江苏高考数学一轮复习试题分类汇编14《解析几何》(苏教版)
江苏省高三数学专题专练练习：解析几何苏教版 试题
某某省2010届高三数学专题专练解析几何1．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1F 2，连接点F1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为2．已知N （3，1），点A 、B 分别在直线y=x 和y =0上，则△ABN 的周长的最小值是。
3．双曲线C 与双曲线221916x y -=有共同的渐进线，且过点(A -，则C 的两条准线间的距离为4．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点5．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)M m 到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为6．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b-=的离心率为7．已知椭圆的焦点是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（写出曲线类型）8．椭圆221123x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF9．过点(0,1)M 且与抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程是10．函数()()1x 1x x 21x f 2≤≤---=的图象为C,则C 与x 轴围成的封闭图形的面积为____________.11．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，抛物线bx y 42=的焦点为M ，若||2||21M F M F =，则此椭圆的离心率为12．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值X 围是。
13．经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点M ，作平行于实轴的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则MQ MP ⋅＝14．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1、B 1，则∠A 1FB 1=。
高三数学解析几何复习材料 苏教版
高三数学解析几何复习材料一、考点回顾：1.基本曲线方程：圆，圆锥曲线3. 圆锥曲线的离心率：ae =椭圆：10<<e 双曲线：1>e 抛物线：1=e4. 圆锥曲线的焦半径公式：5. 直线与圆锥曲线之间的关系，①定直线曲线 ②动直线曲线6.高考热点题型主要有：⑴运用方程（组）求圆锥曲线的基本量 ⑵运用函数研究圆锥曲线的有关量的范围 ⑶运用直译法或参数法求动点的轨迹方程 ⑷运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质 ⑸运用一元二次方程研究直线和圆锥曲线相交的问题。
二、课前预习：1. 已知F F 12，是双曲线x y 2221-=的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ ） A. 42B. 8C. 22D. 随α大小变化2. 已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43D.y ＝±x 43 3. 定点M 3103，⎛⎝⎫⎭⎪与抛物线y x 22=上一点P 之间的距离为x P 1，到准线的距离为x 2，当x x 12+取得最小值时，点P 的坐标为___________。
4. 双曲线2x 2－y 2+6=0上的一点P 到一个焦点的距离为4，则点P 到较远的准线的距离是（ ）A ．31264+ B ．62364或 C ．364 D ．462+三、例题精析：5. 已知双曲线与椭圆在x 轴上有公共焦点，若椭圆焦距为52，它们的离心率是方程6x 2-55x+5 =0的两根，求双曲线和椭圆的标准方程．6. 已知双曲线2222by a x -=1（a >0，b >0）的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点.（1）求证：PF ⊥l ;（2）若|PF |=3，且双曲线的离心率e =45，求该双曲线方程； （3）延长FP 交双曲线左准线l 1和左支分别为点M 、N ，若M 为PN 的中点，求双曲线的离心率.7. 已知椭圆C x a y ba b 1222210：+=>>()的一条准线方程是x =254，其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线C x a y b222221：-=的一条渐近线方程为350x y -=。
江苏省高三数学一轮复习 考试试题精选(1)分类汇编14 解析几何
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编14：解析几何一、填空题1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则AB CD 的值为 ▲ ． 【答案】1162 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆x 2+y 2=4总相交,则a 的取值范围是___.【答案】00a a -<<<<或3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________. 【答案】44 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b+=上斜率为1的弦的中点在直线0b y a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22221x y a b-=上斜率为1的弦的中点在直线_______________上. 【答案】22x y0a b -=5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________. 【答案】2x 2﹣2y 2=1 6 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如()0,0b y a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________. 【答案】1(,2)2-8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右焦点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]【答案】[12,1)9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A) (B)2【答案】A10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2,则m 的值为 ______.【答案】311．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为则实数k 的值是________. 【答案】812．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为______.113．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______.【答案】20x -=或4370x y -+=14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________. 【答案】225x y -=15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :2220x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.【答案】216．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆的左顶点A(-a,0)作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为____17．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）当且仅当m r n ≤≤时,两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点,则n m -的值为______________.【答案】10 二、解答题18．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知椭圆C 的中心在坐标原点,右准线为x =离心率为3.若直线y=t(t>o)与椭 圆C 交于不同的两点A,B,以线段AB 为直径作圆M. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若圆M 与x 轴相切,求圆M 被直线10x +=截得的线段长. 【答案】19．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.【答案】解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ,有121244y y ky y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ 22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+ 据等差,2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==,即()2416k +=,2k =±, xyoABCDP即:l0y -0y +=20．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知椭圆:2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离一条准线:2l x =. (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于P Q 、两点.