均衡价格理论

第二章均衡价格理论36、已知某一时期商品的需求函数为Qd =50-5P，供给函数Qs=-10+5P，求：（1）均衡价格Pe 和均衡数量Qe（见书本P26）解：均衡价格是商品的需求与供给相等时的价格，均衡数量是商品需求量和供给量相等时的数量。

求均衡价格，即需求=供给，于是Qd =Qs，将需求函数和供给函数代入这个等式，得：50-5P=-10+5P50+10=5P+5P（移项）60=10P（合并同类项）Pe=6将Pe=6代入需求函数或供给函数，任一函数即可（代入需求函数），得出：Qd=50-5P=50-5×6=50-30=20，即Qe=20（2）如果供给函数不变，由于消费者收入变化导致需求函数变为Qd=60-5P，求相应的均衡点（Pe ，Qe），并分析收入是增加了还是减少了。

解：均衡点是商品的需求与供给相等时的价格和数量的组合，仍然满足需求=供给，于是Qd =Qs，这里供给函数不变，仍是Qs=-10+5P，而需求函数变为Qd=60-5P，将两者代入等式Qd =Qs，得出：60-5P=-10+5P60+10=5P+5P（移项）70=10P（合并同类项）Pe=7将Pe=7代入需求函数或供给函数，任一函数即可（代入需求函数），得出：Qd=60-5P=60-5×7=60-35=25，即Qe=25需求未变化前，收入R=Qe ×Pe=6×20=120（将第一小题的Pe和Qe代入），需求变化后，收入R=Qe ×Pe=7×25=175（将第二小题的Pe和Qe代入），可见此时，收入是增加了。

37、假设汽油的需求价格弹性系数是-0.15，现价格为每加仑1.20美元，请计算汽油价格上涨多少美元，才能使其消费量减少10%。

（见书本P37）解：弹性系数是需求量的变动比率与价格的变动比例的比值，即E d =//Q Q P P ∆∆，所以该题求的就是，当销售量Q ∆/Q （需求量的变动比率）为10%时，价格P ∆（价格的变化量）是多少。

已知E d =-0.15，为了计算方便，一般取正值（见书本P38，第一段，最后一句。

），即E d =0.15，P=1.2，Q ∆/Q=10%，于是，将题目已知的量代入弹性系数，即E d =//Q Q P P ∆∆ 0.15=10%/1.20p ∆=10%/1.20p ∆ p ∆=0.8答：汽油价格上涨0.8美元，才能使其消费量减少10%。

切记：变动比率与变化量是两个不同的概念。

变动比率是变化量/原始数值。

38、其商品的需求函数是D=500-100P ，（此题书本没有相关内容的叙述，请着重记忆和学习）（１）求价格在２和４之间的需求价格弧弹性；解：需求的价格弹性可以分为弧弹性和点弹性。

需求的价格弧弹性表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格的变动的反应程度。

简言之，它是指需求曲线上两点之间的弹性，其计算公式为：QP P Q PP Q Qe d ⋅∆∆-=∆∆-= 上式中，d e 表示需求的价格弧弹性系数，△Q 和△P 分别表示需求量和价格的变化量。

由于商品的需求量和价格在通常情况下是成反方向变动，P Q∆∆为负值，所以为了使需求的价格弹性系数d e 为正值，便于比较，便在公式中加了一个负号。

由于从a 点到b 点和从b 点到a 点的弧弹性不同，因此，如果只是要一般地计算需求曲线上某两点之间的需求的价格弧弹性，而不是具体地要强调这种需求的价格弧弹性是作为降价还是涨价的结果时，为了避免不同的计算结果，通常取两点之间的平均值来代替公式中的P 和Q 的数值，即需求的价格弧弹性应采用下式计算：2121212122Q Q P P P Q Q Q P P P Q e d ++⋅∆∆-=++⋅∆∆-=该题已知P a =2, P b =4,将其代入需求函数D=500-100P 可得Q a =300 ，Q b =100，将他们一并代入弹性系数公式， 即42()10030022 1.5100300()4222b a b a b ab a P P Q Q Q Q P P ++--⨯=⨯=-++-- （2）求价格是2时的需求价格点弹性解：当需求曲线上两点之间的变化量趋于无穷小时，需求的价格弹性要用点弹性来表示。

也就是说，它表示需求曲线上某一点上的需求量变动对于价格变动的反应程度。

需求的价格点弹性的公式为：Q P dP dQ Q P P Q e o P d ⋅-=⋅∆∆-=→∆lim可见，需求的价格弧弹性和点弹性本质是相同的，它们的区别仅在于：前者表示价格变动量较大时的需求曲线上两点之间的弹性，而后者表示价格变动量无穷小时的需求曲线上某一点的弹性。

于是，本题当P=2时，代入需求函数D=500-100P 可得Q=300。

其中弹性系数公式中的dQ dP 是对Ｐ求一阶导数，若f(x)=n x ，求导公式为1n dx nx -=。

于是dQ dP对需求函数D=500-100P 中的Ｐ求导，得dQ dP ＝－100。

将他们一并代入弹性系数公式，即221003003d dQ Pe dP Q =-⨯=-⨯=-。

第三章 消费者行为理论23、400元的收入用于购买X 、Y 两种商品， A P =100，B P =50（见书本P53）（1）写出消费可能线方程。

解：设消费可能线方程为y a bx =+（x 和y 分别代表着两种商品），已知A P =100，B P =50，于是可以推知当x=0时，y=8（即：如果400元全部用于购买Y 商品时，可以购买8个单位）；y=0时，x=4（即：如果400元全部用于购买X 商品时，可以购买4单位）。

