答案为：15，． 点评：此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．
例2．集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？ 考点：求几个数的最小公倍数的方法． 专题：约数倍数应用题． 分析：根据分给5个人余2个，分给7人余2个，分给9人也余2个，可知这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，要求至少也就是用5、7和9的最小公倍数加上2即可． 解答：解：因为5、7和9三个数两两互质， 所以它们的最小公倍数是它们的乘积，即5×7×9=315， 所以这筐橙子至少有：315+2=317（个）； 答：学前班最少买来317个橙子． 点评：解答本题关键是理解：这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，求至少有的个数，就用它们的最小公倍数加上2即可． 例3．一次数学竞赛，结果学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖．已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？ 考点：求几个数的最小公倍数的方法． 分析：即求在50以的7、3和2的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，因为这三个数两两互质，这三个数的最小公倍数即这三个数的乘积，然后根据题意，进行选择，判断出参加这次竞赛的学生的人数；然后把参加这次竞赛的学生的人数看作单位“1”，获 纪念奖的人数占参加竞赛人数的（1﹣﹣﹣），继而根据一个数乘分数的意义，用 乘法解答即可． 解答：解：2、3和7的最小公倍数是2×3×7=42， 因为在50以的7、3和2的公倍数只有1个42， 所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有： 42×（1﹣﹣﹣）， =42×， =1（人）； 答：获纪念奖的有1人． 点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，当三个数两两互质时，其最小公倍数就是这三个数的乘积． 例4．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数． 9和11 28和7 10和25 最大公因数： 1 最大公因数：7 最大公因数： 5 最小公倍数：99 最小公倍数：28 最小公倍数：50 ．
小学数学竞赛：分解质因数(一).教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312 123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a << 第一单元倍数与因数 第1课时因数、倍数 教学内容： 西师版义务教育课程标准实验教科书五年级（下册）1—4页例题及相关练习。 教学目标： 1、让学生能够结合具体情境初步理解倍数的因数的含义，初步理解倍数和因数之间是相互依存的关系。 2、依据倍数和因数的含义和已有的知识经验，自主探索找一个数倍数和因数的方法，并能总结它们各自的特点。 3、使学生在认识倍数和因数以及探索一个数的倍数或因数过程中，培养学生抽象、概括的能力,渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。教学重难点： 1、认识倍数和因数的含义，理解它们之间是相互依存的关系。 2、自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法. 教具学具准备: 1、一张写有自己学号的卡片。 2、教师准备多媒体课件。 教学过程： 一、创设情境,导入新课。 孩子们：看过或听过“韩信点兵”的故事吗？ 教师讲述故事：（秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信带兵1500名与楚军交战。苦战一场，楚军败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信也整兵返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本已十分疲惫，顿时队伍大哗。韩信马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌军不足五百，我众敌寡，定能败敌。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。交战不久，楚军大败而逃。） 师：韩信厉害不？“韩信点兵”实际上也可以说是“点名”---数数，这里面可有大学问呢！想探究吗？（想）这节课我们将随着韩信点兵的故事进入第一单元的学习---倍数与因数。（板书课题） 第九讲最大公因数和最小公倍数 一、例题：（六年级）班级姓名 1、例1:用短除法求18与12的最大公因数与最小公倍数，再算出这两个数的积与它们的最大公因数和最小公倍数的积，看一看这两个积之间有什么关系？ 2、试一试：两个数的最大公因数是5，最小公倍数是75，其中有一个数15，另一个数是多少？ 