【4月理数】河北省石家庄二中2020届高三下学期教学质量检测模拟考试理科数学试卷及答案解析评分细则
（时间：120 分钟 分值：150 分）
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （
4
10
A．[2,2]
在这个问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，甲比戊多得（ ）钱？
A． 1 3
B． 2 3
C． 1 6
D． 5 6
7．将函数 f (x) cos 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，若 g(x) 在区间 4
[0, a] 上单调递减，则实数 a 的最大值为（ ）
A． 8
B． 4
C． 2
D． 3 4
x y 2 0 13. 若实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 0 ，则 x y 的最小值为
x 2 y 4 0
1
10 14. 已知 m 1
1 x2 dx ，则 (
1
x)m 的展开式中 x2 的系数为
x
（用数字表示）
15.
已知点
P
是椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上一点，点 P 在第一象限且点 P 关于原点 O 的对称点为 Q ，
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
17.（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中侧面 PAB 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD ,AB BC ， BC // AD, AB BC 1 AD ， E 是 PD 的中点．
数学（理科）试卷 第1 页（共 4 页）
8．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) ， O 为坐标原点， F1, F2 为其左、右焦点，点 G
在C
的渐近线
上， F2G OG ， 6 | OG || GF1 | ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． y 2x
B． y 2 x 2
则 x、y 的值分别为（ ）
A．0，0
B．0，5
C．5，0
D．5，5
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），
2 （1）证明：直线 CE // 平面 PAB ； （2）求二面角 B PC D 的余弦值.
18.（12 分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条
件看不清，具体如下：
等比数列an的前 n 项和为 Sn ，已知
，
（1）判断 S1, S2 , S3 的关系并给出证明；
B． (1,)
C． (1,2]
2．已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1,2) ，则 z （ ） 1 i
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
C． 3 1 i 22
3．设 a,b 是向量，则“| a || b | ”是“| a b || a b | ”的（ ）
A．充分不必要条件
（2）若
a1
a3
3 ，设 bn
n 12
|
an
| ，{bn}
的前
n
项和为 Tn
，证明： Tn
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）
B．必要不充分条件
C．充要条件
）
D． (,1] (2,)
D． 3 3 i 22
D．既不充分也不必要条件
4．函数
f
(x)
ex ex
1 cos 1
x
的部分图象大致为（
）
5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试
中的成绩（单位：分，每题 5 分，共 16 题）．已知两组数据的平均数相等，
C． y 3 x 2
D． y x
9.正四面体 A BCD 中， E 是棱 AD 的中点， P 是棱 AC 上一动点，若 BP PE 的最小值为 14 ，则该正
四面体的外接球的表面积为（ ）
A． 32
B． 24
C．12
D． 8
10．已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，若在 ABC 内随机取一点，此点取自 GAB,
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛 C 的距离为15cm ），设该游客离
墙距离为 xcm ，视角为 ．为使观赏视角 最大， x 应为（ ）
D． P2 P1 P3
A． 77
B． 80
C．100
D． 77 2
12．已知点 P 是曲线 y sin x ln x 上任意一点，记直线 OP ( O 为坐标原点)的斜率为 k ，给出下列四个
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
命题：
①存在唯一点 P 使得 k 1； ②对于任意点 P 都有 k 0 ； ③对于任意点 P 都有 k 1； ④存在点 P 使得 k 1，
则所有正确的命题的序号为（ ）
A．①②
B．③
C．①④
D．①③
数学（理科）试卷 第2 页（共 4 页）
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理科)试题
石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。
石家庄市第二中学2020届高三下学期0.5模数学(理)试题含解析
【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息，再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解。属于中档题。
16。F为抛物线 的焦点，过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线交于A，B两点， , 分别是该抛物线在A，B两点处的切线， ， 相交于点C，则 __________， _________.
（2)设 的方程，联立与椭圆的方程，求出 的坐标,再得出 的坐标,进而求得 的中垂线,再求得 的坐标，根据点N在椭圆内部得到不等式求解即可.
【详解】(1）设点 ， ， .
