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二面角的求法公式
二面角的求法公式
二面角的求法有多种，以下是其中的一些：
1. 一般求法：先找到二面角的平面角，然后用量角器直接测量。
2. 法向量法：利用向量的数量积来求二面角。
设两个法向量分别为
$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，则二面角的大小为
$\arccos(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \times
\mathbf{b}})$。
3. 平行向量法：利用向量的平行性质来求二面角。
设两个平行的向量分别为$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，则二面角的大小为
$\arccos(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \times
\mathbf{b}})$。
4. 方程方法：利用空间几何的知识，建立二面角的方程，然后求解。
这些方法各有优缺点，具体使用哪种方法需要根据具体的情况来决定。
二面角的求法
P F A B E C D
规范训练三：
过正方形ABCD的顶点A作PA 平面ABCD，设 PA=AB=a,求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大 小。
则∠ACB即为该二面角的平面角。
探 究 三
探究四：
例4：如图：直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1 的中点。求：平面BFD1与平 面ABCD所成的二面角的大B
C
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P， 连接PB，则直线PB就是平面BFD1与 平面ABCD的交线。 ∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD 的中点，∴AP=AB, 又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱 形，∴可得正三角形ABD, 故 ∠DBA=600, ∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900,即PB⊥DB； 又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B, 故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平 面角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即 为所求.
D1 A1 F D A P B B1
C1
C
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线 于点P，连接PB，则直线PB就 是平面BFD1与平面ABCD的交 线； 因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面ABCD,过A做AE⊥PB,垂足 为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EF⊥PB, ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的 平面角； 同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求 得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为 2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即 为所求。
一、忆一忆：
二面角是指从一条直线出发的 1、二面角的概 两个半平面所组成的图形； 念 平面角是指以二面角的棱上一 点为端点，在两个半平面内分别 二面角的平面角 做垂直于棱的两条射线，这两条 的概念 射线所成的角就叫做该二面角的 平面角。
二面角的多种求法
二面角的多种求法1.概念法例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =3AD =。
根据余弦定理知：22222233)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠==-⨯⨯⨯即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅即：23AEC π∠=。
2.空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。
求二面角F DE C --的大小。
分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。
二面角公式
高中数学二面角公式是：θ=π-α。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。
运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关
平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1，n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。
这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α。
二面角的通常求法：
1、由定义作出二面角的平面角；
2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；
3、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
4、空间坐标求二面角的大小。
二面角的三种求法
1 2 = 2 ，PO 2
2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2 所求的二面角 20:33
E
O
二面角的计算： 二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 、 2、证明 1中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、
计算” 一“作”二“证”三“计算”
20:33
16
二面角
练习1：已知Rt△ 在平面α内 斜边AB在 练习 ：已知 △ABC在平面 内，斜边 在30º的二 在平面 的二 面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点 到平面 的棱上 面角 的棱 ， ，求点C到平面 β的距离 。 的距离CO。 的距离
20:33
C
B
β
B
p α
O
ι
A
二面角
如图， 是二面角α棱上一点， 例 1.如图， 已知 P是二面角 AB-β棱上一点， 过 P分 如图 棱上一点 别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。 ∠ 求此二面角的度数。 C 在 α 解： PB上取不同于P 的一点O， M 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， O P A 在β内作OD⊥AB交PN于D， B 连CD，可得 D N ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 β 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a， DO= a ， PC = 2 a ， PD 2 a C = 又∵∠MPN=60º ∴CD=PC = 2 a
C O
α β
B
A
D
O
练习2： 已知棱长为1正方体 正方体ABCD-A1B1C1D1, 求二面 练习 ： 已知棱长为 正方体 的大小。 角C1-BD-B1的大小。
二面角的求法(总结)
2、三垂线定理、平面的 法向量。
探究准备： 答
二、想一想：
1、怎样做出二面 角的平面角？
：1、做二面角的平面角主 要有3种方法：
（1）、定义法：在棱上取一 点，在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线，这2条所夹 的 角； （2）、垂面法：做垂直于棱 的一个平面，这个平面与2个 半平面分别有一条交线，这2 条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半 平面内一点（记为A）做另一 个半平面的一条垂线，过这个 垂足（记为B）再做棱的垂线， 记垂足为C，连接AC，则 ∠ACB即为该二面角的平面角。 α C α β
2 2
S
E A D C
B
议一议：刚才的证明过
程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？ 请各小组讨论交流一下。
2
2
2
2
探究二：
试一试 例二：如图：直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。 求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
1D1C1B1A1（θ是所求二面角的平面角） 以下求面积略。
F
D
A B
C
点评：这种解法叫做“射影面积法”
在选择和填空题中有时候用起来会很 好
总一总：求二面角的方法你都
学会了哪些？每一种方法在使用 上要注意什么问题？
请同学们先自己思考，然后小 组内交流学习一下。
二面角的几种主要常用的求法：
1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。
A1 F A D1 B1 C1
D
B
C
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
二面角的求法
解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。
则：S 0, 0,1 , C 1,1, 0 , 1 D 0, , 0 , B 1, 0, 0 2
x
y
设平面SCD的法向量为n x, y, z
n SC , n SD n SC 0, n SD 0 1 SC 1,1, 1 , SD 0, , 1 2 x y z 0 xz y n 1, 2,1 z0 y 2z 2 1 平面SAB的法向量为AD 0, , 0 2
1 .确定F的位置，使得DF1 平面AB1F； 2 .当D1E 平面AB1F时，求二面角C1 EF A的大小。
z
A1 D1 B1 C1
A D F B