3、例2：有两个不同的自然数的最大公因数是8，最小公倍数是96，满足条件的不同自然数有几组？各是几？ 4、试一试：有两个不同的自然数的最大公因数是24，最小公倍数是144，满足条件的不同的两个自然数有几组？各是几？ 5、例3:一张长75厘米、宽60厘米的彩色板，现要把它裁成一块块正方形，①如果要使裁得的正方形最大，那么这个正方形边长是多少？②如果没有剩余，边长最长是多少？可以裁成多少块？ 6、试一试：用72朵红花、和56朵白花一起扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同、白花朵数也相同，扎好后红花、白花都没有剩余，最大可以扎几束？那么每束花里红花和白花各几朵？ 7、例4：用长75厘米，宽60厘米的长方形木板铺地，最小需要几块木板铺成一个正方形？ 8、试一试：小明、小张、小周三位小朋友，暑假都要去少儿图书馆看书，小明2天去一次，小张每隔3 天去一次，小周每隔4天去一次，他们一起去少儿图书馆后，再过多少天后又同时去少儿图书馆？ 第九讲 二、作业： 1、已知两个不同自然数的积是120，它们的最大公因数是2，最小公倍数是？满足条件的不同的两个自然数各是几？ 2、已知两个自然数的积是620，它们的最大公因数是2，求这两个自然数。 3、将一块长357米、宽105米、高84米地长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的棱长最长是多少时，木料没有剩余？（不计锯时的损耗） 4、有铅笔420支，橡皮252块，平均分配给一个班的同学，这个班人数在40——50人之间，这个班有多少人？每人分得铅笔、橡皮各多少？ 5、有一批砖，每块长45厘米，宽30厘米，至少有这种砖多少块才能铺成一个正方形？ 最大公因数和最小公倍数基本训练 一、最大公因数和最小公倍数的定义与不同 二、在括号里直接写出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ⑴4和5（） 2和13（） 11和6（） 10和9（） ⑵8和24（）40和8（）36和9（） 121和11（） ⑶6和8（） 9和15（） 12和10（） 14和21（） 三、求下列每组数的最大公因数和最小公倍数 36和54 12和30 第五单元倍数和因数 例1：三个连续奇数的和是231，这三个奇数分别是多少？ 解析：此题考查了有关奇数的知识。根据相邻奇数前后相差2，假设中间的奇数为a，则前一个奇数为a-2，后一个是a+2。那么三个连续奇数的和就是 （a-2）+a+（a+2）=3a=231，则中间一个奇数为231÷3==77，前一个奇数为77-2=75，后一个奇数为77+2=79，这三个连续奇数为75、77、79。 答案：231÷3=77,77-2=75,77+2=79。 答：这三个连续奇数为75、77、79。 例2：计算下面各组题，你会发现什么？ （1）35+27= 323+121= 67-35= 233-143= （2）32+24= 128+242= 68-24= 352-168= （3）23+48= 97-64= 262+137= 78-43= 解析：此题考查了奇数、偶数相加减的特点。根据观察题目和已知条件会发现第一组是奇数与奇数的加减法；第二组是偶数与偶数的加减法；第三组是奇数与偶数的加减法。通过计算可知第一组结果都是偶数；第二组结果都是偶数；第三组结果都是奇数。结合已知条件和结果得出，奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数或偶数±奇数=奇数。 答案：（1）35+27=62 323+121=144 67-35=32 233-143=90 （2）32+24=56 128+242=370 68-24=44 352-168=184 （3）23+48=71 97-64=33 262+137=399 78-43=35 发现：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数或偶数±奇数=奇数。 例3：五个连续偶数的和是270，这五个偶数分别是多少？ 解析：此题考察了有关偶数的知识。根据相邻偶数前后相差2，假设中间的偶数为a，那么a前边两个偶数分别为a-2 、 a-2-2、a后边两个偶数分别为a+2 、a+2+2。那么这五个连续偶数的和为（a-2）+（a-2-2）+a+ （a+2）+ （a+2+2）=5a=270，则a等于270÷5=54。前边两个偶数分别为54-2-2=50,54-2=52。后边两个偶数为54+2=56,54+2+2=58。 答案：中间的偶数是270÷5=54，前边两个偶数分别为54-2-2=50,54-2=52。后边两个偶数为54+2=56,54+2+2=58。 答：这五个连续偶数是50 52 54 56 58。 例4：两个连续偶数的和，除以这两个连续偶数的差，商是45，这两个偶数分别是多少？ 解析：此题考查了连续偶数的特点，及除法各部分间的关系。根据“已知两个连续偶数之间的差是2”和“两个连续偶数的和，除以这两个连续偶数的差，商是45”可以得出两个连续偶数的和是45×2=90。用两个连续偶数的和加上2就是 较大偶数的2倍，进而求出较大的偶数，即（90+2）÷2=46，另一个偶数为46-2=44。答案：较大偶数：（45×2+2）÷2 =92÷2 =46 较小偶数：46-2=44。 例5：把一盒彩笔平均分给2个和3个小朋友都正好没有剩余，只知道这盒彩笔最多不超过10支。