根据题意可知 。
故当 时 面积取最大值2。
(2) 设 直线的方程： .联立直线与椭圆的方程有 ，整理可得：
，因为 ，故 .代入 可得 。
【详解】如图,设 交平面 于 。因为 ，由球的对称性有 底面 .
又 ， 。故 。 ,
因为 ，所以 .
又 .故 .
故 。当且仅当 时取等号.
故选：B
【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.
12。已知函数 ，对于函数 有下述四个结论:①函数 在其定义域上为增函数；②对于任意的 ， ，都有 成立；③ 有且仅有两个零点；④若 ，则 在点 处的切线与 在点 处的切线为同一直线。其中所有正确的结论有( ）
石家庄二中2020届高三年级0.5模考试数学试题（理科）
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ,则集合 ( )
A。 B。
C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据二次不等式与对数不等式方法求解 再求解即可。
2020届 河北省石家庄市第二中学(南校区) 高三下学期教学质量检测模拟数学(理)试题(解析版)
2020届河北省石家庄市第二中学（南校区）高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题一、单选题 1．已知复数3213iz i-+=++则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】将z 整理成z a bi =+ 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】 复数()()()()3133222131313i i iz i i i i -+--+=+=+=+++-,则复数z 在复平面内对应的点()2,1在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.2．设集合{}{}2|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A ．Q P ⊆ B ．P Q ⊆ C ．P Q = D ．P Q R =U【答案】B【解析】分别解出23,4x x >>,即可判断两个集合的关系. 【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞P Q ∴⊆故选:B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3．若224,2()3,63a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c ＜＜ B ．a c b ＜＜C ．c b a ＜＜D ．b c a ＜＜【解析】判断a 与1的大小关系,由4266c log log ＝＝可判断,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案. 【详解】 解:由已知可得419a =<,2log 31b =>,4266c log log ＝＝ 222log 2log 6log 3<<Q , 1c b ∴<<.即b c a >>.故选:B. 【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小. 4．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】 解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz=+的形式,在可行域内通过平移y ax=找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5．“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（）立方分米.A．40 B．853C．30 D．733【答案】A【解析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积.【详解】由三视图还原,原几何体如图,要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为52，则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米.故选:A.本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.6．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ） A ．314B ．37C ．67D ．1328【答案】B【解析】先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数1162m C C =,则由古典概型可求概率. 【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2828n C ==,取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:116212m C C ==.则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m P n ===. 故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.7．已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若2MF FN =u u u r u u u r，则MF 的值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =u u u r u u u r 可知13NF MN =,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF . 【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A因为2MF FN =u u u r u u u r ,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即13NF MN =.由NFO NMA ∆∆:,所以13OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=故选:A.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.8．某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos 2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xx y e =【答案】C【解析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求. 【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2xxy e=为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos xx y e=的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，故排除B. 所以C 选项是正确的. 【点睛】题.9．如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45o ,30o 并测得120BCD ∠=o ，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A ．300mB ．600mC ．3003mD ．6003m【答案】B【解析】设AB x =,则,3BC AB x BD x =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x的方程,求出后即可得到AB 的长. 【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,3BC AB x BD x =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯o ＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B . 【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.10．已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD ∠o ＝,60BCD ∠o ＝，现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至1D AC ∆处（1D 不在平面ABC 上）.若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角θ( )A ．