代入假设的方程中去，可以得出a=8,b=-2。

所以消费可能线方程为82y x =-。

（2）若把全部收入用于购买X ，能购买多少X 。

解：由上可知，若把全部收入用于购买X ，能购买4个单位的X（3）若把全部收入用于购买Y ，能购买多少Y 。

解：由上可知，若把全部收入用于购买Y ，能购买8个单位的Y（4）假设X 价格降为50，其他不变，写出消费可能线解：假如A P =50，则收入400元全部用于购买X 商品，可以买8个单位，即y=0时，x=8；而其他不变，Y 商品价格不变，仍是B P =50，则收入400元全部用于购买Y 商品，也可以买8个单位，即x=0时，y=8；代入消费可能线方程y a bx =+，可得a=8,b=-1。

所以消费可能线方程为8y x =-。

（5）假设收入降为300，A P =B P =50，写出消费可能线解：假如A P =50，收入300元全部用于购买X 商品，可以买6个单位，即y=0时，x=6；而B P =50，则收入300元全部用于购买Y 商品，也可以买到6个单位，即x=0时，y=6；代入消费可能线方程y a bx =+，可得a=6,b=-1。

所以消费可能线方程为6y x =-。

24、已知某消费者收入360元，用于购买X 和Y 两种商品，他的效用函数是22U X Y =，X 商品的价格是3元，Y 商品的价格是2元，求为使效用最大化，他购买的X 和Y 各为多少。

（见书本P48）解：效用最大化的原则有两个：X X Y Y P Q P Q M ⨯+⨯=，X Y M X YMU MU MU P P ==。

本题已知M=360，X P =3，y P =2，2(2)4x MU dU d X Y XY ===（对X 求一阶导数，若f(x)=n x ，求导公式为1n dx nx -=）；22(2)2y MU dU d X Y X ===（对Y 求一阶导数），将已知代入效用最大化的原则中去，得： 3X+2Y=36024232XY X = 3X+2Y=360Y=0.75X解得X=80，Y=60。

第四章 生产理论23、假设某厂商短期生产函数是232712Q L L L =+-（见书本P61）（1）求平均产量最高时的劳动投入量解：平均产量AP 最高时，平均产量AP=边际产量MP ，因为平均产量曲线与边际产量曲线相交于平均产量曲线的最高点（见书本P62）。

已知23227122712TP L L L AP L L Q L+-===+-（其中TP Q 中的TP 是总产量，Q 是某种生产要素的量，这里指的就是劳动投入量L ）；22712TP MP L L Q∆==+-∆（其中TP Q∆∆就是对劳动投入量L 求一阶导数）。

由于AP=MP ，将上列两式代入该公式，可得： AP=MP22712L L +-=227243L L +-L=6答：平均产量最高时的劳动投入量为6个单位。

（2）求总产量最高时的劳动投入量解：总产量最高时，边际产量MP=0（见书本P62）。

于是227243L L +-=0，解该方程可得，L=9 。

答：总产量最高时的劳动投入量为9个单位。

24、已知厂商的生产函数为3747Q L K =，又设L P =3元，K P =4元，求该厂商生产200单位产品时，应使用多少单位的L 和K 才能使成本降至最低？（见书本P66） 解：求使用多少单位的L 和K 才能使成本降至最低，其实就是在求两种生产要素的最适组合，其条件是k l M k lMP MP MP P P ==，其中447737k MP L K -=（对K 求一阶导数，K 是资本投入量），337747l MP K -=（对L 求一阶导数，L 是劳动投入量）。

将其代入条件公式k l M k lMP MP MP P P ==可得：447737L K - =337747K -，L=K 。

已知M=200，L P =3元，K P =4元，代入生产函数3747Q L K =，可得L=K=200。

25、假设某大型生产企业，有三种主要产品X 、Y 、Z ，已知它们的生产函数分别是0.40.40.11.6X Q L C M =， 20.5(0.4)Y Q L CM =，107Z Q L C M =++，求三种产品生产的规模收益的性质。

（见书本P63，倒数第一段的内容）解：确定规模收益的性质其实就是确定产量增长的比率和生产规模扩大比率的大小问题，其中产量增长就是生产函数的变化，生产规模扩大就是生产要素L 、C 、M 的变化，而生产要素的变化这里都是同比例增长，所以，我们可以先假设L 、C 、M 同时增长1倍，即L=2L 1，C 变为2C 1，M 变为2M ，将其带入三个生产函数公式，可0.40.40.10.40.40.11111.6(2)(2)(2) 1.6222X Q L C M ==⨯⨯⨯=0.90.40.40.11.62L C M ⨯，由于0.922 ，所以当生产要素同时增加1倍时，产量增加小于1倍，所以X 产品是规模收益递减的。

0.5220.50.50.520.51111110.4(2)(2)(2)222(0.4)Y Q L C M L C M ⨯⎡⎤==⨯⨯⨯⎣⎦=2220.5111(0.4)L C M ，由于22＞2，所以当生产要素同时增加1倍时，产量增加大于1倍，所以Y 产品是规模收益递增的。