你能算出这盒彩笔有几只吗？ 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表 达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数， 12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????； 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数（一） 200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式323753=??? 【答案】323753??? 【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【解析】 210分解质因数：2102357=???，可知这三个数是5、6和7。 【答案】5、6和7 【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 111555分解质因数：1115553353767=????=(3337??)?(567?)333335=?，所以和为668.本讲不 仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337=?。 【答案】668 【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12 【答案】12元 【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题 【解析】 1112131716??=，1213142184??=，所以是2184 【答案】2184 【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ． 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题 【解析】 2126237=??，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 例题精讲 第一单元倍数与因数 第一节倍数与因数 研究内容：北师版教材第九册P2——P3 学情分析：这是学生首次接触因数与倍数的概念。就教材来看知识的切入不再 是“整除”而是从乘法运算入手让学生感知因数和倍数这组相关概念。尤其是要让学生理解乘法运算中叫“因数”的数与因倍关系中的“因数”的区别所在。前者为乘法运算中的一个数，后者则须与另一个数构建成一组关系。 研究目标：结合具体情境，认识自然数和整数，联系乘法认识倍数因数。探索 找一个数倍数的方法，能在1——100的自然数中，找出10以内某个自然数所有的倍数。 研讨要点：理解什么是因数，倍数及其相互关系，掌握找倍数的基本方法。研讨的形式：独立探索，小组学习，集体研讨 研究流程： 一、前置学习： （一）写一篇数学日记，内容中尽可能多地涵盖我们所认识过的数的的类型。教师也准备一篇备用。 可可托海镇-可可托海宾馆。可可托海宾馆是镇上唯一的宾馆了，接待领导的。不过条件挺差，但比起镇上的其它建筑好了很多。 花费：可可托海门票90/人*2；晚饭60；水果4.6 住宿120；司机住30 晚上很冷，用上羽绒睡袋了。 可可托海，哈萨克语的意思为"绿色的丛林"，蒙古语意为"蓝色的河湾"，位于富蕴县城东北48公里的阿尔泰山间，额尔齐斯河从镇中穿流而过。可可托海气候 寒冷，年平均气温只有-2.08摄氏度，实测寒极温度达到－51.5摄氏度，是仅次于漠河的全国第二冷极。 （二）看到这段方字，我们会发现数在我们的生活中无处不在，你能把这些数分分类吗？ （三）根据你的理解、查询相关资料，将这些数进行分类？ 研究流程 一、师生交流对数的分类 负整数 最小的自然数是0，没有最大的自然数 0 自然数有无限个 自然数相邻两自然数的差为1 正整数基本单位为1 二、发现问题，提出问题 （一了百了学生自读P2提出问题 师：有什么发现，有什么问题 （三）问题预设 生：因数和倍数是什么数？ 它们属于哪一类数？ 它们有什么特点？ 它们之间有什么关系？ 三、小组讨论，研究问题 （一）1、举例说明什么是因数，什么是倍数 2、因数和倍数有什么特点？ 3、因数和倍数关系？ （二）成果展示，解决问题 1、第一问 第一种：如果5×4=20，5和4都是20的因数，20分别是4和5的倍数。 第二种：如果a×b=c, a和b都是c的因数，c分别是a和b的倍数。 第三种：如果20÷4=5，5和4都是20的因数，20分别是4和5的倍数 （假设课堂没有这样的例子，可由教师提出） 2、第二问 生1：因数和倍数都要是整数 生2：因数和倍数都是自然数 生3：因数和倍数是非零的自然数（结合实例加以说明） 3、第三问 因数，倍数是不能单独存在的某种数 因数、倍数是相互依存的一种关系：甲是乙的因数，乙就一定是甲的倍数。 五年级数学下册第一单元试题 班级考号姓名总分. 一、填空题。(30分) 1.在18÷3=6中,( )和( )是( )的因数。在3×9=27 中,( )是( )和( )的倍数。 2.21的所有因数有( ),80以内15的倍数从小到大是( )。 3.7是7的( )数,也是7的( )数。 4.在15,18,25,30,19中,2的倍数有( ),5的倍数有( ),3的倍数有( ),同时是2,3,5的倍数有( )。 