二面角的求法精华版
二面角四种求法_5个例题解决二面角难题
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。
练习1:（山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法FG三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2．(山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。
（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。
练习2（天津）如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PABPDPAADAB．（Ⅰ）证明⊥AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角ABDP--的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3（湖南）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3-1:已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
二面角的多种求法
二面角的多种求法1.概念法例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =3AD =。
根据余弦定理知：22222233)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠==-⨯⨯⨯即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅即：23AEC π∠=。
2.空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。
求二面角F DE C --的大小。
分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。
二面角的三种求法
1 2 = 2 ，PO 2
2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2 所求的二面角 20:33
E
O
二面角的计算： 二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 、 2、证明 1中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、
计算” 一“作”二“证”三“计算”
20:33
16
二面角
练习1：已知Rt△ 在平面α内 斜边AB在 练习 ：已知 △ABC在平面 内，斜边 在30º的二 在平面 的二 面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点 到平面 的棱上 面角 的棱 ， ，求点C到平面 β的距离 。 的距离CO。 的距离
20:33
C
B
β
B
p α
O
ι
A
二面角
如图， 是二面角α棱上一点， 例 1.如图， 已知 P是二面角 AB-β棱上一点， 过 P分 如图 棱上一点 别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。 ∠ 求此二面角的度数。 C 在 α 解： PB上取不同于P 的一点O， M 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， O P A 在β内作OD⊥AB交PN于D， B 连CD，可得 D N ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 β 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a， DO= a ， PC = 2 a ， PD 2 a C = 又∵∠MPN=60º ∴CD=PC = 2 a
C O
α β
B
A
D
O
练习2： 已知棱长为1正方体 正方体ABCD-A1B1C1D1, 求二面 练习 ： 已知棱长为 正方体 的大小。 角C1-BD-B1的大小。
二面角的计算公式
二面角的计算公式二面角，这可是高中立体几何中的一个重要概念呀！咱先来说说啥是二面角。
想象一下，你有一张纸，把它对折一下，那折起来的这个“角度”，就是二面角啦。
在数学里，二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
那二面角咋计算呢？常见的方法有定义法、三垂线定理法、垂面法、射影面积法等等。
先说定义法。
这就好比你要量一个桌子的长度，直接拿尺子去量。
定义法就是直接在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角。
比如有这么一道题：在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，求平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的大小。
那咱就可以在棱 BD 上找个点，比如中点 O，然后分别在平面 A1BD 和平面 C1BD 内作 BD 的垂线，再通过计算就能得出二面角的大小啦。
再说说三垂线定理法。
这就有点像你找东西，有个线索给你指引。
三垂线定理说的是：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
比如说，已知二面角α - l - β的一个半平面α内一点 A 到另一个半平面β的垂线为 AB，垂足为 B，过垂足 B 作棱 l 的垂线 BC，垂足为 C，连接 AC，那∠ACB 就是二面角的平面角。
还有垂面法。
就好像你盖房子，先打个牢固的地基。
作一个垂直于二面角棱的平面，那这个平面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。
最后说说射影面积法。
这就好比是灯光照下来的影子。
二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影面积与原面积的比值。
我记得我当年上学的时候，有一次老师在课堂上讲二面角的计算，我听得那叫一个迷糊。
课后我就自己找了好多练习题来做，做着做着突然就开窍了。
那种感觉，就像是在黑暗中摸索了好久，突然看到了一丝光亮。
总之啊，二面角的计算虽然有点复杂，但只要掌握了方法，多做练习，就一定能拿下它！加油吧，同学们！。
最新的版,二面角求法及经典题型归纳
立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。
（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。
7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：αβaOAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
二面角的求法(总结)
2、三垂线定理、平面的 法向量。
探究准备： 答
二、想一想：
1、怎样做出二面 角的平面角？
：1、做二面角的平面角主 要有3种方法：
（1）、定义法：在棱上取一 点，在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线，这2条所夹 的 角； （2）、垂面法：做垂直于棱 的一个平面，这个平面与2个 半平面分别有一条交线，这2 条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半 平面内一点（记为A）做另一 个半平面的一条垂线，过这个 垂足（记为B）再做棱的垂线， 记垂足为C，连接AC，则 ∠ACB即为该二面角的平面角。 α C α β
2 2
S
E A D C
B
议一议：刚才的证明过
程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？ 请各小组讨论交流一下。
2
2
2
2
探究二：
试一试 例二：如图：直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。 求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
1D1C1B1A1（θ是所求二面角的平面角） 以下求面积略。
F
D
A B
C
点评：这种解法叫做“射影面积法”
在选择和填空题中有时候用起来会很 好
总一总：求二面角的方法你都
学会了哪些？每一种方法在使用 上要注意什么问题？
请同学们先自己思考，然后小 组内交流学习一下。
二面角的几种主要常用的求法：
1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。
A1 F A D1 B1 C1
D
B
C
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
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D1 z
C1
∴ A1O⊥BD，C1O⊥BD
∴
?? ? ?? ?