(0,45)θ∈o oB ．(0,45]θ∈o oC ．(0,60]θ∈o oD ．(0,60)θ∈o o【答案】D【解析】由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60o ,但取不到60o .进而可求出θ的取值范围. 【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45o 为平面角的圆锥的母线.由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=o ， 此时，1D ∈平面ABC .1D Q 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈o o .∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()0,60θ∈o o .故选:D. 【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.11．设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()22{||,}2,f x min x x x +＝﹣则下列结论正确的是（ ）A ．[)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞->B ．[)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞->C ．()()(),x R f f x f x ∀∈≤D ．()()(),x R ff x f x ∀∈>【答案】C【解析】分别画出22,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩. B 中，当12x ≤≤时，120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向上翻折即可.二、填空题12．已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ）【解析】讨论x的取值范围,去掉绝对值号,从而得到()30,2,222, 2sin2,2,222x k kf x k Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.【详解】解:()32cos sin sin2,2,222222cos sin sin2,2,222x x x x k kf x cosx sinx sin xx x x x k kππππππππ⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦+=⎨⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝30,2,222,2sin2,2,222x k kk Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,其大致图象如图所示①()f x的图象不关于直线4xπ=对称,即①错误;②()f x在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,即②正确;③()f x的最小正周期为2π,即③错误.故选:B.【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号. 13．函数lny x x=+在点()1,1处的切线方程为_____．【答案】210x y--=函数ln y x x =+ 则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --= 【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.14．已知向量,a b rr 满足2,1a b ==r r ，若()()a ab b a b ⋅++⋅-r r r r r r 的最大值为1，则向量,a b rr 的夹角θ的最小值为__________，2a b +r r 的取值范围为__________．【答案】23π[]0,2 【解析】分析：由题意()()1a a b b a b ⋅++⋅-≤r r r r r r ，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.详解：由题意2,1a b ==r r ，则()()22234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤r r r v v r r r v v ，解得11cos 2θ-≤≤-，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，所以[]222|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈r v v r v v ，所以[]20,2a b +∈r r .点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15．飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】124【解析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率. 【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：030341124155125P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为: 124125. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.16．已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____ 【答案】2【解析】求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==；通过分析，将周长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F共线时'MN MF +取得最小值'NF =. 【详解】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -，NF ==FMN ∆周长为MN MF NF MN MF ++=++由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +取得最小值'NF =则有FMN ∆周长的最小值为22=.故答案为: 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a = 设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.② ①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n n nT -=--<.即12...2n c c c +++<.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1.18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE //平面BMD(2)点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5cos θ=【解析】(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM P ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1,2ME AD ME AD =P ，所以,BC ME BC ME =P ，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM P .又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE P 平面BMD .（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1,1,12CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，()1,0,1CE =-u u uv设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++⨯++，进而求得5cos θ=. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．19．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】（1）2214x y +=;（2）12m =±.