自适应控制中PID控制方法

自适应PID 控制方法
1、自适应控制的理论概述
设某被控对象可用以下非线性微分方程来描述:
'()((),(),,)
()((),(),,)x t f x t u t t y t h x t u t t θθ== （1-1）
其中x(t)，u(t)，y(t)分别为n,p,m 维列向量。

假设上述方程能线性化、离散化,并可得出在扰动和噪音影响下的方程:
(1)(,)()(,)()()()(,)()()
X k k X k k U k k Y k H k X k V k θρθωθ+=Φ++=+ （1-2） X(k)，X(k)，U(k)，Y(k)，V(k)分别为n ，n ，p ，m ，m 维列向量；(,)k θΦ、(,)k ρθ、(,)H k θ分别为n ×n 系统矩阵、n ×p 控制矩阵、m ×n 输出矩阵。

那么自适应控制就是研究:在矩阵(,)k θΦ，(,)k ρθ，(,)H k θ中的参数向量，
随机{()k ω},{v(k)}的统计特性及随机向量X(0)的统计特性都未知的条件下的控制问题，也就是说自适应控制的问题可归结为在对象及扰动的数学模型不完全确定的条件下，设计控制序列u(0)，u(1)，…，u(N- 1)，使得指定的性能指标尽可能接近最优和保持最优。

自适应控制是现代控制的重要组成部分，它同一般反馈控制相比有如下突出特点： (l)一般反馈控制主要适用于确定性对象或事先确知的对象,而自适应控制主要研究不确定对象或事先难以确知的对象。

(2)一般反馈控制具有抗干扰作用，即它能够消除状态扰动引起的系统误差，而自适应控制因为有辨识对象和在线修改参数的能力，因而不仅能消除状态扰动引起的系统误差，还能消除系统结构扰动引起的系统误差。

(3)自适应控制是更复杂的反馈控制,它在一般反馈控制的基础上增加了自适应控制机构或辨识器,还附加了一个可调系统"
1.1模型参考自适应控制系统
模型参考自适应控制系统由参考模型、反馈控制器、自适应机构及被控对象组成。

此系统的主要特点是具有参考模型，其核心问题可归纳为如何确定自适应调节律及算法。

目前设计自适应律所采用的方法主要有两种：局部参数最优法,如梯度算法等，该方法的局限性在于不一定能保证调节过程总是稳定的；基于稳定性理论的设计方法，如Lyapunov稳定性理论和Popov超稳定性理论的设计方法。

1.2自校正调节器
自校正调节器可分为设计机构、估计器、调节器及被控对象4个部分。

此控制器的主要特点是具有在线测量及在线辨识环节，其核心问题可归纳为如何把不同参数估计算法与不同控制算法相结合。

根据参数估计算法与控制算法相结合的情况把自校正控制分为：最小方差自校正控制，其特点是算法简单、易理解、易实现，但只适用于最小相位系统，对靠近单位圆的零点过于灵敏，而且扰动方差过大时调节过程过于猛烈；广义最小方差自校正控制，可用于非逆稳系统，但难以实现；基于多步预测的自适应控制，适用于不稳定系统等，具有易实现、鲁棒性强的优点；自校正极点配置控制，具有动态性能好、无控制过激现象的特点，但静态干扰特性差；自校正PID控制，具有算法简单、鲁棒性强、待定参数少的特点；增益调度控制，优点是参数适应快，缺点是选择合适的列表需要大量的仿真实验，另外离线的计算量大。

1.3动态系统稳定性理论
目前，自适应控制系统的设计都是基于稳定性理论的，即在保证系统全局稳定的前提下实现其参数调节规律，主要应用的稳定性理论有Lyapunov稳定定理和Popov稳定定理。

正因为这样，自适应系统的设计方法主要分为两种，基于Lyapunov稳定定理的自适应控制系统和基于Popov稳定定理的自适应控制系统。

李雅普诺夫提出了运动稳定性的一般理论，即稳定性分析的第一法和第二法。

第一法将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化系统，再根据线性系统特征值在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性；第二法引入具有广义能量属性的李雅普诺夫函数，并分析其函数的定号性，建立判断系统稳定性的相应结论。

2、模型参考自适应控制系统设计方法
下面以图1所示的典型的模型参考自适应控制系统为例说明其设计方法。

图1 模型参考自适应控制系统结构图
如图1所示的一阶被控对象为例说明模型参考自适应控制的原理。

被控对象为一个一阶线性时不变系统，它的传递函数为：
()p
p k P s s a =+ （2-1）
参考模型是一个稳定的单输入单输出线性时不变系统,其传递函数为：
()m m
k M s s a =+ （2-2）
对象和模型的时域描述如下：
()()
()()
p p p p m m m m y a y t k u t y a y t k r t ••=-+=-+ （2-3）
控制的目标是设计控制u(t)使对象输出()p y t 能渐近跟踪参考模型的输出()m y t ，而且在整个控制过程中，在连续系统中，所有系统中的信号应当都是有界的。

PID 控制规律可表达如下所示： 01()()()()t
d i d
e t u t K e t e t dt T T dt ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ （2-4） 由图1可知，控制信号u(t)可由参考输入r(t)和对象的输出信号()p y t 的线性组合而构成，即有：
0()()()()()o p u t c t r t d t y t =+ （2-5）
图1中的虚线框内可调系统的传递函数和参考模型的传递函数完全匹配时可调参数00()c t c *=，00()d t d *=。

其中0c *，0d *
式为其标称参数。

定义输出误差0e ,参数误差φ,以及输出误差的动态方程为： 00000()()()()m p
r y e y y t c t c t d t d φφφ**=-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
（2-6） 得输出误差的动态方程为：
001()()p r r p r r p m k e r y M r y s a c φφφφ•*=
+=++ （2-7）
此处的()r r p M r y φφ+代表对时域信号r r p r y φφ+按传递函数()M •的算子关系进行运算。

3、自适应PID
当被控对象参数为定常或变化较小时，采用一般常规反馈控制、模型匹配控制或最优控制等方法，可以得到满意的控制效果。

当对象在运行过程中其结构与参数及环境有剧烈变化时，仅用常规的反馈控制技术是得不到满意结果的。

于是出现了自适应控制技术及理论。

迄今为止，先后出现过各种形式的自适应控制系统，新的概念和方法仍在不断涌现，其中模型参考自适应控制系统无论从理论研究和实际应用上都是比较成熟的。

基于PID 的模型参考自适应控制方法，如图2所示：
图2 基于PID 的模型参考自适应控制系统基本结构图
引入自适应误差信号()()()m t s a e t δ=-+、()()()m p e t y t y t =-，则控制律可以取为：
()()[()]()[()]l
l m l p t u t K t k r t K t s y t ==∑ （3-1）
可得模型参考自适应PID 控制器的控制策略为：
1203()()()
()()()()
()()
p p p t i i i d d d K t e t a K K K t e d a K K de t K t a K K dt γδγδττγδ*
*
*
=---=---=---⎰ （3-2）
式中γ，a 为自适应增益系数，(0)p p K K *
=，(0)i i K K *
=，
(0)d d K K *=为可调参数的初始值，可以通过参数整定或试算法得到。