①若6PQ =,求圆D 的方程;②若M 是l 上的动点,求证:P 在定圆上,并求该定圆的方程. 【答案】解:(1)由题设:22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩,2221b a c ∴=-=,椭圆C 的方程为:2212x y +=(2)①由(1)知:(1,0)F ,设(2,)M t ,则圆D 的方程:222(1)()124t t x y -+-=+, 直线PQ 的方程:220x ty +-=,PQ ∴=∴=,24t ∴=,2t ∴=±∴圆D 的方程:22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=②解法(一):设00(,)P x y ,由①知:2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩,即:2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩, 消去t 得:2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 解法(二):设00(,)P x y ,则直线FP 的斜率为001FP y k x =-, ∵FP ⊥OM ,∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-,∴直线OM 的方程为:001x y x y -=-, 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --. ∵MP ⊥OP ,∴0OP MP ⋅=, ∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ,∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 21．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O,半径为100m ,其与国泰路一边所在直线l 相切于点M,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为 B.市园林局计划在ABM ∆内进行绿化,设ABM ∆的面积为S(单位:2m )(1)以θ=∠AON 为参数,将S 表示成θ的函数;(2)为绿化面积最大,试确定此时点A 的位置及面积的最大值.【答案】22．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有13||||21：：=.(Ⅰ)求椭圆离心率;O国 泰 路B M l AN(Ⅱ)设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)当AC 垂直于x 轴时,a b AF 22||=,13||||21：：=,∴ab AF 213||=∴a a b 242=,∴222b a =,∴22c b =,故22=e . (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为22222b y x =+,焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时,设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ,则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=, 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=,F AF 222λ=,bx b y y 020223-=-=λ.同理b x b 0123+=λ,∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时,则bbb 23,112+==λλ,这时621=+λλ; 当AB 垂直于x 轴时,则5,121==λλ,这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值 【D 】6．23．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ,B ,000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点,以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ,使(0)AD kb k =>,PD 交AB 于点E ,PC 交AB 于点F .(Ⅰ)如图(1),若k =1,且P 为椭圆上顶点时,PCD ∆的面积为12,点O 到直线PD 的距离为65,求椭圆的方程;(Ⅱ)如图(2),若k =2,试证明:AE ,EF ,FB 成等比数列.图(1) 图(2)【答案】解:(Ⅰ)如图,当k =1时,CD 过点(0,-b ),CD =2a ,∵PCD ∆的面积为12,∴122122a b ⨯⨯=,即6ab =.①此时D (-a ,-b ),∴直线PD 方程为20bx ay ab-+=.∴点O 到PD 的距离d =65. ② 由①②解得3,2a b ==∴所求椭圆方程为22194x y += (Ⅱ)如图,当k =2时,(,2),(,2)C a b D a b ---,设12(,0),(,0)E x F x,由D ,E ,P 三点共线,及1(,2)DE x a b =+,00(,2)DP x a y b =++ (说明:也可通过求直线方程做) 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+, ∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+,即002()2b x a AE y b⋅+=+由C ,F ,P 三点共线,及2(,2)CF x a b =-,00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-, ∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+,即002()2b a x FB y b⋅-=+又2200221x y a b +=,∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++∴2EF AE FB =⋅,即有AE ,EF ,FB 成等比数列24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、， （Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，P∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。
苏教版 高三数学 一轮复习---压轴题型突破练——解析几何
压轴题型突破练——解析几何A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)解析 直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π4＋π12，即⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 2．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是 __________.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)解析 将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心坐标为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径， 即d ＝|3×1＋4×(－2)＋m |32＋42＝|m －5|5>1，∴m <0或m >10.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若PF ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________． 答案 y ＝±3x解析 设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．答案 172解析 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172.5．如果x 2k －2＋y 21－k ＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1， 所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．6．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________． 答案 2 3解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB 为直径的圆的半径为r ，则AB ＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3.二、解答题(共27分)8．(13分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22.整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 9．(14分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)，所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)，则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0. 进而得到x 1＋x 2＝－8m18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点， 所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0， 化简得m 2<162，解得－92<m <9 2. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2， x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝17(m 2－18)18－32m 218＋m 2＝0.