5.一个数的最大因数是12,这个数是( );一个数的最小倍数是18,这个数是( )。 6.在20以内的自然数中,既是奇数又是合数的数是( )。 7.一个数既是25的倍数,又是25的因数,这个数是( )。 8.质数a有( )和( )两个因数。 9.最小的质数和最小的合数的积是( )。 10.10以内,所有质数的积是( )。 11.30的因数中,最小的是( ),最大的是( )。 12.在1~20的自然数中,最小的奇数是( ),最小的偶数是( ),最大的奇数是( )。 13.如果a是偶数,那么与它相邻的两个数是( )和( ),这两个数都是( )数。 二、判断题。(对的画“√”,错的画“?”)(12分) 1.一个数的因数一定比这个数的倍数小。 ( ) 2.一个数的最小倍数与最大因数都是35,这个数一定是35。( ) 3.因为2.4÷0.6=4,所以0.6是2.4的因数。( ) 4.只要两个整数相除没有余数(0除外),就说被除数是除数的倍数。 ( ) 5.互质数是没有公因数的两个数。( ) 6.只要两个数是合数,那么这两个数就不能成为互质数。( ) 三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里) (12分) 1.13的倍数是( )。 A.合数 B.质数 C.可能是合数,也可能是质数 D.偶数 2.2不是( )。 A.合数 B.质数 C.偶数 D.自然数 3.4的倍数都是( )的倍数。 A.2 B.3 C.8 D.12 4.成为互质数的两个数( )。 A.没有公因数 B.只有公因数1 C.两个数都是质数 D.都是质因数 5.是3的倍数,( )。 A.2,5,6 B.5,8,9 C.2,5,8 D.3,6,9 6.如果用a表示非0自然数,那么偶数可以表示为( )。 A.a+2 B.2a C.a-1 D.2a-1 四、按要求写数。(4分) 1.8与9的最大公因数是( )。 2.48,12和16的最小公倍数是( )。 3.6,30和45的最小公倍数是( )。 4.150和25的最大公因数是( )。 五、按要求在□里填数。(4分) 1.3□6是3的倍数,□里最大填( )。 2.17□是2的倍数，□里最大填( )。 第11讲分解质因数 自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。 例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。 例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？ 例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？ 例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？ 例4 求72有多少个不同的约数。 例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。 练习11 1.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的长、 宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？ 2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？ 3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？ 4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的 名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？ 5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？ （2）两个质数的积能是质数吗？ （3）两个合数的和仍是合数吗？ （4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？ （5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？ 6.求不大于100的约数最多的自然数。 7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是 不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。 五年级数学下册第九单元总复习教案 （新人教版） 第九单元教学计划 教学 内容总复习 教材 分析本册教材中，数与代数领域的内容有：观察物体、因数和倍数、长方体和正方体、探索图形、分数的意义和性质、图形的运动、分数的加法和减法、打电话、折线统计图、数学广角-找次品等。所以，对本册教材的复习要关注学生的知识经验与过程体验，体现知识的概括、总结、分类、系统化的过程，要改变学生的复习方式，体现开放性的复习方法。 学情分析：这册教材内容涉及的知识面比较广，基本概念多，也比较抽象，很多内容都是今后进一步学的基础。通过总复习把本册内容进行系统地整理和梳理，使学生对所学概念、计算方法恶化其他知识有更好的掌握，并把各单元内容联系起来，形成较系统的知识体系，同时学生的计算能力和解决实际问题的能力也得到进一步的提高。