【解析】（1）由AB 4=可求a可求c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程.（2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F 的纵坐标，由面积关系可得22412541494m mm m m =-++，从而可求m 的值.【详解】解：（1）由题意可得：22224a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ∴ 椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）()()()1,,2,0,2,0M m A B -Q ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴ 直线AM 的方程为：()23my x =+.联立直线和椭圆的方程 ()222314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+， 5AMF BME S S ∆∆=Q ，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-22412541494m m m m m ∴=-++ ，又0m ≠Q ，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34因为点M 在椭圆内，所以234m <.214m ∴=，12m ∴=±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式： ()()()()221112222111ˆ1.()ˆnnnii ii i ii i i n nniiii i i yyxx y y x ynxyR yy xx n bxx ======----=-==---∑∑∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i ie y bx a =--. 参考数据：8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9yx =-. 【解析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()22121ˆ1()ni i i nii y yR yy ==-=--∑∑即可求出贡献值2R .（2）计算修订后8'177496i ii x y==∑以及'57.5y =，代入到818221ˆi ii ii x ynxyxx bn ==-=-∑∑，ˆˆ'ay bx =-进而可求出线性回归方程. 【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e=-⨯+=.完善下列残差表如下，计算()()22121ˆ1110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226()ni i i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-∑∑ ，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y = 由8178880i ii x y==∑，计算修订后8'178880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑又821226112ii x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=. 所以818222177496816857.50.6ˆ752261128168i ii ii x ynxyxbnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ'57.50.67516855.9ay bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21．已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R .（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：）【答案】（1）4e;（2）1-. 【解析】（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax aaln a ∴＝-=﹣，因此()222220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的最大值.（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程22ln 0)t ta t t-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明. 【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +，2'()a f x ax b=+Q ，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >得，0a <<；令'()0g a <得，a >.()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭上单调递减. ()g a ∴的最大值为24e g ⎛= ⎝⎭.则ab 的最大值为4e.（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解，即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=, 则2222ln '()t t h t t--=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <.当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+ 可知()p t在10,4⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在14⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，又21(1)0,0,()204p p p e e e ⎛=>=-+<⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.22．.极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当63ππα≤≤时，求()fα的值域.【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=;2C 的直角坐标方程为40x -=;（2）⎡⎣.【解析】（1）由4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得22cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，由题意知，该直线过(，则可求出2a =.（2）4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝，则2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛⎫⋅⋅=++ ⎪⎝⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出62652πππα≤+≤，进而可求值域. 【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ+＝，化为直角坐标方程为()(2214x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=.因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20x a -=经过圆心(解得2a =，故2C 的直角坐标方程为40x +-=. （2）由题意可得，当63ππα≤≤时，4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛⎫⎛⎫⋅⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 28sin 28sin 212sin 2236ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当63ππα≤≤时，62652πππα≤+≤，则26πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()fα的值域为43,83⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+ 的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23．已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求212121a b c +++的最大值．【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）23【解析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤<③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设21,21,21x a y b z c =+=+=+222x y xy +≥Q 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =12a b c ∴++=2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理)试题(含答案)