解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)， 所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为 y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________． 答案 53解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2PF 1＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ，∴PF 1＝2a 3，PF 2＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53.2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． 答案7解析 如图所示， 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则PQ 即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， PQ ＝PM 2－MQ 2＝PM 2－1，要使PQ 最小，即求PM 的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以PM 的最小值为2 2. 所以PQ ＝PM 2－1≥(22)2－1＝7.3．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为__________． 答案 (－2，－9)解析 当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2， ∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1.由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a－2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为________．答案 63解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 5．已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a－1b 的值为________． 答案 2解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.由题意，知a ≠b .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则AF ＋4BF 的最小值为________．答案 92解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得AF ＋4BF ＝x 1＋p 2＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据均值不等式AF ＋4BF ＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.二、解答题(共28分)7．(14分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，l 交椭圆于A ，B 两个不同点． (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝2， ∴所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ，又k OM ＝12，∴l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵直线l 与椭圆交于A ，B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0， 解得－2<m <2且m ≠0.8．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解 设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则PF 2＝(x －2)2＋y 2，PB 2＝(x －3)2＋y 2，由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解 将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明 如图所示， 点T 的坐标为(9，m )．直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2.直线MN 的方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2. 令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)．。
2019届江苏专版高考数学一轮复习第十四章平面解析几何初步14
解析 (1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将P、Q两点的坐标分别代入得 2D-4E-F=20,① 3D-E+F=-10.② 令y=0,得x2+Dx+F=0.③ 设x1,x2是方程③的两根, 由|x1-x2|=6得D2-4F=36,④ 由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.
3.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为
x
D 2
2
+
y
E 2
2
=
D2
E2 4
4F
.
(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示以④
D 2
,
E 2
为圆心,⑤
D2 E2 4F
2
为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形. (4)圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突 出了方程形式的特点: (i)x2和y2系数相等且不为0.
高考数学
§14.2 圆的方程
知识清单
1.圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点就是①
圆心 ,定长就是② 半径 .
2.圆的标准方程
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为③ (a,b) ,半径为r的圆的标准
方程;
(2)特别地,以原点为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.
高三数学专题复 习-解析几何苏教版
高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容：（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， （3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。
【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴28ab b a ab =+≥≥, ∴8OA OB ab ∙=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a=2b ，即a =4，b =2时取得等号。
故所求直线的方程为：x +2y -4=0． 变式：过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求PA PB ⋅取得最小值时直线的方程．解：显然直线的斜率存在，设其方程为：y -1=k （x -2）,则A 1(2,0),(0,12)B k k--由1201200k k k->-><及得，∴PA PB ⋅4=当且仅当2211k k k ==-即时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4时直线的方程为x+y -3=0．例2、已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元；（Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使混合物的成本最低．解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，46320 3130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以75450.x y +≥所以当且仅当⎩⎨⎧=-=+130y x 3320y 6x 4，即⎩⎨⎧==20y 50x 时等号成立．所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130xy x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．例3、如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿射线OA 的方向行驶，其中sin α=.在距离O 地a 5（a 为正常数）千米、北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=.现120指挥中心紧急调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往载有危重病人的火车，并在C 处相遇。
2021年高考数学一轮总复习 能力提升练 解析几何 理 苏教版