OA1, OC1
即为二面角A1-BD－C1
A1
B1
的平面角。
??? ???
?
??? ???
cos ? OA1, OC1 ??
OA 1 ?OC1
???
???
OA1 ?OC1
? ???? 1 3
A
D
O
y
C
1 ∴ 二面角A1－BD－C1的大小为 arccos 3
x
B
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
?m n ?
如图：二面角的大小等于?-<m ,n>
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD， AD= 1 SA=AB=BC=1，
2
求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.
z
解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。
则：S ?0,0,1?,C ??1,1,0?,
D
???0,
2、三垂线法:在一个平面 ?内选一点A向另一平面 作? 垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥? 于B，作AC⊥ ?于C，面
ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a
?
A
A
?
OB
A
?
?
?B
a O
1 2
,0
???,
B ?? 1,0,0
二面角? －AB－ ?
A
C
二面角? － l－ ?
?
B
D
l
?
? B?
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角的平面角 :
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
l
?
P
B
A
P1
B1
? A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
二面角的大小。
DG C
D1 E
C1
A1
B1
A FEB
G
A1
C
A
D
F
C
B
cos? ? S? AFCG
S? C中，PA ⊥平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角P-BC-A的大小； （2）求二面角A-PC-B的大小。
P D
cos ? ? S? ABC
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法; 5、掌握二面角的向量法。
复 习: 二面角的定义 :
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
?
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
?
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
?
uuur uuur BA, CD
uuur uuur ? arccos BuuAur ?uCuuDr
BA CD
例3：在正方体 AC1中，求二面角 A1 ? BD ? C1的大小。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则
B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0??180?
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
在Rt△DEB中
C tan ∠ BDE=
BE ? DE
6
B
∴∠ BDE=arctan 6
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
S? PBC
AE
C
B
二、向量法：
1、方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。
?
D B C
l
?
A
二面角? ? l ? ? 中, B、C ? l, AB? ? , CD ? ? ,且
uuur uuur
AB? l, CD ? l，二面角的大小等于 BA,CD
D
cos? ? S? A1B1C 1
S? EB1C
A
C B
E D1
C1
A1 B1
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。
D1 A1
E
C1
B1
G
DH
C
A
FB
DG C H
A FB
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中
点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐
C
O a
?
B
例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。 三垂线法: 过B作BE⊥AC于E，过E作ED⊥PC于D，连结BD，
则∠BDE就是此二面角的平面角。
P
3
∵△ABC为正△，∴ BE= 2 a
在Rt△PAC中，E为AC中点，
则DE= 2 a
D
4
E A
?
???
DB uuur
? ?2,2,0?,
uuur
???
OA1
?
?2,0,2??
?1,1,0??
?1,? 1,2 ?,
???
OC1
?
??
1,1,2?
? uDuuBr ?uOuuAur1 ? 2 ? 1? 2 ?（? 1）? 0 ? 2＝0 DB ? OC1 ? 2 ? (?1) ? 2? 1? 0 ? 2 ? 0