数学（理科）
（时间：120 分钟 分值：150 分） 第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
河北省石家庄市第二中学石家庄市2020届高三下学期教学质量检测模拟考试理科综合试卷
石家庄市高三教学质量检测模拟考试理科综合试卷 第 1 页 共 12 页
三 高 庄 家 石
B．①过程目前效果较好的办法是用秋水仙素处理萌发的种子或幼苗
C．丙中来自长穗偃麦草的染色体数目为3M或4M
D．③过程利用辐射诱发基因突变后即可得到戊
①
壁分离和复原
镜检 2：不同细胞质壁分离的位置、程度并不一致
观察多种多样的细 菠菜叶表皮细胞由细胞壁、细胞膜、细胞质和细胞核组成；人口
②
胞
腔上皮细胞具有细胞核和核糖体
观察细胞的有丝分 洋葱根尖伸长区细胞长，液泡大；分生区细胞呈正方形，多数细
③
裂
胞中有形态清晰呈紫色的染色体
探究酵母菌种群数 酵母细胞呈球形或椭圆形，细胞核、液泡和线粒体的形态、数目
集气瓶中产生大量白烟， 瓶内有黑色颗粒产生
CO2 具有氧化性
C
加热盛有少 NH4HCO3 固体的试管，并在试 管口放置湿润的红色石蕊试纸
石蕊试纸变蓝
NH4HCO3 显碱性
D
向 2 支盛有 2mL 相同浓度银氨溶液的试管中 分别加入 2 滴相同浓度的 NaCl 和 NaI 溶液
一只试管中产生黄色沉 淀，另一支中无明显现象
的关系如图所示，则下列说法中不．正．确．的是 A．T℃时，Ka2=10-4.2 B．pH=1.2 溶液中：c(K+)+c(H+)=c(OH﹣)+c(H2C2O4)
C2O42﹣+H+
Ka2，T℃常温下，向某
C．pH=2.7 溶液中：
D．向 pH=1.2 的溶液中再加 KOH 溶液，将 pH 增大至 4.2 的过程 中水的电离度一直增大 二、选择题：本题共 8 小题，每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中，第 14~18 题只有一项符合题目要 求，第 19~21 题有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。
河北省石家庄市第二中学2020届高三模拟考试数学(理)试题
（2）若
a1
a3
3 ，设 bn
n 12
|
an
| ，{bn}
的前
n
项和为 Tn
，证明： Tn
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）
问的答案是 S1, S3, S2 成等差数列．
如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
则 x、y 的值分别为（ ）
A．0，0
B．0，5
C．5，0
D．5，5
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），
二．填空题 13. 6 三．解答题
14. 10
15. 2 2
16. （2分）3（3分）
6
2
17.解：（1）取 PA 的中点 E // 1 AD ， 2
又 BC // 1 AD ，∴ BC //FE ， 2
∴四边形 EFBC 是平行四边形，∴ CE // BF ，
石家庄二中2020届高三教学质量检测
数学（理科）试卷
（时间：120 分钟 分值：150 分）
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
使得 OAOB PA PB 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
河北省石家庄市第二中学(石家庄市)2020届高三下学期教学质量检测理科综合试题及参考答案
D.病毒在宿主细胞内复制、装配后，以胞吐方式释放，这体现了细胞膜的功能特点
6. 下列实验都需要使用光学显微镜进行观察，有关实验现象描述合理的是
实验 编号
实验名称
观察到的实验现象
观察植物细胞的质 镜检 1：几乎整个紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞呈紫色；
①
壁分离和复原
镜检 2：不同细胞质壁分离的位置、程度并不一致
集气瓶中产生大量白烟， 瓶内有黑色颗粒产生
CO2 具有氧化性
C
加热盛有少 NH4HCO3 固体的试管，并在试 管口放置湿润的红色石蕊试纸
石蕊试纸变蓝
NH4HCO3 显碱性
D
向 2 支盛有 2mL 相同浓度银氨溶液的试管中 分别加入 2 滴相同浓度的 NaCl 和 NaI 溶液
一只试管中产生黄色沉 淀，另一支中无明显现象
有一个电子，Z 位于元素周期表ⅢA 族，W 与 X 属于同一主族。下列说法正确的是
A．原子半径：r(W) > r(Z) >r(Y)
B．由 X、Y 组成的化合物中均不含共价键
C．Y 的最高价氧化物的水化物的碱性比 Z 的弱 D．X 的简单气态氢化物的热稳定性比 W 的强
11．由下列实验及现象不能推出相应结论的是
A．光暗信号调节褪黑素分泌的过程, 属于神经调节 B．光暗信号可以周期性引起褪黑素的分泌,进而影响该动物的生殖周期 C．去甲肾上腺素释放后，与受体结合发挥作用，则上图中的去甲肾上腺素属于一种激素 D．HPG 轴发挥调节作用，体现了激素分泌的分级调节和负反馈调节 4、普通小麦 6n=42,记为 42E；长穗偃麦草2n=14,记为14M，长穗偃麦草中某条染色体含有抗虫基因。 下 图为普通小麦与长穗偃麦草杂交选育抗虫小麦新品种的过程。据图分析，下列正确的是
河北省石家庄市第二中学2020届高三下学期教学质量检测(开学考试)数学(理)试题
第1页，总25页河北省石家庄市第二中学2020届高三下学期教学质量检测（开学考试）数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ） A.B.C.D. 3答案及解析：1.C 【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于实轴长列出关于,,a b c 的关系式求解即可.【详解】渐近线方程by x a =±,即0bx ay ±=.故右焦点(),0c 到渐近线的距离d b ==. 故2b a =.即2222244b a c a a =⇒-=,解得ca=故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的运算,需要根据题意建立关于,,a b c 的关系式求解.属于基础题. 2.已知全集U =R ，集合(){}40A x x x =-<，(){}2log 12B x x =-<，则 U AC B =（ ）答案第2页，总25页A. {}14x x <<B. {}01x x <≤C. {}04x x <<D. ∅答案及解析：2.B 【分析】根据二次不等式与对数不等式的方法分别求出集合,A B ,再求U A C B ⋂即可. 【详解】(){}{}40|04A x x x x x =-<=<<,(){}{}2log 12014B x x x x =-<=<-<{}15x x =<<.故{|1U B x C x =≤或5}x ≥.所以{}01U A C B x x ⋂=<≤. 故选：B【点睛】本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解,同时也考查了集合的基本运算.属于基础题. 3.过椭圆()2214x y λλ+=>上一点P 作圆()22:11C x y -+=的切线，且切线的斜率小于0，切点为M ，交椭圆另一点Q ，若M 是线段PQ 的中点，则直线CM 的斜率（ ） A. 为定值2B. C. 为定值 D. 随λ变化而变化答案及解析：3.C 【分析】因为M 是线段PQ 的中点,故可设()00,M x y ,再用点差法根据直线CM 与PQ 垂直斜率相乘等于1-求出切点M 的坐标,再求出直线CM 的斜率即可.【详解】设()00,M x y ,()()1122,,,P x y Q x y ,则22122122121222224044x y x x y y x y λλ⎧+=⎪-⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩,化简可得。
【附20套高考模拟试题】2020届河北省石家庄二中高考数学模拟试卷含答案
为（ ）
，则 的中点到准线的距离
A． B．2 C．3 D．4
7．关于 的方程
有四个不同的解，则实数 的值可能是（ ）.