y
x
E
C
解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz
1 .设DF x, 则A 0, 0, 0 , B 1, 0, 0 , C 1,1, 0, D 0,1, 0 , A1 0, 0,1 ,
a
O B
于B，作AC⊥ 于C，面 过二面角内一点A作AB⊥ ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A A
C
a
A
B
O
a
O
B
二面角的求解步骤：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的正切值的大小。
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
二面角的五种求法.doc
(1)二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二 面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。
而二 面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ， 分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠βα--l 的平面角。
(2)二面角的通常求法a.由定义作出二面角的平面角；b.作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
c.利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；d.空间坐标求二面角的大小;(法向量法)e ．射影面积法例１：在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C 后，BC=21AB ，求二面角B-AD-C 的大小。
证明：连结BC ，在等边三角形ABC 中设AB=AC=a ,则BD=CD= a例2：（2006年广东高考题）如图右所示，DE AF ,分别是⊙o 、⊙1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ，BC 是⊙o的直径，6==AC AB ，AD OE //（1）求二面角F AD B --的大小； 解：（法一）AD 均与两圆所在的平面垂直AF AD AB AD ⊥⊥∴,故BAF ∠是二面角F AD B --的平面角。
ABCA的中点为BC D CDAD BD AD ⊥⊥∴,为二面角C AD B BDC --∠∴21ABBC 21= 又a BC 21=∴为等边三角形BCD ∆∴∠∴060的大小为二面角C AD B --∴BC 是⊙o 的直径，AB=AC∴ BC AO ⊥又AF 是⊙o 的直径∴四边形ABCF 是正方形∴BAF ∠=450即二面角F AD B --的大小为450（法二）运用空间向量坐标运算以A 为原点建立空间直角坐标系A-XYZ ，如图所示： 由（法一）可知：四边形ABCF 是正方形 则A （0，0，0），D （0，0，8） ，B （6，0，0），C （0，6，0），F （6，6，0）)0,6,6(),0,6,0(-==∴→→BC AC O DA 圆⊥ ，AC DA ⊥∴又AB AC ⊥ ，→∴AC 是面DAB 的法向量 同理，O DA 圆⊥ ， BC DA ⊥∴ 又BC AF ⊥ →∴BC 是面DAF 的法向量2226636||||,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→BC AC BCAC BC AC∵二面角F AD B--所成的角为锐角 ∴二面角F AD B --的大小为450***（法三）以A 为原点建立空间直角坐标系A-XYZ ，如图所示： 由（法一）可知：四边形ABCF 是正方形 则A （0，0，0），D （0，0，8） ，B （6，0，0），C （0，6，0），F （6，6，0）)0,6,6(),8,0,0(),0,0,6(===∴→→→AF AD AB ，设),,(z y x n =→为面DAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅→→→→AB n AD n即⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==00608y z y z ,令1=x ，则)0,0,1(=→n同理：设),,(z y x m =→为面DAF 的法向量，则)0,1,1(-=→m22211||||,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→m n mn m n ∵二面角F AD B --所成的角为锐角 ∴二面角F AD B --的大小为450***例3：射影面积法如图5，二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半 平面α内, △ABC 在平面β内的射影为△A 1B 1C 1，那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABCS S θθ∆∆=应满足.（思考例题2用射影面积法）。
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练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
D
cos SA1B1C 1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角的范围: 0180
3
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就 是此二面角的平面角。
S EB1C
A
C B
E D1
C1
A1
B1
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。
D1 A1
E
C1
B1
G
DH
C
A
FB
DG C H
A FB
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中
点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐
二面角的大小。
DG C
AD=
1 2
SA=AB=BC=1，
求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.
z
解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。
则：S0,0,1,C1,1,0,
D0, 12,0, B1,0,0
x
y 15
设 平 面 S C D 的 法 向 量 为 n x , y , z
nSC,nSD n•SC0,n•SD0
C1
∴ A1O⊥BD，C1O⊥BD
∴
OA1,OC1
即为二面角A1-BD－C1
A1
B1
的平面角。
cosO A 1,O C 1 O A 1O C 1
1 3
D
y
C
OA 1 OC1
A
O
∴
二面角A1－BD－C1的大小为 arccos
1 3
x
B
12
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，
垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面
ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a
A
A
O B
A
B
a O
C
O a
B
例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。
m n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
13
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
αm
n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
14
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
D1 E
C1
A1
B1
A FEB
G
A1
C
D
A
F
C
B
cos SAFCG
S A1FCE
F
练习3：三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角P-BC-A的大小； （2）求二面角A-PC-B的大小。
P D
cos SABC
SPBC
AE
C
B
二、向量法：
1、方向向量法:
三垂线法: 过B作BE⊥AC于E，过E作ED⊥PC于D，连结BD，
则∠BDE就是此二面角的平面角。
P
∵△ABC为正△，∴ BE=
3a 2
在Rt△PAC中，E为AC中点，
则DE= 2 a
D
4
E
在Rt△DEB中
A
C tan
∠
BDE=
BE DE
6
B
∴∠ BDE=arctan 6
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。
D
B C l
A
二面角l 中,B、Cl, AB,CDD
BA,CD arccosBA•CD BA CD
11
例 3 ： 在 正 方 体 A C 1 中 ， 求 二 面 角 A 1 B D C 1 的 大 小 。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则
B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）
DB2,2,0,
O1 A 2,0,21 ,1 ,01 , 1 ,2,
O C1 1,1,2
D D B B • • O O C A 1 1 2 2 1 ( 1 2 ) （ 2 1 1 ） 0 0 2 2 ＝ 0 0D1 z
S C x 2y y1 z,1 z, 010 , SD y x 02z,z1 2 ,n1 1,2,1
平 面 S A B 的 法 向 量 为 A D 0 ,1 2,0
cosn,ADn•AD010 6
n•AD 61 3
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法; 5、掌握二面角的向量法。
1
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－2E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端
点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
l
P
B
A
P1
B1
A1
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1