另外通过总复习，查漏补缺，使学习比较吃力的孩子，能弥补当初没学会的知识，为今后的学习打好基础. 单元 整体 目标知识与能力： 通过总复习，把本学期所学习的知识进行系统、全面地整理与复习。 过程与方法： 通过复习，帮助学生更好地理解和掌握所学的概念、计算法则、规律性的知识。 情感、态度与价值观： 使学生的数学概念、空间观念、统计观念得到进一步的发展，综合运用知识的能力和应用意识也得到增强。 教学 重点因数与倍数、分数的意义和性质、分数的加法和减法、空间与图形、统计等相关知识。 教学 难点学生理解和掌握所学的概念、计算法则、规律性的知识，并能做到灵活运用。 时 安 排第1课时数与代 数………………………………………………1课时 第2课时数与代课时1 数………………………………………………． 第3课时图形与几 何……………………………………………………1课时第4课时统计与数学广 角………………………………………………1课时 第九单元总复习 课题课时 因数与倍数授课类型复习 教学内容因数与倍数这一单元的相关知识。。 ※概念总结 1. 因数和倍数 一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。 2. 公倍数和最小公倍数 （1）概念：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。用符号[ ，]表示。如[6，8]=24。 （2）特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 3. 公因数和最大公因数 （1）概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。用符号（，）。如（6，8）=2。 （2）特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。 4. 质数和合数 （1）质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。（2）合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。 （3）两个质数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。 （4）两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。 （5）互质（互素）：若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。1）1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。 2）互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。 ※求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：（1）列举法 分别写出两个数的倍数（因数），再找出公倍数（公约数），从中找出最小公倍数（最大公约数） （2）短除法 用着两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。 （3）特殊情况的求法 ①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。 ②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5 ③质数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。 举例：[3，7]=21，（3，7）=1 ④一个质数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1 ⑤相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。 [9，8]=72，（9，8）=1 ⑥两个合数，公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。 举例：6和8都是合数，6的质因数有2、3 ；8的质因数有：2、2、2； 6和8的最小公倍数是2*3*2*2=24 24是它们的最小公倍数。 第13讲分解质因数 【专题精华】 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。应用分解质因数的方法，能启发我们寻找解决难题的突破口，从而顺利解题。 【教材深化】 [题1] 一个两位数除1477余49，这个数可以是多少？ [敏捷思维] 一个两位数除1477余49，如果1477减去49，差一定能被这个两位数整除，然后把差进行分解，分解时必须注意这个两位数必须比余数49大。 <全解> 1477-49=1428 1428=2×2×3×7×17 这样的两位数有：3×17=51 2×2×17=68 2×2×3×7=84 答：这个数可以是51、68或84。 <拓展探究> 利用分解质因数解决此题，关键要注意所求的两位数一定要比余数大。 [能力冲浪] 1、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？ 