A． B． C． D．
8．设 ，若函数
在 上的最大值是 3，则其在 上的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
9．已知 f x 定义域为 0, ， f x 为 f x 的导函数，且满足 f x xf x ，则不等式
算出圆周率的近似值.假设有 n 个人说“能”，而有 m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率
的近似值为（）
m
n
4m
4n
A． m n B． m n C． m n D． m n
11．已知等差数列 an 的前 n 项和是 Sn ，公差 d 不等于零，若 a2 , a3, a6 成等比数列，则
A． a1d 0, dS3 0
B． a1d 0, dS3 0
C． a1d 0, dS3 0 D． a1d 0, dS3 0
12．执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为( )
A．4 B．5 C．7 D．9 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a,b 满足
2 13． 3
30800 14． 729 .
15．
1 e2
,
0
16． [0, 3]
MA 2 MO ，则实数 a 的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）如图，在四棱锥
中， 平面
，底面
是菱形，
为 与 的交点， 为棱 上一点.
证明：平面
平面 ；若 平面 ，求三棱锥
2020年石家庄市二模数学有答案(理科)
2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }，N={5，7，8 }，则A. B. C. D.2. 若F(5，0)是双曲线(m是常数）的一个焦点，则m的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059. 程序框图如右图，若输出的s值为位，则n的值为A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知a是实数，则函数_的图象不可能是11. 已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是A.不论边长AB，CD如何变化，P为定值；B.若-的值越大，P越大；C.当且仅当AB=CD时，P最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.12. 设不等式组表示的平面区域为Dn an表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数（i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_________.14. 在ΔABC 中，，，则 BC 的长度为________.15. 己知F1 F2是椭圆（a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为________.16. 在平行四边形ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1中有=________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0丄侧面ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l 于Q点，且•(I )求动点P的轨迹E的方程；(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y 0>4时，试用y表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.21. (本小题满分12分）已知函数(A ,B R，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a>0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE2=DE-EC.(I)求证:；(I I)求证：A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为：（为参数）；射线C 2的极坐标方程为：,且射线C 2与曲线C 1的交点的横坐标为(I )求曲线C 1的普通方程；(II)设A 、B 为曲线C 1与y 轴的两个交点，M 为曲线C 1上不同于A 、B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设函数 (I)画出函数的图象；(II)若不等式，恒成立，求实数a 的取值范围.2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. 1或 2 15. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.22214()AB AD AA ++.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ）当1q =时，10472S S S ≠+所以1q ≠ ………………………………………………..2分10472S S S =+由,得()()1074111211(1)111a q a q a q q q q---=+--- 104710,12a q q q q ≠≠∴=+ ， ………………………….4分则8251112a q a q a q =+，9362a a a ∴=+，所以3,9,6a a a 成等差数列. ………………………6分(Ⅱ)依题意设数列{}3n a 的前n 项的积为n T ,n T =3333123n a a a a ⋅⋅3323131()()n q q q -=⋅⋅=33231()()n q q q -⋅3123(1)()n q ++-==(1)32()n n q -，…………………8分又由（Ⅰ）得10472q q q =+，63210q q ∴--=，解得3311(,2q q ==-舍）.…………………10分所以()1212n n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………….12分18. 解: （Ⅰ）………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.……………………………………………6分（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是45，则4~(3,)5X B ，311(0)()5125P X === 1234112(1)()55125P X C ===2234148(2)()()55125P X C ===3464(3)()5125P X ===………………8分 X0 1 2 3 P1125 12125 48125 64125分412()355E X =⨯=………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =，2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,112tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,12tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠, 又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， (3)分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………5分 （Ⅱ） 解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ABD中，可求得63OB =,66OD =,33OC OA ==，在1Rt ABB 中，可求得1233OB = ，故60,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,60,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,30,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,123,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以 60,,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,630,,33BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1236,,033BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭可得，1123263,,333BC BC BB ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………8分设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即23263060x y z y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪，取1,0,2x y z ===， 则()1,0,2=m ， …………………………………10分又BCD 面()1,0,0=n ，故5cos ,5==m n ， 所以，二面角1C BD C --的余弦值为5…………………………………12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角…………………………………8分BD =，1AB =1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==113OC OA AB === ， 在1Rt COB中，13B C === ，……………………10分 又EOC OCE ∠=∠1cos 5OC EOC CB ∠==故二面角1C BD C --的余弦值为…………………………12分 20.