2021年高考数学一轮总复习能力提升练解析几何理苏教版一、填空题1．(xx·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于________．解析因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝3a＋2x＋1a＋2，由两直线平行，得3a＋2＝a且1a＋2≠－2，解得a＝1或a＝－3.答案1或－32．(xx·洛阳模拟)椭圆x216＋y29＝1的焦距为________．解析由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27.答案273．(xx·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于________．解析圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，弦AB的长l＝2r2－d2＝24－1＝2 3.答案2 34．(xx·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是________________．解析设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即a－52＋22＝a＋12＋42，解得a＝1，所以半径r＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.答案 (x －1)2＋y 2＝205．(xx·湖州模拟)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c ＝5，又a 2＋9＝c 2＝25，所以a 2＝16，a ＝4，所以离心率为e ＝c a ＝54.答案546．(xx·济南一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，代入直线x －2y －2＝0方程，得p2－2＝0，即p ＝4，所以抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－42＝－2.答案 x ＝－27．(xx·郑州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是______________．解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，即2x －2y ＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r ＝|32|22＋22＝326＝33＝ 3.所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3.答案 (x －3)2＋y 2＝38．(xx·汕头一模)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由p2＝2，得p ＝4.答案 49．(xx·杭州模拟)已知两点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“R 型直线”．给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x＋1，其中为“R 型直线”的是________．解析 由题意可知，点P 的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a ＝6，a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝16.所以双曲线方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)．显然当直线y ＝x ＋1与y ＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R 型直线”的是①②. 答案 ①②10．(xx·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案2＋111．(xx·兰州一模)已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．解析 由抛物线定义知，y P ＋1＝5，即y P ＝4，所以有x 2P ＝16，解得x P ＝±4. 答案 ±412．(xx·上海卷)设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．解析 设D 在AB 上，且CD ⊥AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°，所以有CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，所以有C (1，1)，把C (1,1)代入椭圆的标准方程得1a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2且2a＝4，解得，b 2＝43，c 2＝83，则2c ＝43 6.答案436 13．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则M 到x 轴的距离为________．解析 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2，m 2＋n 2＝12，可得mn ＝4.由△MF 1F 2的面积可得M 到x 轴的距离为423＝233.答案23314．(xx·淄博二模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________． 解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，由题意知b2－－cc －b2＝53，c ＝2b ，所以c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，即4a 2＝3c 2，所以2a ＝3c ，所以e ＝c a＝23＝233. 答案233二、解答题15．(xx·广东卷改编)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程． 解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 则|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.16．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1) 设圆P 的半径为r ，则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ，∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.①当l 的倾斜角为90°，方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②当l 的倾斜角不为90°， 设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1，|2k ＋b |1＋k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝24x ＋2，化简得7x 2＋8x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187. 17．(xx·东北三校联考)如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4. (2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2， ∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(xx·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0， 即(x 1－x 0)2－y 21＝0. 由椭圆方程及x 1＝2x 0， 得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2632＋y 2＝163.]122203 56BB 嚻34259 85D3 藓28454 6F26 漦+Y &\K.24882 6132 愲\=。
高三数学专题复习-解析几何苏教版知识精讲
高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容： 直线名称 已知条件直线方程使用范围 示意图 点斜式 ()111y ,x P ，k ()11x x k y y -=- k 存在 斜截式b k ， b kx y += k 存在两点式)y ,x (11（)y ,x 22121121x x x x y y y y --=-- 2121y y ,x x ≠≠截距式 b ,a1by a x =+ 0b ,0a ≠≠一般式0C By Ax =++A 、B 不全为0（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， （3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。
渐 近 线焦点在x 轴上时：0=-bya x 焦点在y 轴上时： 0=-bxa y 图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p-)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴2228ab b a ab ab =+≥≥于是, ∴8OA OB ab •=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a =2b ，即a =4，b =2时取得等号。
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x2 y2 2 x y ,则 x y 的最大值是_________.
【答案】4
4 ．（江苏省无锡市市北高中 20XX 届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆
x2 a2
y2 b2
1
上斜率为
1
的弦的中点在直线
x a2
y b2
0 上,类比上述结论得到正确的结论为:双
曲线 x2 y2 1上斜率为 1 的弦的中点在直线_______________上. a2 b2
线为 x 3 2 ,离心率为 6 学科网.若直线 y=t(t>o)与椭 3
圆 C 交于不同的两点 A,B,以线段 AB 为直径作圆 M. (1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若圆 M 与 x 轴相切,求圆 M 被直线 x 3y 1 0 截得的线段长.