2、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？ 3、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积是360，其中年龄最大的一个是多少岁？ [题2] 班主任舒老师带领五（1）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知舒老师与学生共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？ <敏捷思维> 312=23×3×13 若取312=3×104，104为师生总人数，则每人种树3棵，但104-1=103不是3的倍数，与题目中条件不符。 若取312=6×52，52为师生总人数，教师1人，学生51人，学生人数是3的倍数，则每人种树6棵。 若取312=8×39，39为师生总人数，教师1人，学生38人，学生人数不是3的倍数，与题目中学生按人数恰好平均分成三组不符。 <全解>因此，这个班共有学生51人，每人种树6棵。 <拓展探究> 知道两个数的积，要求这两个数，只要把这个积分解质因数，再根据题目中的条件适当组合就可以了。 第九单元《倍数和因数》教材分析 本单元安排在学生已经掌握了许多自然数的知识之后，系统地教学分数的意义和性质之前，可以使学生进一步丰富自然数的知识，了解自然数之间存在的倍数与因数关系，体会自然数都有因数，而且不同自然数的因数个数是不同的。这些内容还能为以后教学分数知识作必要的准备。研究倍数与因数一般在非零自然数范围内进行，可以减少不必要的麻烦。因此，教材在底注中给予明确的规定。教学内容分四部分编排。 第70～７３页教学相关的自然数之间的倍数与因数关系，求一个数的倍数或因数的方法。 第74～７７页教学5、2、3的倍数的特点，以及偶数、奇数等知识。 第７８～７９页教学素数与合数的概念和判断方法。 第80～８２页整理全单元的知识并组织综合练习。 编写的“你知道吗”介绍哥德巴赫猜想和我国数学家研究这一猜想取得的显著成就。两道思考题让学生利用所学的数学概念探索有挑战性的问题。 1联系实际体会自然数之间的倍数、因数关系，探索找一个数的倍数与因数的方法。 教材的第一部分先教学倍数、因数关系，再教学求倍数与因数的方法。前者是形成数学概念，后者是应用概念。 （1）第70页的例题从12个相同的正方形拼长方形开始教学，学生对这个活动已经很熟悉，几乎人人都知道有不同的拼法，都能顺利地拼出三种不同的长方形。教材根据各种拼法中每行正方形的个数与行数，把三种拼法分别表示成4×３＝１２、６×２＝１２和１２×１＝１２。以4×３＝１２为例讲了12是4的倍数，也是3的倍数，4和3都是12的因数。又让学生说出6×２＝１２、１２×１＝１２里存在的倍数、因数关系。这道例题有两个编写特点：第一个特点是作为研究对象的三个数学式子都从具体的操作活动中提取出来，有助于学生联系现实情境和实际经验体会倍数与因数的含义；第二个特点是给学生举一反三的机会，用4×３＝１２里学到的倍数、因数知识解释6×２＝１２、１２×１＝１２这两个式子里的倍数与因数关系，充分地调动了学生的积极性和主动性。教学这道例题要注意，倍数与因数是一种关系，客观存在于两个具体的自然数之间。因此，要通过完整的语言表达关系，让学生体会这种关系，如4是12的因数、12是4的倍数，不能说成4是因数、12是倍数。 （2）第71页的两道例题分别是教学找一个数的倍数和找一个数的因数的方法，虽然内容不同，教学方法都非常相似。即利用初步建立的倍数与因数的概念，联系已经掌握的乘除法口算，让学生在探索中找到方法。 找3的倍数，采用的思路是“3和任何非零自然数的乘积都是3的倍数”。这一思路容易理解、容易操作，与建立倍数、因数概念的大背景保持一致。教学时要引导学生从“3的倍数是怎样的数”想起，先形成找3的倍数的思路，然后从小到大一个一个地找，并按顺序写出来。还要理解例题在写出3的倍数时为什么用了省略号。“试一试”独立找2和5的倍数，一方面巩固找一个数的倍数的方法，另一方 【数学技能】小学必须掌握的求最大公因数九法（辗转相除 法是经典） ???点上方蓝字小学奥数可加关注上网课、下资料、领小学满分题库文/ 慧思老师 求最大公因数是小学重点掌握的知识点，不仅关系到小学重要考试，在初中数学学习中，也是很多重点知识点的学习根基。 很多同学认为在小学课本中，最大公约数已学的很透，当你认真看完这篇文章后，你会发现数学真的是一门神奇的学科。01 观察法运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．例如，求225和105的最大公因数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公因数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公因数是15 02 查找因数法 先分别找出每个数的所有因数，再从两个数的因数中找出公有的因数，其中最大的一个就是最大公因数．例如，求12和30的最大公因数．12的因数有：1、2、3、4、6、12；30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．12和30的公因数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因数．