解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -， ∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． …………………2分 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹E 的方程24x y =． …………………………4分 （Ⅱ）解法一：设00(,),(,0),(,0)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00()y y x b x b=--，化简得 000()0y x x b y y b ---=．又圆心(0,2)到PB 的距离为22= ，故222220000004[()]4()4()y x b x b x b y b y b +-=-+-+，易知04y >，上式化简得2000(4)440y b x b y -+-=， 同理有2000(4)440y c x c y -+-=． …………6分所以0044x b c y -+=-，0044y bc y -=-，…………………8分则2220002016(4)()(4)x y y b c y +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2004x y =，则 2202016()(4)y b c y -=-，0044y b c y -=-． ………………10分 所以0000002116()2[(4)8]244PBC y S b c y y y y y ∆=-⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分解法二：设),(00y x P , 则4200x y =，PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k ， 则PB ：2010()4x y k x x -=-，令0y =得20014B x x x k =-，同理得20024C x x x k =-； 所以||4|44|||||212120120220k k k k x k x k x x x BC C B -⋅=-=-=，……………6分 下面求||2121k k k k -, 由(0,2)到PB ：2010()4x y k x x -=-的距离为22010|2|2x k x +-=， 因为04y >，所以2016x >， 化简得2222220001010(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=， 同理得2222220002020(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=…………………8分 所以1k 、2k 是22222200000(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=的两个根.所以2001220(4)2,4x x k k x -+=-222220*********(1)()164,44x x x x k k x x --==--201220||4x k k x -==-，1220121||116k k x k k -=-， 22000120200120411||||44411416B C x x y k k x x y y x k k y --=⋅=⋅=⋅=---，……………10分 所以0000002116||2[(4)8]244PBC y S BC y y y y y ∆=⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分21.解:（Ⅰ）当2b =时，若2()()()2x x F x f x g x ae e x =-=+-，则2()221x x F x ae e '=+-，原命题等价于2()2210x x F x ae e '=+-在R 上有解．……………2分 法一：当0a 时，显然成立；当0a <时，2211()2212()(1)22x x x F x ae e a e a a '=+-=+-+ ∴ 1(1)02a -+>，即102a -<<． 综合所述 12a >-．…………………5分 法二：等价于2111()2x x a e e>⋅-在R 上有解，即∴ 12a >-．………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，不妨设12x x <，则2102x x x +=，2222x x ae be x +=，1121x x ae be x +=，两式相减得：21212221()()x x x x a e e b e e x x -+-=-，……………7分整理得 212121212121221()()()()2()x x x x x x x x x x x x x x a e e e e b e e a e e e b e e +-=-++--+- 则21212122x x x x x x ae b e e +-+-，于是21212121212202()x x x x x x x x x x e ae be f x e e +++-'⋅+=-，…………………9分而212121212121221x x x x x x x x x x x x e e e e e +----⋅=⋅-- 令210t x x =->，则设22()ttG t e e t -=--，则2222111()1210222t t t t G t e e e e --'=+->⋅⋅⋅-=， ∴ ()y G t =在(0,)+∞上单调递增，则22()(0)0t t G t e et G -=-->=，于是有22t t e e t -->， 即21t t e te ->，且10t e ->，∴ 211t t t e e <-， 即0()1f x '<．…………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)依题意，DE BE BE EC=，11∠=∠ ， 所以DEB BEC ∆∆,………………2分得34∠=∠,因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆， 所以ED BD AD CD =,即ED AD BD CD=,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆,所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=， 因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠， 所以01745180,∠+∠+∠+∠=即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=， 射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x , 因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点， 所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分 由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+, 所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分24.选修4-5：不等式选讲解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分 则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知,当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分 所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。