=1(a>b>0)右焦点,A 是其右准线与 x 轴的交点.若在椭圆上存在一点 P,使线段 PA 的垂直
平分线恰好经过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]
【答案】[12,1)
9 ．（江苏省南京市第五十五中学 20XX 届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线 y2 12x
的准线与双曲线 x2 y2 1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 93
别为 A,B.若四边形 PACB 的最小面积为 2,则 k=______. 【答案】2
16．（江苏省南京市 20XX 届高三 9 月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆
的
左顶点 A(-a,0)作直线 1 交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q.,若△AOP 是等腰三角形,且
,则椭圆的离心率为____
【答案】 2 5 5
【答案】 x y 0 a2 b2
5 ．（江苏省泰州中学 20XX 届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线该双曲线的方程是__________. 【答案】2x2﹣2y2=1
6 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 20XX 届高三 10 月月考数学试题）我们把形如
y b a 0,b 0 的函数称为“莫言函数”,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称
x a 点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称
之为“莫言圆”.当 a 1 , b 1时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】 3 .
7 ．（ 江 苏 省 无 锡 市 20XX 届 高 三 上 学 期 期 中 调 研 考 试 数 学 试 题 ） 直 线 y kx 1 与 圆
(A) 3 3 (B) 2 3
【答案】A
(C) 2
(D) 3
10 ．（ 江 苏 省 苏 州 市 20XX 届 高 三 暑 假 自 主 学 习 测 试 （ 9 月 ） 数 学 试 卷 ） 已 知 双 曲 线
x2 y2 1 (m 0) 的离心率为 2,则 m 的值为 ______. m
【答案】3 11．（江苏省诚贤中学 20XX 届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线 x2 y2 1 的焦点到渐
k
近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是________. 【答案】8
12 ．（ 江 苏 省 宿 迁 市 20XX 届 高 三 上 学 期 第 一 次 摸 底 考 试 数 学 试 卷 ） 已 知 双 曲 线
x2 a2
y2 b2
1(a＞0 ，b＞0) 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ,以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一
称轴的圆锥曲线 C ,离心率为 2 ,且过点 (2, 3) ,则曲线 C 的方程为________.
【答案】 x2 y2 5
15．（江苏省苏州市 20XX 届高三暑假自主学习测试（9 月）数学试卷）已知 P 是直线
l: kx y 4 0(k 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x2 y2 2 y 0 的两条切线,切点分
象限的交点为 P .若 PF1F2 30 ,则该双曲线的离心率为______.
【答案】 3 1
13．（江苏省宿迁市 20XX 届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点 (2 ，5) 的直线 l 被
圆 C ：x2 y2 2x 4 y 0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方程为______. 【答案】 x 2 0 或 4x 3y 7 0 14．（江苏省无锡市 20XX 届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对
(x 3)2 ( y 2)2 9 相 交 于 A、B 两 点 , 若 AB 4 , 则 k 的 取 值 范 围 是
____________________.
【答案】 ( 1 , 2) 2
8
． （江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校
20XX
届高三
10
月月考数学试题）设
F
x2 y2 是椭圆a2+b2
解析几何
一、填空题
1 ．（ 江 苏 省 扬 州 中 学 20XX 届 高 三 开 学 检 测 数 学 试 题 ） 已 知 实 数 p 0 ， 直 线
3x 4 y 2 p 0 与抛物线 x2 2 py 和圆 x2 ( y p )2 p2 从左到右的交点依次为 24
A、B、C、D, 则 AB 的值为 ▲ ． CD
17．（江苏省扬州市扬州中学 20XX 届高三 10 月月考数学试题）当且仅当 m r n 时,两圆
x2 y2 49 与 x2 y2 6x 8y 25 r2 0(r 0) 有 公 共 点 , 则 n m 的 值 为
______________. 【答案】10 二、解答题 18．（江苏省南京市 20XX 届高三 9 月学情调研数学试题）已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右准
【答案】 1 16
2 ．（ 江 苏 省 淮 安 市 车 桥 中 学 20XX 届 高 三 9 月 期 初 测 试 数 学 试 题 ） 如 果 圆 x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0 与圆 x2+y2=4 总相交,则 a 的取值范围是___.
【答案】 2 2 a 0或0 a 2 2
3 ．（江苏省常州市武进区 20XX 届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数 x 、 y 满足