03 分解因式法 先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公因数．例如：求125和300的最大公因数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公因数是5×5＝25． 04 关系判断法 当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公因数．例如，两个数互质时，它们的最大公因数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的那个数． 05 短除法 为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公因数就是所有除数的乘积．例如：求180和324的最大公因数．因为：5和9互质，所以180 和324的最大公因数是4×9＝36． 06 除法法 当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公因数．例如：求19和152，13和273的最大公因数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公因数是19，13和273的最大公因 数是13． 浅谈最小公倍数和最大公因数的教学 明光市桥头镇司巷中心小学黄海燕 摘要: 准确快速地求出两个数的最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。 通过观察比较不难发现，当两数成倍数关系或互质关系时可直接写出它们的最大公因数和最小公倍数。当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。 看清之间关系，看清数据特征，看清条件与要求，用好最佳方法，认真细心计算。 一、教材分析 苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。而 且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。所以这单元应该多用一到两课时。我在上这单元时，我是这么教学的： 二、教学思路 （一）用一课时复习相关的概念 整除：整数A除以整数B，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。如15÷3=5，15、3、5都是整数而没有余数，我们就说15能被3整除。在此基础上再来复习倍数与因数的概念：如果A能被B整除，我们就说A是B的倍数，B是A的因数。在这里还要强调说明一点，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在；我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。如：15÷3=5正好能够整除，我们就可以说15是3的倍数，也可以说 《因数与倍数》教学设计 学习内容：人教版小学数学教材第116页第1题及第118页第1～4题。 教学目的： 1．理解和掌握因数与倍数的有关概念，明确概念之间的区别与联系。 2．初步学会分类整理的方法，感受事物是相互联系的，体会从整体上认识数学的思想，掌握一定的学习方法。 3．培养学生分析、判断、推理、概括的能力，养成合作学习和勇于探索的良好品质。 教学重点：明确概念之间的区别和联系。 教学难点：在整理中构建“因数和倍数”的知识网络。 教学过程： （一）提供材料，回忆概念 教师：（板书2、3、5、6、10这几个数）看到这几个数，你能想到这学期学过的哪方面的知识？ 学生：因数和倍数。 教师：能举例具体说一说什么是因数和倍数吗？ 学生：2是6的因数，6是2的倍数；5是10的因数，10是5的倍数。 教师（贴出概念卡片：因数、倍数）：在“因数和倍数”这部分知识里，结合这几个数，你还能回忆起哪些重要的概念？ 学生：奇数和偶数。 教师：什么是奇数？什么是偶数？请你举例说明。 学生：2、6、10是偶数，3、5是奇数。 教师：还有什么重要的概念？ 学生1：质数和合数。2、3、5是质数，6、10是合数。 学生2：2、6、10是2的倍数，3、6是3的倍数，5、10是5的倍数。 学生3：3和6的最大公因数是3，最小公倍数是6。 教师随着学生的回答贴出概念卡片：奇数、偶数、质数、合数、2的倍数的特征、3的倍数的特征、5的倍数的特征、公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数。在引出每一个概念后，都引导学生举例说明。 【设计意图：以一组简单并且特征明确的数为线索，让学生重现已有概念，不仅能抓住要领，而且能提高复习的效率，为接下来建构知识网络作好准备。】 （二）沟通联系，形成网络第一单元 倍数与因数
9、最大公因数和最小公倍数
冀教版小学数学四年级上册第五单元 倍数和因数
分解质因数(一)(含详细解析)
第一单元 倍数与因数
西师大版小学数学五年级下册第一单元倍数和因数测试卷及答案
11、第十一讲：分解质因数
五年级数学下册第九单元总复习教案
9.59求最小公倍数和最大公因数的方法及练习
第13讲 分解质因数
数学知识点苏教版四年级下册第九单元--倍数和因数-总结
【数学技能】小学必须掌握的求最大公因数九法(辗转相除法是经典)
求最大公因数和最小公倍数的方法
新人教版小学五年级下册数学第九单元《因数与倍数》教学设计